Применение аналитических функций при исследовании и решении задач подземной гидродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54:532.5

М.В. Кузнецова

канд. техн. наук, доцент, кафедра «Использование водных ресурсов, гидравлики и математики», Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт имени А.К. Кортунова, ФГБОУ ВПО «Донской государственный аграрный университет», г. Новочеркасск

О.Н. Маслак

канд. техн. наук, доцент, кафедра «Использование водных ресурсов, гидравлики и математики», Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт имени А.К. Кортунова, ФГБОУ ВПО «Донской государственный аграрный университет», г. Новочеркасск

О. П. Дорожкина

аспирант,

кафедра «Использование водных ресурсов, гидравлики и математики», Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт имени А.К. Кортунова, ФГБОУ ВПО «Донской государственный аграрный университет», г. Новочеркасск

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ И РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Аннотация. Рассмотрена теория применения аналитических функций для построения основных типов некоторых задач фильтрации, вычислен комплексный потенциал течений под плотинами, приведены рисунки линий тока фильтрации под плотинами. Применены конформные преобразования для определения комплексных потенциалов течения под плотиной с различными флютбетами и дренажём.

Ключевые слова: аналитические функции, комплексный потенциал, дренаж, фильтрационные течения под плотинами, линии тока, флютбет.

M.V. Kuznetsova, Novocherkassk Engineering reclamation Institute of A.K. Kortunova, Don State Agrarian

O.N. Maslak, Novocherkassk Engineering reclamation Institute of A.K. Kortunova, Don State Agrarian

O.P. Dorozhkina, Novocherkassk Engineering reclamation Institute of A.K. Kortunova, Don State Agrarian

USING OF ANALYTICAL FUNCTIONS WHEN STUDYING AND SOLVING THE TASKS OF SUBTERRANEAN HYDROKINETICS

Abstract. Theory of using of analytical functions to create the main types of filtration tasks is considered. Complex potential of flow under dams is figured out. Figures of lines of filtration flow under dams are given. Conformable transformations to define complex potentials of flow under the dam with different waste weirs and drainage are applied.

Keywords: analytical functions, complex potential, drainage, filtration flows under dams, lines of flow, waste weir.

Новейшие достижения подземной гидродинамики базируются на применении современных технологических расчетов при решении задач притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине. Теория взаимодействия и исследования законов стягивания контуров в процессе эксплуатации скважин требует использования методов гидродинамики, связанных с изучением теории функции комплексного переменного, аналитическими функциями и их обобщением и применением к линейным процесса математической физики. Эти задачи столь важны для теории и практики, что рассмотрение их решения представляет большой интерес.

В данной статье изложим соответствующие вопросы в доступной форме, подробно поясним физическую постановку задач и опишем основные гидравлические понятия и явления.

Значительное количество разнообразных задач математической физики описывается векторными Vи скалярными Ф полями, связь между которыми осуществляется линейным законом (1)

V = (KgradO), (1)

где K характеризует среду, в которой протекает явление. Для однородных сред K - постоянная скалярная величина, для неоднородных сред - функция координат. Функцию Ф назовем потенциалом. Она в общем случае зависит от координат R и времени Т. Функция V1 связана с R и Т

равенством V1 = sdRdu , где о - безразмерная величина, характеризующая процесс. В частном случае, если V1 - скорость течения жидкости, то V1 = dRdjj. Введем безразмерные величины: r = ^ , V = ^^ , t = , K = KK , j = ФФ , где I -

характерная длина, K0 и Ф - характерные значения соответствующих функций, V0 = к°фу^, Т =sI/

lo = Л.

Тогда линейный закон можно записать в безразмерном виде, что важно для практических задач:

V = (Kgradj) или в безразмерных величинах V = .

K ф /

Из преобразования закона к безразмерному виду следует, что 0 у,...) - критерий по/ (IV0 )

добия изучаемых явлений. Уравнение (1) дополняется законом сохранения массы или уравнения неразрывности, которое имеет вид (2):

divV = 0, (2)

и соответствует стационарному процессу, когда V не зависит от времени т, или квазистационарному процессу, если V зависит от времени т, но удовлетворяет уравнению (1).

Задачи, описываемые уравнениями (1) и (2), являются линейными, квазистационарными или в частном случае стационарными, динамическими процессами.

Рассмотрим стационарные плоскопараллельные процессы в изотропных и однородных средах (K = K0 = const), т.е. процессы для которых V и Ф - функции координат r основной плоскости (z). Безразмерные уравнения движения (1) и (2) в декартовых координатах в этом случае имеют такой вид:

V = j V = j fV=0

x Эх ' y Эу 'Эх Эу ' Из последнего уравнения неразрывности следует существование функции p. Следовательно, процесс описывается уравнениями:

Эф = Эу v = Эj = Эу Эх Эу ' y Эу Эу Так как ф и p удовлетворяют условиям Коши-Римана (3), то решениями рассматриваемых задач являются аналитические функции (4):

W (z) = j + i у, (4)

где W- комплексный потенциал; p - функция тока; ф - потенциал. Семейство эквипотенциалей и линий тока j(r) = const, y(r) = const, на основании равенства (3) удовлетворяют соотношению (5):

Эф Эу + Эф Эу = 0; Эх Эх Эу Эу

V = v = _i_ = (3)

W' = ^ + = Vx - IVy (6)

следовательно, они взаимно перпендикулярны. Производная от комплексного потенциала W по z имеет вид (6):

j + j ЭУ

Эх Эх

и называется комплексной скоростью.

Функции ф и у в рассматриваемых задачах взаимозаменяемы. Действительно, если какая-либо задача описывается функциями ф1, у1, то, пологая ф1= у2, У! = -j2, получаем, что ф2, у2 удовлетворяют условиям Коши-Римана; следовательно, найдено также решение, но уже новой задачи.

Линейность исходных уравнений определяет справедливость принципа наложения потоков, который заключается в том, что сумма комплексных потенциалов W1 и W2 определяет комплексный потенциал новой задачи. Кроме того, так как все производные и интегралы по z от аналитической функции также аналитические функции, то это позволяет по заданному решению какой-либо задачи W1 отыскать бесчисленное множество решений различных задач. Замена в комплексном потенциале z на z-i с помощью аналитической функции z = f(z1) представляет собой конформное преобразование задачи в основной плоскости (z) к задаче в плоскости (z1), при котором ф и у переходят в ф и у новой задачи.

Используем распространенные свойства для построения основных типов процессов и решения некоторых граничных задач.

Аналитические функции определяются особыми точками. В задачах математической физики особые точки комплексных потенциалов являются моделями причин, вызывающих явление (источник теплоты, создающий тепловое поле; ток, идущий по проводнику, создающий электрические или магнитные поля, и т.д.). С помощью особых точек также удовлетворяются граничные условия рассматриваемых задач.

Логарифмическая особая точка комплексного потенциала, отвечающая в физических задачах источнику (или стоку), по отношению к функции ф является фундаментальным решением уравнения Лапласа, которому эта функция удовлетворяет. Особую роль играет эта точка в задачах двумерных динамических процессов, поскольку служит простейшей физической моделью.

Запишем комплексный потенциал источника в виде (7)

W(z) = — ln(z - z) = —(ln r +19) = j +1y9 , (7)

где z0 - точка расположения источника и z - z0 = re19. Составляющие вектора V в полярных координатах r, 9 определяется равенствами

V = j — V0=j = 0 r Эг 2pr 0 r Э9

Из приведенных формул следует, что линиями тока являются лучи 9 = const, выходящие из точки z0. Вдоль них от точки z0 направлен вектор V. Эквипотенциале представляют собой концентрические окружности (r = const). Расход вектора Vчерез произвольную окружность с центром в точке z0:

f Vrrd9= f — rd9 = Q .

J r J 2Pr

0 0

Величину Q, не зависящую от r, называют мощностью источника. На рисунке изображены линии тока (сплошные прямые), эквипотенциали (пунктирные окружности); стрелками указаны направления вектора V для источника. Комплексный потенциал (8)

W (z) = - £\п^ - z0) = - О (1п г + i 9) = ф + у (8)

отвечает стоку, расположенному в точке Zo, мощность которого О. Линии тока, эквипотенциали и направление вектора V этого процесса изображены на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1 - Линии тока, эквипотенциали при направлении вектора V от источника

Рисунок 2 - Линии тока, эквипотенциали при направлении вектора V к источнику

Рассматриваемые динамические плоскопареллельные процессы, протекают, как правило, в ограниченных областях плоскости на заданной границе которых выполняются определенные условия. Наиболее простые и широко распространенные из этих условий следующие:

а) На границе £ или её части потенциал ф постоянен. Отсюда следует, что составляющая вектора V вдоль £ равна нулю, т.е. V ортогональна к

Эф Э5

j L = const, VS.L

= 0;

б) на границе L или части её функция тока постоянна. Отсюда следует, что составляющая вектора V по нормали к L равна нулю, т.е. граница L непроницаема:

y| L = const, Vni = 0.

Задачи, для которых выполняются сформулированные условия, называют граничными задачами первого рода. Решение граничных задач первого рода можно записать в общем виде, если L - прямая или окружность и вдоль них ф или р постоянны.

Пусть процесс протекает в полуплоскости, ограниченной осью Ох или осью Оу. Пусть z0 - особая точка процесса в области его распространения и f (z - z0) определяет характер этой особенности в безграничной среде. Тогда комплексные потенциалы, решающие изучаемые граничные задачи, таковы:

М = 7 ( 2 - 20 )-7 ( 2 - ), М = 7 ( 2 - 2о )-7 ( 2 + 2о ), М = 7 ( 2 - 2о ) + 7 ( 2 - 20),

М = 7 ( 2 - 2о ) + 7 ( 2 - 2о ), Пусть теперь область, где протекает процесс, ограничена окружностью радиуса го, в центре которой расположим начало координат. Пусть 2о - расположение особой точки и 7 (2 - 2о) определяет характер этой особенности в безграничной области, за исключением логарифмической. Тогда комплексные потенциалы, решающие изучаемые граничные задачи, следующие:

j y=0 = const;

ф| х=0 = const;

У У=0 = const;

У х=0 = const.

W = f (z - z0)-f

W = f (z - z0) + f

z- = z

z- = z

j.

У

= const, z r0;

= const, \z\> r0.

' '< 0

0 J

Перейдем к рассмотрению задач фильтрационных течений под плотинами. Определим фильтрацию под плотиной с полукруглым флютбетом (рис. 3а) и дренажем на нем и под плотиной с полукруглым флютбетом и дренажем вне флютбета (рис. 3б).

Рисунок 3а - Плотина с полукруглым флютбетом и дренажем на нем

Рисунок 3б - Плотина с полукруглым флютбетом и дренажем вне флютбета

Для изменения характеристик фильтрационного потока под плотиной (давления, скорости расхода жидкости) применяют дренажи, отсасывающие жидкость.

Дренаж в простейшем случае моделируется стоком, который может быть расположен вне флютбета и на его границе. Если очертание флютбета представляет собой полуокружность, то, применяя ранее приведенные формулы, комплексный потенциал течения под плотиной запишем в виде (9):

2

r=r

W = -Ф2Ф1 \п z + О

т

2я

\П (Z - Zo) Z + \п^ ^0

z - zn

z - г:

(9)

где z0 - точка расположения дренажа вне флютбета > г0. Если дренаж расположен на флютбете = г0, то в формуле (9) отсутствует последний член.

Комплексные потенциалы, определяющие течение под плотиной с различными флютбета-ми и дренажём получаем, применяя конформные преобразования, которые использованы выше. На рисунках 4а, 4б изображены линии тока фильтрации под плотиной с полукруглым флютбетом и дренажём на нём и под плотиной с плоским флютбетом и дренажём вне флютбета.

Рисунок 4а - Линии тока фильтрации под плотиной с полукруглым флютбетом

Рисунок 4б - Линии тока фильтрации под плотиной с плоским флютбетом

Рассмотрим конкретную модель течения в неоднородном грунте под плотиной. Предположим, что точечная плотина, а также границы верхнего и нижнего бьефов расположены на прямой, определяемой безразмерной координатой у = -1. Пусть вдоль бьефов заданы соответственно потенциалы фА и фВ. Пусть также безразмерный коэффициент фильтрации изменяется по закону р = у2. Отсюда следует, что коэффициент фильтрации обращается в нуль при у = 0. Однако эта особая линия лежит за пределами области фильтрации рассматриваемой задачи. При у = -¥ коэффициент фильтрации обращается в бесконечность; это означает, что грунт в данной области граничит со свободной водой. Для решения задачи о фильтрации под плотиной в этих условиях достаточно определить потенциал ф.

V = Эи = 1 Эу V =Эи = 1 Эу х Эх р Эу' у Эу р Эх '

Перейдем от ф к функции и, полагая ф = = и . Тогда и удовлетворяет уравнению Ла-

4Р У

пласа. Очевидно также, что логарифмическая точка функции ф, которая моделирует точечную плотину, является логарифмической точкой и функции и. Так как точечная плотина соответст-

*0 > г0

вует вихрю, то и следует записать в виде и = Ре—!п(г + /) = уф + С.

2р/

Вводя вспомогательные полярные координаты г = л/х2 + (у +1)2 и 8 = вг&д у +1

х

, запи

шем последнее равенство в виде

и = —8 = уф + С . 2я

Отсюда следует, что при у = 1 и 8 = 0 , функция ф постоянна и в соответствии с граничными условиями соответственно равна фА и фВ. Итак, с = -фВ , Г = 2(фе -фд), следовательно искомая функция ф имеет вид:

Положим фВ = 0, что соответствует отсчету потенциала от его значения на нижнем бьефе (8 = 0). Тогда последняя формула упростится. Найдем функцию тока этого течения:

Картина линий тока и эквипотенциалей течения приведена на рисунке 5. Сравнивая это течение с течением под точечной плотиной в однородном грунте, следует обратить внимание на значительное влияние неоднородности грунта на фильтрационный процесс. А именно: в отличие от случая однородного грунта, течение имеет резко несимметричный характер, и в области нижнего флютбета имеет место большее проникновение в глубину одних и тех же линий тока, чем в области верхнего флютбета.

Каждую из линий тока этого течения можно принять в качестве флютбета конечных размеров.

Вывод. Применение аналитических функций для вычисления комплексных потенциалов и изображения линий тока фильтрации под плотиной флютбетом и дренажём на нём находит практическое использование в гидравлических расчетах.

Список литературы:

1. Шабунин М.И. Сборник задач по теории функции комплексного переменного / М.И. Шабунин, М.И. Карлов, Е.С. Половинкин. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 362 с.

2. Захаров Е.В. Уравнения математической физики: Учебник для студентов высш. учеб. заведений / Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик. - М.: Академия. 2014. - 320 с.

ф=ф—!п^ х2 + (у +1)2 + хэго7дУ+^ - у .

/ 1

Рисунок 5 - Линии тока и эквипотенциали течения под плотиной