Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1977

№ 3

УДК 512.2:533.6.07.08

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ К ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Г. Л. Гродзовский

Рассмотрено приложение метода максимума правдоподобия к типичным задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента, характеризующегося малой относительной дисперсией определяемых параметров и малой погрешностью измерений. Проведен анализ и синтез систем оптимальной обработки данных лазерного допплеровского измерения скорости (ЛДИС), аэродинамических тензовесов и калориметров.

Для современного аэродинамического эксперимента характерна направленность на максимальное повышение информативности. Аэродинамический эксперимент (как вид физического эксперимента), естественно, характеризуется статистической неопределенностью при измерении интересующих экспериментатора величин. Шумы, сопровождающие полезную информацию, определяют погрешность измерения при заданном времени наблюдения. Методология извлечения максимальной информации в условиях статистической неопределенности подробно разработана в классических работах по теории вероятности и математической статистике, методам оптимизации и технической кибернетики (подробное изложение см. в монографии [1]). Эти фундаментальные теоретические результаты начали внедряться в различных аспектах при постановке и проведении современного аэродинамического эксперимента.

Для ряда теплофизических и других видов исследований искомый сигнал об изучаемом процессе на входе в измерительную систему связан с выходным фиксируемым (измеряемым) сигналом линейным интетральным уравнением Вольтерра I рода типа свертки (либо системой интегральных уравнений для многомерной измерительной системы). Помимо полезного сигнала измерительная сис-

тема регистрирует также шумы; поэтому задача восстановления искомого входного сигнала, как известно, является некорректной. В работах [2—5] приведены алгоритмы восстановления входного сигнала измерительной системы (для аддитивных шумов) на основе метода регуляризации. Вследствие известного характера усиления погрешностей при использовании метода регуляризации такой подход целесообразен при отсутствии достаточной априорной информации об исследуемых процессах и в ситуации, когда исследователя интересует непосредственно входной сигнал измерительной системы.

Важным аспектом приложения методов оптимального восстановления искомого входного сигнала по отклику (выходному сигналу) измерительной системы являются исследования нестационарных аэродинамичнских процессов. В работах [6—9] решена задача уменьшения динамических погрешностей измерений быстроменяю-щихся давлений, тепловых потоков и аэродинамических нагрузок путем использования квазиоптимальной фильтрации. Рациональная аналоговая и цифровая фильтрация для ослабления помех при измерении аэродинамических нагрузок в стационарном режиме исследована в работе [10]. Переходные процессы в системах измерения давления и температуры газовых потоков подробно рассмотрены в монографиях [11, 12]. В работах [13—16] метод наименьших квадратов при параболической аппроксимации использован для уточнения операции дифферецирования экспериментальной кривой в задаче определения коэффициента теплопередачи (теплового потока) по нестационарному нагреву тонкой стенки (калориметра).

Многие задачи экспериментальной аэродинамики являются параметрическими: исследователями интересуют оптимальные оценки неизвестных параметров (аэродинамических нагрузок, скоростей потока, давлений, тепловых потоков и др.), информация о которых заключена в результатах измерений. При этом в типичных ситуациях на основе фундаментальных результатов экспериментальной аэродинамики и технической кибернетики исследователь обладает достаточно обширной априорной информацией о вероятностных характеристиках исследуемых аэрофизических процессов, что позволяет эффективно применять статистические методы определения оптимальных оценок для анализа и синтеза оптимальных систем обработки данных измерительных устройств. В приложении к аэродинамическому эксперименту методология оптимальных байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия [1] была впервые успешно применена при разработке оптимальных бесконтактных лазерных допплеровских измерителей скорости (ЛДИС) газовых потоков [17—19].

Для типичных условий аэродинамического эксперимента, когда дисперсия оценки искомого детерминированного параметра (погрешность измерения) много меньше дисперсии априорного распределения параметра, оптимальная оценка параметра методом максимального правдоподобия, как известно [1], совпадает с оценками максимума апостериорной вероятности и оптимальным байесовским решением при квадратичной функции потерь. При тех же условиях (но для аддитивных шумов) оценки оптимальной линейной фильтрации Колмогорова — Винера и Калмана—Бюсси также переходят в оптимальные оценки максимального правдоподобия [1].

Известно также, что при отсутствии дополнительной априорной информации метод максимального правдоподобия является строгим решением обратной задачи математической статистики. Он является весьма результативным при оптимизации систем обработки данных аэрофизических измерительных устройств. Решение системы уравнений максимального правдоподобия, как известно [1], приводит к состоятельным, несмещенным либо асимптотически несмещенным и совместно эффективным оптимальным оценкам искомых параметров. Как будет показано ниже, в типичных задачах априори известна необходимая для метода максимума правдоподобия условная функция (функционал) распределения результатов измерений при неизвестных параметрах. Это позволяет широко использовать метод максимума правдоподобия в задачах оптимизации аэродинамического эксперимента.

1. Анализ и синтез оптимальной измерительной системы ЛДИС. Рассмотрим лазерный допплеровский измеритель скорости дифференциальной оптической схемы [20—22], в котором измерительный объем освещается двумя пересекающимися под заданным углом (предварительно расщепленными) лучами лазера. При этом освещенность в измерительном объеме ЛДИС имеет периодический характер — фиг. 1, а. Метод ЛДИС измеряет скорость пролетевших измерительный объем мелких (движущихся вместе с потоком) светорассеивающих частиц по зарегистрированному с помощью фотоприемника рассеянному этими частицами свету. Определим оптимальные оценки скорости потока (частицы) V в момент времени с помощью системы ЛДИС, фиксирующей

поток фотоэлектронов ^ 8 (¿¡) при пролете мелкой светорассеиваю-

щей частицы через измерительный объем.

Согласно данным работы [23], плотность вероятности вылета фотоэлектронов в фотоприемнике ЛДИС определяется соотношением

где А0, к,! и &2 — константы, определяемые характеристиками системы ЛДИС.

Вид функции р(Ь) показан на фиг. 1,6, а на фиг. 1, б приведен вид фиксируемой ЛДИС картины потока фотоэлектронов. Такой поток фотоэлектронов можно представить как сигнал вида (1.1) сопровождающейся мультипликативными дробовыми шумами [23, 24]. Задача оптимальной информационно-измерительной системы ЛДИС состоит в том, чтобы по зафиксированному потоку фотоэлектронов (выборке значений ¿=1, . . . , п) определить оптимальные оценки параметров V и t.i..

Рассмотрим промежуток времени (¿/_1, 1Х) между смежными вылетами двух фотоэлектронов. Выберем константу А0 в (1.1) из условия

П

р(Ь)--=А0е

[1 + соэ 2тс /г2 У(Ь — /*)],

(1.1)

(1.2)

0,25 им

Л___L

-3-2 1 0 1 2 KzV(t-tJ

Ю

Фиг. I

Плотность вероятности фиксируемого явления, заключающегося в том, что г-й фотоэлектрон, не вылетев в промежутке времени (£,•_ь ti), вылетает в момент времени составляет

_____ -/ P(t)dt

f(ti)=p(U-utlXti) = e ti~1 p(ti).

(1.3)

Совместная плотность вероятности вылета и фотоэлектронов в моменты времени tL (функция правдоподобия)

*п

п —Jp(t)dtn п

£/= ПЖ) = « <0 П Р(*/) = «-пП РШ (!-4>

¡' = 1 I-1 1 = 1

и с учетом (1.1) (1.2)

In Lt (V, i„) = const - £ {-tL У1"2- + X ln cos2 V& ~~ ^ ’5>

1 = 1

2fc\

і-1

Уравнения максимального правдоподобия для определения оптимальных оценок параметров V и будут

(1.6)

А

Согласно (1.5) и (1.6), оптимальные оценки искомых параметров л

и V определяются в результате решения системы двух уравнений

¡ = 1

А

п V ¿=1

1 Ж Ч / \ kn k і \ \ / \

’г Е (*г- ¿*)2 + —Н- X, а- - *.) tg и, у - ¿,)] - о.

(1.7)

¡=1

п V 1 = 1

Уравнения (1.7) показывают, какие преобразования должна

выполнять система ЛДИС с первичной информацией для опрел

деления с минимальной погрешностью скорости потока V. Блок-схема оптимальной измерительной системы ЛДИС приведена на схеме 1.

Фа то прием пин ЛД ИС

Часы,

öfJtMßHMÜU

интервал I

JL

Рега етратор момента. бремени, 6ы-лета. (ротоэлектро нов tj_________

Вычислитель оптималопои. ои,енки-LHopocrn'u. V л 7 п 2икгн, 71 Г * , л.

С П £ V ~^-Д, *[*'* ^ Ч

П IЛ * * /IV L-1 ,

Сх ема

Дисперсия оценки скорости потока V при использовании оптимальной измерительной системы асимптотически сходятся к известной величине [1]:

Л. ]

{1/} =

пМ

где М { } — символ математического ожидания. Видно, что ио-

Л

грешность а оптимальной оценки V обратно пропорциональна корню квадратному от числа п фотоэлектронов.

2. Анализ и синтез оптимальной системы обработки экспериментальных данных с тензовесов. В качестве примера рассмотрим однокомпонентные тензовесы, представляющие собой механическую систему с одной степенью свободы. Рассматривается ситуация, когда после момента времени t = 0 аэродинамическая нагрузка Я0 постоянна (модель в потоке установилась в новое геометрическое положение) совершаемые механической системой колебания являются малыми и пульсирующая нагрузка Яш(/) соответствует эквивалентному белому шуму. При этом пульсирующая нагрузка обусловлена как нестационарностью аэродинамической нагрузки, так и случайными вибрациями подвески (державки) модели с тензо-весами. Такая постановка является моделью процесса определения аэродинамической нагрузки /?0 с помощью тензовесов. Дифференциальное уравнение колебаний весов запишем в известной форме [25]:

у" 2Л/

ТУ ' ,,2

У

+

Яш (о

(2.1)

где /. = ß/2 т — коэффициент затухания;

ß — коэффициент трения (демпфирования); u>0 — Yk(tn — частота собственных колебаний системы в отсутствие демпфирования; k — упругость; т — приведенная масса;

.. Яш (t) *

пульсационное воздействие - k является белым шумом с корреляционной функцией .ß, (х) = АЛ08 (т);

7V0 — спектральная плотность шума;

8 (т) — дельта-функция Дирака.

Рассматриваемая механическая система аналогична единичному колебательному контуру, образованному последовательным соединением катушки индуктивности L, резистора г и конденсатора емкостью с

Lciic -f- rctic + ис = u{t), (2.1')

где ис — напряжение на конденсаторе.

Для тензовесов типична малая степень демпфирования Á <0'0 [8], что соответствует высокой добротности Q = (1>0/2/. = ш0L¡г эквивалентного контура. Таким образом, тензовесы являются типичной узкополосной линейной системой, на выходе которой случайный процесс является узкополосным нормальным [26J. Поэтому решением уравнения (2.1) является сумма статического отклонения весов, свободных колебаний и узкополосного нормального случайного процесса \(t) с известной корреляционной функцией

11, 25, 27]: "

В2 W = е~К 1"! (cos CUT + sin ш I T l); ’(*) = £(p) cos К1— »(t,}\ (2.2)

у (0 = x + ae~u cos + 6) +E W- (2-3>

где со = [/шо-- Á2; а и 6 — константы, определяемые начальными условиями в момент времени ¿ = 0; E(t) и ср (t) — случайные, медленно меняющиеся (по сравнению с cos ш0 í) функции времени.

Плотность вероятности огибающей Е (() определяется распределением Релея соответственно

М{Е\У \ В2 (0) = У ^ ; М{Е*', = 2 В2 (0) = . (2.4)

Как известно [1], при прохождении через узкополосную линейную систему произвольного достаточно широкополосного случайного процесса последний нормализуется и аппроксимируется с достаточной точностью соотношениями (2.2). Поэтому соотношения (2.2) — (2.4) можно рассматривать как решение исходного дифференциального уравнения (2.1) при достаточно произвольном характере пульсирующей нагрузки Rm(t). Величина спектральной плотности белого шума N0, эквивалентного неизвестной пульсирующей R (t)

нагрузке i согласно (2.2) и (2.4), может быть определена путем

измерения М {Е} либо М{Е2} приХ^^>1.

Колебания весов y(t) регистрируются с помощью тензодатчи-ков. Примеры реализации сигналов при ступенчатом нагружении однокомпонентных тензовесов с различным демпфированием приведены на фиг. 2. Сопоставление реализации сигнала тензовесов с дополнительным демпфером (фиг. 2, б) с типичной реализацией сигнала слабодемпфированных тензовесов (фиг. 2, а) наглядно иллюстрирует узкополосность рассматриваемой механической системы. Оптимальная информационно-измерительная система должна зафиксировать реализации (аналогичные показанной на фиг. 2, а) на заданном интервале времени 0и дать по ним наиболее

л

точную оптимальную оценку аэродинамической нагрузки R0, либо (что то же самое) при заданной погрешности произвести измерения на минимальное время.

Если параметры механической системы X и w0 зависят от условий аэродинамического эксперимента и заранее неизвестны, то задача (2.2) и (2.3) является пятипараметрической (R0, а, 6, X, ш0) и сводится к решению известной задачи оценки максимального правдоподобия параметров детерминированного слагаемого [1]:

y(t) = S{t, К »2, К »*, &6)+ &(*);

']i — Ro> *2 = «. й'з = е, = K 95 = а)о; . (2 5)

S(t, Э-) = ^—J- ae~xt cos (wt -f- 6).

Фиг. 2

л

Оптимальная оценка аэродинамической нагрузки ^ = /?0 в этом случае определяется путем решения следующей системы уравнений:

*/г

I »)[У(/) —5(/, &)]* = 0, /=1,2, 3,4, 5; (2.6)

о 1

f£(*, и)1/(к, &)йи = 8(1, 0), 0 В(/, и) = В(^ — и)=В2{^), (2.7)

и

о

где решение интегрального уравнения (2.7), согласно [27], запишем в виде:

У(и, а-) = -1 [5"' + М - 4 X2) 5" 4- 0,4 5] +2 х

Л'о “о "о

X {§ (0 [5;' + К - 4 Х2) 50 + 2 Хш2 5„] + 8 (*-**)[ - 5; - К - 4 X*) 5, + + 2 ХШ2 5,] + 8' (*) [5; - 2 ХЯ; + 5С] +

+ 8'(* - <*) [- - 2 Х5Й - 0)2 5,1). (2.7')

Рассмотрим подробнее ситуацию, когда параметры механической системы X и ш0 можно считать заданными. Уравнение (2.3) преобразуем к виду

у V) = ^ (¿) 4- 02 52 (¿) + аз 53 (0 + I (¿), (2.8)

где

ft1 = R0/k-, &2=J,o {положение весов при t = 0);

5, (¿) = 1 — е~и cos шt\ S2 (t) = e~u cos оit]

Ss(t) = e~}'t sincoi;

■&], и &3 — неизвестные параметры; S1(t), S%(t) и S8(i)—известные детерминированные процессы.

Таким образом, рассматриваемая задача сведена к решению известной задачи оптимальной оценки параметров амплитуд суммы детерминированных процессов и нормального случайного процесса с нулевым средним и известной корреляционной функцией [1]. Искомая оптимальная оценка максимального правдоподобия аэро-

Л

динамической нагрузки R0 и дисперсия а2 этой оценки составляют:

Л Л £

/?о — -= -д- [хт 1 (St22 Stзз — Stгз St32) -f Хт 2 (St к St 32 —

— StuSt33) Ч- Xt3(Sti2St23 — «Упз^ггг)]; а2 {^?о} = “о-i (2.9)

J г 11

где Д — определитель матрицы St',

fk \

Stv = J Vj (t) S, (t)dt; / = 1,2,3, ¿=1,2,3; |

° [ (2.10)

x Ti = J Vj (t)y(t)dt; г = у = 1,2,3;

J‘ В (t, и) Vj(u)du = Sl(t); / = ¿ = 1, 2, 3; 0 < t <

u) = В (t ~ m)== £2(t)>

(2.11)

где (2.7') является также решением интегрального уравнения (2.11).

Л '

Отметим, что связанные с определением R0 и о2 решения интегральных уравнений Фредгольма типа свертки I рода (2.11) и матрица (2.10) могут находиться до измерения аэродинамической нал

грузки R0. Продолжительность эксперимента /Л, обеспечивающая заданную погрешность а, определяется по второму соотношению (2.9). Аналогично изложенному могут быть рассмотрены многокомпонентные весы, весы с дополнительными датчиками информации, а также учтены другие виды шумов, например шумы электронной системы регистрации реализации у(¿).

В качестве иллюстрации на схеме 2 представлена блок-схема оптимальной системы обработки данных с аэродинамических тензо-весов в соответствии с соотношением (2.9).

3. Оптимальная система обработки экспериментальных данных для калориметров. Для определения коэффициента теплопередачи я или теплового потока ц методом измерения нестационарного прогрева (температуры Т) тонкой стенки [9, 13— 16, 28] широко используются калориметры (фиг. 3), для которых динамика процесса нагрева описывается следующими дифференциальными уравнениями:

0—Ученые записки № 3

81

Схема 2

для теплоизолированного калориметра при определении коэффициента теплопередачи

тс0 (1Т ~dt

-f- Т — Те Rmi (t)',

(3.1)

для нетеплоизолированного калориметра при определении теплового потока q и Т0 — const (аналогично и для калориметра с буферной массой)

тс0 d{T

dT

^L + (7’-7o)= + /?ш і (О-

'•Л

(3.2)

Здесь Те — температура восстановления газового потока; Р, т, с0 — эффективные значения площади, массы и теплоемкости нагреваемой тонкой стенки калориметра; >-0 — приведенное значение коэффициента отвода тепла от тонкой стенки калориметра вследствие теплопроводности; /?ш1(£) — входное пульсирующее воздействие аэродинамического характера.

Рассматриваемая тепловая система, как известно, эквивалентна интегрирующей цепи, образованной последовательным соединением резистора г и конденсатора емкостью с. При подключении к такой

а)

ТК

Копель

ю

Нихром

Хромель , Иопелй

Нихром

г)

электрической цепи э. д. с. еп изменение напряжения на конденсаторе ис определяется дифференциальным уравнением, эквивалентным уравнениям (3.1), (3.2):

гс ЧГ + uc = en(t)- (3-3)

Такая цепь является фильтром низких частот [1] с полосой про. л 1 тсп тс0 ,-г

пускания Дсо = —g- ¡1, постоянная времени — = гс = -у-2 = . Для

типичного калориметра Да> много уже характерной ширины спектра аэродинамических пульсаций; поэтому калориметр будем рассматривать как линейную систему, на вход которой аддитивно с исследуемым процессом воздействует белый шум Rml(t) с корреляционной функцией B1{i) = N1 о (т) (A/j — спектральная плотность эквивалентного белого шума).

Изменение по времени темпрературы Т теплоизолированного калориметра измеряется с помощью термопары, установленной в центре калориметра (фиг. 3). При регистрации сигнала термопары существенны шумы усилителя, которые могут быть учтены аддитивным белым шумом со спектральной плотностью No, приложенным к выходу рассматриваемой динамической системы. Будем рассматривать ситуацию, когда после момента времени t — О исследуемый коэффициент теплопередачи а (либо тепловой поток q) постоянен. Соответственно суммарный сигнал от теплоизолированного калориметра определяется суммой известных решений уравнений (3.1)

X (t) = ТЛ1 — e-v* ) + Т{ е-v* + ^ (t), (3.4)

где Тх—температура калориметра в момент времени t = О,

% (t)— нормальный случайный процесс с корреляционной функцией

Я2(Т)=^ ехр(-^|т|) +,у,8(-:).

Оптимальная измерительная система должна зафиксировать реализацию сигнала (аналогичную показанной на фиг. 3, г) на заданном интервале времени и определить наиболее точную

л

оптимальную оценку искомого коэффициента теплопередачи а. Это трехпараметрическая задача (а, Те и Т) оценки максимального правдоподобия детерминированного слагаемого, известное решение которой запишем в виде [1]:

x(l) = S(t, Ьи »2, &8)+ &(*); = ]

»2 = те, »3 = 77, S(t, %.)=Те(\-е-П-\-Т,е-^, J (3'5' *k ,

/ -¿г V{u, b)[x(t)-S(t, b)]dt = 0, / = 1, 2, 3; (3.6)

*0

fk

j* Bit, u)V(u, fr)du = S(t, 0), 0 В (t, и) = B(t — u)—B2 (t),

(3.7)

где, согласно [27], решение интегрального уравнения (3.7) имеет вид.

V(и, %■) = сх{Ъ)е-*и +с2(»)^“ +

cA*)=N¡ 1 ft-v[(P + i*)

, М+2М, е Ni+N, '

Ni -j- N2 *

2T,)e>»-T,(?-ríA,¡+K2

Ni

М + А'г

(3.8)

c2 (&)=A^¿~V[(?-H) (TeN-^^-2Т,)е^- Те^-^) k = (P - jx2) e-P« — (P + u2)2 eV* ; p* = (l + ¡x2.

Аналогичное решение имеет место для оптимальной оценки давления с учетом инерционности пневмотрассы.

Если используется нетеплоизолированный калориметр (фиг. 3) с небольшой степенью прогрева, так что можно считать измеряемый тепловой поток постоянным q — const, то, согласно уравнению (3.2), рассматриваемая оптимальная задача существенно упро-

В1 mcñ

. этом случае постоянная времени — — ~y~ априори из-

вестна; изменение по времени разности температур калориметра и модели (буферной массы) ДГ = Т—Т0 может быть измерено непосредственно с помощью дифференциальной термопары; соответственно регистрируемый сигнал запишем в виде

x(t) = q~(l -^) + A7\é?-^ + $(¿), (3.9)

где Д7’1 = Т — Т0 — начальная разность температур калориметра и модели, случайный процесс %{t) имеет ту же корреляционную функцию 5, (т). Определение оценки максимального правдоподобия

Л

q является двухпараметрической задачей определения оптимальной оценки амплитуды суммы детерминированных сигналов и нормального случайного процесса %{t)\ известное решение записывается в виде [1]:

x(t) — a1 Sj(í) + а2 St(t) + S(0; CL\ — q, a2=--ATu '

F

Sí (f) = t (1 — e~S2 (t) = e

-at

A

a ■■

Sj'Xt , 5r=||j Vt(t)S](t)dt\\, ¿=I, 2; j= 1, 2, 0

lk

|| J , /= 1, 2.

(3.10)

j B(t, и) Vi (и) du = S; (t), B(t, u) = B[i-u) = B^). (3 11)

0

Решением интегрального уравнения (3.1) также является (3.8). Оптимальная оценка q и дисперсия о2 этой оценки составляют

Л Л

q = a i =

St 99 — S

; [ (3.11)

у Т 11 ° Т 22

Т 12

З2 \q) — 1/Srii.

Схема З

Для иллюстрации приведена блок-схема соответствующей оптимальной системы обработки экспериментальных данных для калориметров (схема 3). Если N¡*^N2, то искомое оптимальное решение запишем в виде:

¿^(0; ^=¡¿1 ¿=1, 2; /= 1, 2; (3.13)

V,-

г 11 :

1)

«Уг 12 =

1

(«'

- ,

1) -

(3.14)

Если дополнительно положить а2 = ДТ1 = 0 и провести аппроксимацию начального участка экспоненты 5,(£) параболой, то приведенное оптимальное решение естественно переходит в используемый в работах [13—16] метод наименьших квадратов.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить признательность В. В. Богданову за обсуждение рассмотренной проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., „Советское радио“, 1975.

2. Кутателадзе С. С., Томсонс Я. Я. Основные соотношения электродиффузионного метода и некоторые вопросы обработки теплофизического эксперимента. В сб. „Электродиффузионная диагностика турбулентных потоков“. Новосибирск, Изд-во Ин-та теплофизики СО АН СССР, 1973.

3. К у т а т е л а д з е С. С., Томсонс Я. Я. Некоторые вопросы

автоматизации теплофизического эксперимента. В сб. „Алгоритмы обработки теплофизического эксперимента“. Новосибирск, Изд-во Ин-та теплофизики СО АН ССР, 1975.

4. Кол п А. Я. Исключение систематических погрешностей из

показаний датчиков перегрузок, угловых скоростей и давлений на

основе метода регуляризации. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5,

№ 5, 1974.

5. Воскобойников Ю. Е., Томсонс Я. Я. Выбор параметра регуляризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации. „Автометрия“, 1975, № 4.

6. Богданов В. В., Похвалинский С. М- Магнитоанизотропные датчики давления. Труды ЦАГИ, вып. 1116, 1969.

7. Богданов В. В., Похвалинский С. М. Некоторые особенности измерения нестационарного давления индуктивными датчиками. Труды ЦАГИ, вып. 1350, 1971.

8. Богданов В. В., Ромашкин С. Т. Многокомпонентные весовые измерительные системы для импульсной трубы ЦАГИ. Труды ЦАГИ, вып. 1599, 1974.

9. Б о г д а н о в В. В., Плешакова Л. А., Т р о н и н а Н. Ф. Методика измерения пиков тепловых потоков на моделях с помощью микротермопарных преобразователей. В сб. „Всесоюзный симпозиум по методам аэрофизических исследований“, Тезисы докладов. Новосибирск, Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1976.

10. Морозов Н. И, Бородин Ю. П., Кайми и Ю. В. Исследование некоторых способов ослабления помех при измерении сил и моментов. Труды ЦАГИ, вып. 1559, 1974.

И. Петунин А. Н. Методы и техника измерений параметров газового потока. М., „Машиностроение*, 1972.

12. Петунин А. Н. Измерение параметров газового потока. М., „Машиностроение“, 1974.

13. Р е п и к Е. У., Сое едко Ю. П. Нестационарные методы измерения коэффициентов теплоотдачи. Труды ЦАГИ. вып. 1073, 1967.

14. Ю ш и н А. Я. Экспериментальное исследование теплопередачи к плоскому треугольному крылу с цилиндрическими передними кромками при числах Мот = 3 и 5 в диапазоне углов атаки 0—30°.

Труды ЦАГИ, вып. 1106, 1968.

15. Юшин А. Я., Королев А. С., Б о г д а н о в В. В., П е т ун и н А. Н., Исеев Р. И., С и д о р В. П. Экспериментальное исследование теплопередачи к сегментально-коническому телу в диапазоне углов атаки от нуля до 30°. Труды ЦАГИ, вып. 1175, 1970.

16. Р е п и к Е. У., Соседко Ю. П., Шихов Л. Г. Методика ускоренной обработки опытных данных при измерении коэффициентов теплоотдачи нестационарными методами. Труды ЦАГИ, вып. 1599, 1974.

17. Г р о д з о в с к и й Г. Л. Аэродинамические исследования с применением оптимальных лазерных допплеровских измерителей скорости. В сб. „IV Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация докладов*. Киев, „Наукова думка“, 1976.

18. Абрамов Л. И., Акопян И. Г., В и т к о в с к и й В. В., ГродзовскийГ. Л., Зленко Ю. А., Кузнецов Ю. Е., Мо-зольковА. С., Петунин А. Н., Овсянников Р. Н., Скворцов В. В., Филатов А. Н., Филь В. А., Шу милки н В. Г., Ян ков В. П. Оптимальные лазерные допплеровские измерители скорости для аэродинамических исследований. В сб. „Всесоюзный симпозиум по методам аэрофизических исследований. Тезисы докладов“. Новосибирск, Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1976.

19. Аврамченко Р. Ф., Акопян И. Г., Гродзов-с к и й Г. Л., Зленко Ю. А., Овсянников Р. Н., П т и ц ы н В. Н., Семейки н Н. П., Филь В. А., Янков В. П. Принципы построения электронной аппаратуры ЛДИС. В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков“. Под общей ред. Г. Л. Грод-зовского. Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

20. Р и и к е в и ч ю с Б. С. Допплеровский метод измерения локальных скоростей с помощью лазеров. „Успехи физических наук*, г. 3, вып. 2, 1973.

21. Василенко Ю. Г., Дубнищев Ю. Н., Коронке-вич В. П., Соболев В. С., Столповский А. А., Уткин Е. Н. Лазерные допплеровские измерители скорости. Под ред. Ю. Е. Несте-рихина. Новосибирск, .Наука“, 1975.

22. Гродзовский Г. Л., Жохов В. А., Овсянников Р. Н., Орлов А. А., Петунин А. М., Скворцов В. В., Яковлев В. А., Янков В. П., Харченко В. Н., Богородская Е. П., Жебракова Г. В. Лазерное допплеровское измерение скорости потоков жидкости и газов. Под общей ред. Г. Л. Гродзовского. Обзор ОНТИ ЦАГИ, № 481, 1976.

23. Гродзовский Г. Л. Анализ точности измерений ЛДИСа. В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков“. Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

24. Зленко Ю. А. Дробовый эффект в фотоприемнике ЛДИСа. В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков“. Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

25. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика М., „Наука“, 1973.

26. Б о г д а н о в В. В., 3 и м е и к о в В. И., Ташкинов Г. Д., Левицкий Н. П. Тензометрические измерительные устройства и преобразователи сил, моментов и давлений при испытаниях авиационной техники. В сб. „Тензометрия 76. Всесоюзное совещание — Методы и средства тензометрии и их использование в народном хозийстве“. Тезисы докладов. Изд-во ИМАШ АН СССР, М., 1976.

27. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М., „Советское радио“, 1971.

28. Вашны Е. Динамика измерительных цепей. М., „Энергия“, 1969.

Рукопись поступила 201X11 1976