Преобразование динамических многочленных систем с применением аппроксимаций Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА

УДК 531.01+681.5.03+531.07

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППРОКСИМАЦИЙ ЧЕБЫШЕВА

В.Г. Мельников

Рассматривается процесс преобразований уравнений автономных механических систем многочленной структуры со многими степенями свободы, связанный с методом нормализации Пуанкаре-Дюлака. Вносится изменение в метод, состоящее в аппроксимации остаточных членов высоких степеней многочленами меньших степеней с сохранением их в уравнениях, обеспечивающее существенное повышение точности преобразованной системы. При этом используется свойство мономов высоких степеней содержать переменные в высоких степенях, допускающих применение метода экономизации Чебышева.

Ключевые слова: автономная система динамических уравнений, многочленное преобразование фазовых координат, нормальные формы Пуанкаре-Дюлака, экономизации Чебышева.

Введение

Важным этапом исследования движения каждой динамической системы с сосредоточенными параметрами в конечной окрестности нуля фазового пространства является преобразование ее в систему уравнений с уменьшенным количеством параметров, символьных констант [1-3]. Минимизация количества существенных констант упрощает последующий аналитический и численный анализ. Вначале обычно выполняется преобразование подобия - изменение масштабов переменных, затем выполняется замена переменных, соответствующая структуре уравнений. Для автономных уравнений возмущенного движения широко используется метод нормализации Пуанкаре-Дюлака, формального многочленного преобразования дифференциальных уравнений с сохранением в преобразованной системе множества неустранимых «резонансных» или близких к резонансным констант - коэффициентов при мономах. При этом сходимость рядов гарантирована лишь при весьма жестких ограничениях, поэтому метод относят в основном к асимптотическим методам [4-6]. В случае сходимости рядов формальная эквивалентность преобразованной и исходной систем становится аналитической эквивалентностью в некоторой области сходимости, которая может оказаться весьма малой. При практическом применении асимптотического метода рекомендуется проверка идентичности существенных динамических свойств исходной и преобразованной систем [2]. В [5, 7] рассмотрены, в частности, автономные системы с правыми частями в виде многочленов высокой степени, для которых развит метод многочленного преобразования с сохранением в преобразованной системе мономов с резонансными и близкими к резонансным индексами во избежание появления малых делителей, в [8] метод применен к системе управления.

В настоящей работе предлагается существенное изменение метода многочленных преобразований в направлении уменьшения невязок, повышения точности преобразованной модели. Уточнение преобразованной модели достигается тем, что в процессе выполнения преобразований остаточные члены уравнений, составленные из мономов высоких степеней, не отбрасываются, они аппроксимируются многочленами меньших степеней по методу экономизации Чебышева [9-13] и включаются в преобразованные уравнения, а к пренебрегаемым членам отнесены лишь погрешности этих аппроксимаций. Данный прием основан на очевидном свойстве каждого монома достаточно высокой степени содержать фазовые координаты в степенях 5 > 3 , допускающих приближение многочленами меньших степеней с небольшой относительной погрешностью. Расчетные алгебраические формулы для констант модифицированного метода преобразований не рекуррентны, поэтому константы вычисляются с применением метода малого параметра, причем за порождающие решения алгебраической системы принимаются решения по методу Пуанкаре-Дюлака. Модифицированный метод приводит, в общем случае, к некоторым изменениям собственных значений матрицы линейной части преобразованной системы.

Постановка задачи

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с правыми частями в виде сумм однородных многочленов степеней 1, 2,..., т с малыми коэффициентами при нелинейных членах:

= Ух а, I = 1,...,п, хе б . (1)

Ш | у | =

Здесь аУ = а(уУп) = 0(е) при | у |> 2; у = (у1.. уп) - векторные индексы суммирования; Xу = х1"1...хПп -мономы степеней | у |= у1 +... + уп; Б = {х = [х1,...,хп] с Яп : | х1|< г, / = 1,...,п,} - окрестность нуля фазового пространства. Однородные линейные многочлены в (1) вида

7

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ

Zv e 1 en 1 n

xvat = x1ai +... + xnet = x1ai +... + xnat записаны с применением единичных векторных индексов

|v | = 1

ej = (0...010...0), собственные числа X = [Х1,...,Xn] матрицы A = [aj]П линейной части системы предполагаем существенно различными, X, Ф Xj при i Ф j.

Считаем, что система (1) описывает движение некоторого класса механических систем с сосредоточенными параметрами с пренебрежимо малыми погрешностями.

Ставится задача о многочленном преобразовании степени m фазовых переменных, где m = max(m',2n), с измененными формулами для определения констант. Изменение состоит в том, что остаточными членами, составленными из мономов степеней больших, чем m, которые появляются в процессе преобразования, не пренебрегаем, сохраняем их приближенно в уравнениях в виде аппроксимирующих многочленов степени m, найденных методом экономизации Чебышева.

Замечание. Если система (1) получена из классических автономных уравнений возмущенного движения посредством приближения голоморфных функций частичными суммами в O(e) - окрестности нуля фазового пространства и масштабного преобразования окрестности в единичную область D , то в (1) можно считать a] = O(e|v|-1) при | v |> 2, что не влияет на процесс преобразований.

Целесообразна проверка преобразованной модели с позиции сохранения существенных динамических свойств, например, методом функций Ляпунова [2, 7, 14].

Многочленные преобразования со встроенными экономизациями Чебышева

Введем в рассмотрение множество особых (резонансных) индексов Nj = Ni2 uNi3 Nim, где

подмножества Nik находятся как семейства целочисленных неотрицательных решений системы двух алгебраических уравнений:

Nk(X) = {((,...,f*): X, +... + f*Xn-Xi * 0, + ... + f„k = k}, i = 1,...,n. (2)

Введем замену фазовых переменных в форме многочленов назначаемой степени m с комплексными константами

m n m

У, = Xxvb] = XXjbj + Xxvbk, m > max (m ',2n), i = 1,...,n , (3)

]|=1 j=1 |k |=2

с неособой матрицей B = [b/]n, с малыми коэффициентами bk = O(e) при | k |> 2, k = (k1...kn). Назовем невязками 5, (x) следующие дифференциальные выражения, вычисляемые на решениях системы (1) с подлежащими определению комплексными константами pf :

dy m

5, = -У-Xy -X Y pf i = 1,..., n . (4)

dt |f|=2 feNt

Ставится задача выбора коэффициентов преобразования (3) и резонансных коэффициентов pf из условия минимизации невязок 5i .

В силу уравнений (1) и выражений (3) получаем невязки в виде разности двух многочленов степеней (m' + m -1) и m2 вида

5i = XjXv+v '-ejbVVa]' Vj -X^X XX^ ...[^ xX J pf, i = 1,..., n . (5)

Каждую функцию (5) представляем посредством приведения подобных членов в виде суммы однородных многочленов степеней 1,...,m и дополнительных многочленов р,(x) со степенями мономов

m +1, m + 2,...,m2:

m m2

5,,(x) = XX] +Р,(x), при р, = X XV, Р, = O(e2). (6)

|v|=1 |v|=m+1

Вносим изменение в классический метод преобразований. Вместо отбрасывания функций р, (x) аппроксимируем их многочленами степени m и присоединяем эти многочлены к первой сумме выражения (6), пренебрегаем лишь погрешностями этих аппроксимаций. Здесь используем очевидное утверждение: любой моном xv = x]1 ...x]n степени | v |> m при m > 2n +1 содержит, по меньшей мере, один множитель xV1 в степени vj > 3, в связи с чем его можно приблизить с небольшой погрешностью многочленом меньшей степени на единичном интервале по формулам экономизаций Чебышева [10-12]. Например, на

х4 = х.х3 и — х2г2, х6 и — х4г2--х2г4. Процесс последовательных экономизаций можно заменить пред-

1 11 /1 1 1 /1 1 1

интервалах -г < х. < г с оценками погрешностей Д = 0,25г3;0,13г 4;0,06г5;0,03г6 имеем аппроксимации

3 3 2 4 22 Г 552354

х3 г2х., х4 и г2х2--, х5 и — г2х3--г4х.,

1 4 1 1 1 8 1 4 1 16 1

6 3 2 4 9 4 2 . 1 6

х. и — г х.--г х. +--г .

1 2 1 16 1 32

В аппроксимациях некоторых мономов четных степеней могут выделяться постоянные слагаемые. Для исключения таких случаев используем альтернативные аппроксимации, например,

3 2 2 6 5 4 2 5

— х.г , х. и— х г--

4 1 1 4 1 16

ставлением мономов через функции Чебышева с отбрасыванием функций высоких степеней с малыми множителями [10-12]. В результате выполнения последовательности экономизаций все мономы степени | V |> т аппроксимируются многочленами со степенями не превосходящими т .

Посредством выделения квадратичного множителя можно ценою некоторого понижения точности выполнить экономизации без линейных и свободных членов, например, х5 = х2х3 и 3х3 / 4 . При двукратном понижении степени получаем х^ и 5х.. /8, х® и 5х2 /8 .

Допустим, что в (6) дополнительные многочлены высоких степеней Р, (х) = 0(е2) аппроксимированы многочленами степени т без выделения свободных членов:

т

Р, =ХС +а, (х), ' = 1,...,п, х £ В . (7)

V |=1

Подставляя выражения (7) в (6), получаем невязки 5, в форме многочленов от переменных х. степени т с погрешностями а, (х)

т

5,(х) = (Щ + С) + а,, ' = 1,...,п, х е В . (8)

V |=1

Константы Ь, рV будем определять из условий равенства нулю всех коэффициентов при X у в выражениях (8):

Щ +ус," = 0, V = (^,...,vn): | V |= 1,...,т, , = 1,...,п, у = 1, (9)

где формальным множителем у = 1 отмечены малые слагаемые сV = 0(е2), выделенные из дополнительных многочленов высоких степеней.

Алгебраическую систему (9), содержащую неизвестные Ь, рV, следует доопределить посредством назначения некоторых коэффициентов преобразования и преобразованной системы. Минимальное количество неустранимых констант р,Г преобразованной системы определяется по множеству резонансных индексов вида (2). Потребуем приведения линейной части преобразованной системы к диагональному виду и обнуления всех коэффициентов рV с нерезонансными индексами:

р = 0 V V г N, [ре]п - [р.]П = <адС..,^П], X* +е2е,, , = 1,...,п. (10)

Здесь слагаемые е26,, выделенные из Р,, считаем малыми, не изменяющими множества индексов (2), т.е. (Ж,(X)} = (Ж,(X*)}, , = 1,...,п . Из (4) согласно (8), (9), получаем преобразованную систему вида

йу! /Л = Х*у, + X ^рГ +а,(х), = У •••УГп, , = 1,...,п ,

ЦЕЛ',

где а, (х) = 0(е3) - погрешности аппроксимаций функций Р, (х) = 0(е2) с измененными значениями собственных чисел X, на X,*. Итак, заменой фазовых переменных (3), при условии выполнения уравнений (9), (10), система (1) преобразуется в систему

йу! /Л = X*у, + Х ^рГ, У,= У1...уГп, ,= 1,...,п . (11)

геЛ,

При этом предполагаем, что эти изменения малы и не меняют множества индексов (2).

Система (11) имеет невязки а, (х) на решениях исходной системы (1), примерно на порядок меньшие по сравнению с невязками в виде остаточных сумм известного метода многочленных преобразований.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ ...

Случай аппроксимации невязок без изменения линейных форм

Рассмотрим частный случай, когда применением альтернативных аппроксимаций остаточные члены не приводит к поправкам в линейную часть преобразованной системы. В таком случае аппроксимирующая алгебраическая система (9) не содержит поправок о] при | V |= 1:

к] +1С] = 0, I V |= 2,3,...,т, о] |]|=1 = 0, 1 = 1,...,п .

В этом случае систему (1) и выражения (3), (4) целесообразно привести к виду с диагональной

матрицей. Тогда упрощается замена переменных, а невязка по-прежнему имеет вид (4):

Шх т ' т

—'- = X.x. + V X а], у. = х. + V Х Ь, 1 = 1,...,п,

Ш | V |=2 | V |=2

(у т

8' = (У-\у,-VуГ-...у^-^ , ' = 1,...,п.

Ш |г|=2

ГеЛ.

Получаем, временно опуская для краткости знаки суммирования:

8' = (х + Х^^ х])-X.. (х + Хуь;) - (х + Х]Ь] )Г1 ...(Хп + ХЬ) р(Г1--Гп> =

= X] (а] + (Vj X j -X' )Ь]) - Хг РГ + Хк - ^ Ь] -Ф(3т -Ф(т+1,т2) ,

где Ф(3т),Ф(т+1т ) - многочлены со степенями мономов (3,4,., т), (т +1, т + 2,..., т2) соответственно. Пусть методом экономизации Чебышева получены приближения

т

ф( т+1,т2) = V Хо]+а! (х).

| V |=2

Получаем выражения невязок

т п т

8' = V хМ - (X' -Е^ X j )ь; - < - о;) - V Хг Рг

| v |=2 j=- |г|=2

геЛ

+ а..

где ^ - коэффициенты многочленов ф(3 т). Потребуем тождественного равенства нулю всех коэффициентов многочленов степени т, т.е. - выполнения условий 8' = а . Получаем алгебраические уравнения, в которых формально введем параметр у = 1 перед малыми членами:

ц = а"-С-уО/^'-Х V X j), V 2,3,., т, V N,

j=1

ЬГ= 0, РГ = аГ -ШГ-уоГ, геАГ, ' = 1,-,п.

Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом итераций, причем за порождающее решение принимается решение классической системы, получаемой приравниванием к нулю всех поправок экономизации Чебышева С = 0.

Пример. Система уравнений второго порядка

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений с кубическими однородными формами и различными отрицательными корнями характеристического уравнения X2 < X- < 0 :

х. х . +ёХ., Х. = 7 x;-х22а(V-V2), х е Б, 1 = 1,2, 1 11 1 ' 1 ^^^ 12 1' ' ' '

| V |=3

где Б = {х = (х1,х2) :| х1 |< г,| х2|< г}. Предполагаем, что отсутствуют резонансные индексы третьей степени, определяемые из условий ;-X- + ;2X3 - X.. Ф 0, V | V |= + ;2 = 3, 1 = 1,2 ^ 3X- Ф X2. Нелинейной заменой переменных с кубическими формами

у.' = х. +е и .. при и = V хк хк2 Ь(кк \ 1 = 1,2,

|к|=3

приводим систему к линейному виду, с точностью до невязок 8.:

у, -X.у =8, при 8,.=в^ +62Р,., 1=1,2, (12)

где

г>и Ги

^ = Х' +-иX-х1 + —X2х2 -XlUl. = Vх;1 х222 [aI(v-V2) -Л^V2)Ь,1^],

гx- гх2 | V |=3

ги ги

Л(V-•V2) =X. -;IXI -;,X„ В . =—'-X,Х. +—¡-X2Х2.

1 1 -- 2 2 у ' 1 --ч 1 1 --•> 22

ox- йх2

Имеем с переобозначениями индексов суммирования: v, ^ v2 , и повторно - v| ^ v1 - k1 +1,

v'i ^ v2 - k2, а в другой сумме v| ^ v1 - k1, v2 ^ v2 - k2 +1:

pt = £bf^£(xf.-1+v1Xiki +v2ка?1"2) + xf1 +v1x1ki +v2-1k2a2v1v2= £ х[-x[i,

| k|=3 v' |v|=5

A A

= £ bf^ £ k1a1(v1-k1 +1v2-k2) + k2ap-^-k2)

|k |=3 Vv +v =5

= 36,(3'0)aiv1 -2v2) + Ь^^-1v2-1) + av ^ + b;11•2)(a^"2-2) + 2a1(v1-1-v2-1)) + 3Й,(0•3)a^"2-2). Аппроксимируя в D однородные формы Pt. кубическими формами, получим: Pi = f +«t при f = £ xp x2^ cv\ t = 1,2.

|v|=3

при c(30) = 4h(50), c(03) = 4h(05),c,(21) = 3((41) + h(23)), c(13) = 3(32) + h(14))

Отметим, что коэффициенты c("1"1) линейно зависят от b*1^ . Потребуем выполнения условия (eFi + е2 f) = 0 отсутствия в невязках кубических форм, тогда имеем 5t = e2at, получаем две алгебраических системы

at("l"1) - Л("l"1)bt("1"1) + ес,0,1^ = 0, i = 1,2. (13)

Приближенное решение уравнений (13), определенное по методу малого параметра, имеет вид

b^ ^) = a,(v1 ^) / Лl("l ^), •"1) = bv ^) + sc,Cv1 ^) / Л(г1 ^), i = 1,2,

где CI(Vl'V1)- результат подстановки в коэффициенты c(v'vi) выражений bI("1'"1). Дифференциальные уравнения (12) с точностью до невязок e2ai имеют вид y = 0 i =1,2 .

Заключение

Рассмотрена нелинейная автономная динамическая система с несколькими степенями свободы с правой частью в форме степенных многочленов в конечной окрестности положения равновесия. Методом нормализации в многочленном варианте выполнено преобразование. С целью повышения точности преобразованной модели остаточные члены высоких степеней включаются в преобразованную систему посредством аппроксимаций Чебышева многочленами меньших степеней. Метод продемонстрирован на примере.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а.

Литература

1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. - М.: МЦНМО, 2005. - 464 с.

2. Васильев С.Н., Козлов Р.И. Ульянов С.А. Анализ координатных и других преобразований моделей динамических систем методом редукции // Труды Института математики и механики. - УрО РАН, 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 1-18.

3. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 1 (65). - С. 59-63.

4. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. - М.: Наука, Физматлит, 1998. - 288 с.

5. Мельников Г.И. О приближенном интегрировании уравнений возмущенного движения // Вестник Ленинградского госуниверситета. - 1963. - № 19. - Вып. 14. - С. 112-123; 1964. - № 1. - Вып. 1. -С. 88-98.

6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - СПб: Лань, 2011. - 304 с.

7. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. - Л.: Машиностроение, 1975. - 198 с.

8. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Изв. вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 5. - № 50. - С. 20-25.

9. Melnikov V.G. Chebyshev economization in Poincare-Dulac transformations of nonlinear systems // Nonlinear Analysis. - 2005. - V. 63. - № (5-7). - P. 351-355.

10. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Издательство физико-математической литературы, 1961. - 524 с.

11. Hamming R.W. Numerical methods for scientists and engineers. - Dover, 1986. - 721 p.

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

12. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - СПб: Лань, 2010. - 400 с.

13. Мельников В.Г. Применение метода экономизации К. Ланцоша при исследовании нелинейных колебаний механических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2004. - Т. 50. - № 15. -С. 16-18.

14. Матросов В.М., Румянцев В.В., Карапетян А.В. Нелинейная механика. - М.: Физматлит, 2001. - 432 с.

Мельников Виталий Геннадьевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, melnikov@mail.ifmo.ru

УДК 531

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С.Е. Иванов

Предложен алгоритм математической и программной реализации метода исследования нелинейных динамических систем с тремя степенями свободы. Рассматривается нелинейная математическая модель динамической системы, которая содержит полиномы до четвертой степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. В результате применения метода нелинейная математическая модель движения системы приводится к автономному виду и определяются существенные параметры движения динамической системы. Приводится алгоритм модифицированного метода многочленных преобразований и алгоритмические формулы программной реализации метода, посредством которых проведен анализ приборной динамической системы с тремя степенями свободы. Ключевые слова: алгоритм аналитического метода преобразований, методы исследования, нелинейные системы с тремя степенями свободы.

Введение

В работе предлагается алгоритм метода многочленных преобразований с последующими экспоненциальными преобразованиями и алгоритмические формулы, на основе которых автором разработан пакет программ для исследования нелинейных динамических систем с тремя степенями свободы [1]. Данный алгоритм метода реализован посредством универсальной системы МаШешайса с использованием математических библиотек. Рассматриваются нелинейные динамические системы, которые описываются системой дифференциальных уравнений шестого порядка с нелинейной частью в виде полинома четвертой степени относительно фазовых координат с постоянными и периодическими коэффициентами [2]. В результате применения модифицированного метода многочленных преобразований нелинейная математическая модель динамической системы приводится к автономному виду и находятся существенные константы, определяющие свойства динамической системы [3]. Метод применен к исследованию математической модели приборной системы с малыми нелинейными частями, которые существенно влияют на решение и полностью учитываются в предлагаемом методе [4]. Точность получаемых решений с помощью аналитического метода преобразований контролируется посредством сравнения с решением, получаемым численным методом Рунге-Кутта.

Метод многочленных преобразований выполняет минимизацию количества параметров нелинейной динамической системы. В преобразованной автономной системе содержится на порядок меньше ненулевых коэффициентов, чем в исходной системе. Минимизация количества ненулевых коэффициентов упрощает исследование переходных и установившихся процессов нелинейных динамических систем [5]. Предложенные алгоритмические формулы метода и составленный пакет программ позволяют выполнять исследование установившихся и переходных режимов нелинейных динамических систем.

Нелинейная динамическая система

Рассматриваются динамические системы, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелинейными членами в форме многочленов от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами [6]. Для исследования таких систем применяется метод многочленных преобразований. Применение этого метода связано с большим объемом трудоемких выкладок, что приводит к необходимости создания программ, позволяющих выполнять расчеты средствами современной вычислительной техники. Автором составлен комплекс программ для реализации метода на языке программирования высокого уровня МаШешайса. Разработанные программы позволяют проводить исследование динамических нелинейных систем, получать аналитический вид решения и преобразовывать систему к автономному виду.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка с правыми частями в виде многочленов до четвертой степени относительно фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами, представленную в матричном виде: