CC BY
29
5. Alidrisi M. Optimal control of the service rate of an exponential queueing network using Markov decision theory // Intern. J. Syst. Sci. 1990. V. 21. P. 2553-2563.
6. Bruell S.C., Balbo G, Afshari P.V. Mean value analysis of mixed, multiple class BCMP networks with load dependent service stations // Performance Evaluation. 1984. V. 4. P. 241-260.
7. Mitra D., McKenna J. Asymptotic expansions for closed Markovian networks with state-dependent service rates // J. of the Association for Computing Machinery. 1986. V. 33, № 3. P. 568-592.
8. Ляхов А.И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной
интенсивностью обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1997. № 3. С. 131-143.
9. Mandelbaum A, Massey W.A., Reiman M.I. Strong approximations for Markovian service networks // Queueing Systems. 1998. V. 30. P. 149-201.
10. Митрофанов Ю.И., Долгов В.И. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания // АВТ. 2008. № 6. С. 44-56.
11. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, ГРФМЛ, 1969. 512 с.
12. Митрофанов Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания. Саратов: Науч. книга, 2005. 175 с.
УДК 515.14
ПРЕПЯТСТВИЯ К ВЛОЖЕНИЮ РАССЛОЕНИЙ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР В ТРИВИАЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ
А.В. Ершов
Саратовский государственный университет,
кафедра геометрии
E-mail: ershov.andrei@gmail.com
В работе изучаются топологические препятствия к вложению Mk (С)-расслоения в тривиальное Mki (С)-расслоение при условии (k, l) = 1. Описана также связь рассматриваемой задачи с теорией расслоений со структурным группоидом.
Ключевые слова: расслоение, топологическое препятствие, характеристический класс, группоид.
1. КОГОМОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЙ
Obstructions to Embedding of Matrix Algebra Bundles into a Trivial One
A.V. Ershov
Saratov State University,
Chair of Geometry
E-mail: ershov.andrei@gmail.com
Topological obstructions to embedding of an Mk (C)-bundle into a trivial Mki (C)-bundle under the condition (k, l) = 1 are studied. The relation of this problem to the theory of bundles with a structure groupoid is described.
Key words: bundle, topological obstruction, characteristic class, groupoid.
1.1. Постановка задачи. Пусть X — конечное клеточное пространство, Ак -— X — локально тривиальное расслоение со слоем комплексная матричная алгебра Мк(С) (таким образом, его «естественной» структурной группой является Аи^Мк(С)) = РОЬк(С)). Зафиксируем натуральное I, взаимно простое с к. Наша задача — описать топологические препятствия к существованию отображения расслоений над X:
ц: Ак — X х Мы(С), (1)
такого что для любой точки х € X ограничение ц |х вкладывает слой (Ак)х в Мк1 (С) в качестве унитальной подалгебры.
1.2. Конструкция препятствий. Чтобы применить стандартную технику топологической теории препятствий, сведем задачу о вложениях к задаче о сечениях подходящего расслоения.
Заметим, что группы РОЬп(С) можно заменить их компактными деформационными ретрактами Ри(п), рассматривая вместо всех унитальных гомоморфизмов матричных алгебр только их *-гомо-морфизмы.
Пусть Иошагд (Мк (С), Мы (С)) — множество всех унитальных ^-гомоморфизмов Мк (С) — Мы (С). Из теоремы Нетер - Сколема [1] следует его представление
Homag(Mk(C), Mki(C)) ^ PU(fc1)/(Efc 0 PU(l))
(2)
(здесь и ниже символ 0 обозначает кронекерово произведение матриц) в виде однородного пространства группы Ри(к1). Это пространство обозначим . Полученное представление и периодичность Ботта позволяют вычислить его стабильные гомотопические группы:
пг(Бгк,г)= й/кй для г нечетного и пг(Бгк,г) = 0 для г четного. (3)
Пусть АЦт,у — ВРи(к) - универсальное Мк(С)-расслоение. Применяя функтор (со значениями в категории топологических пространств) Ношагд(..., М*(С)) послойно к АЦт,у, получаем расслоение
Нм (АЦ™) ВРи(к) (4)
со слоем Бгк,г.
Пусть /: X — ВРи(к) — классифицирующее отображение для А* — X, т.е. А* = /*(АЦти).
Предложение 1. Существует взаимно однозначное соответствие между вложениями (1) и подъемами в (4)
/: X - НМ(АГ™), ◦ / = /,
классифицирующего отображения /.
Доказательство очевидно. □
1.3. Первое препятствие. Применяя теорию препятствий, с учетом (3) получаем, что первое препятствие к существованию подъема / — некоторый характеристический класс й(А*) = /*й 1 е Н2(Х, й/кй) расслоения — X, где й е Н2(ВРи(к), й/кй).
Теорема 1. Класс й — образующая в Н2(ВРи(к), й/кй) = й/кй.
Доказательство. Идея состоит в том, что существует гомотопическая эквивалентность т*,г: (АЦти) ~ Сг*, г между тотальным пространством расслоения (4) и так называемым матричным грассманианом
Ог*, г := Ри(к1)/(Ри(к) 0 Ри(1)) (5)
— однородным пространством, параметризующим унитальные ^-подалгебры в М*г(С), изоморфные Мк(С) (к-подалгебры). Отображение тк,г задается так: для Н е (АЦти), (Н) = х тк,г(Л,) есть точка в Сг*,г, отвечающая к-подалгебре Н((АЦти)х) с М*г(С). Заметим, что т*,г в действительности есть расслоение со стягиваемыми слоями ЕРи(к) (последнее обозначает тотальное пространство универсального Ри(к)-расслоения).
Представление (2) показывает, что Бг*, г имеет структуру главного Ри(к)-расслоения над Ог*^. Пусть Л*, г: Ог*^ — ВРи(к) — его классифицирующее отображение. Тогда нетрудно показать, что Л&,г о~ . Теперь, используя условие (к, 1) = 1, мы можем вычислить интересующий нас кусок гомотопической последовательности расслоения (4):
П2(НМ(АЦ™)) = 0 — П2(ВРи(к)) ^ й/кй — П1(Бгм) ^ й/кй — п (НМ(АЦ™)) = 0.
Рассмотрим гомоморфизм групп п2(ВРи(к)) — Н2(Б2, й/кй), [д] — д*^, где [д] обозначает гомотопический класс отображения д: Б2 — ВРи(к). Это изоморфизм. Действительно, в силу п2(Н*,г(АЦт,у)) = 0 мы видим, что подъем в (4) существует только для отображения д: Б2 — ВРи(к), гомотопический класс которого тривиален, а значит, из [д] = 0 следует д*о)1 = 0, поскольку это единственное препятствие в данном случае. □
Легко видеть, что характеристический класс /*й 1 может быть также описан, как препятствие к редукции структурной группы расслоения А* = /* (АЦти) с Ри(к) до Яи(к). Поэтому структурная группа всякого расслоения А*, допускающего вложение в X х М*г(С), (к, 1) = 1, редуцируется к
Би(к).
Рассмотрим случай, когда А* = Епё(^), где — X — векторное С*-расслоение (заметим, что препятствием к такому представлению является класс 5(с))1 (А*)) е Н3^, й), где 5: Н2^, й/кй) — H3(X, й) — кограничный гомоморфизм, отвечающий коэффициентной последовательности 0 — й — й — й/к^ — 0).
Теорема 2. Для А* = Епё(^) первое препятствие в рассматриваемой задаче есть )шоёк е Н2(X, й/кй), где с1 — первый класс Чженя.
Доказательство. Конструкцию, аналогичную той, которая привела к (4), можно применить к End(^UniV) — BU(k), где — BU(k) — универсальное векторное -расслоение; это даст
Frk, ¿-расслоение:
HM(End(CUmv)) — BU(k). (6)
Это расслоение — обратный образ (4) относительно отображения классифицирующих пространств
: BU(k) — BPU(k), индуцированного гомоморфизмом групп U(k) — PU(k), являющимся факторизацией по центру. Отсюда легко видеть, что первое препятствие к существованию вложения для End(^k) есть характеристический класс c := (с) е H2(BU(k), Z/kZ), который равен cimodk. □
То, что c1mod k является препятствием к редукции структурной группы расслоения End(^) к SU(k), показывает следующее рассуждение. Имеем c1(^k) = 0modk ^ c1(^k) = ka, a е H2(X, Z). Возьмем линейное расслоение Z — X, такое что c1(Z) = -a. Тогда c1 ® Z) = c1 (Cfc) + kc1 (Z) = 0, т.е. Zfc ® Z есть расслоение со структурной группой SU(k). С другой стороны, End(^k) = End(^k ® Z).
1.4. Второе препятствие. Предположим теперь, что для расслоения A — X первое препятствие равно 0, тогда, как мы показали ранее, = End(Zk), где — X — векторное -расслоение со структурной группой SU(k). Эквивалентно, классифицирующее отображение f: X — BPU(k) можно поднять до j: X — BSU(k). Из (3) теперь мы видим, что следующее препятствие лежит в H4 (X, Z/kZ).
Теорема 3. Второе препятствие — в точности c2(Zfc)modk, второй класс Чженя расслоения , приведенный по модулю k.
Доказательство. Заметим, что пространство Frk)i := SU(k1)/(Ek ® SU(l)) — универсальное накрытие для Fr^i (ср. (2)). Заметим также, что конструкция расслоения (4) показывает, что оно ассоциировано с универсальным главным РЩ^-расслоением EPU(k) — BPU(k) относительно соответствующего (правого) действия PU(k) на слое Frk)i = Homaig(Mk(C), Mki(C)).
Легко видеть, что существует коммутативная диаграмма расслоений:
Fr, ,__ EPU(k) х FrM
^ PU(fc)
Pk, l
Frfc , i-. ESU(k)gU<fc)EYfc , i BPU(k) (7)
BSU(k)
Здесь — расслоение (4), причем тотальные пространства гомотопически эквивалентны. Из ^(Fr^i) = Z/kZ следует, что препятствие есть характеристический класс c2 е H4(BSU(k), Z/kZ). Поскольку c2(CUmv)mod k, где — BSU(k) — универсальное SU(k)-расслоение, является образующей для H4(BSU(k), Z/kZ) = Z/kZ, имеем:
C2 = ac2(^niv) mod k е H4(BSU(k), Z/kZ), a е Z. (8)
Кусок гомотопической последовательности для нижнего расслоения в (7)
n4(FrM) — ^(ESU(k) х FrM) — n4(BSU(k)) — пз(#Тм) — ns(ESU(k) х FrM)
SU(k) SU(k)
имеет вид
0 — Z — Z — Z/kZ — 0.
Следовательно, образ n4(ESU(k) х Frk i) — n4(BSU(k)) — подгруппа индекса k. Полагая X = S4
SU(k)
и рассуждая, как в конце доказательства теоремы 1, получаем, что a в (8) обратимо по модулю k. □
1.5. Высшие препятствия. В общем случае «высшие» препятствия лежат в H2r(X, Z/kZ), r е N, но для r > 2 они уже не совпадают с обычными классами Чженя, приведенными по модулю k.
Чтобы это показать, возьмем X = S8 и рассмотрим 6-мерное векторное расслоение ^ S8. Хорошо известно [2], что для S2r классы Чженя векторных расслоений образуют подгруппу индекса (r — 1)! в H2r(S2r, Z) = Z. В частности, в нашем случае r = 4, k = 6 имеем c4(^6) = 0(mod6), но из гомотопической последовательности расслоения (4) следует, что не каждое такое расслоение имеет подъем.
Однако теоремы 2 и 3 можно обобщить следующим образом. Пусть i: BU(2r) ^ BU — (2r — 1)-связное накрытие BU (т.е. его первая нетривиальная гомотопическая группа лежит в размерности 2r). Например, BU(2) = BU, BU(4) = BSU,... Тогда известно [3], что образ r-го класса Чженя при гомоморфизме i*: H*(BU, Z) ^ H*(BU(2r), Z) делится на (r — 1)! (заметим, что этот результат обобщает приведенный выше факт о классах Чженя расслоений над сферами). Положим cr := ^—¡^.
Теорема 4. Для расслоений, классифицируемых BU(2r), первое нетривиальное препятствие в нашей задаче есть класс cr mod k.
Доказательство. Для (2r — 1)-связного накрытия ik: BU(k)(2r) ^ BU(k), k > r пространства BU(k) рассмотрим Frk)1 -расслоение ik(Hk>1 (End(^Umv))) ^ BU(k)(2r), индуцированное из (6). Ясно, что первое препятствие к подъему в этом расслоении — некоторый характеристический класс шг е H2r(BU(k)(2r), П2г—i(FTfc,i)) = H2r(BU(k)(2r), Z/kZ) = Z/kZ. Используя гомотопическую последовательность расслоения, нетрудно посчитать, что n2r(ik(Hk,¿(End(^Umv)))) = Z и что образ вложения n2r(i*(Hk)1 (End(^Umv)))) n2r(BU(k)(2r)) = Z — подгруппа индекса k. Теперь, используя аргумент с S2r как в конце предыдущего доказательства, получаем, что для расслоения ^k ^ S2r, соответствующего образующей 1 е n2r(BU(k)) = Z, класс (r — образующая в H2r(S2r, Z/kZ) = Z/kZ, т.е. (r = cr mod k, что и требовалось. □
2. СВЯЗЬ С РАССЛОЕНИЯМИ СО СТРУКТУРНЫМ ГРУППОИДОМ
Расслоение (4), возникшее при описании препятствий к вложению (1), является универсальным главным расслоением некоторого топологического группоида Gk, i.
2.1. Группоид Gk,i. Фиксируем комплексную матричную алгебру Mki (C). Напомним, что уни-тальные ^-подалгебры в Mkl(C), изоморфные Mk(C), мы называем k-подалгебрами.
Рассмотрим категорию Ck,i, объектами которой являются k-подалгебры в Mki(C), а морфизмами из одной k-подалгебры Mk,a С Mki (C) в другую Mk,e С Mki(C) — множество всех унитальных ^-гомоморфизмов Mk,a ^ Mk,e. Легко видеть, что Ck,i — группоид, т.е. малая категория, в которой всякий морфизм является изоморфизмом. Кроме того, это топологический группоид (и даже группоид Ли), который мы обозначим Gk,i. Пространство его объектов Gk i — матричный грассманиан Gr^i (5). Пространство морфизмов Gk, i описывается так. Во-первых, заметим, что матричный грассманиан Grk)i — база тавтологического (над точкой а е Grk)i «висит» k-подалгебра Mk,a С Mki (C), параметризуемая этой точкой) Mk(С)-расслоения, которое обозначим Ak,i ^ Grk,i. Применяя к нему послойно функтор Homaig(..., Mki(C)), получаем пространство Hk,i(Ak,i), которое и есть Gk,i (ср. (4)).
Будучи группоидом, Gk,i задано вместе со структурными морфизмами: s, t: Gk,i ^ Gk i, композицией m: Gk,i x Gk,i ^ Gk,i, единицей e: Gk i ^ Gk,i и обращением i: Gk,i ^ Gk,i.
'k, I
Опишем, например, 5 и £ в терминах топологических пространств Ог^г ~ 0к 1 и Ик,1 (Ак)г) ~ 0к,г. Морфизм 5: Ик)1(Ак)1) — Сгк)1 — в точности отображение проекции расслоения, индуцированное проекцией тавтологического расслоения Ак)1 — Сгк)1. Морфизм £: Ик)1(Ак)1) — Сгк)1 — отображение Л — Л((Ак)1)а), где Л е Им(Ак)1), з(Л) = а, и мы как обычно отождествляем к-подалгебру Л((Ак)1 )а) с соответствующей точкой Ог^г .
Заметим, что имеются бифункторы Ск)1 х Ст, п —► Скт, , индуцированные тензорным произведением матричных алгебр, и соответствующие морфизмы топологических группоидов
0к, 1 х п ®кт, 1п, (9)
накрывающие соответствующие отображения Ог^г х Сгт,п — Огкт,гп матричных грассманианов [4]. Для а е ОЬ(Ск,г) рассмотрим (полную) подкатегорию в Ск,г с одним объектом а. Соответствую-
А В. Ершов. Препятствия н вложению расслоений матричных алгебр в тривиальное расслоение щий морфизм группоидов Ри(к) н 0к,г — Морита-морфизм, т.е. диаграмма
Ри(к)-» 0М
-^ Огк,г х Огк,г
является декартовым квадратом.
2.2. Универсальное главное 0к,г-расслоение. Напомним, что для топологической группы О универсальное главное расслоение получается из свободного действия О на стягиваемом пространстве ЕО. Тогда классифицирующее пространство ВО — пространство орбит ЕО/О этого действия. Понятия главного и универсального главного расслоения естественно обобщаются на случай топологического группоида причем последнее получается из свободного действия 0 на пространстве ЕФ, гомотопически эквивалентном пространству объектов [5, II. 8] (если группоид является группой, то это сводится к универсальному расслоению группы, поскольку группу можно рассматривать как группоид с единственным объектом).
В доказательстве теоремы 1 мы определили отображение тк,г: Нк,г(АЦ:П™) н Огк,г, Н н Н((Аити)х) С Мкг(С), где х е ВРи(к) и Н е р"1 (х), которое является расслоением со стягиваемыми слоями, в частности, гомотопической эквивалентностью; причем, напомним, Огк,г =
Имеется свободное действие р группоида 0к,г:
р: 0к,г х Нк,г (АЦ^) н Нм(АГ™)
(т := тк,г), определенное с помощью композиции гомоморфизмов алгебр. Точнее, для д е 6к)1, Н е р"1 (х), х е ВРи(к), такого что з(д) = тк,г(Н), полагаем р(д, Н) := д(Н((Аип™)х)) С Мкг(С) (в частности, тм(р(д, Н)) = г(д)).
Теорема 5. База главного 6к,г-расслоения (Нк)1(Аипги), 0к,г, р) есть ВРи(к) (ср. (4)).
Доказательство. Нетрудно проверить, что отображение
0М х Нк,г(А^™) н НМ(АГ™) х НМ(АГ™), (д, р) н (др, р)
3 ©о т ВРи(к)
является гомеоморфизмом. □
Таким образом, действие р определяет на расслоении (4) структуру главного Фк, г-расслоения. Более того, так как тк,г: Нк)1(Аипги) н Огк,г имеет стягиваемые слои, это универсальное главное расслоение для Фк,г. Тем самым мы доказали гомотопическую эквивалентность В0к,г — ВРи(к).
2.3. Частичные изоморфизмы. Пусть, как в п. 1.1 Ак н X — Мк(С)-расслоение над X и д: Ак н X х Мкг(С) ((к, 1) = 1) — отображение расслоений, которое является унитальным ^-гомоморфизмом алгебр на каждом слое. Таким образом, каждый слой (Ак)х, x е X можно отождествить с соответствующей к-подалгеброй д|х((Ак)х) С Мк(С) и, фактически, мы рассматриваем тройки (Ак, д, X х Мкг(С)). Пусть (А;к, д', X х Мкг(С)) — другая тройка этого вида. Предположим что расслоения Ак и Ак изоморфны и выберем некоторый конкретный ^-изоморфизм $: Ак = Ак.
Заметим, что вложения д, д' определяют соответствующие отображения в матричный грассма-ниан /, /^: X н Огк,г и, более того, $, д и д' определяют отображение V: X н 0к,г, такое что ^ ◦ V = г о V = /^ и V|х = д' о о д"1: д((Ак)х) н д'((Ак)ж).
Обратно, отображение V: X н 0к,г определяет некоторые отображения /^ := 5 о V и /^ := г о V: X н Огк,г, которые отвечают некоторым тройкам (Ак, д, X х Мкг(С)), (А;к, д', X х Мкг(С)), и изоморфизм $: Ак = А;к.
Такое V естественно назвать частичным изоморфизмом из (Ак, д, X х Мкг(С)) в (Ак, д', X х Мкг(С)). Частичный изоморфизм, который может быть поднят до «настоящего» автоморфизма тривиального расслоения X х Мкг(С) (т.е. до отображения расслоений $: X х Мкг (С) н н X х Мкг(С), такого что диаграмма
Ак---- А
X х X х Мк1 (С)
коммутативна), назовем просто изоморфизмом.
Заметим, что не всякий частичный изоморфизм может быть поднят до изоморфизма, что связано с существованием негомотопных вложений Задача подъема эквивалентна редукции структурного группоида [6] и препятствия к ней могут быть явно описаны.
2.4. Действие группоида на слоях забывающего функтора. Рассмотрим функтор
(Ак, X х Мк1 (С)) — Ак,
«забывающий» вложение / и отвечающий отображению представляющих пространств Сг^г — — ВРи(к) (с гомотопическим слоем Ргк, г).
Ранее мы показали, что для /: X — ВРи(к) выбор подъема /: X — Нк,г(АЦ"^) (если он существует) эквивалентен выбору вложения /: /*(А1Цпгу) — X х Мкг(С). Такой подъем обозначим через .
Для данного V: X — 6к,г, такого что 5 о V = тк,г о / = /^, £ о V = /^ : X — Сгк,г, определим композицию /:
X — X х X -— 0М х Нм(А^™) — Нм(АЦ^),
которая есть другой подъем / (рк,г о / = / = ркг о /), т.е. отвечает другому (вообще говоря, гомо-топически неэквивалентному) вложению : /*(Аипгу) — X х Мкг(С), т.е. /^ = тк,го/: X — Сгк,г. Ясно, что определенное действие транзитивно на гомотопических классах таких вложений.
2.5. Переход к прямому пределу. Заметим, что отображения (9) отвечают отображениям классифицирующих пространств
Н! Липгу\ ч, и" ! Липгу\ _^ тт ! липгу\
к, г (Ак ) х Нт,п (Ат ) -^Нкш,гп(Акш )
ВРи(к) х ВРи(т)-^ ВРи(кт)
(где (кт, 1п) = 1), индуцированным тензорным произведением расслоений на матричные алгебры [4]. Ввиду гомотопической эквивалентности Нк, г(Аипгу) — Сгк,г получаем морфизм Н-пространств
Сг — НшВРи(к), (10)
к
где Сг := Нш Сг^г [4] и прямые пределы берутся относительно отображений, индуцированных
(к,г)=1
тензорным произведением матричных алгебр. Ввиду изоморфизма Н-пространств Сг = ВЯи^ [4], отображение (10) — композиция отображений локализации
ВЯи^ — Ц ВД, 2п)
—»
п> 2
и включения
П ВД, 2п) — K(Q/Z, 2) х ^ К((ф, 2п) — 1—ВРи(к).
п>2 п>2 к
Морфизм Н-пространств (10) позволяет определить интересный гомотопический инвариант пространства X. Рассмотрим абелеву группу
сокег{ [X, Сг] — [X, 1—ВРи(к)]}, (11)
к
где гомоморфизм групп гомотопических классов отображений индуцирован морфизмом Н-прост-ранств (10). Эта группа допускает следующее «геометрическое» описание. Если существует вложение ц: Ак — X х Мк1 (С) для некоторого I, (к, I) = 1, то Мк(С)-расслоение Ак — X называется вложи-мым (заметим, что из предыдущих результатов видно, что если I достаточно велико, то вложимость не зависит от выбора конкретного I, но только от самого расслоения Ак). Если существуют вложимые расслоения А1? Бп, такие что Ск ® А; = Бт ® Бп, то Мк(С) и Мт(С)-расслоения Ск, Бт над X называются эквивалентными. Множество классов такой эквивалентности расслоений над данной базой X относительно операции, индуцированной тензорным произведением, является группой. Она совпадает с коядром (11). В частности, для каждой четномерной сферы Б2п она изоморфна Q/Z (и 0 для нечетномерной).
Автор выражает благодарность А.С. Мищенко, Е.В. Троицкому и Томасу Шику за конструктивное обсуждение вопросов, затронутых в данной статье.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00046-а, 07-01-91555-ННИО_а и 08-01-00034-а).
Библиографический список
1. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.
2. КарубиМ. К-теория. Введение. М.: Мир, 1981. 360 с.
3. Peterson F.P. Some remarks on Chern classes // Annals of Math. 1959. V. 69. P. 414-420.
4. Ershov A.V. A generalization of the topological Brauer group // J. of K-theory: K-theory and its Applications
УДК 512.534
ОТНОШЕНИЯ ГРИНА И ОБОБЩЁННЫЕ ОТНОШЕНИЯ ГРИНА НА НЕКОТОРЫХ ПОЛУГРУППАХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
И.Б. Кожухов, В.А. Ярошевич
Московский институт электронной техники,
кафедра высшей математики -1
E-mail: Kozhuhov_I_B@mail.ru, V-Yaroshevich@ya.ru
Исследуются отношения Грина L, R на полугруппах изотонных преобразований частично упорядоченных множеств, а также обобщённые отношения Грина L*, R* на полугруппе B(X) бинарных отношений на множестве X. Доказано, что хотя полугруппа B(X) не регулярна при |X| ^ 3, но в ней, как во всякой регулярной полугруппе L = L*, R = R*.
Ключевые слова: частично упорядоченное множество, полугруппа изотонных преобразований, отношение Грина на полугруппе, обобщённые отношения Грина, полугруппа бинарных отношений.
to Algebra, Geometry and Topology. 2008. V. 2, Spec. Iss. 03. P. 407-444.
5. Connes A. Noncommutative geometry. N.Y.: Academic Press, 1994. 661 p.
6. Ershov A.V. Topological obstructions to embedding of a matrix algebra bundle into a trivial one // http://arxiv.org/abs/0807.3544.
The Green's Relations and the Generalized Green's Relations on Certain Transformation Semigroups
I.B. Kozhukhov, V.A. Yaroshevich
Moscow Institute of Electronic Technology,
Chair of Higher Mathematics -1
E-mail: Kozhuhov_I_B@mail.ru, V-Yaroshevich@ya.ru
We investigate the Green's relations L, R on the semigroups of isotone transformations of the partially ordered sets, and also the generalized Green's relations L*, R* on the semigroup B(X) of binary relations on a set X. It is proved that L = L*, R = R* in the semigroup B(X) though this semigroup is non-regular for |X| ^ 3.
Key words: partially ordered set, semigroup of isotone transformations, Green's relations on semigroup, generalized Green's relations, semigroup of binary relations.
В работе используются основные понятия теории полугрупп из монографии [1]. Пусть Б — полугруппа, Б1 = Б и {1} — полугруппа Б с внешне присоединённой единицей 1. Отношения левой и правой делимости в Б определяются обычным образом:
а <I Ь & Б1 а с Б1Ь, а Ь & аБ1 с ЬБ1.
