Приближенный аналитический синтез оптимального управления гиперзвуковыми летательными аппаратами при движении в атмосфере с докруговой скоростью. Ч. 1 Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI 1 9 8 0 № 1

УДК 629.782.015

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ ПРИ ДВИЖЕНИИ В АТМОСФЕРЕ С ДОКРУГОВОЙ СКОРОСТЬЮ. Ч. I

А. С. Ф платье в

Рассмотрена задача минимизации максимальных динамических и тепловых нагрузок на гиперзвуковой летательный аппарат при пассивном движении в атмосфере с докруговой скоростью. В нерпой части работы получено приближенно аналитическое решение сопряженной системы уравнений. Во второй части на основе этого решения и результатов работы [I] проиеден приближенный синтез оптимального управления и даны аналитические оценки его эффективности в зависимости от текущих значений параметров траектории полета и начальных условий.

При исследовании траекторий маневрирования гиперзвуковых летательных аппаратов (ГЛА) в атмосфере одним из наиболее важних является вопрос о динамических нагрузках и тепловом режиме полета. Проблема снижения динамических и теплових нагрузок при входе в атмосферу баллистических аппаратов и аппаратов с аэродинамическим качеством имеет уже достаточную историю и поэтому, естественно, многие вопроси, связанные с ее решением, широко освещены в литературе (см., например, [2—8]). Однако указанные работы в основном посвящены исследованию траекторий входа в атмосферу планет с околокруговой и сверхкруговой скоростями. В то же время в работах, содержащих исследование задач оптимального маневрирования ГЛА с докруговой скоростью (см., например, [8—13]), вопросы минимизации динамических и тепловых нагрузок практически не рассматривались.

В работе [1] предложен приближенный метод оценки эффективности снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок на ГЛА при пассивном движении в атмосфере с докруговой скоростью, обусловленного оптимальным ограниченным воздействием на траекторию аэро- и ракетодинамическими силами. Этот метод основан на использовании формулы Блисса для фиксированной номинальной траектории [14| и, как показано, обеспечивает

хорошую точность результатов при изменении коэффициентов аэродинамических сил относительно номинальных значений в пределах 100% и использовании двигательной установки (ДУ) с относительным запасом топлива до — 20%. При этом оптимальные законы управления и функции влияния определялись путем численного интегрирования сопряженной и фазовой систем уравнений. В настоящей работе с использованием результатов [1] осуществлен приближенный синтез оптимального управления, минимизирующего максимальные тепловые и динамические нагрузки, и исследована его эффективность для широкой области начальных условий. Исследование оптимального управления проведено на основе приближенного аналитического решения фазовой и сопряженной систем уравнений, причем указанное решение получено в виде функций только текущих фазовых переменных.

1. Постановка задачи. Рассмотрим движение центра масс ГЛА в вертикальной плоскости, описываемое системой уравнении в безразмерном виде:

dV . sin 0 . Р

■Jf — TJF + -JT cos т,

d() і/ , /і I \ V cos О Р

7it ~ ^ + ( 1 v-r) R ~ + т V <Р>

t!H , , . r. dm Р

dt-=VsmO, ж =-----------------г,

(1.1)

I

IV, = С,*ї£»з_, СУ ЇЙ-. /?=! + «. Р = Q = const),

І Go 2 О і о

где I/ — скорость полета, 0 — угол наклона траектории к горизонт}', Н— высота полета, т — масса аппарата, t— время полета, R— расстояние от центра масс ГЛА до центра Земли, Р—-начальная тяго-вооруженность, « — угол отклонения вектора тяги относительно вектора скорости, с — скорость истечения газов из сопла ДУ, Cv, Сх — коэффициенты аэродинамических подъемной силы и сопротивления, OS — удельная нагрузка, /?з— средний радиус Земли, gs, рз — гравитационное ускорение и плотность атмосферы у поверхности Земли.

Безразмерные переменные в (1.1) связаны с размерными величинами, отмеченными индексом „р“, следующим образом:

I/ _ VP н _ Н\' J , . / ft q_on

Vs^’ *з * р V *з’

тр ср

т — — , с

I Sz *з

Ш/ — начальная масса ГЛА.

В соответствии с 11 і рассмотрим функционал

Ф = шах { рА'н VK''\ , (1.2)

*6 г у

который пропорционален максимальному скоростному напору (<7тах) при

Кн= 1, К«= 2, (1.3)

и максимальной равновесной температуре поверхности в критической точке (ламинарный пограничный слой) [15] при

Кк = 0,125, Kv = 0,8125. (1.4)

Согласно jl|, граекторию движения ГЛЛ, определяемую системой уравнений (1.1), где С л — const, Cv — const, Р-=0, примем за номинальную. Предположим |1], ч і о управление осуществляется путем малоіі вариации коэффициентов аэродинамических сил оС\., относительно их номинальных значений, а также путем использования ДУ с малым расходом топлива от.

Тогда оптимальное изменение коэффициентов аэродинамических сил | | ЬСХ І >,С.г шач const, ?<Су j < '»CV max — COnSt) И УГЛЯ OTK.TO-пепня вектора тяги ■?( у! ~), обеспечивающее

in in Ф, (1,5;

онределяется условиями [1|:

fjCy 0р1 ОС, mnx Sl£> n '’J,„ (1 . (і)

f>Cv орі “ oCy max Sign "Ji/, (1./)

Vo

-- arctg у-------------- (I + sign ■/..) sign -її,.

где 'j,„ j'i--сопряженные к V и fi переменные |14[.

H (1 .ГГ) (l.Hj, как и в дальнейшем, предполагается, что варпа-ппн SCV, оСг независимы и управление вектором тяги не приводит к изменению аэродинамических характеристик ГЛЛ. Относительная '■эффективность снижения с/п,.,-ч и 7’Itl;,N с помощью вариаций ЗСЛ OI,b ?‘('v :і,і и использования ДУ определяется в каждой точке траекто-рни спуска Г.'ІЛ соответственно как

Wf - ..... ----- , (1.9)

Л- },с г пг Ф

л-max х

(МП)

f,C (JV ф

in ax v

ivf

1 <)Ф 1

/>" "o-(, ' w

(1.11)

j.ic Ф функционал, отнесенный к значению Ф на поминальной ]ра<чп'орпи: SC.vmilli, оС\,гаач вариации 8СЛ-„,;1Ч, оCvi„a\, отнесенные к номинальном)' значению коэффициента С\.; -r v,, ~р~~ продол жнтгльноси. действии дополнительных тормозных устройств, подъемнон силы и ДУ соответственно.

Согласно 11 ], соотношения (1.6) — (111) достаточно хорошо согласуются с результатами точных расчетов не только при малых вариациях управления, но и для

SC.v 1||ах ^ 1, оСу ,„ах -S' 1, от ■< 0,2. (1.12)

Сопряженные к V, 0, /-/, т переменные -j;i, 'ji>, у„, v,„, входящие1 в cool ношения (1.0) — (1.11), определяются для номинальной траек-1 ориI! п должны удовлетворять граничным условиям на правом

>П >»це Ч'р;)1'>>")'орип

I Л.: К„ Vr' 1 \f= ъч=г.ьт/ — 0. (1.13)

Мож-in времени if определяется из условия </(/,)-- max q или

М

/(г;) шах 7 в зависимости от типа функционала. С учетом (1.1),

(1.2) на правом конце траектории должно также выполняться равенство

(1Л4)

Таким образом, для синтеза оптимального управления (1.6)— (1.8) необходимо получить аналитическое решение сопряженной к (1.1) системы уравнений для номинальной программы управления в виде функций только текущих фазовых переменных. В дальнейшем будем считать, что номинальная траектория определяется при постоянных значениях аэродинамических коэффициентов Сх, Су и без использования ДУ (Р — 0). Изменение функционала, обусловленное вариацией СА., Су вдоль траектории и использованием ДУ |с учетом (1.12)1, может быть получено по методике, изложенной в [1], на основе известного решения сопряженной системы на номинальной траектории.

2. Приближенное аналитическое решение сопряженной системы для ГЛА с аэродинамическим качеством. Приближенное аналитическое решение сопряженной системы уравнений может быть получено путем „склейки14 решений в областях, где аэродинамические силы пренебрежимо малы по сравнению с гравитационными силами („верхний14 участок) и где аэродинамические силы являются определяющими („нижний* участок).

Запишем уравнения пассивного движения ГЛА (1.1) для нижнего участка [16]

(2-1)

£ = (2-2)

СIt

dH dt dm

= V sin 0, (2.3)

= 0. (2.4)

dt

Гамильтониан системы (2.1) — (2.4) имеет вид

еЖ= — рх р V2 + Ь р V” + фн Vб!п 8, (2.5)

а сопряженные переменные определяются системой уравнений

% di

% = 2 V, t V*tv- ь Р'Ь - sin вфн, (2.6)

dt = — V7cos 6%, (2.7)

#• = - IV, Pv2 <tv + fry P Vb. (2.8)

dt

d

dt

m = -V-x?V2'}v + V‘ypVb (2-9)

и граничными условиями (1ЛЗ).

В силу автономности системы (2.1) — (2.4) и граничных условий (1.13) имеет место первый интеграл

^Г=0. (2.10)

Из (2.1), (2.5), (2.6), (2.10) получаем

^=1=4 = const. (2.11)

Согласно (2.3), (2.5), (2.8), (2.10),

фн = а2р, а2 = const.

Подставляя решения (2.11), (2.12) в (2.5), (2.10), получим

'l>9==x(ai' ^Tsin °) ’

(2.12)

(2.13)

где К — \*у1 \*-х — аэродинамическое качество ГЛА. Из (2.4), (2.5), (2.9), (2.10), (2.12) имеем

Фот = а S+-T-P, «3 = const.

(2.14)

Граничные условия (1.13) и соотношения (2.11), (2.12). (2.14) позволяют определить значения констант а,, а2, а3:

«, = ФК,, «2=-Ф^, а3 = Фк„.

Р/

(2.15)

Подставляя (2.15) в (2.11) — (2.14), получим решение сопряженной системы для нижнего участка:

ф+ = ф % ,

• V у+ ’

'О

/С

яіп О

віп 6,

г +

(2.16)

'Ь+ = — ФКн 0 -J— ,

I н

Верхним значком „ + “ в (2.16) и далее отмечены переменные, соответствующие нижнему участку траектории.

Значення Ф, р, определяются из решения фазовой системы (2.1) —(2.4) и граничного условия (1.14). Если \ху не изменяются вдоль траектории, то [ 161

(О, — є і

V— У)ехр(^-} ,

P^PZ+^COSO-COSG,).

Согласно (1.14). (2.19),

sin 9 f = — X (cos Ъf — cos /),

(2.17)

(2.18)

где

л ^'У - Kv

COS 7 = cos G------— P, л = ,

откуда определяем bf [15]:

sin ft/= j y2[cos x — Vl + sin2 /

(2.19)

Рассмотрим верхний участок траектории, движение на котором определяется системой уравнении

d V__ sin Q

~dt ~ W '

(2.21)

-§ = -o-i/2tf)w. (2'22)

dH = VsinQ, (2.23)

dt dm

dt

0. (2.24)

Уравнения (2.21)—(2.24) описывают кеплерову траекторию и имеют известные первые интегралы [17].

Гамильтониан системы (2.21) — (2.24) равен

еЯГ = - — *• (1 - V'2 R) ^ *н V^sin 0. (2.25)

Сопряженные переменные определяются из уравнений

= - ->(1 + I/2/?) ^ - % Sin 0, (2.26)

d rnsf) sin О

~af = Ь ^---------О - У2 R) W - % У cos 6, (2.27)

#н ,,, 2 sin О , 1/2 D\ cos 0

(2 - К2 R) , (2.28)

и( Тг' /?■

- 0 (2.29)

и граничных условий.

Будем считать, что „склейка“ фазовых траектории на нижнем и верхнем участках производится непрерывным образом:

1/г = I/-, 0Г = в+, И- = //+ т~ = т+. (2.30)

Верхним значком „ — “ обозначены параметры траектории на верхнем участке, нижним значком — параметры траектории в мо-

мент склейки. Примем в качестве условия, определяющего границу, на которой производится склейка решений, достижение значения аэродинамической перегрузки ГЛА

п = V п\ + п2у = 1.

Так как пх — р V* \*.х, лу = р!/3 то это условие можно записать в виде

1п (1^1), (2.31)

где V = V !Ад- + !Ау •

В соответствии с [18] сопряженные переменные на границе (2.31) терпят разрыв

N* — v > VfJ* = Vh» — Ун* “Ь VI = H 3- >

еЯГ,- = — 0,

где v ~ константа.

В силу автономности системы (2.21) — (2.24), отсутствия управления в правых частях уравнении (2.21) — (2.24) и согласно (2.32),

©ЯГ—= 0. (2.33)

На основании (2.22), (2.25), (2.27), (2.33) получаем

0-= a tg о, А = const. (2-^4)

Используя (2.21), (2.25), (2.26), (2.33), (2.34). находим

6- = A , В = const. (2.35)

v

Подставляя (2.34), (2.35) в (2.25), (2,33), получаем

-!>- = А — . (2.36)

• Н R-2

Поскольку масса аппарата не входит в уравнения движения (2.21) — (2.24), то на пассивной траектории

6- = С, С =■ const. (2.37)

На основании известного решения сопряженной системы на нижнем участке (2.16) и условий (2.32) определим значения констант v, А, В, С в (2.34)- (2.37):

V —

'I >К„

R2V2( 1+о.) * * 4 '

+ *—— Р/ о>

sin 0* sin Of

(1 - R, Vl)

К tg 0*

A = Ф Cl--------------------sin_e» \ g >

/< \ Sin Of

1

K;(l + <o)

\ —-,1* \ tg°*

1 1 r \ p / / sin 0* 1 —

sin 0* -

>0,

где

1

sin 0* sin 9 I

a sin vt о

1 ~ *— + yt о - (1 - Д*1/2) Р/ AT tg 0* 4 * *'

2 2/C„

OJ = --------------------- , x= —

ft/?2 V'2 ^

|>ФДГн,

>.38)

(2.39)

ЛИТЕРАТУРА

1. Филатьев А. С. Снижение с помощью малых управляющих воздействий максимальных динамических и тепловых нагрузок при пассивном движении гиперзвуковых аппаратов. „Ученые записки ЦАГИ\ т. 9, № 2, 1978.

2. Allen Н. J., Eggers A. J. A study of the motion and aerodynamic healing of missile entering the earth atmosphere at high supersonic speeds. NASA Rep. N 1381, 1958.

3. Л о x У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планет. М., „Мир*, 1966,

4. Чепмен Д. Приближенный аналитический метод исследования входа тел в атмосферу планет. М., изд. иностр. лит-ры, 1962.

5 Eggers A. J., Allen Н. J., N е i с е S. Е. A comporative analysis of the performance of long-range hypervelocity vehicles. NASA Rep. N 1382, 1958.

(j. Я p о ill e it с к'и й И. А. Приближенный расчет траекторий входа и атмосферу, „Космические исследования", т. II, сын, 4, 5, ]9ti4.

7. Шилов А. А. Об одном приближенном способе решения задачи минимума максимального оюопения динамической системы. „ Ангомптнка и телемеханика*, выи. 2. 1970,

8. Ill к а д о и ,1. М., Г> у \ а и о и а Р. С.. И i л а р и о и о г. К <1'.. Плохих И. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., „Машиностроение*. 1972.

9. V i и it N. X. General theory of optimal trajectory for rocket flight in a resisting iiiediiifii. „,1. of Optimization Tlieorv and Applications*, N 2. 1973.

10. II use in.inn Д., V i и li N. X., Kelley (j. K. Optimum maneuvers of :i skip vehicle with bounded lift constraints. „.I. of Optimization Theory and Applications*, N 4, 1969.

11. V' i и h N. X., В u s i: m a n и A., Culp R. L). Optimum ihree-di-metbional atmospheric entry. „Acta Astronautica*. 7 8, 1975.

12. Г p и ф ф i] и Дж., li и и \ II. Оптимальные пространственные маневры nniepHi'.j коных летательных аппаратов. „Вопросы ракетной н'хники*. .Ms 10. 11, 1972.

13. Г I о siic ]-.. V in fi N. Optimal aerodynamic control by matched asymptotic expansions. „Ada Astronautica”, vol. 3, 1976

14. Ильин В. А.. К у м а к Г. К. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. .М., .Паука*. 1976.

15. Kemp N. М., Riddell P. R. Heat transfer to satellite vehicles ге-епlerrin^ flie atmosphere, „.let propulsion*, vol. 27. N 2, 1957.

Mi. Л1 и e л e Л. Механика полета, т. I, М., „Паука*, 1965.

17. А и п а з о в Р. Ф„ .1 а в р о в С. С.. .4 и ш и н В. П. Валлистн-ка управляемых ракет дальнего действия., М., „Паука*, 1966.

18. Прайсов А-, Хо 10-111 и. Прикладная теория оптимального управления. М.. „Мир", 1972.

Рукопись поступила 18 А7/ /.9/Л