Применение дважды непрерывно дифференцируемого ^-сплайна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ПРИМЕНЕНИЕ ДВАЖДЫ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО Б-СПЛАЙНА

Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев, С.В. Капустин

Данная работа посвящена использованию сглаживающих ^-сплайнов 5-й степени. Такие сплайны являются кусочно-полиномиальной функцией, причем первые три коэффициента каждого полинома, определяются условиями гладкой склейки до второй производной включительно, а остальные три - методом наименьших квадратов. С помощью таких сплайнов строятся квадратурные формулы 6-го порядка для вычисления одно- и двухмерных интегралов, а также решается задача Дирихле для уравнения Пуассона в односвязной области. Получены соответствующие оценки сходимости.

Ключевые слова: аппроксимация, сплайн, численные методы, квадратуры, математическая физика, метод конечных элементов

1. Дважды непрерывно дифференцируемый 5-сплайн

Рассмотрим на отрезке [а, 6] равномерную сетку хк =а + кк, к = О,...,К, к = (Ь-а)!К - шаг сетки. Разобьем отрезок [а, Ь\ на группы, для этого введем ещё одну равномерную сетку ^=а + Ш, Н = тк, т є 2 . Таким образом, переходя из одной группы в другую, мы осуществляем сдвиг системы координат и рассматриваем каждый / -й полином на отрезке [0,//]. Пусть значения приближаемой функции на этой сетке у = (у0,уь...,уК)єК^+1. Обозначим:

множество полиномов степени п с фиксированными коэффициентами а0, ах, а2. Рассмотрим функционал:

начальными условиями у0,у'0 ,у$/21. Можно предполагать, что значения заданной функции ук известны с некоторой точностью, например, они есть результаты каких-либо измерений. Будем предполагать тогда, что с уменьшением шага А будет увеличиваться точность измерения, а

1 В случае если функция задана таблицей, то у'й, _у" можно вычислить с помощью формул численного дифференцирования высокого порядка аппроксимации, например,

и

ф'(к)=£(*«+«о-у.,.*)2.

*=0

В классе Р£ ищется такой полином gl, который минимизирует функционал

м

ф' О) = 2 («(#, + Щ - УтМ ? -»■ шіп(а3, а4а„)

(1)

Здесь при 1=0

есть условие периодичности ^-сплайна. Так как

, то условия (1) есть условия гладкой склейки двух последовательных полиномов. В непериодическом случае начальные коэффициенты а^,ау,а® задаются

Уо =-^(147%-З60у1+450у2-400у3+225у4-72у5 + 10у6)/!г + 0(!г5),

/0 = -±(812у0 -3132Л + 5265у2 -5080_у3 + 2970^-912у5 + тУб)/И2+ 0(И4)

именно, будем предполагать, что если периодическая функция / е С6 [а, Ь] задана в узлах равномерной сетки xk=a + kh, к = О,...,К своими значениями ук, то \ук - f(xk)| < Ch6+£, s > 0. Здесь

L - число групп, на которые разбита исходная таблица значений приближаемой функции С6 [а, 6] или число полиномов, составляющих сплайн. Кроме того, здесь М+1 - количество точек осреднения, т +1 — количество точек, входящих в область определения /-го полинома gt, ^ - точка привязки полинома gt, М - т +1 - число таких точек, значения которых участвуют при определении двух соседних полиномов, составляющих /S'-сплайн, М > т +1. В дальнейшем степень полинома п = 5.

Определение. S’-сплайном назовем функцию 5” м(х), которая совпадает с полиномом g/(x) на отрезке £[ <х < .

2. Существование и единственность 5-сплайна

Теорема 1. Пусть числа т и М > 3 таковы, что собственные числа матрицы U не равны корню степени L из единицы (здесь L -число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции f(x), заданной на отрезке [а, 6] своими значениями ук в точках xk=a + kh,h = (b-a)/ К, существует и единственен периодический сплайн Sm ,м№)-Для непериодического случая условия на собственные числа матрицы U не требуется.

3. Сходимость 5-сплайна

Теорема 2. Пусть периодическая функция f(x) е С 6 \а, Ь] и пусть выполнены предположения

\f(xk)-yk\<Ch6+s, е >0 . (2)

Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн 5^ м(х) с узлами на равномерной сетке имеет дефект 3 (т.е. 5;1м(х)еС2[а,Ь]) и для х е [а, Ъ] справедливы следующие оценки:

У-Р\х)~

/> = 0,1,2,3,4,5; хф%! при ^ = 3,4,5.

Аналогичные оценки справедливы и для непериодического случая.

Теорема 3. Пусть Q - mlМ < £». Тогда при достаточно малых т и больших М собственные числа матрицы устойчивости по модулю меньше единицы.

Это условие устойчивости 5-сплайнов аналогично условию устойчивости для кубического случая [1]. Для случая малых значений М (при 3 < М < 20 ) в результате расчета были получены значения собственных чисел матрицы U. Оказалось, что при т/М<£* < 1 все собственные числа матрицы U меньше единицы. Некоторые наиболее интересные полученные значения т и М, при которых достигаются наименьшие значения тахЩ и аппроксимация 5-сплайнами устойчива, представлены в таблице.

4. Фундаментальный 5-сплайн

Фундаментальный 5-сплайн 2? ■(Jt) - это периодический или непериодический 5-сплайн, построенный по данным j/ = (j;0,yl,..,^)eR':+1 и yoeR, y'0sR вида: {>>, = 0,...,&}.

к

Легко видеть, что линейная комбинация у В -(х) = S(x) является 5-сплайном, приближаю-

7=0

щим начальные данные {>>,,/ = О,. Заметим, что непериодические фундаментальные сплайны дополняются сплайнами с начальными условиями у'0 ,у£, принимающими значения 0 или 1.

Таблица

Собственные числа матрицы U_________________________________________

м М Яі ^2 Лз max |Я,| т/М

4 2 -0,008 —0,231—0,131 / -0,231+0,131/ 0,265 0,25

5 3 -0,005 0,0549-0,201/ 0,0549+0,201/ 0,207 0,60

6 2 0,0266 -0,285-0,129/ -0,285+0,129/ 0,312 0,33

6 3 -0,008 -0,263-0,0463/ -0,263+0,0463/ 0,266 0,50

7 2 0,0732 -0,167-0,305/ -0,167+0,305/ 0,347 0,285

7 4 -0,0069 -0,0737-0,214/ -0,0737+0,214/ 0,226 0,571

7 6 0,00218 0,116-0,207/ 0,116+0,207/ 0,237 0,857

8 4 -0,0079 -0,265-0,031/ -0,265+0,031/ 0,266 0,50

8 5 -0,00403 0,101-0,178/ 0,101+0,178/ 0,204 0,625

8 7 0,00180 -0,0466-0,229/ -0,0466+0,229/ 0,233 0,875

9 5 -0,00734 -0,124-0,201/ -0,124+0,201/ 0,235 0,555

9 8 0,00134 -0,205-0,118/ -0,205+0,118/ 0,236 0,888

10 5 -0,0078 -0,263-0,0407/ -0,263+0,0407/ 0,266 0,50

10 6 -0,0055 0,0182-0,213/ 0,0182+0,213/ 0,213 0,60

11 7 -0,00322 0,141-0,147/ 0,141+0,147/ 0,203 0,636

5. Одномерные квадратурные формулы 6-го порядка

в

Рассмотрим интеграл ^f(x)dx. Аппроксимируем подынтегральную функцию S'-сплайном

А

К

/(х) = ^yjBj(x) + 0(h6), где -f(A + jh). Подставим его выражение через фундаментальные

}=о

сплайны в интеграл:

В В к кВ к

\S(x)dx = ykBk(x)dx = XЛ \Bk(x)dx = £укск,

А А £=0 к=О А к=0

В L-1 5 ^пк

где ск = (x)dx = X S Н‘+Х ~ искомые коэффициенты квадратуры. Здесь а”к - /-й коэф-

А „=0г=0г + 1

фициент и-го полинома в к-м фундаментальном сплайне. Данные формулы имеют 6-й порядок аппроксимации.

6. Двумерные квадратурные формулы 6-го порядка для односвязных областей

На плоскости рассматривается область Q, с границей у, где у задана параметрически. В области рассматривается гладкая функция /(г,ср). Поместим область в круг радиуса R и введём полярную сетку. Рассмотрим интеграл:

Д f(r,<p)rdrdq>.

п

Представим подынтегральную функцию в виде разложения по фундаментальным S'-сплайнам 5-й степени:

f(r,(p)= X X yiJC,{<p)D}{r) + 0(h6) = S{r,(p) + 0(h6) .

I=0..x,-1 j=0...K2

Подставив S(r,(p) в искомый интеграл, получим квадратурные формулы:

л:,-1 к2

JJS(r,(p)rdrdtp = II c,JytJ , где ciJ = JJCi{(p)Dj{r)rdrd(p. (3)

n 1=0 7=0 П

Для вычисления коэффициентов си воспользуемся формулой Грина в полярной системе координат:

1 дРг г д(р

гс1гс1(р.

| г

Для нашего случая положим Рг (г, ф) = §, (г, <р) = —С1 (ф) jtDJ (/)Л, тогда

1 5

-----[г(2 ) = С, (#>)£) (г) и для квадратурных коэффициентов мы получаем формулы:

г дг

(г \ с° = с[с, (<р) (*>*

чо

с1ф .

(4)

Точность приближения квадратурных формул для круга

Кол-во Точность Коэфф-т

полиномов полученной формулы улучшения

5 6,47x10-7

10 1,198 х 10~8 54,3

20 2,033x10-10 59

40 4,26x10~12 48

Точность приближения квадратурных формул для астроиды

Кол-во Точность Коэфф-т

полиномов полученной формулы улучшения

5 1,28x10-2

10 2,69 хЮ-4 47,5

20 4,77 хЮ-6 56,4

40 1,03 хЮ"7 46,3

Рис. 1. Астроида

Пусть выполнены условия устойчивости матрицы и, т.е. тх < Мхд*, т2 < М2д* и пусть / е С6(0.3), где г> О, т.е. предполагается, что функция/непрерывна и шесть раз дифференцируема в несколько большей области. Пусть также к = шах(/г1,/г2). Поместим область в круг К радиуса Л. Введём полярную систему координат, взяв за начало координат центр круга К. Продолжим функцию / в К\С1д тождественным нулём. Обозначим 5(<р,г) - <р-г - сплайн, приближающий таким образом продолженную функцию / на круге К. Доказана следующая теорНаерема 4. Пусть 5(<р,г) - <р-г - сплайн, приближающий функцию / пусть

(М - т)Ь < р(у8,у). Здесь р(у§,у) - расстояние между границами областей и й соответственно. Тогда справедлива оценка:

ATj-l аг2-і \\f{<p,r)dn- £ £ cllytJ n 1=0 J=о

< Ch

Здесь у у = /(<р,г) - значения функции / в узлах сетки, весовые коэффициенты с'-7 определены формулой (4), суммирование производится лишь по тем индексам, для которых (^,г )ей 3.

7. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в односвязной области

Рассмотрим уравнение Пуассона в области £>:

1 д

Ґ диЛ

г

v drj

+ -

1 д2и г2 дер2

г дг

С граничными условиями:

и(г,(р)\дС) = /(г,(р), где граница области О задана параметрически:

= -р(г,ср), (r,(p)eD.

(5)

(6)

г(9) =

1,

%/3 sin(^) + cos((p) ’ -у/З

sin(^7) - л/з cos(^) ’

<рє[ 0, я] (ре[я,5л!Ъ\

<рє[5л/3,2я]

Рис. 2. Область D, погруженная в круг радиуса 1

Поместим D в круг радиуса 1. Далее, будем рассматривать полярную систему координат с центром в центре круга. Построим полярную сетку по г и по ср.

Представим решение уравнения в виде:

<r,q>) = Y^uf^Djir), (7)

i=0 у=1

где Ct(<p) и Dj(r) - периодический и непериодический фундаментальные одномерные сплайны на отрезках [0,2л-] и [0, 1] соответственно. Домножим исходное уравнение на г. Теперь будем домножать полученное уравнение скалярно на Ci(<p)Dk(r), где пары индексов /, к пробегают все значения / = 0,..., Кх, к = 1,..., К2 -1, но такие, что (hxk, h^l) є D (т.е. только для внутренних точек области D). Получим уравнение:

+ + г y^C№D№rdrd(p = “

Подставим в левую часть выражение (7):

2>0 Я(сг.да;(г)г2+с1(?Щ(гуг+с;(рЩ(г))с,(<р)ок(г)<ы?

- Ц/Кл 9)С1 (9)Вк (г)г2с1гс1<р.

\о

(8)

Здесь существенно, что выражения, стоящие под знаком интеграла в левой части является произведением функции от переменной г на функцию от переменной (р, поэтому, применяя формулу интегрирования по частям, можно избавиться от производных высоких порядков (например, при решении уравнения А2и(г,<р) = /(г,<р), под знаком интеграла появятся производные 3-го и 4-го порядка от фундаментальных сплайнов, в то время как существует лишь непрерывная производная 2-го порядка, но интегрируя по частям, можно свести подынтегральное выражение к такому, в котором будут лишь производные 1 и 2 порядка).

Последнее уравнение ввиду произвольности выбора / и к представляет собой систему для определения коэффициентов Му . Чтобы сделать систему полной, необходимо учесть граничные

условия, которые дадут недостающее число уравнений:

из

(9)

дИ

Интегралы в (8) вычисляются при помощи квадратурных формул для области Д коэффициенты которых находятся по формулам:

ж (\ \ 5л73 (п(р) Л 2х (г2(ч>) 4

су = |С;(^) |г£>у(г)<з&* с/<р+ | СД<р) | гО](г)с1г с!<р + | С^(р) | г0^г)с!г

О \0 ) к 0 ) 5я73 V 0 >

! \ ^ I \ ^

где г, (ф) = —р--------------------------------------, г2 (ср) =-г-.

л/3 8т(^) + соз(^) $т(<р) - \/3 соз(^)

Из системы уравнений (8) и (9) получаем коэффициенты разложения решения (7) по фундаментальным сплайнам, т.е. искомое приближенное решение.

Вышеописанным методом решалась задача:

1_д_ г дг

ди

~дг

+

1 д2и

= 1, (г,^)е£>

г2 д(р2 г2 &т2(ф)-{г2 -1)/4

<г,<р)\дв

При Кх -12, К2 -6 точность решения составила 0,7927x10-4. График решения представлен на рис. 3.

о О-

Рис. 3. Решение уравнения Пуассона на области О

Литература

1. Силаев, Д.А. Приближение S'-сплайнами гладких функций / Д.А. Силаев, Г.И. Якушина // Труды семинара имени И.Г. Петровского. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - Вып. 10. - С. 197-206.

2. Силаев, Д.А. Дважды непрерывно дифференцируемые S'-сплайны / Д.А. Силаев // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Математика, механика. - 2007. - № 2. - С. 12-17.

3. Силаев, Д.А. Решение краевых задач с помощью S'-сплайна / Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев // Математика. Компьютер. Образование: сб. научн. трудов. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. - М-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - Т. 2. - С. 85-104.

4. Полулокальные сглаживающие сплайны класса С1 / Д.А. Силаев, А.В. Амилющенко, А.И. Лукьянов, Д.О. Коротаев // Труды семинара имени И.Г. Петровского. - 2007. - Вып. 26. -

C.347-367.

5. Semilocal smoothing spline of class Cl / D.A. Silaev, A.V. AmiliyushenJko, A.I. Luk’janov,

D.O. Korotaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. -V. 143, № 4. - P. 3401-3414.

6. Силаев, Д.А. О квадратурных формулах высокого порядка аппроксимации для произвольных областей / Д.А. Силаев // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики: Международная научная конференция, Тамбов, 22-25 апреля 2008 г. / отв. ред. А.А. Артёмов. - Тамбов: Изд-во Першина Р.В., 2008. - С. 65-70.

APPLICATION OF TWICE CONTINUOUSLY DIFFERENTIABLE S-SPLINE

This article is dedicated to an application of 5th order smoothing S'-splines. Such splines are piece-wise polynomial functions. First three coefficients are defined by condition of smoothing of 2nd order, while another three coefficients - by method of minimal quads. These splines are used for building of a 6th order quadrature formulas. Also, here is presented a method and example of solving of Puasson's equation for simply connected domain by using these splines. Corresponding estimations are also given.

Keywords: approximation, spline, numerical methods, quadratures, the mathematical physics, Method of finite elements.

Silaev Dmitry Alexeevich - Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department «General problems of management», Mechanical-mathematical faculty, Moscow State University.

Силаев Дмитрий Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра Общих проблем управления, Механико-математический факультет, Московский государственный университет.

e-mail: dasilaev@mail.ru

Korotaev Dmitry Olegovich - Post-Graduate Student, Institute of Automation of Production, Russian Academy of Sciences.

Коротаев Дмитрий Олегович - аспирант, Институт Автоматизации Производства Российской Академии Наук.

e-mail: dok-home@mail.ru

Kapustin S.V. - Post-Graduate Student, Department of Algebra and Geometry, Elabuga State Pedagogical University.

Капустин C.B. - аспирант, кафедра алгебры и геометрии, Елабужский Государственный Педагогический Университет.

e-mail: srg_kapst@mail.ru