Приближенный расчет спутных отрывных вязких течений с замкнутыми рециркуляционными зонами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том ХХИ 1991 М5

УДК 532.526.5

ПРИБЛИЖЕННЫЙ расчет спутных отрывных ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ С ЗАМКНУТЫМИ РЕЦИРКУЛЯЦИОННЫМИ ЗОНАМИ

А. В. Пилюгин

На примере предельно упрощенной схематизации плоского отрывного обтекаиия обратного уступа исследована возможность применения комбинированной модели, включающей невязкую зону с постоянной завихренностью, к расчету поля скорости, линий тока и донного давления. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными работы [1].

Дан анализ недостатков предложенной комбинированной модели, на основе которого выдвинуты необходимые требования, предъявляемые к моделям с более высокой степенью приближения к действительности.

Одной из простейших моделей плоского отрывного течения является модель со стационарной вихревой областью во внешнем потенциальном потоке. Эта модель в истории развития гидродинамики сыграла определенную роль и заслужила некоторое внимание в связи с тем, что при малой вязкости жидкости и в стационарном ламинарном течении области отрыва приближенно можно считать областями с постоянной завихренностью, так как такое течение строго удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса, пограничные же области утоньшаются как ^|/2. Такая модель отрывного течения невязкой жидкости, как предельная при R оо исследовалась при обтекании вырезов и лобовых частей плохообтекаемых тел с аэродинамической иглой. В данной работе исследуется возможность включения подобной модели в схему расчета спутного течения за обратным уступом.

Экспериментальные исследования показывают, что поле течения за уступом условно можно разбить на пять зон (рис. 1).

Зона / принадлежит области течения слабой интенсивности, которая характеризуется низким уровнем динамического напора. В этой области полное давление в прямом токе течения практически равно полному давлению в обратном токе тчения. Физический тип течения — низконапорная часть рециркуляционной зоны, поддерживающая баланс массы в слое смешения.

Зона /1 — внутренняя часть слоя смешения, входящая в рециркуляционную зону. Характеризуется тем, что полное давление как в прямом, так и в обратном токе течения ниже максимального статического давления в области присоединения слоя смешения. Последнее условие, известное в литературе как условие Корста, очевидно, гарантир^ непопадание жидкости из зоны /1 в зону 1/1.

Зона 1/1 — внешняя часть слоя смешения, несущая импульс даль -му следу. Условие преодоления неблагоприятного градиента давления области присоединения характеризуется более высоким уровнем по." юго давления в прямом токе течения по сравнению с уровнем статического давления.

ВГ

^на /V — рециркуляционная область придонного течения с резко выраженными границами. Характер течения обусловлен силами турбулентного и вязкого напряжений на твердой границе и в прилегающем слое смешения.

Зона V — область внешнего невязкого потенциального течения. Характеризуется восстановлением полного давления в прямом токе течения до уровня полного давления в невозмущенном течении.

В рамках такой схематизации расчет ближнего течения за плоским у^упом представляет собой расчет свободного турбулентного слоя смешения с самоиндуцированным градиентом давления, который обусловлен рециркуляционным движением жидкости, поддерживающим необходимый баланс массы в низконапорной части слоя смешения. По протяженности отрывное течение за уступом условно делится на три участка (рис. 1). На начальном участке длины /о И, (Н — высота уступа) характер течения определяется в основном свободным развитием оторвавшегося турбулентного слоя смешения. Промежуточный участок длины Л Hs является участком самоиндуци-рованного градиента давления, что обусловлено необходимостью поддержания баланса массы. жидкости, эжектируемой через нижнюю границу турбулентного слоя смешения на начальном участке отрывной зоны. Характер течения определяется разворотом на 180° течения во ' внутренней зоне турбулентного слоя смешения. Замыкающий участок (х > хр) представляет изобаричную «следовую» область течения, характеризующуюся восстановлением статического давления до уровня статического давления невозмущенного течения. Течение на замыкающем участке не оказывает обратного влияния на формирование ближнего спутного течения за уступом.

Рассмотрим начальный участок развитого турбулентного слоя смешения (контур PQNM рис. 1), PQ — линия тока невозмущенного. потенциального течения, — внешняя граница начального участка слоя смешения, 5# — разделительная (нулевая) линия тока (граница рециркуляционной зоны на начальном участке слоя смешения), 50 — внутренняя граница начального участка слоя смешения. Сечение QN (координата хо)— сечение разворота низконапорной струи. Начало декартовой системы координат помещено в угловую точку 5. Течение в начальной области развития слоя смешения считается практически изобаричным. В ' первом приближении на начальном участке развития (контур 510) слой смешения описывается системой уравнений плоского пограничного слоя [2].

где т = — и'и' — турбулентное касательное напряжение, для определения которого воспользуемся эмпирической моделью Прандтля:

Течение, на всем начальном участке развития слоя смешения, за исключением сравнительно малого, по размерам переходного участка (ls/io 1), считается близким к автомодельному, но это означает, что в модели турбулентности L = сх. В этом случае общее решение определяется следующими выражениями [2]:

Здесь, и в дальнейшем, полагаем, что все геометрические размеры отнесены к высоте уступа, все компоненты скорости — к скорости невозмущенного потока. Для определения пяти неизвестных — трех постоянных С|, с2, Сз и двух автомодельных констант ф! и ф2, определяющих соответственно верхнюю и нижнюю границы струйного пограничного слоя,— Толмином .

на границе 5Ь: ^'(ф2) = 1; ^(ф2) = ф2; /"(ф2) = О;

на границе 50: /'(фО = О; /'(фО = 0.

Первые три условия вытекали из сшивки турбулентной зоны с верхним однородным потоком, оставшиеся два — из условия сшивки турбулентной зоны с нижним затопленным пространством.

Главным отличием искомого решения от решения Толмина является то, что развивающийся на начальном участке слой смешения за счет разворота определенной части своих слоев испытывает обратное влияние со стороны участка самоиндуцированного градиента давления. Выясним, как изменится постановка граничных условий на нижней границе слоя смешения 50.

Путь ^ — автомодельная граница нулевой линии тока 5Я, которая отделяет внутреннюю рециркуляционную зону от внешней: Р(^) = 0. Пусть хо — координата контрольного сечения QN при переходе от начального участка к участку разворота струек тока на 180°. Количество жидкости в рециркуляционной зоне определится как:

Поскольку точка уо = ахоф! в сечении хо является осью разворота струи, то с учетом изобаричности на начальном участке изменение полной энергии поперек рециркуляционной зоны составит

Зона рециркуляционного течения, поддерживающая необходимый баланс массы, является зоной низкоскоростного движения, причем количество рециркулирующей ^жидкости мало [1], т. е. /1Я, •< 1. С учетом

Этого обстоятельства приближенно получ '

1jJ = axF(rp); u = F'(rp); v = a[rpF'(rp)- F(rp)];

F(rp) = СіГ'Р + c2i!'P/2 cos (";3 /2(р) + сзе'Р/2 sin (";3 /2rp); rp = у/ах; а3 = 2с2; rpi < rp < rp2.

А", = ахо {F(rpo) -F(rpi)) = — axoF(rpi).

ДЯ= 1/2{[Р(фо>]2- І^(фі)2} = 1/2[Ифо)]2.

АН А*

Поскольку на начальном участке поперечная компонента средней скорости V много меньше продольной компоненты средней скорости и, то с учетом изобаричности из условия баланса импульса по контуру SRNM в первом приближении получаем:

\ u2dy = \ u2dy.

OR NO , '

^куда сразу же следует условие сохранения полной энергии среднего движения в рециркуляционной области R WN, но тогда в квазине-вязком приближении течение в этой орласти является равномерно завихренным [4]

= 00("1') = wnst, (1)

причем уравнения движения интегрируются и имеют первый интеграл вдоль линии тока

Н(ф) = -Н- + - — = const,

из которого сразу же следует, что профиль скорости в прямом токе на участке OR в точности равен профилю скорости в обратном токе на участке NO, взятым с противоположным знаком.

Действительно, так как -Ц-С 1, то и(хо, ф) « , откуда

♦> -4». ♦«) - (± ( д Л-,.| ■

где yR= у(хо, 0) — ордината нулевой линии тока SR в сечении хо, • Уо = У(хо, 'Ф«) — ордината оси разворота 0. Из последнего равенства следует yR — Уо= Уо. В автомодельных переменных это условие принимает вид:

1

ахо =

«ро— 2«Р |

(2)

Кроме того, условие (1) в автомодельных переменных . в сечении фМ запишем следующим образом:

1 [ F'(<<po)] 2 1

F(m\ = W-

^(ф.)

Таким образом, влияние зоны обратных токов на начальный участок автомодельного развития слоя смешения определяется граничным условием

^"М^ы + 1/2 [Р(еро)] 2 = о.

Следовательно, для определения трех констант сь с2, Сз и трех автомодельных ординат ф1, еро, ер2 имеем шесть граничных условий:

*}

Р(ер2) = 1; Р(ер2) = ер2; Р"(ер2) = 0; Fffio) . =

Р'( epi)Р( epi) + 1 /2 [Р(еро)] 2 = 0; Р( epi) = 0. Г (3)

В результате решения этой трансцендентной системы получим:

Ci = 0,1, с2 = 0,085, Сз = 0,695, ер1 = -079, еро = — 0,493, ер2 = 1,1.

1-

— решение Тйлмина

— 11 с попраЬкоі на рециркуляцию

(д*--0)

1,0 ґ(щі)

Рис. 2

На рис. 2 представлены переменная составляющая полной энергии 1/2 [Р' (Ч')) 2 и автомодельная завихренность Р"(Ч') в виде зависимостей от автомодельной функции тока Р( ф). Смысл такого представления поясняет тождество

Р"(Ф) = 1 2 >

с1{Р( <р)>

которое является автомодельным аналогом уравнения (1 ) . Рис. 2 наиболее полно отражает физические особенности решения Толмина и решения с рециркуляционной зоной. В частности, количество жидкости эжектируемой из затопленного пространства на порядок больше количества жидкости, эжектируемой из рециркуляционной зоны.

Скорректируем систему граничных условий (3) с учетом взаимодействия слоя смешения с пограничным слоем на срезе уступа. Предполагаем. что на всем начальном участке с характерным продольным размером /0 за исключением сравнительно малой переходной области течения с характерным продольным размером /*(/.//о ^ 1). течение в слое смешения является автомодельным. Из условия баланса массы по контуру PQRS имеем:

$ ^у= $ ийу,

SP ЯЯ

левую часть которого преобразуем следующим образом:

_ и-“у=1 (--.!-'У!>=—*•*•

SP SP о 4

где 6* — толщина вытеснения пограничного слоя на срезе уступа. Правая часть с учетом автомодельности принимает вид:

С учетом (2) получаем скорректированное граничное условие

Р(ф2) = Ч'2 — 6?(ф0 — 2Ч'|).

которое является более общим по сравнению с условием Р( !Р2) = !р2 из системы граничных условий (3). На рис. 3 представлены различные характеристики слоя смешения в зависимости от б:". Отметим, что если

1,5

-о,$

Ъ Ч>о

Рис. 3

количество жидкости участвующей в рециркуляционном движении, толщина вытеснения импульса в контрольном сечении NQ( б**(хо) ) с ростом толщины вытеснения, на срезе уступа возрастают, то средняя завихренность в рециркуляционной зоне падает, в том время как скорость на нулевой линии тока остается неизменной Vк ~ 0,2. ,

Кроме того, как следует из поведения автомодельных границ слоя смещения, «турбулентный клин» сдвигового течения сильнее «доворачивается» в сторону набегающего потока.

Перейдем к рассмотрению течения на участке самоиндуцированного градиента давления. Как мы уже установили, . .

и тонком прилегающем. слое ОНОWR можно приближенно считать равномерно завихренным. Количество жидкости в этом слое определяем приближенно из того условия, что отклонение завихренности на линии тока йН■ от значения завихренности в рециркуляционной зоне {2К не превышает 4 %. На рис. 2 этому будет соответствовать такое значение Р(ф), при котором Р"(ф) отклоняется на 4% от касательной, проведенной к кривой завихренности в точке, соответствующей нулевой линии тока. Условие (2) позволяет определиться с физическими ха-рактерстиками в сечении NQ. Таким образом, в низконапорной части слоя смешения ' на участке GНОN среднее движение описывается уравнением Пуассона:

причем в сечении NQ 'Ф(Хо, у) определяется из условия сшивки с зоной автомодельного развития слоя смешения. Решение уравнения (4) определяется характером течения в окрестности точки присоединения хш. Асимптотика течения в малой окрестности точки присоединения получается из разложения функции тока в ряд Тейлора. Учитывая, что

и отбрасывая в разложении все члены порядка малости, следующие за первыми ненулевыми, получим:

(4)

и(х, О) = — 'Фх (х, О) = О; Их (х, О) = — 'Ф**(х, 0) = О; Ы(Хи.о) = 'Фу(Хш, О) = О

Ч> = 'Ы**, о)у2 + 2гМ**.о)(* - хт) у, (5)

откуда

*х- - *■>± ТТГТ^/(*-‘У+¥^'»

▼щЛ *» ^ Ч,#Д‘Гш» Ц1 у 1|>5у(Х», 0)

У (х> О) — представляет собой две прямолинейные асимптоты: у,(х, О) = О; у2(х, О) = - 0) (ХГХ..

и, таким образом, угол присоединения составит

в-“а г ** {- } • (6)

Из уравнения (4) и условия непротекания получим фуу(х"" , О) = £}*, тогда из (6) следует утверждение: величина угла присоединения

меньше 90°, если завихренность в точке присоединения не равна нулю. Функцию тока в области постоянной завихренности будем искать в виде суммы двух функций, первая из которых удовлетворяет уравнению Пуассона:

^4-Л!0._о (7)

(8)

граничным условиям

е(*о, О) = О; 6(хо, у^ = О;

а;-(Х О) = О; а;а;(Х.. о) = О; а;(Хо, У) = О

и имеет асимптотику в окрестности точки присоединения, описываемую уравнением (5). Решенйе 0(х, у) ищем в виде полинома:

6(х, у) = ао + а\у + а2у2 + азу3 + Ь1ух + Ь2у^.

Неизвестные коэффициенты полинома находим, удовлетворяя уравнению (7) и условиям (8). Вторая функция удовлетворяет уравнению Лапласа:

и граничным условиям

д. (х. 0) = 0; д. (х.. О) = о, х(*о, У) = "'(Хо, у) - е(хо, у).

Решение х(х> у), удовлетворяющим всем этим ' условиям, является функция

%(х-у) = ^а'ЖК^^-У-

К = (т= 1,2, ... ); (9)

Yl

. flm = —J {'i'(*o, у) - 6(хо, у)} sinA.mydy;

О

"'(x, у) = 0(х, у) + х(х, у) .

Нетрудно проверить, что (9) является искомым решением в диапазоне 'i'R ^ 'Ф ^ 'Ф2; Хо < х < 2х", — хо. Задавая значения 'Ф, х, из (9) определяем у('Ф, х), дифференцируя выражение (9) по х и у, получаем соответственно выражения для поперечной и продольной компоненты скорости.

Вихревой слой LTHG принадлежит к напорной части слоя смешения ('Ф^ < 'Ф ^ 'Фе). Будем считать участок h коротким, что позволяет пренебречь потерями полной энергии в этом вихревом слое, т.. е. считать, что Н('Ф) = const, кроме того, будем пренебрегать поперечным градиентом давления в силу малой кривизны линий тока, лежащих в этом слое. Тогда, в рамках этих предположений получаем:

и2(х, "') — и2(х, = и2(хо, "') — и2(хо, "'¿) = const,

откуда

и(х, "') = л/и2(х, 'Ф^) + и2(хо, 1J7) - u2(x0,^l) ;

у(х-"')={i£rw-

'l>L

Длина участка самоиндуцированного градиента давления будет определяться условием восстановления статического давления, что в силу условия #(",) = const означает восстановление величины скорости до первоначального значения в сечении хо, откуда следует, что б**(хо) = б**(хр).

В зоне 1 (контур SONM) течение полагаем квазиодномерным, профиль скорости аппроксимируем кусочно-линейной функцией в виде прямоугольного трапециевидного профиля . (рис. 4), . причем острый угол при вершине определяется из условия сшивки на нижней гоанице слоя смешения

и(х, Л) = О, (/1=1+0X45,),

ТТ(*.Л) = _- ' ■

ду 4 ' ах

а высота трапеции (т. е. максимальная скорость в обратном токе) условием баланса массы

h

j«(x, y)dy = axF(<<P,).

о

Таким образом, зона обратных токов условно разделена на два слоя: завихренный и потенциальный. При х -+ О потенциальное ядро подавляет завихренный слой и вырождается в застойную зону, при х хо, наоборот, завихренный слой подавляет потенциальный, и течение в рециркуляционной зоне становится равномерно завихренным.

В модели отрывной зоны фигурируют две эмпирические константы: координата точки присоединения х'" и постоянная турбулентной модели а, связанная линейно с коэффициентом углового расширения Ь = а(<<Р2 — — «pi). Если известны из эксперимента координата точки присоединения и величина угла присоединения, эмпирическая константа турбулентной модели подбирается таким образом, чтобы величина расчетного угла,. определяемого выражением (6), в котором функция тока задается выраже-

О О 0 о 0,5 и/и пах

Рис, 4

а)шнии тока (эксперимент [1])

Юлинии тока (тдельное решение)

Рис. 5

нием (9). соответствовала своему экспериментальному значению. На рис. '4 приведены расчетный и экспериментальные данные (1) профиля продольной скорости за плоским уступом в различных сечениях. На рис. 5 на основе данных по полю скорости построены картины линий тока и распределения интегральных характеристик: толщины вытеснения 6*(х) и толщины потери импульса 6**(х).

Сопоставление результатов расчета с экспериментом показывает, что модель правильно предсказывает толщину потери импульса 6**(Хр), связанную с потерей количества движения в ближнем' следе, максимальную скорость в обратном токе, среднее значение завихренности в рециркуляционной зоне и дает близкое к эксперименту значение количества жидкости, участвующей в рециркуляционном движении (расчетное значение Qr = 0,035, экспериментальное значение Qr « О,О5). Поскольку за точкой Хр возрастание 6**(х) крайне незначительно и связано, в основном, с силой пристеночного трения, то, применяя теорему импульсов к контуру, охватывающему тело + ближний след, можно оценить величину коэффициента донного давления ерл.. Рассмотрим случай тонкого тела в виде уступа с клиновидной носовой частью.

Поскольку тело тонкое, то возмущения, создаваемые телом, малы. Пренебрегая членами второго- порядка малости, из теоремы импульсов получаем:

срд = - 2{ 6**{хр) - -Let - 6* *} /Н,,

где

= \ep(x)tgQ(x)dx.

о

учитывает вклад лобового сопротивления. Здесь ср(х) — коэффициент давления; 61'* — толщина потери импульса на срезе уступа, обусловленная силами пристеночного трения; 6(х) — угол наклона касательной, взятой на внешней поверхности тела, к оси х, причем положительному значению соответствует наклон внешней нормали в сторону набегающего потока. Расчет проводился по данным работы [5]. Модель была выполнена в виде ступеньки с клинообразной носовой частью, угол заточки которой составлял « 8,6°. Степень загрузки аэродинамической трубы «3,5%. Расчет лобового сопротивления проводился по стандартной методике линейной теории [6].' Тело в трубе схематизировалось полосой с разрезом. След моделировался каверной Кирхгофа. Граничные условия сносились на границу полосы и разре^. Решение искалось- в классе аналитических функций. Приведем расчеты значения (для 61'* = 0,04, 61/61* = 1,3):

6**(х„) = 0,24, 1/2ci = 0,07, СрД = - 0,26. Экспериментальное значение: ерл = — 0,24.

Однако для тонких исследований данная модель течения слишком груба. Основным источником расхождения с действительностью служит предположение об изобаричности начального участка течения. В реальных течениях изобаричность нарушается присутствием поперечного градиента давления, что приводит к тому, что:

1) течение на начальном участке не является автомодельным и модель турбулентности Прандтля не точна,

2) профиль скорости в сечении разворота NQ на участке NR не является зеркально симметричным, течение в рециркуляционной зоне нельзя считать квазиневязким, и, следовательно, вдоль всей длины присоединяющегося слоя смешения существен учет турбулентных напряжений.

В качестве модели, учитывающей турбулентные напряжения, можно предположить следующее приближение к действительности. Известно [7], что в приближении пограничного слоя функция давления с учетом поперечной компоненты нормального напряжения принимает вид:

р(х, у) = Ро(х) — V'2,

где р°(х) — распределение давления на внешней границе слоя смешения.

и ди до 1 ¿Я(|

Но тогда, поскольку ^--. р являйся членами одного по-

рядка, уравнение импульсов в продольном направлении, учитывающее вклад нормальных напряжений и внешнего градиента давления, принимает вид [7]:

и—+о—+-- (и2 -Л == -±£± + л.

и дхду + дх хи и ' р Лг ^ ду ■

В этом случае возникает необходимость научиться с достаточной точностью моделировать компоненты тензора напряжений Рейнольдса «/2, и'2, ы'р' .

В заключение автор выражает благодарность В. Я. Нейланду за внимание к работе и полезное обсуждение- проблемы в ее исходной постановке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е t h е r i d g е D. W., К е m р Р. Н. Measurements of turbulent

flow downstream of a rearward-facing step.— Journal of Fluid Mechanics,

1978, vol. 86, pt. 3.

2. А бр а м о в н ч Г. Н., Г н р ш о в н ч Т. А., К ра ш е н н н н н -к о в С. Ю., С е к у н д о в А. М., См н рн о в а И. П. Теорня турбулентных струй.— М.: Наука, l984.

3. Т oil mi е n W. Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange.— ZAMM, 1926, vol. 6, N 6.

4. Б э т ч е л о р Дж. Введенне в дннамнку жндкостн.— М.: Мнр. 1973.

5. N а s h J. F., Q u i n с е у V. G., С а 11 i пап J. Experiments on twodimensional base flow at subsonic and transonic speeds.— ARC R&M, N 3427, 1966.

6. П н л ю г н н А. В. Дозвуковое обтеканне тонкого профиля в канале-

со смешанными струйнымн н перфорнрованными границамн.—Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, N9 5.

7. Т а у н с е н д А. А. Структура турбулентного потока с поперечным

сдвигом.— М.: Изд. ниостр. лнт., 1959.

Рукопись поступила 2/111 /990 г.