CC BY
60
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Семов, А. А. Есафьев
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что в первую очередь связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, геофизике. При этом следует отметить два обстоятельства: 1) аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; 2) спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. В настоящее время остались не исследованы методы приближенного решения полных гиперсингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера. Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения полных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций.
Материалы и методы. Обоснование разрешимости и сходимости метода коллокаций к приближенному решению гиперсингулярных интегральных уравнений основано на применении методов функционального анализа и теории приближений.
Результаты. Предложена модификация метода коллокаций для приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений и проведено ее обоснование. Приведены оценки быстроты сходимости и величины погрешности.
Выводы. Построены вычислительные схемы, позволяющие эффективно решать прикладные задачи механики, аэродинамики, электродинамики, геофизики.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, метод кол-локаций, приближенное решение.
I. V. Boykov, Yu. F. Zakharova, M. A. Semov, A. A. Esafev
APPROXIMATE SOLUTION OF LINEAR HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS BY THE COLLOCATION METHOD
Abstract.
Background. The approximate methods of solution of hypersingular integral equations are an actively developing area of calculus mathematics, which is associated, in the first place, with multiple applications of hypersingular integral equations in mechanics, aerodynamics, electrodynamics, geophysics. At the same time it is necessary to point out two circumstances: 1) an analytical solution of hypersingular integral equations is possible only in exceptional cases; 2) the range of applications of hypersingular integral equations constantly expands. These circumstances condition the topicality of building and substantiation of numerical methods of solution of hypersingular integral equations. At the present time the methods of approximate
Physical and mathematical sciences. Mathematics
101
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
solutions of complete hypersingular integral equations in Gelder’s space remain unresearched. The article is devoted to building and substantiation of approximate solutions of hypersingular integral equations by the collocation method.
Materials and methods. Substatiation of solvability and convergence of the collocation method to the approximate solution of hypersingular equations is based on application of the methods of functional analysis and the approximation theory.
Results. The authors suggested a modification of the collocation method for approximate solution of hypersingular integral equations and substantiated it. The researches also adduce the assessment of rapidity of convergence and extent of error.
Conclusions. The authors built calculation schemes allowing to effectively solve applied problems of mechanics, aerodynamics, electrodynamics, geophysics.
Key words: hypersingular integral equations, collocation methods, approximate solution.
Введение
Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что в первую очередь связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, геофизике. При этом следует отметить два обстоятельства:
1) аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; 2) спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Подробное изложение численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений содержится в книгах [1-7].
При ряде условий на ядра и правые части в работах [7-16] предложены и обоснованы методы Галеркина и коллокации для решения одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго родов.
При этом остались не исследованными методы приближенного решения полных гиперсингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельде-ра. Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения полных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокации.
В работе используются следующие определения и обозначения.
Определение 1. Класс функций Гельдера Ha (M;[a,b])(0 < a< 1) состоит из заданных на отрезке [a, b] функций f (x), удовлетворяющих во
всех точках x и x" этого отрезка неравенству | f (x') — f (x'') | < M | x — x" |a .
В случае, когда из текста ясно, на каком множестве рассматриваются функции, вместо Ha(M;[a,b]) будем писать Ha(M). Это замечание относится и к остальным классам функций.
Определение 2. Класс Wr(M;[a,b]) состоит из функций, заданных на отрезке [a,b], непрерывных и имеющих непрерывные производные до (r — 1) -го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную r -го
(r)
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству | fK ' (x) |< M.
102
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
Определение 3. Класс WrHa(M;[a,b]) состоит из функций f (х), принадлежащих классу Wr(M;[a,b]) и удовлетворяющих дополнительному условию f(r)(х) є Ha(M).
Определение 4. Через Hw^w^ (D) обозначен класс определенных на
D = {a < х < b,c < у < d} функций f (х,у) таких, что для любых точек (х',у ) и (х" , у'') из D выполняется неравенство
I f (х', у') - f (х', у ') |< w (| х - х' |) + W2 (| у' - у'' |),
где wj(o) и ^2(0) - заданные модули непрерывности. В случаях, когда a •
Wj (х)= М^х 1 (i = 1,2), используется обозначение Ha^a^(M, D), где
М = max(Mi M2).
Напомним определение гиперсингулярных интегралов, обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара.
Определение 5 [17]. Интегралом
Г
9(x)d т (т-c)р ’
a < c < b,
в смысле главного значения Коши - Адамара называется следующий предел:
7 9(x)dт + г Ф(т)dт +_|(v)
J (т-c)р + (т-c)р vp-1 ,
где ^(v) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.
Через [ X ,Y ] обозначено множество линейных ограниченных операторов, отображающих нормированное пространство X в нормированное пространство Y.
(^(^d т
= lim
(т-c)
1. Линейные гиперсингулярные интегральные уравнения
Пусть у - единичная окружность с центром в начале координат
в плоскости комплексной переменной.
Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение
Кх = a(t) х(ґ) + Г
h(t, т) х(т) d т (т-t)р
= f (t),t єу,
(1)
где p = 2,3,...; a(t), f (t)є Ha, 0<a<1; функция h(t,т) принадлежит классу Гельдера Ha по первой переменной и имеет производные до (p -1)
д p-1h(t, т)
порядка по второй переменной, причем
дт p
-1 є Ha, 0< a< 1.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
103
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введем пространство X функций x(t), t є у, x(t) є Wp 1Яр, в < a, с нормой
p-1
l|x(t )|| = Z
k=0
x(k )(t)
+ sup
C(Y) А=ЯМ2єТ
x( p-1|(t|) - x( p~%)|
1 t1 -12
|в
Через Y обозначим пространство функций y(t), t є у, y(t) є Яр, в < a, с нормой
+
sup
fl= Ґ2УЯ2єТ
1 y(tl)- y(t2)! 111 -12 |P
Известно [18], что пространства X и Y банаховы.
Из определения гиперсингулярных интегралов и теории сингулярных операторов [19] следует, что оператор K отображает пространство X в Y.
Будем считать, что K имеет линейный непрерывный обратный
оператор K-1 є [Y, X].
Обозначим через Xn подпространство пространства X, состоящее из функций
p-2 n+p -1 -1
xn(t )= Z akt>k ln t + Z akt>k + Z akt>k, (2)
k=0 k=p-1 k=-n+p-1
а через Yn - подпространство пространства Y, состоящее из полиномов
Уп (t)= Z aktk.
k=-n
Введем узлы tk = eSk, Sk =2kn/(2n +1), k = 0,1, ..,2n, и через Pn [f] обозначим оператор проектирования непрерывных функций f є C(у) на множество интерполяционных полиномов n -го порядка, построенных на
узлах tk, k = 0,1,..,2n.
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде функции p-2 n+p -1 -1
xn (t)= Z aktk !nt + Z aktk + Z aktk,
k=0 k=p-1 k=-n+p-1
коэффициенты {ak }, k = -n, n, которой определяются по методу коллокации из системы линейных алгебраических уравнений, представимых в операторном виде уравнением
K x = P
^n^n —*n
a(t) xn (t) + J
h(t, t) xn (T)d t
(т-t)p
= Pn[ f (t)].
(3)
104
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
Воспользовавшись определением гиперсингулярных интегралов, представим уравнения (1) и (3) в следующих видах:
Kx = a(t) x(t) +---------Г
(p - 1)!J
(-1)p-1 rh(t, t) x(p-1)(T)
d t +
Y
+•+^ І x(T)
(P-1)! Y{ dlP-'
t-t
\
1
т — t
■d т = f (t),
(4)
K x = P
1^пл'п—1п
a(t)xn (t) + ( ^ Гh(^T)xnP 1 )(T) dT +
(P -1)!
t-t
p -1
+••• +
(-')"' jl ^ x„ (T)
(p -1)! Y1 Этp
t-t
-d т
= Pn [ f (t)].
(5)
Преобразуем уравнения (4) и (5), предполагая, что h(t, t) = 0 при t є у:
_ (_ 1) P-1 rx( P-1)(T)
Kx = a (t) x(t) +^------Г------^ dT +
(p -1)! J T-1
Y
+
(-1)
p-1
(P -1)! h(t,t)
— f h(t•T) ~ h(t• ‘> x(P-1)(T)dT +
t t ) J T -1
Y
+ (-1)p-1 1 f dh(t, t) x(p-2)(t) dT +
IJ
(p - 2)! h(t, t)J Эт
Y
т-1
+••• +
(-1)P-1 1 f dp-1h(t,t) x(T) (p-1)! h(t,t)J Этp-1 t-t
d т = f(t),
(6)
K x = P
1^пл'п—1п
P-1 ”п( P-1)(T)
a1(t) xn(t)+тгттгг Jx
(p-1)!J t-t
Y
d т +
+-
(-1)p 1 1 fh(t, t) - h(t, t) x (p-1)
(P -1)! h(t,t)
t-t
(T)d т +
+ (-1)p 1 1 fdh(t,t) xn(p 2)(t) dt +
(p - 2)! h(t, t)f Эт
Y
т-1
(-1)p1 1 гЭp 1h(t, t) xn (t)
+----^________________I ______v J p n d T
(p -1)! h(t,t)J Этp-1
t-t
= Pn [ f1(t)],
(7)
Physical and mathematical sciences. Mathematics
105
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где
«1 (t) = a(t) / h(t, т), fx (t) = f (t) / h(t, t). Оценим норму разности \Kx„ - K„xA:
\Кхп
- К x
JvnAn
Rn
ai(t) Xn (t) +
(-1)p 1 1 Гh(t,т) -h(t, t) xnp-i)
(p -1)! h(t,t)J т-1 n
Y
(T)d т +
+ (-1)P-1 1 Г dh(t, т) x(„р-2)(т) dт +
(p - 2)! h(t, t) J дт т-1
Y
+ + (-1)P 1 1 fdP 1h(t,т) xn(т) dт
(P-1)! h(t,t)J дтP-1 т-1 т
(8)
где Rn = I -Pn, I - тождественный оператор.
При получении равенства (8) были использованы следующие свойства сингулярных операторов [1]:
•x( Р-1)(т)
x„---Ll d тє X„, Pn
т-t
x( p-1)
(т)
т-t
d т
■ J
x( p-1)
(т)d т
т-t
Приступим к оценке (8). Покажем, что
C
C
||Rn [a1(t)xn (t)]||C < — Ha (a(t)xn (t)) < —|Ix„ (t)ll
X •
(9)
Здесь
Ha(f )= sup
h=t2
If (t1) - f (t2)|
I ti -12
Очевидно
Ha (a(t)x„ (t)) < Ha (a) ||x„ (t)||C + Яи (x„ ) ||a(t)||C <
< Ha(a) ||x„(t^C + C||x„(t)\\C \\a(t^C < C\\x„(t^X .
Отсюда следует (9).
Повторяя доказательство теоремы С. Н. Бернштейна о структурных свойствах функций [21], можно показать, что из неравенства (9) следует неравенство
C
11 R„[a1(t)x„ (t)] ||У < -aip 11 xn (t)|1 X (10)
106
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
Пусть gk(t,т) = —Ц-д h{t:^ x"p 1 k}(т), k = 1,2,...,р —1. Так как
h(t, t) дтк
gk(t, т) є Haa, то [19]
\gk(t,Т)І— Є Нa,к = 1,2,. .,Р -1.
Известно [6], что
И I — C x( P—1—k) X"
Y Y
— С||лп|| у , к 1,2,...,р 1.
Г " Щ'уп
Следовательно,
Rn
fgk (t. Т) £
- na]‘Х"Пхп
C (Y)
и
Rn
\gk(t, Т)
y
d Т Т — t
—-^1*
a—Р» "lXn
, k = 1,2,...,p — 1.
(11)
Осталось оценить
Rn
rh(t■T) — h(t■') x"P-')(T)dТ
h(t, t)J Т — t "
Y
Обозначим через h(t,т) = T["/3]T["/з][h(t,т)], где Т"[h(t,т)] — оператор
проектирования на множество полиномов наилучшего приближения степени п по переменной t. Очевидно [21],
|| h(t, т) — h (t, т) ||c (Y) — C In n max ( E" (h(t, т)), E" (h(t, т))
где E" (h(t, т)) - наилучшее приближение функции h(t, т) по переменной t полиномами степени ". Повторяя доказательство теоремы Бернштейна о структурных свойствах функций, можно показать, что (h(t, т) — h(t, т)) є Н^
с коэффициентом равным c"X In"max(E" (h(t,т)),E"(h(t,т)). Величина % будет определена ниже.
Нетрудно видеть, что
* " (t ) = Т["/з]
’h(t,т) — h(t,t) x(р—1)
h(t, t)
Т — t
(T)d Т
является полиномом " -го порядка и P" [*" (t)] = *" (t).
Physical and mathematical sciences. Mathematics
107
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и
Тогда
Rn
1_ ' h(t, X) -1,(1, t) p-V) tt)J т-t n
h(t, t )■
Rn
^ | 4r»(T)d T_* n (t)
(t, t )J T-t
Y
Здесь достаточно оценить два выражения:
I =
| h(t, т) - h (t, т) - (h(t, t) - h(t, t)) x( „-і) (T) d t J т-t n
C (Y)
12 —
Pn
| h(t, t) - h(t, t) - (h(t, t) - h(t, t)) x( „-i) (T J т-t n
C (Y)
Вначале оценим первое выражение. Так как (h(t,т) -h(t,т)) є H^, то | (h(t,т) - h(t, т)) - (h(t, t) - h(t, t)) |< П ln nmax (n/3](h(t,t)), E[nl3](h(t, t)))|t-t|e,
и, следовательно,
Ii <cn1 lnnmax(E[nl3](h(t,t)),E[n/3](h(t,т)))|| хП„-і) ||c . Полагая % — і l ln n, имеем
Ii < Cin2nmax(Efni3](h(t,t)),E^/3](h(t,t))) || хП„-і) ||. Так как
Pn
| h(t, t) - h(t, t) - (h(t, t) - h(t, t)) x( p-i) (T)d T
J т-t n
Y
является полиномом n -го порядка, то из предыдущего неравенства следует, что
Pn
h(t,т) - h(t,т) - (h(t,t) - h(t,t)) x(„-і)
d т
T-t
108
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
< сП ln3n max( E[n/3] (h(t, т)), E[n/3] (h(t, t)))
в предположении, что h(t,т) є Haa.
Отсюда следует, что
Д p-1)
с
< cn (а e)ln3n||x
Rn
— f h(t,T) - h(t,' > ХПP-‘W т
t t)j т-t n
h(t, t )■
< C ln3n II ||
Y< C па-в WXnWx
Собирая оценки (8)-(12), имеем
Kxn - KnXn
< Cln3n и ||
< nn-rl lx"l I.
n\\X
(12)
Так как оператор K непрерывно обратим, то Следовательно,
Kxn
> m\\xn \.
\\KnXn\\ >
KxA - \Kxn - Knxn
3n ^
m--
C ln3n ,a-P
Из этого неравенства и теоремы о левом обратном операторе [22] следует, что оператор Kn имеет левый обратный оператор. Так как оператор Kn конечномерный, то отсюда следует, что он непрерывно обратим.
Таким образом, доказана однозначная разрешимость уравнений (7) и (3). Обозначим через x и xn решения уравнений (1) и (3). Очевидно, x и
*
xn будут также решением уравнений (6) и (7). Пусть fn = Pn [f ]. Обозначим
* -------------------
через xn решение уравнения Kx = fn.
Очевидно,
с ln n
*
x - x
* *
x - xn <
<
-1
K
IRn [ f ]|
<
na-P ’
K 1( K - Kn) K-1 nfn
<
с ln3n na-P .
Таким образом,
x - x„
<
C ln3n
na-P .
Теорема 1. Пусть оператор Kє[X,Y] непрерывно обратим: a!
3
f є Ha, h(t, т) є Haa. Тогда при n таких, что q = C a e < 1 система
.a-P
уравнений (3) имеет едиственное решение xn и справедлива оценка C ln3n
x - xv
<
„a-P
-, где x - решение уравнения (1).
Physical and mathematical sciences. Mathematics
109
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев : Наукова думка, 1968. - 287 с.
2. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - М. : Наука, 1971. -352 с.
3. Michlin, S. G. Singulare Integraloperatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf. - Berlin, Acad. -Verl., 1980. - 514 p.
4. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations /
S. Prossdorf, B. Silbermann. - Berlin : Acad. Verl., 1991. - 544 p.
5. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.
6. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.
7. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. -
М. : Янус-К, 2001. - 508 с.
8. Ganesh, M. The numerical solution of a nonlinear hypersingular boundary integral equations / M. Ganesh and O. Steinbach // J. Comput. Appl. Math. - 2001. - Vol. 131. -P. 267-280.
9. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 2. - C. 315-326.
10. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational Mathematics. Part first. Novosibirsk. - 2004. - P. 411-417.
11. Бойков, И. В. Коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - 2006. - № 5. -C. 42-50.
12. Бойков, И. В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харковского национального университета. Сер. Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. - 2007. № 1. - С. 36-49.
13. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегро-дифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1. - С. 80-90.
14. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 99-114.
15. Boykov, I. V. An Approximate Solution of Hypersingular Integral Equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Appl. Num. Math. - 2010. - Vol. 60. -P. 607-628.
16. Capobiano, M. R. Newton methods for a class of nonlinear hypersingular integral equations / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, and P. Junghanns // Numer. Algorithms. -2010. - Vol. 55. - P. 205-221.
17. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1953. - Т. 113, № 10. - С. 57-105.
110
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
18. Гусейнов, А. И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А.И. Гусейнов, Х. Ш. Мухтаров. - М. : Наука, 1982. - 414 с.
19. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Наука, 1963. - 640 с.
20. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.
21. Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочлениов данной степени : собр. соч. / С. Н. Бернштейн. - М. : Изд-во АН СССР, 1952. - Т. 2. - С. 11-104.
22. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. -М. : Наука, 1977. - 750 с.
References
1. Ivanov V. V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie k chislennomu resheniyu singulyarnykh integral’nykh uravneniy [Theory of approximate methods and application thereof to singular integral equation solving]. Kiev: Naukova dumka, 1968, 287 p.
2. Gokhberg I. Ts., Fel'dman I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convultion equations and projection methods of solution thereof]. Moscow: Nauka, 1971, 352 p.
3. Michlin S. G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin, Acad. Verl., 1980, 514 p.
4. Prossdorf S., Silbermann B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin: Acad. Verl., 1991, 544 p.
5. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral’nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [Method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.
6. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral’nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.
7. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingul-yarnykh integral’nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and application thereof]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.
8. Ganesh M. and Steinbach O. J. Comput. Appl. Math. 2001, vol. 131, pp. 267-280.
9. Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematich-eskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2005, vol. 45, no. 2, pp. 315-326.
10. Boykov I. V., Romanova E. G. International Conference on Computational Mathematics. Part first. Novosibirsk. 2004, pp. 411-417.
11. Boykov I. V., Romanova E. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Estestvennye nauki [University proceedings. Volga region. Natural sciences]. 2006, no. 5, pp. 42-50.
12. Boykov I. V., Boykova A. I. Vestnik Kharkovskogo natsional’nogo universiteta. Ser. Matematicheskoe modelirovanie. Informatsionnye tekhnologii. Avtomatizirovannye sis-temy upravleniya [Bulletin of Kharkov National University. Series: Mathematical modeling. Information technology. Automatic control systems]. 2007, no. 1, pp. 36-49.
13. Boykov I. V., Zakharova Yu. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1, pp. 80-90.
14. Boykov I. V., Zakharova Yu. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 3 (23), pp. 99-114.
15. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Appl. Num. Math. 2010, vol. 60, pp. 607628.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
111
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
16. Capobiano M. R., Criscuolo G. and Junghanns P. Numer. Algorithms. 2010, vol. 55, pp. 205-221.
17. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, no. 10, pp. 57-105.
18. Guseynov A. I., Mukhtarov Kh. Sh. Vvedenie v teoriyu nelineynykh singulyarnykh inte-gral’nykh uravneniy [Introduction into the theory of nonlinear singular integral equations]. Moscow: Nauka, 1982, 414 p.
19. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. Moscow: Nauka, 1963, 640 p.
20. Natanson I. P. Konstruktivnaya teoriya funktsiy [Constructive theory of functions]. Moscow; Leningrad: GIFML, 1949, 688 p.
21. Bernshteyn S. N. O nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsiy posredstvom mnog-ochleniov dannoy stepeni: sobr. soch. [On the best approximation of continuous functions by means of polynomials of the given power: collected works]. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1952, vol. 2, pp. 11-104.
22. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional’nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1977, 750 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: boikov@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: math@pnzgu.ru
Семов Михаил Александрович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: math@pnzgu.ru
Есафьев Андрей Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: math@pnzgu.ru
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Semov Mikhail Aleksandrovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Esafev Andrey Andreevich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
112
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392 Бойков, И. В.
Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций /И.В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Семов, А. А. Есафьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 101-113.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
113
