ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
© Агафонов М.В.*
Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
В статье поднимается тема прикладного значения одного из важнейших разделов математического анализа, а именно интегрального исчисления, в электротехнике. Рассмотрена основная теория данного раздела. Проанализированы фундаментальные понятия. На примерах показано практическое применение теории в электротехнической инженерной практике.
Ключевые слова: интегральное исчисление, первообразная, интеграл, электротехника.
Сегодня трудно представить научно-техническую деятельность, где бы ни использовались фундаментальные исследования в области математики. Все технические инновации, которые окружают нас в повседневной жизни, есть результат плодотворного симбиоза техники и математики. Действительно, взаимодействие прикладных и математических дисциплин приводит к их обоюдному совершенствованию. С одной стороны мы наблюдаем это в применении математического аппарата для решения технических задач. С другой стороны, инженерная практика в существенной мере определяет и ускоряет развитие самой математики. В современном мире деятельность инженера не утратила своей сути, но стала более разнообразной по форме и содержанию. Инженерное дело в ходе развития постоянно расширяет широкую сферу своего приложения и тем самым, отвечает все более обширным и сложным техническим задачам. Также, стоит отметить, что вместе с расширением прикладной сферы инженерного дела происходит усиление его специализации. Вследствие развития науки и техники происходит расщепление основных специальностей, появляются новые, ориентированные на более узкий круг практических задач. Таким образом, инженер, являясь специалистом в узкой области, обязан базировать свои знания на прочном фундаменте математических и естественных наук.
В частности современный инженер-электротехник должен превосходно владеть методами интегрирования для решения конкретных практических задач в своей профессиональной сфере. Например, к ним относятся: определение технических характеристик устройств, разработка математической модели электрической станции, расчёт переходных процессов интегралом Дюамеля, определение величины допустимого тока нагрузки интегралом Джоуля и т.д.
* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Механики и математического моделирования, кандидат педагогических наук.
Обратимся к теории. Интегральное исчисление решает следующую задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F(x) = f(x) (или дифференциал). Функция F(x) называется первообразной функции fx) на интервале (a; b), если для произвольного x е (a; b) выполняется равенство: F(x) = fx) (или dF(x) = fx)dx).
Если функция F(x) является первообразной функции fx) на интервале (a; b), то множество всех первообразных для fx) определяется формулой F(x) + C, где C - постоянное число [2, с. 193].
Множество всех первообразных функций F(x) + C для fx) называется неопределенным интегралом от функции fx) и обозначается \fx)dx. По определению \fx)dx = F(x) + C. С точки зрения геометрии, неопределенный интеграл есть не что иное, как семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C (каждому значению константы ставится в соответствие определенная кривая семейства) (рис. 1).
Рис. 1. Графики интегральных кривых
Положим, что функция y = fx) определена на отрезке [a; b], a < b. Выполним следующие операции.
1. Используя точки x0 = a, x1, x2, ..., xn = b x < x2 < ... < xn), разделим отрезок [a; b] на n частичных отрезков [x0; xi], [xi; x2] ... [xn-1; xn] (рис. 2).
X' ^ i X ■ Рис. 2
2. В каждом из отрезков [хх,], I = 1, 2, ..., п выберем произвольную точку с, е [хх] и найдем величину Лс,). Умножим полученное значение функции Л(с,) на длину Ах,- = х, - х,ч соответствующего частичного отрезка: Лс,) ■ Ах,.
3. Составим сумму Зп всех произведений:
68 ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ XXI ВЕКА: СТУПЕНИ ПОЗНАНИЯ
Sn = f (c1 )Ax1 + f (c2 )Ax2 + ••• + f (cn )Axn = £ f (c )Axn..
1=1
Составленная сумма называется интегральной суммой функции y = fx) на отрезке [a; b]. Пусть 1 - длина самого большого частичного отрезка. Тогда Я = maxAxi (i = 1, 2, ..., n).
4. Найдем предел Sn, когда n ^ œ так, что 1 ^ 0. Если при данных условиях интегральная сумма Sn имеет некоторый предел I, не зависящий от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки и от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] и обозначается:
b n
ff (x)dx = lim Y f (c )AX •
a (1^0) '=1
Для удобного вычисления определенного интеграла применяют формулу Ньютона-Лейбница. Чтобы вычислить определенный интеграл от функции fx), непрерывной на отрезке [a; b], требуется найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) - F(a) значений этой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Далее рассмотрим применение теоретических знаний на практике.
Пример 1.
Задача: Найти энергию плоского конденсатора электроемкостью
C = 410-4 Ф,
если напряжение на обкладках равно U0 = 1000 B.
Решение:
Напряжение на обкладках конденсатора во время зарядки:
U = q = —^r = 2500q (В) C 4-10-4 q( )
Результирующий заряд:
q = CU0 = 4 • 10~4 • 1000 = 0.4 (Кл)
Энергия заряженного плоского конденсатора:
0.4
W = J Udq = J 2500qdq = 1250q2
= 200 (Дж) 0
Пример 2.
Задача:
Найти сопротивление изоляции Яи, коаксиального кабеля длиной I = 1 м (рис. 3), если радиус жилы г1 = 4 мм внутренний радиус оболочки г2 = 6 мм, удельная изоляционная проводимость кабеля у = 10-8 См/мм.
Рис. 3. Коаксиальный кабель в разрезе
Решение:
Коаксиальный кабель имеет осевую симметрию. Следовательно, векторы плотности тока и напряженности электрического поля имеют одинаковые значения в точках, находящихся на одинаковых расстояниях от оси. Для поверхности З радиусом г < г < г2 поток вектора плотности тока равен:
^5(1Б = 2лМ = /0
где 10 - ток утечки, приходящийся на единицу длины.
Напряженность и плотность тока определяются выражениями:
Е = 5 = -^; 5 = А_
у 2жут 2жг
Напряжение между оболочкой и жилой:
— = } ЕФ =А.1 * = Л. 1п Г2
^ 2лу^ г 2лу г
Изоляционное сопротивление:
и 1 г 1 6
Я = — =-1п — =-= 6456451 (Ом)
и 101 2жу1 г 2 ■ 3.14-10"8 4 4
Список литературы:
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1986. - 263 с.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006. - 608 с.
3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - изд. 2-е стереотипное. - «Техшка», \991. - 768 с.