CC BY
32
4. Клейменов А.Ф. Различные типы решений в позиционной неантагонистической дифференциальной игре // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов. 2007. Т. 12. № 4. С. 464-466.
5. Straffin P. Game theory and strategies. Math. Associat. of America. Washington, 1993.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Математическая теория управления», при финансовой поддержке УрО РАН (проект № 09—П—1—1015), а также Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00313).
Kleimenov A.F. Solutions constructing in a repeated nonantagonistic three-person game. In the considered game two players act in the class of mixed strategies, while the third player acts in the class of pure strategies. The suggested approach for building dynamics uses the principle of non-decrease of players’ payoffs, some special procedure of using Nash equilibria in auxiliary bimatrix games and various behavior types for players.
Key words: repeated three-person game; finite number of strategies; behavior types.
Клейменов Анатолий Федорович, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, e-mail: kleimenov@imm.uran.ru.
УДК 517.98
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ НА
БИНАРНЫХ МАТРИЦАХ
© С. В. Кольцова
Ключевые слова: пространство функций на бинарных матрицах; ядро и образ преобразования Радона; формула обращения.
Исследуется преобразование Радона в пространстве комплексных функций, заданных на бинарных матрицах. Описаны ядро и образ преобразования Радона, а, в случае его инъективности, получена формула обращения.
Пусть X — множество всех бинарных матриц размера m х n с обычной операцией сложения по mod2 и адамаровым умножением. Пусть L(X) — пространство функций
f : X ^ C. Пусть M С X, My = M + y = {m + y | m G M}, Y = {My | y G X}. Обозна-
чим 5m характеристическую функцию множества M. Определим преобразование Радона Rm : L(X) ^ L(Y) формулой
(Rmf)(y) = ^ f(x) = ^ 5m(y - x). (1)
xeMy xEX
Основные задачи — описать ядро и образ оператора Rm и, если он инъективен, найти RM , т. е. написать формулу обращения.
Мы формулируем условия миъективиости Rm и, в качестве примера, предъявляем явную формулу обращения для одного конкретного множества M.
Для решения задач мы используем конечное преобразование Фурье, определенное формулой
Ш) ^(-l)ix'v,f(x),
xeX
где (x, у) — сумма всех единиц матрицы, являющейся адамаровым произведением матриц x и у.
Как известно [1], преобразование Фурье задает изоморфизм пространства L(X) на себя, причем обратное преобразование задается формулой
f(y) = m £ (-n<x-y>m-
xEX
Перепишем формулу (1) в виде
(Rmf )(у) = £ f (у - x)5m(x) = (f * 5m)(y), (2)
xex
f
стической функцией 5m множества M.
Применим преобразование Фурье к обеим частям формулы (2), получим
(Rmf)(x) = f (x) ■ 5m(x). (3)
Преобразование Фурье f (x) можно найти из (3) тогда и только тогда, когда 5m(x) не
обращается в 0 ни при как ом x. В этом случае при помощи обратного преобразования
f.
1
г
Теорема 1. Если 5 m (x) имее m r нулей, mo Rm имеет, ядро и
dim ker RM = r.
Пусть H(x,v) — метрика Хеммига в пространстве X (т. е. число различных элементов у матриц x и у)- Пусть M — множество матриц, у которых только один элемент равен 1, а остальные равны 0, и пусть mn — нечетное число. Тогда имеет место теорема 2. Теорема 2. Любую функцию f Е L(X) можно представить в виде
f (у) = — Е (H(x’V - ^(Rm f )(x),
mn z—/ \ 2
x | H(x,y)—нечетн. \ /
где
„A-1)k2 • 4 • ... • 2k
(к)----------------mn — 4... mn — 2k.
mn - 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Diaconis P., Graham R. The Radon transform Z 11 Pacif. J. Math. 1985. V. 118. № 2. P. 323-345.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Koltsova S.V. The Radon transform in the space of functions on binary matrices. There is considered the Radon transformation in the space of complex functions on binary matrices. The kernel and the image of the Radon transformation are described. In the case of injective Radon transformation the inversion firmula is derived.
Key words: the space of functions on binary matrices; the inversion firmula; the kernel and the image of the Radon transformation.
Кольцова Светлана Васильевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, e-mail: molchano@molchano.tstu.ru.
УДК 519.95, 517.92
ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОРРЕКТИРУЕМЫХ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ И СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ БЕЗРЕЗОНАНСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© П.А. Котов
Ключевые слова: динамическая система; безрезонансные дифференциальные уравнения; конструктивные параметры интегрирования.
Рассматриваются вопросы моделирования корректируемых информационноизмерительных устройств.
При исследовании различных технических, физических, химических систем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, как правило, у последних появляется свойство жесткости. Это свойство состоит в том, что на интервале наблюдения для описания движения системы приходится использовать функции двух типов: быстро меняющиеся функции с большими производными и медленно затухающие функции с малыми производными [1]. Особые сложности возникают, если моменты начала быстрых движений З&реШбб неизвестны.
Рассмотрим класс динамических систем, описываемых уравнениями состояния [2]:
x = Ax + Bu,
где x, u — n-мерный вектор состояния и m-мерный вектор входа соответственно; А, В — числовые матрицы соответствующих размеров. Характеристическое уравнение для такой системы имеет вид |2|:
det (A — vI) = 0
Корни характеристического уравнения диагностируют устойчивость равновесия. Система устойчива асимптотически, если вещественные части всех корневых элементов характеристического уравнения отрицательны. Систему относят к жестким системам, если элементы корневой системы характеристического уравнения \ i отличаются на несколько
