CC BY
243
7. Концепция новых государственных стандартов общего образования - 2007. URL: standart.edu.ru/ catalog
8. Зорина Л. Я. Программа - учебник - учитель. М.: Знание, 1989.
9. Никитин В. А. Организационные типы современной культуры: автореф. дис. ... д-ра культурологии. Тольятти; М., 1998; Новиков А. М. Методология учебной деятельности. М.: Изд-во «Эгвес», 2005.
10. Семенов И. Н., Степанов С. Ю. Рефлексия в организации творческого мышления и саморазвития личности // Вопросы психологии. 1983. № 2. С. 35-42.
11. Мурзина Н. П. Инновационное содержание образования как фактор развития субъектной позиции обучающегося // Развитие субъектов учебной деятельности в контексте педагогического управления: коллективная монография / под ред. Л. А. Ши-пилиной. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2009.
УДК 37.016:51
Н. А. Зеленина, М. В. Крутихина
ПРИКЛАДНЫЕ И УЧЕБНО-ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В КЛАССАХ ХИМИКО-БИОЛОГИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
В статье уточняются цели обучения математике в классах прикладных профилей, в частности химико-биологического, и психофизиологические особенности учащихся, выбирающих указанные профили. Формирование прикладного стиля мышления связывается с обучением действию математического моделирования путем использования прикладных и учебно-прикладных задач.
The article specifies educational objectives in teaching mathematics in applied profile classes, in particular, chemical and biological ones, and psychophysiological characteristics of the students choosing these profiles. The development of applied thinking style is connected with teaching mathematical modeling by means of applied and scientific-applied problems.
Ключевые слова: профильное обучение математике, химико-биологический профиль, цели обучения, особенности учащихся, прикладной стиль мышления, математическое моделирование, прикладные и учебно-прикладные задачи.
Keywords: Mathematics teaching profile, Chemical and Biological profile, educational objectives, students' characteristics, applied thinking style, mathematical modeling, applied and scientific-applied problems.
Одной из современных тенденций развития отечественной школы является усиление профильной дифференциации обучения. Существование классов и школ различного типа ставит перед методикой обучения, в том числе и математике, весьма специфические проблемы.
© Зеленина Н. А., Крутихина М. В., 2011
При разработке модели математического образования в условиях профильной дифференциации за основу взяты следующие направления специализации: гуманитарное, прикладное, естественнонаучное. Для отбора математического содержания в рамках каждого направления были предложены разные подходы, основанные на целях обучения, психофизиологических особенностях учащихся, различных характеристиках учебной самостоятельной деятельности школьников и др. [1] При большой потребности общества на современном этапе его развития в квалифицированных кадрах для создания и реализации новых технологий особого внимания, на наш взгляд, требует прикладное направление, ориентированное на применение математики в технике, производстве, экономике, естественнонаучных дисциплинах.
Следует отметить, что на сегодняшний день существуют специальные учебные пособия по математике для гуманитариев и для учащихся, изучающих этот предмет углубленно. Особенности обучения математике для профилей прикладного направления исследованы недостаточно, что проявляется, в частности, в отсутствии соответствующих методических материалов как для школьников, так и для учителей. Причины такого явления объективны. Прежде всего, это многообразие и различный характер профилей, входящих в прикладное направление. К нему относят экономический, биолого-химический, медицинский, технологический профиль с различными специализациями и т. п. При этом обратим внимание, что количество недельных часов, отводимых учебным планом на изучение математики в этих профилях, значительное. В качестве второй причины отметим тот факт, что прикладной профиль часто выбирают учащиеся, которых нельзя отнести ни к гуманитариям, ни к той категории школьников, у кого ярко выражены математические способности.
Укажем некоторые особенности, характерные для учащихся, выбравших для обучения профили прикладного направления. Решая задачи с практическим содержанием, эти ученики видят явления, описанные в задаче, и оценивают текст с позиции соответствия реальной действительности. Первоначальный анализ задачи происходит на содержательном уровне, после чего большая часть школьников могут перевести ее на математический язык. Существенным отличием от учащихся математических классов является то, что практически за математическими выкладками не наблюдается потери содержания. Математические рассуждения учащиеся прикладных профилей чаще выстраивают развернуто, хотя и в меньшей степени, чем гуманитарии. Наиболее удачным вариантом мотивации для этих школьников является постановка проблемы на матери-
але профилирующего предмета или имеющегося опыта. Большой интерес у учеников вызывает историко-научный материал, особенно процесс развития самого научного знания и применение математики в других областях человеческой деятельности. Названные особенности, безусловно, влияют и на подбор прикладных задач, и на методику работы с ними.
Выше было указано, что отбор содержания дисциплины при обучении в профиле определяется также целями ее изучения. К наиболее значимым целям изучения математики в рамках прикладных профилей следует отнести:
1. Овладение комплексом математических знаний, умений, навыков, необходимых для изучения дисциплин, наиболее значимых в выбранном профиле, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.
2. Формирование научного мировоззрения, показывающего фундаментальную роль математики в развитии естествознания, экономики и других областей человеческой деятельности.
3. Развитие правильных представлений о характере и специфике описания математикой явлений окружающей действительности, связанных с понятиями математической модели и математического моделирования.
4. Формирование элементов прикладного стиля мышления, который характеризуется некоторыми специальными умениями.
Для достижения названных целей, прежде всего, отметим необходимость явного включения в содержание различных учебных предметов элементов математического моделирования, ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий модели и моделирования, овладением моделированием как методом научного познания и решения практических задач. Эта необходимость связана с формированием у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, с более осмысленной и продуктивной научной деятельностью. Действительно, математическое моделирование в настоящее время становится неотъемлемой частью деятельности специалистов, использующих в своем труде математический аппарат в качестве инструмента при решении тех или иных задач. Понятия «математическая модель» и «математическое моделирование» в явном виде широко используются в современной науке и на производстве. Все это говорит о том, что представления о математическом моделировании как методе решения задач, возникающих на практике, в настоящее время приобрели общекультурную и общеобразовательную ценность. Кроме того, решение прикладных задач показывает применение математики в практической деятельности, что при современном падении
интереса к предмету для многих учащихся является существенным мотивом при ее изучении. Особенно актуальны названные аспекты для классов прикладного направления.
Умения, характерные для прикладного стиля мышления, формируются при решении прикладных и учебно-прикладных задач. Под прикладной задачей мы понимаем задачу, поставленную вне математики и решаемую математическими средствами [2]. Поскольку использование таких задач в курсе математики средней школы в большом объеме затруднительно, представляется целесообразным предлагать учащимся учебно-прикладные задачи, при решении которых процесс математического моделирования выполняется частично.
Рассмотрим некоторые возможности использования прикладных и учебно-прикладных задач при изучении математики в классах химико-биологического профиля.
Прежде всего, отметим, что изучение математики в классах химико-биологического профиля имеет прикладной характер, поскольку, с одной стороны, математика для химиков, биологов, экологов является аппаратом для изучения основных профильных дисциплин, с другой стороны, будет в их профессиональной деятельности инструментом для описания реальных явлений, результатов опытов и экспериментов, а также решения некоторых производственных задач.
Анализ специальной литературы показывает, что в биологии, химии, экологии, медицине важное место занимают количественные описания реальных процессов и соответствующие им количественные модели, а также методы обработки экспериментальных данных. С этой точки зрения представляется важным сформировать у учащихся две группы умений: 1) моделировать реальные процессы (строить математические модели); выбирать алгоритм или математический метод для решения конкретной задачи; 2) корректно проводить экспериментальные исследования; грамотно оценивать и обрабатывать результаты измерений и вычислений.
Существенную роль в формировании умений второй группы играет изучение элементов математической статистики. Умения же первой группы формируются преимущественно в процессе решения прикладных и учебно-прикладных задач.
Решение таких задач «требует определённых умственных навыков, определённого склада ума, который мы в повседневной жизни называем здравым смыслом. <...> Привить здравый смысл и полезные умственные навыки не так уж просто, -но если учителю математики удалось этого добиться, то тем самым он оказал реальную услугу своим учащимся, чем бы они в будущем не занимались» [3]. Одной из особенностей работы над такого рода задачами является привлечение к их
решению так называемых рациональных рассуждений [4]. Такие рассуждения допускают отступление от строгой логики. В них используются нестрогие определения, «размытые» понятия, допускается частичная замена дедуктивных умозаключений умозаключениями, основанными на здравом смысле, аналогии, неполной индукции, физических соображениях. Необходимость в таких рассуждениях определяется различными практическими соображениями, возникающими при решении прикладных задач. Рациональные рассуждения меньше схематизируют и идеализируют действительность, чем дедуктивные умозаключения чистой математики, следовательно, они больше подходят для анализа реальных фактов и ситуаций.
Рациональные рассуждения используются на всех этапах применения математики к решению практических или прикладных задач. Этап формализации напрямую связан с рациональными рассуждениями, поскольку выделение математической сущности исследуемого реального процесса осуществляется на уровне правдоподобия. Математическая модель, по существу, представляет собой гипотезу. Адекватность модели проверяется посредством интерпретации полученных результатов, то есть их сопоставления с исходной реальной ситуацией. Такого рода рассуждения используются и на внутримодельном, то есть собственно математическом этапе. С их помощью добиваются согласованности между степенями точности этапов формализации, внутримо-дельного решения и интерпретации, осуществляют выбор метода исследования математической модели, производят корректировку уже построенной модели, её уточнение.
При подборе прикладных и учебно-прикладных задач необходимо также учитывать следующие их особенности. Поскольку любая практическая ситуация характеризуется большим количеством условий, то для построения математической модели необходимо осуществить выбор величин и их значений, которые являются существенными для описываемого процесса. Фактически речь идет об использовании задач с лишними и недостающими данными. Желательно, чтобы способы задания исходных величин и источники получения недостающих значений этих величин были различны (график, таблица, справочник, жизненный опыт и т. п.). Больше внимания также следует уделить переводу решения, полученного на внутримодельном этапе, на естественный язык, на котором была сформулирована задача, т. е. интерпретации.
Немаловажной составляющей процесса обучения решению прикладных и учебно-прикладных задач в классах химико-биологического профиля является также специфическое содержа-
ние таких задач. Наибольший обучающий эффект имеют в этом случае задачи, описывающие реальные химические, биологические, экологические процессы как наиболее близкие и понятные учащимся этого профиля.
Приведем примеры некоторых учебно-прикладных задач, которые могут быть использованы при изучении тем «Производная», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Дифференциальные уравнения».
К первой группе относятся задачи, которые используются при введении новых математических понятий. Эти задачи отличаются простой моделью и направлены, прежде всего, на умение интерпретировать полученные математическими способами результаты. Примеры следующих задач служат формированию у учащихся представления о производной как о скорости изменения функции в данной точке.
Задача 1. Пусть т = т^) - количество некоторого вещества, вступившего в реакцию к моменту времени t. Задайте формулой скорость протекания химической реакции в данный момент времени t.
Решение. Скорость V протекания химической реакции в данный момент времени t выражается формулой V = m'(t).
Задача 2. Пусть функция ( = f(t) описывает концентрацию некоторого лекарства в крови в момент времени t. Какую величину будет описывать производная этой функции f '(t). в момент времени Пусть концентрация в крови некоторого лекарства А описывается функцией
1
—1 2
трации А в момент времени tg.
. Найдите скорость изменения концен-
Решение.
■ГШ-
2
_1 2
Необходимо обсудить с учащимися полученное значение скорости, а именно: что означает тот факт, что скорость не зависит от времени и отрицательна. С точки зрения рассматриваемой
1
в задаче ситуации полученное значение ^мгн.
показывает, что концентрация лекарства А в крови убывает с постоянной скоростью.
Задача 3. Пусть р = р^) описывает размер популяции бактерий в момент времени t, тогда V = p'(t) - скорость роста популяции в момент времени t. Определите скорость роста популяции в момент времени t0 = 5 ч, 10 ч, если популяция в момент времени t насчитывает p(t) = 3000 + 100^ особей. Сравните полученные значения и сделайте выводы.
Решение. Скорость роста популяции в момент времени t равна p'(t) = 200t. При t0 = 5 ч по-
лучаем V = р'(5) = 1000 особей в час, при t0 = 10 ч - 2000 особей в час. Со временем скорость роста популяции увеличивается.
Вторая группа объединяет задачи, не требующие построения математической модели, но предполагающие работу с этой моделью. Такие задачи могут быть использованы на этапе закрепления знаний, уроках решения задач, при осуществлении контроля.
Задача 4. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции растёт по закону /КО = 1000+ 2 , где
t $ 0 выражено в часах. Найти наибольший размер популяции за сутки.
Решение. Исследуем на наибольшее значение
+ -
1000i
на промежутке
функцию /7(0 = 1000 100 + f2 [0; 24]. Найдём производную и критические точки
, _ 1000(100+;2)-2ыооо; _ iooo(ioo-f2) (l00 + i2J (lOO + i2)
p'(t) = 0ol00-t2 =0 . Отсюда, tt = -10,
t2 = 10. В заданный промежуток [0; 24] входит критическая точка t = 10. Найдём значение функции в критической точке и на концах промежутка: p(0) = 1000, р№ = Ю00 + =1050 ,
/>(24) = 1000+ 10°°-24 ,1036
Таким образом, наибольших размеров популяция достигнет через 10 часов и будет насчитывать 1050 бактерий.
Хотя формально в этой задаче формула, выражающая численность популяции, известна, математическая модель требует уточнения: в тексте в явном виде не указан промежуток, на котором исследуется функция. В некотором смысле эту задачу можно считать простейшей задачей с недостающими данными.
Задача 5. Реакция организма на введённое лекарство может выражаться повышением кровяного давления, уменьшением температуры тела, изменением пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Предположим, что x обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции y описывается функцией y = R(x) = x2(a - x), где a - некоторая положительная постоянная. При какой дозе введённого лекарственного средства реакция организма максимальна?
Решение. Найдём первую и вторую производные функции y = R(x) = x2(a - x). Имеем R'(x) = 2ax - 3x2, R''(x) = 2a - 6x. Так как
- корень уравнения Я'(х) = 0 и
2 2
, то - тот уровень дозы,
который даёт максимальную реакцию организма на введение данного лекарства.
При обсуждении задачи и поиске решения необходимо сравнить данную задачу с предыдущей и установить существенное различие: в задаче 5 промежуток, на котором исследуется функция, не задан ни в каком виде. Анализ текста показывает, что таким промежутком будет полуинтервал . Исследование функции на таком промежутке опирается уже на другую теорему.
Задача 6. Газовая смесь состоит из окиси азота (N0) и кислорода (02). Требуется найти концентрацию 02, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.
Решение. В условиях практической необратимости скорость V реакции 2N0 + 02 = 2N02 выражается формулой V = кх2у, где х - концентрация N0 в любой момент времени, у - концентрация 02, к - константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих компонентов. Концентрацию газов выразим в объёмных процентах. В этом случае у = 100 — х и V = кх2(100 - х). Очевидно, что 0<х<100. Производная v'(х) = к(200х - 3х2) между 0 и 100 имеет единственный корень ^ = ^«66,67. Далее
имеем v''(х) = к(200х - 6х), ^'(х1) < 0 , то есть в точке х1 рассматриваемая функция имеет максимум. Следовательно, скорость V реакции наибольшая, когда х « 66,67% и у « 33,33% .
Для решения этой задачи учащимся необходимо воспользоваться сведениями, известными из курса химии, и самостоятельно определить промежуток измерения х. Задачу 6 можно считать прикладной, так она сформулирована таким образом, как обычно это происходит на практике, и содержит в формулировке очень мало данных.
Приведем примеры аналогичных задач, которые могут быть использованы для самостоятельного решения.
Задача 7. Больному делается инъекция в момент времени t = 0. Концентрация этого лекарства в крови в момент времени t описывается зависимостью у(1:) = е-1 - е-31. Какова наибольшая концентрация лекарства в крови была в течение двух первых часов?
Задача 8. Количество бактерий в популяции
изменяется по закону
1+0Де'
, где t из-
меряется в днях. Каково наибольшее и наимень-
шее количество бактерий было в популяции за промежуток времени от нуля до трёх дней?
Третья группа состоит из задач, решение которых требует построения математической модели и соответствующей работы с этой моделью.
Задача 9. Скорость охлаждения раствора на воздухе пропорциональна разности между температурой раствора и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20 °С. Известно, что в течение 20 минут раствор охлаждается от 100 °С до 60 °С. Определить закон изменения температуры © раствора в зависимости от времени I.
Решение. Согласно условию задачи имеем £ЙЭ / \
, где к - коэффициент пропорцио-
0-20 dt
20к ^ к I П20
, или , и, следовательно,
1 i20
воды и вытекает 20 л смеси. Определить, какое количество соли останется в резервуаре через t мин, предполагая, что смесь мгновенно перемешивается.
Решение. Пусть x - количество соли в резервуаре в момент времени t, -dt - количество соли, выходящее из резервуара за время dt (знак минус обусловлен тем, что x - убывающая функция времени). Объём смеси в резервуаре в момент времени t равен v = 100 + 30t - 20t = 100 + 10t, поэтому концентрация соли (количество соли, содержащейся в одном литре смеси) в
X
момент времени t будет равна jQO + lOi . Следовательно, за короткий промежуток времени dt ко-
1 d® -
, или
нальности. Отсюда,
, и, значит, 111(0-20)=^ + ^ , что даёт
(У — 21)
и, следовательно, © = 20 + Сек> .
Для определения С используем начальное условие: при I = 0 © = 100. Отсюда, С = 80, поэтому © = 20 + 80ек(. Коэффициент пропорциональности к определяем из дополнительного условия: при I = 20 © = 60. Отсюда, 60 = 20 +
личество соли уменьшится на
•20dt . По-
100+ 10*
лучаем дифференциальное уравнение:
20 xdt Ixdt
, или . Разделяя пере-
100 + lûi
менные и интегрируя, получаем
dx 2dt
, далее
х = -
Итак, искомая функция
Задача 10. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна наличному его количеству х. Первоначальное количество фермента а в течение 1 ч удвоилось. Во сколько раз оно увеличится через
3 ч?
Решение. По условию задачи дифференциаль-¿х:
ное уравнение процесса ( - коэффи-
циент пропорциональности) с начальными условиями х = а при t = 0. Разделяя переменные, а
сЬс , , ,
затем интегрируя, получаем , 1п х =
Ш + 1п С, что после потенцирования даёт х = Сек'. Отсюда, используя начальные условия, находим х = аек'. Коэффициент пропорциональности к определяем из дополнительного условия: при t = 1 ч х = а. Имеем 2а = аек, или ек =
2. Поэтому х = а-21 , откуда при t = 3 ч х = 8а.
Следовательно, количество фермента через 3 ч увеличится в 8 раз.
Задача 11. В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси, каждую минуту поступает 30 л
х 10 + ?
1п х = -2 1п(10 + ^ + 1п С, и, следовательно, С
(10 + г)2 . При t = 0 х = 10, поэтому С = 100.
Таким образом, закон изменения количества соли (кг), находящейся в резервуаре, в зависимости от прошедшего времени t (мин) задаётся форму-_ 1000 лой х~(ю+1у .
Из последней формулы, зная количество соли, оставшейся в резервуаре (последнее легко установить, измеряя объём резервуара и концентрацию соли в нём), можно определить, сколько времени прошло от начала процесса. На этой идее основано вычисление возраста морей и океанов.
Задачи этой группы, имеющие более сложные модели и требующие, соответственно, более глубокого их осмысления на этапах формализации и интерпретации полученных результатов, можно найти в [5]. Наиболее целесообразной формой работы с задачами этого уровня являются проводимые совместно с учителями естествознания уроки одной задачи, которые позволяют путём привлечения знаний учащихся по биологии, химии, экологии, математике более глубоко раскрыть межпредметные связи этих дисциплин, сформировать у учащихся правильные представления о характере и специфике описания средствами математики явлений и процессов окружающего мира.
Примечания
1. Смирнова И. М. Профильная модель обучения математике // Математика в школе. 1997. № 1. С. 3236; Башмаков М. И. Уровень и профиль школьного математического образования // Математика в шко-
ле. 1993. № 2. С. 8-9; Шкильменская Н. А. К вопросу отбора математического содержания для профильных курсов // Профильная школа. 2009. № 9. С. 19-24.
2. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990.
3. Пойа Д. Математическое открытие / пер. с англ. М.: Наука, 1970. С. 313.
4. Овезов А. Особенности рассуждений в приложениях математики // Математика в школе. 1991. № 3. С. 45-49.
5. Баврин И. И. Высшая математика: учебник для студ. естественнонауч. спец. пед. вузов. 3-е изд., стер. М.: Изд. центр «Академия», 2003; Баврин И. И. Начала анализа и математические модели в естествознании // Математика в школе. 1993. № 4. С. 43-48.
