CC BY
555
ОСОБЕННОСТИ РАЗРАБОТКИ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ
УДК 373.3
О. А. Рыдзе
Кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник лаборатории начального общего образования ФГБНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования», г. Москва E-mail: oxanarydze@mail.ru
Oksana A. Rydze
PhD (Education ), Senior Researcher, Institute for Strategy of Education Development of the Russian Academy of Education, Moscow, Russia
К. А. Краснянская
Кандидат педагогических наук, ведущий научный сотрудник центра оценки качества образования ФГБНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования», г. Москва E-mail: klarakr@mail.ru
Klara A. Krasnyanskaya
PhD (Education), Senior Researcher, Institute for Strategy of Education Development of the Russian Academy of Education, Moscow, Russia
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНОЙ И ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Основы ведущих характеристик математической функциональной грамотности закладываются уже в начальной школе. Одни из них формируются на уроках математики: умение устанавливать математические отношения и зависимости, применять математические методы, пользоваться математическим языком. Другие развиваются при изучении других учебных предметов и в повседневной жизни: понимание возможности решения проблемы с использованием математических знаний (рассчитать, прикинуть, сравнить по величине), математическая оценка объектов (измерение, оценка форм, размеров или количества и т.п.), конструирование моделей отношений и ситуаций (больше-меньше, по порядку). На этапе перехода из начальной школы в основную ряд характеристик может быть недостаточно учтен в учебном процессе, что приводит к конкретным трудностями в проявлении математической функциональной грамотности на более поздних этапах обучения. На это указывают невысокие результаты выполнения математической части исследования PISA (Программа по оценке образовательных достижений учащихся) 15-летними российскими школьниками. В статье рассматриваются возможные причины конкретных трудностей девятиклассников, вызванные проблемами преемственности, характеризуются подходы к оценке математи-
Как цитировать статью: Рыдзе О. А., Краснянская К. А. Преемственность в формировании математической функциональной грамотности учащихся начальной и основной школы // Отечественная и зарубежная педагогика. 2019. Т. 1, № 4 (61). С. 146-158.
ческих знаний, положительно влияющие на становление функциональной грамотности. Представлены рекомендации для педагогов начальной и основной школы по предупреждению и устранению типичных затруднений в применении математических знаний для продолжения обучения и в повседневной жизни.
Ключевые слова: математическая функциональная грамотность, начальная школа, основная школа.
В последние годы педагогическая общественность начинает все более активно использовать информацию о достижениях и неудачах российских школьников в международных сравнительных исследованиях (PISA, PIRLS, TIMSS) для выработки стратегий совершенствования образования на разных уровнях. В Указе Президента Российской Федерации «О национальных целях и стратегических задачах развития Российской Федерации на период до 2024 года» поставлена цель обеспечения «глобальной конкурентоспособности» общего образования нашей страны, повышения его качества [5]. Общеобразовательные организации начинают использовать в своей практике информационные ресурсы со сведениями об участии школьников в различных международных, федеральных и региональных мониторинговых исследованиях (http://skiv.instrao.ru; http://www.centeroko.ru). Все более востребованными преподавателями, учителями, школьниками оказываются материалы для оценки предметных умений и функциональной грамотности школьников. Исследования, проводимые в центре оценки качества образования (рук.—координатор международных исследований в РФ Г. С. Ковалева) и лаборатории начального общего образования (рук.—проф. Н. Ф. Виноградова) ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО», направлены на выявление потенциальных возможностей школьников в совершенствовании их математической подготовки. Так, в рамках одного из проектов Государственного задания разрабатывается модель «мягкого мониторинга», основной целью которого является оценка способности учащихся применять знания для разрешения проблем повседневной жизни и для продолжения образования. Это исследование позволяет диагностировать достижения и дать конкретные рекомендации по повышению качества математического образования учащихся основной школы. Проведение и результаты мониторинга способствуют реализации современных идей начального и основного общего образования: формированию
умения учиться (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов), становлению предметных и интегративных компонентов функциональной грамотности (Н. Ф. Виноградова, И. Н. Добротина и др.), использованию перспективных обучающих технологий (Е. О. Иванова, И. М. Осмоловская), и тем самым повышению качества математического образования современного школьника [4]. Требование обеспечения преемственности начального общего и основного общего образования в вопросах создания условий для достижения школьниками предметных и метапред-метных результатов обучения сформулировано в стандартах [12; 13]. По мнению Е. О. Ивановой и И. М. Осмоловской, перспективные обучающие технологии, предполагающие деятельностное участие школьника в решении учебных задач, широкое использование информационно-коммуникационных технологий, выстраивание индивидуальных траекторий развития детей могут сделать современных выпускников школ более конкурентоспособными и ориентированными в социуме [3, с. 6]. Использование в мониторинге заданий с практическим смыслом, актуальными для школьников сюжетами исключает механическое воспроизведение школьниками знаний, развивает способность в дальнейшем «решать теоретические задачи, ...вскрывать способы решения практических задач» [7, с. 263].
По результатам международного сравнительного теста, оценивающего грамотность школьников (PISA), российские 15-летние школьники показывают высокие достижения в выполнении математических заданий, для решения которых требуется умение выполнять несложные арифметические вычисления, решать типовые задачи курса математики (алгебры, геометрии), читать графики [6; 10; 14]. В то же время низкие результаты показаны ими при выполнении заданий практического характера, в ситуациях, близких к повседневной жизни.
Изучение результатов российских школьников в выполнении заданий с математическим содержанием (в первую очередь, исследования PISA) показало наличие трудностей, которые могут быть диагностированы и частично или полностью устранены уже на этапе перехода из начальной школы в основную (в 4-5 классе). Охарактеризуем некоторые из выявленных трудностей по следующей схеме: описание трудности и подтверждение ее наличия у школьников на этапе перехода в основную школу; умения и действия, развитие которых позволит устранить проблему; примеры заданий, вопросов «мягкого монито-
ринга» для предупреждения некоторых типичных ошибок с рекомендациями по повышению успешности выполнения.
Умение устанавливать математические отношения и зависимости. Установлено [6; 10], что школьники, оканчивающие девятый класс, затрудняются в понимании смысла понятий доли и дроби, установлении отношений между числами, величинами; допускают ошибки при работе с последовательностями (числовыми и составленными из геометрических фигур). В начале 2017/18 учебного года в одном из регионов РФ всем пятиклассникам, приступившим к обучению в основной школе, было предложено задание на установление правила и продолжение последовательности чисел.
Задание 1 (авторы: К. А. Краснянская, О. А. Рыдзе; 2017)
Вариант 1. Установи правило и запиши следующее число последовательности чисел: 2 400, 1 200, 600, 300, ...
Вариант 2. Вера записывает последовательность чисел по определенному правилу: 510, 450, 390, 330 ... Какое число Вера запишет следующим?
В первом варианте школьнику была предложена учебная задача, во втором — учебная, но с практическим сюжетом. Школьнику нужно было фактически «помочь» Вере разобраться, какое число будет следующим, и записать его. Ситуация первого варианта более привычная для ученика, однако содержит действие, которое ученик на уроках выполняет реже (это устное деление, а в 4-м классе дети чаще выполняют сложные случаи деления уголком). Во втором варианте ситуация менее привычная, но соответствующая возрасту детей и мотивирующая к выполнению; действие, которое нужно выполнить — вычитание круглых десятков — периодически выполняется на уроке во время устного счета, а также при письменных вычислениях. Результаты выполнения этих заданий — 52% (вариант 1) и 79% (вариант 2). Это говорит о том, что при переходе в основную школу дети испытывают затруднения в выполнении отдельных вычислений (скорее всего, это недостаток устных вычислений), но при этом дети имеют достаточный потенциал в проявлении знаний в учебных ситуациях практического характера. Эти же школьники успешно справились с заданиями, для решения которых нужно было использовать жизненный и учебный опыт («Укажи фигуру, которую пропустил Коля», «Как ты думаешь, для чего потре-
бовалось больше / меньше грибов / слив» и т.п.).
Анализ выполнения этого и других заданий позволил выделить из планируемых результатов [8; 9] математические умения, на которые следует обратить внимание, приступая к обучению в 5-м классе, и обеспечить преемственность в их развитии. К их числу относятся умения, представленные в Таблице 1.
Таблица 1
Предметные математические умения, требующие повышенного
внимания
4-5 класс 7 класс
- выполнять действия с натуральными числами, обыкновенными дробями; - составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному основанию; - распознавать и делать выводы о зависимости между величинами; - проверять истинность утверждений, объяснять ответ. - выполнять арифметические действия с рациональными числами; - понимать закономерности, составлять последовательности; - составлять математическое описание предложенной зависимости; - составлять высказывания, проверять истинность утверждений.
Для успешного выполнения российскими школьниками заданий на оценку овладения базовыми предметными умениями важно, чтобы осваиваемые на уроках умения находили применение не только при решении типовых задач, но и при выполнении практических заданий (не только на уроках математики, алгебры, геометрии). В рамках «мягкого мониторинга» пятиклассникам было предложено практическое задание «Кассовый аппарат». Предполагалось, что учащиеся применят опыт использования денег (купюр и монет), например, для оплаты проезда в общественном транспорте.
Задание 2 (авторы: К. А. Краснянская, О. А. Рыдзе; 2018)
Кассовый аппарат используют для пополнения счета на карте «Проезд на транспорте».
В объявлении на аппарате написано:
Клиент может ежедневно вносить не более 300 р., из них мелочью не более 30 р.
У Гриши есть 70 рублей мелочью (монеты по 10 р. и 5 р.) — 8 монет,
а также 400 рублей пятью купюрами (4 по 50 р. и 1 по 100 р.).
Вопрос 1. Составь числовое выражение для выяснения суммы денег у Гриши.
Вопрос 2. Верно ли, что Гриша может внести все купюры на счет за два дня? Объясни свой ответ.
Для успешного выполнения задания школьнику нужно понять и удержать в процессе решения все условия задания (количество купюр разного достоинства, условия внесения), отказаться от применения лишних данных, применить вычислительные умения, записать объяснение ответа. Использование этого задания в учебном процессе сначала как диагностического, а потом обучающего (при разборе на уроке результатов апробации) показало, что многие школьники привыкли учитывать все данные в решении (согласно условию задания, ученики «вносили на счет» и купюры, и монеты). В то же время многие не имеют достаточного опыта в объяснении ответа (отвечают на вопрос верно, но не комментируют ход решения, не могут записать объяснение полученного ответа). Отдельно следует отметить ошибки в планировании решения — составлении числового выражения (пропуски слагаемых, множителей, ошибки суммирования). Многочисленные вычислительные ошибки говорят о том, что арифметические умения почти не используются для решения жизненных задач. Наблюдения на уроках показали, что включение таких заданий в учебный процесс в основной школе способствует преемственности в применении школьниками математических знаний, расширяет опыт их применения.
Рассмотрим еще одну трудность в овладении математической функциональной грамотностью, сформулированную по результатам исследования PISA.
Понимание возможности решить проблему практического характера (в том числе в жизненной ситуации) с помощью математических знаний и умений. Школьники затрудняются в переводе рассматриваемой проблемы на язык математики, поиске математических путей ее решения. Помимо недостаточного учебного опыта среди причин ошибочных ответов, частичного выполнения заданий стоит отметить несформированность у обучающихся таких важных действий универсального характера, как работа с информацией, представленной в разной форме (например, текст, таблица, схема, рисунок), готовность контролировать ход и результат предпринятых шагов, оценивать ответ на
реальность (возможно ли такое?) и правильность (какими алгоритмами, правилами или формулами пользовался?).
Проблема применения знаний проявляется уже в конце 4-го класса. В рамках исследований качества математического образования выпускников начальной школы авторами статьи были разработаны задания на применение математических знаний для решения учебно-практических задач и проведен анализ их выполнения. Рассмотрим одно из них.
Задание 3 (авторы: К. А. Краснянская, О. А. Рыдзе; 2015)
Иван Григорьев — фермер. Ему надо засеять поле прямоугольной формы длиной 12 м и шириной 6 м. Он рассчитал, что на каждый квадратный метр поля нужно 200 г семян. Сколько граммов семян потребуется фермеру, чтобы засеять это поле? Выбери верный ответ.
1) 72 2) 2 400 3) 7 200 4) 14 400
Верный ответ — 14 400 — выбрали только 64% четвероклассников, оканчивающих начальную школу, 6% не приступали к выполнению задания, 30% отметили неверные ответы (4% — ответ «72», 12% — ответ «2 400», 14% — ответ 7 200). На этапе обсуждения результатов со школьниками мы попросили их прокомментировать каждый из неверных ответов: «Как ты думаешь, как рассуждал человек, который выбрал ответ...? Решил ли он задачу, стоящую перед Иваном Григорьевым,— засеять поле?» Примеры рассуждений детей: «Чтобы получить ответ „72", достаточно найти площадь участка. То есть человек, который выбрал этот ответ, информацию о количестве семян не получил»; «Ответ „2 400" получится, если 200 умножить на 12. Он означает, что будет засеяна полоса длиной 12 м и шириной 1 м. А Ивану нужно засеять все поле»; «Для получения ответа „7 200" нужно найти периметр и 200 умножить на результат. Это означает, что Иван Григорьев посеет семена по периметру, поле засеяно не будет». Рассмотренный пример иллюстрирует проблему некорректного применения математических знаний к решению задач, отличающихся от типовых. Такое обсуждение ошибочных ответов в дальнейшем мотивировало детей к контролю шагов решения, осознанному выбору ответа, а также повышению интереса к применению математики.
Какие умения универсального характера (не зависящие от предметного содержания) помогают обучающимся преодолевать трудности? Выделим некоторые из них в Таблице 2.
Таблица 2
Общеучебные умения и действия, обеспечивающие более успешное использование математических знаний
4-5 класс 7 класс
- понимание сути задачи, представленной в форме, которая не использовалась на уроках; - работа с информацией, представленной в различной форме (текст, таблица, схема, другая модель); - ориентация в данных, представленных в разных частях задания, выбор информации для решения (отказ от использования «лишних» сведений); - владение отдельными действиями самоконтроля (на все ли вопросы получены ответы, соответствуют ли ответы вопросам); - использование метода перебора вариантов, метода алгоритма; - объяснение ответа с использованием изученной терминологии. - умение переформулировать задачу в удобной для решения форме; - способность самостоятельно переходить от одной формы представления информации к другой, выбирать форму записи решения, ответа; - привлечение информации, которая не содержится непосредственно в условии задачи (использование учебного или жизненного опыта); - владение навыками самоконтроля хода и результата выполнения действий (проверка ответа на достоверность, точность использования правила, формулы, алгоритма); - применение разных методов для решения задачи; - доказательство правильности полученного ответа (с опорой на математические факты, алгоритмы, правила)
Для формирования этих умений необходимо разрабатывать и включать в учебные пособия (в первую очередь — в учебники) специальные задания и упражнения. В рамках «мягкого мониторинга» были предложены задания, которые предполагали активное использование школьником умений общеучебного характера для получения полного и правильного ответа. Приведем пример.
Задание 4 (авторы: К. А. Краснянская, О. А. Рыдзе; 2018)
Витя с дедушкой решили замостить плиткой небольшой участок земли перед крыльцом дома (Рисунок 1). Размеры участка земли — 1 м х 1 м (100 см х 100 см). Они решили купить плитку квадратной формы со стороной 20 см (Рисунок 2).
100 см
20 см
100 с
м
20 см
Рисунок 1 Рисунок 2
Вопрос 1. Сколькопл сток им надо купить? Выбер>и верный ответ.
1) 20 000 Л) 400 3) ЫбП й)1В
Вопрос 2. В магазине выяснилось, что нет плиток нужного размера, но тмеюоси два вида плиток, тотьетк можно приложины друь кдругу и сложить из них плитку размером 20 см х 20 см. Раножного, сколоко поитот кажоыи формы нужно пупито. Илт оного заптпны тледующую Таблицу 3.
паутицпЗ )т 3 аданию 4)
Форма плитки Сколько надо плиток этой форлы, ЧТОбЛ1 С03-жить из них плитку размером 20 см х 20 см? Сколько надо ллиток этой формы, чтобы остостису квад°тт-ную площадку размером 100 см х100 см?
10 см | | 20 см шт. шт.
10 см □ 10 см шт. шт.
Для получения ответа на первый вопрос помимо математических представлений — пространственных, конструкторских (составлять
фигуру) — потребуется умение читать информацию, представленную в тексте, на рисунке. Частичное ее использование в решении может привести к ошибочному ответу. В ходе апробации многие дети допускали такую ошибку: выбирали ответ «10 000», показывающий, что прочитана только часть описания предложенной ситуации («площадка 100 см х 100 см имеет площадь 10 000 кв. см»), но не использована информация, данная на рисунке и говорящая о необходимости располагать плитки внутри квадрата. Чтобы справиться со вторым вопросом, пятиклассник работает с данными, представленными в тексте (условие и вопрос задания), на рисунке, в таблице. К ошибочным результатам приводили следующие затруднения: неумение читать и заполнять таблицу, неспособность довести решение до конца (ответы были записаны только в одном столбце или строке таблицы). Специфика исследования — предъявление школьнику достаточно объемных заданий, включающих сведения, представленные в разной форме,—позволяет говорить о работе в направлении предупреждения следующей весьма острой проблемы российских школьников, о которой уже много лет говорят Г. А. Цукерман, Г. С. Ковалева и другие исследователи. «Наибольший дефицит в понимании информационных текстов был обнаружен в базисных читательских умениях извлекать из текста информацию, сообщенную в явном виде, и делать на ее основе простейшие умозаключения» [15, с. 67]. Работа над решением этой проблемы уже начата в пособиях для начальной и основной школы [1; 2; 11].
Использование этих и других заданий, разработанных и апробированных в рамках мониторинга как оценивающих достижения или как обучающих, показало (по результатам анализа ответов учащихся), что школьники начинают более осознанно пользоваться своими знаниями для решения учебных и практических проблем. Включение в диагностические работы сюжетных заданий, обеспечивающих возможности применения знаний в повседневной жизни для решения личных и общественно значимых проблем или задач, помогает школьнику получать опыт применения математических знаний, расширяет представления о предмете. Очевидно, что увеличение доли таких заданий в учебниках математики начальной и основной школы позволит повысить качество предметной подготовки, обеспечит преемственность в развитии математических знаний современных школьников.
Статья выполнена в рамках государственного задания ФГБНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования» на 2018-2019 годы «Создание методологии исследования, анализа и прогноза результатов международных и национальных исследований качества образования. Научное обоснование и проведение работ по оценке качества общего образования на основе методологии и инструментария международных исследований качества подготовки обучающихся».
Литература
1. Александрова О. М., Аристова М. А., Васильевых И. П. и др. Читательская грамотность школьника (5-9 классы): книга для учителя / под ред. И. Н. Добротиной. М.: Российский учебник: Вентана-Граф, 2018. 144 с.
2. Виноградова Н. Ф., Кочурова Е. Э., Кузнецова М. И. и др. Функциональная грамотность младшего школьника: книга для учителя / под ред. Н. Ф. Виноградовой М.: Российский учебник: Вентана-Граф. 2018. 288 с.
3. Иванова Е. О., Осмоловская И. М. Перспективные обучающие технологии: дидактический аспект // Педагогика. 2017. № 1. С. 3-10.
4. Концепция развития математического образования в Российской Федерации: распоряжение Правительства РФ от 24 декабря 2013 года № 2506-р // Правительство Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: http://government.ru/docs/9775 (дата обращения: 30.06.2019).
5. О национальных целях и стратегических задачах развития Российской Федерации на период до 2024 года: Указ Президента РФ от 07.05.2018 № 204 (ред. от 19.07.2018) // Гарант: информационно-правовое обеспечение [Электронный ресурс]. URL: https://base.garant.ru/71937200 (дата обращения: 02.07.2019).
6. Основные результаты международного исследования PISA-2015. М.: Министерство образования и науки РФ: ФИОКО: Институт стратегии развития образования РАО, 2016. 20 с.
7. Пономарев Я. А. Знания, мышление и умственное развитие. М.: Просвещение, 1967. 266 с.
8. Примерная основная образовательная программа начального общего образования: одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 8 апреля 2015 г. № 1/15) [Электронный ресурс] // Реестр примерных общеобразовательный программ. Министерство образования и науки Российской Федерации: [официальный сайт]. URL: http://fgosreestr.ru/registry/primernaya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshhego-obrazovaniya-2 (дата обращения: 30.06.2019).
9. Примерная основная образовательная программа основного общего образования: одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 8 апреля 2015 г. № 1/15) [Электронный ресурс] // Реестр примерных общеобразовательный программ. Министерство образования и науки Российской Федерации: [официальный сайт]. URL: http://fgosreestr.ru/registry/primernaya-osnovnayaobrazovatelnaya-programma-osnovnogo-obshhego-obrazovaniya-3 (дата обращения: 02.07.2019)
10. Результаты международного исследования PISA 2015: краткий отчет на русском языке // Центр оценки качества образования ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО» [Электронный ресурс]. URL: http://centeroko.ru/pisa15/pisa15_pub.html (дата обращения: 02.07.2019).
11. Рыдзе О. А., Краснянская К. А. Подготовка к ВПР. Математика. 4 класс. Разноуровневые проверочные работы. Москва: Российский учебник, 2018. 94 с.
12. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Электронный ресурс] // ФГОС: [официальный сайт]. URL: https://fgos.ru (дата обращения: 02.07.2019).
13. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [Электронный ресурс] // ФГОС: [официальный сайт]. URL: https://fgos.ru (дата обращения: 01.07.2019).
14. PISA-2018 Draft Analytical Framework [Электронный ресурс] // OECD: [официальный сайт]. URL: http://www.oecd.org/pisa/data/PISA-2018-draft-frameworks.pdf (дата обращения: 30.06.2019).
15. Zuckerman G. A., Kovaleva G. S., Kuznetsova M. I. Between PIRLS and PISA: the advancement of reading literacy in a 10-15-year-old cohort // Learning and Individual Differences. 2013. No. 26. P. 64-73.
CONTINUITY IN FORMATION OF MATHEMATICAL FUNCTIONAL LITERACY OF PRIMARY SCHOOL PUPILS
The foundations of the leading characteristics of mathematical functional literacy occur in elementary school. Some of them are developed in math class: the ability to establish mathematical relationships and dependencies, to apply mathematical techniques, to use mathematical language. Others are developed during the study of other subjects and in everyday life: the understanding of the possibility of solving problems using mathematical knowledge (to calculate, estimate, compare in magnitude), the mathematical evaluation of objects (measurement, evaluation of forms, sizes or numbers, etc.), the construction of models of relationships and situations (more-less, in order). During the transition from primary school to secondary school, a number of characteristics could be taken into consideration in the training process insufficiently. Then the representations and experiences of children cease to improve and expand, which leads to specific difficulties in the mathematical manifestation of functional literacy in its assessment at the later stages of learning. This is indicated by the results of the mathematical part of the PISA study (Programme for International Student Assessment) achieved by 15-year-old students. This article discusses possible causes of the specific difficulties faced by ninth-graders, caused by continuity problems, describes approaches to the assessment of mathematical knowledge that have a positive effect on the development of functional literacy. The authors of the article presented recommendations for primary and primary school teachers on the prevention and elimination of typical difficulties in the application of mathematical knowledge for learning and everyday life.
Keywords: mathematical functional literacy, primary school, secondary school.
References
• Aleksandrova O. M., Aristova M. A., Vasil'evyh I. P. i dr. Chitatel'skaya gramotnost' shkol'nika (5-9 klassy): kniga dlya uchitelya / pod red. I. N. Dobrotinoj. M.: Rossijskij uchebnik: Ventana-Graf, 2018. 144 s. [In Rus].
• Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart nachal'nogo obshchego obrazovaniya [Elektronnyj resurs] // FGOS: [oficial'nyj sajt]. URL: https://fgos.ru (data obrashcheniya: 02.07.2019). [in Rus].
• Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart osnovnogo obshchego obrazovaniya [Elektronnyj resurs] // FGOS: [oficial'nyj sajt]. URL: https://fgos.ru (data obrashcheniya: 01.07.2019).
• Ivanova E. O., Osmolovskaya I. M. Perspektivnye obuchayushchie tekhnologii: didakticheskij aspekt // Pedagogika. 2017. № 1. S. 3-10. [In Rus].
• Koncepciya razvitiya matematicheskogo obrazovaniya v Rossijskoj Federacii: rasporyazhenie Pravitel'stva RF ot 24 dekabrya 2013 goda № 2506-r // Pravitel'stvo Rossijskoj Federacii [Elektronnyj resurs]. URL: http://government.ru/docs/9775 (data obrashcheniya: 30.06.2019). [In Rus].
• O nacional'nyh celyah i strategicheskih zadachah razvitiya Rossijskoj Federacii na period do 2024 goda: Ukaz Prezidenta RF ot 07.05.2018 № 204 (red. ot 19.07.2018) // Garant: informacionno-pra-
vovoe obespechenie [Elektronnyj resurs]. URL: https://base.garant.ru/71937200 (data obrashcheniya: 02.07.2019). [In Rus].
• Osnovnye rezul'taty mezhdunarodnogo issledovaniya PISA-2015. M.: Ministerstvo obrazovaniya i nauki RF: FIOKO: Institut strategii razvitiya obrazovaniya RAO, 2016. 20 s. [In Rus].
• PISA-2018 Draft Analytical Framework [Elektronnyj resurs] // OECD: [oficial'nyj sajt]. URL: http:// www.oecd.org/pisa/data/PISA-2018-draft-frameworks.pdf (data obrashcheniya: 30.06.2019).
• Ponomarev Ya. A. Znaniya, myshlenie i umstvennoe razvitie. M.: Prosveshchenie, 1967. 266 s. [In Rus].
• Primernaya osnovnaya obrazovatel'naya programma nachal'nogo obshchego obrazovaniya: odobrena resheniem federal'nogo uchebno-metodicheskogo ob"edineniya po obshchemu obrazovaniyu (pro-tokol ot 8 aprelya 2015 g. № 1/15) [Elektronnyj resurs] // Reestr primernyh obshcheobrazovatel'nyj programm. Ministerstvo obrazovaniya i nauki Rossijskoj Federacii: [oficial'nyj sajt]. URL: http:// fgosreestr.ru/registry/primernaya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshhego-obrazovaniya-2 (data obrashcheniya: 30.06.2019). [In Rus].
• Primernaya osnovnaya obrazovatel'naya programma osnovnogo obshchego obrazovaniya: odobrena resheniem federal'nogo uchebno-metodicheskogo ob"edineniya po obshchemu obrazovaniyu (pro-tokol ot 8 aprelya 2015 g. № 1/15) [Elektronnyj resurs] // Reestr primernyh obshcheobrazovatel'nyj programm. Ministerstvo obrazovaniya i nauki Rossijskoj Federacii: [oficial'nyj sajt]. URL: http://fgos-reestr.ru/registry/primernaya-osnovnayaobrazovatelnaya-programma-osnovnogo-obshhego-obra-zovaniya-3 (data obrashcheniya: 02.07.2019). [In Rus].
• Rezul'taty mezhdunarodnogo issledovaniya PISA 2015: kratkij otchet na russkom yazyke // Centr ocenki kachestva obrazovaniya FGBNU «Institut strategii razvitiya obrazovaniya RAO» [Elektronnyj resurs]. URL: http://centeroko.ru/pisa15/pisa15_pub.html (data obrashcheniya: 02.07.2019).
• RydzeO. A., Krasnyanskaya K. A. Podgotovka k VPR. Matematika. 4 klass. Raznourovnevye prov-erochnye raboty. Moskva: Rossijskij uchebnik, 2018. 94 s. [In Rus].
• Vinogradova N. F., Kochurova E. E., Kuznecova M. I. i dr. Funkcional'naya gramotnost' mladshego shkol'nika: kniga dlya uchitelya / pod red. N. F. Vinogradovoj M.: Rossijskij uchebnik: Ventana-Graf. 2018. 288 s. [In Rus].
• Zuckerman G. A., Kovaleva G. S., Kuznetsova M. I. Between PIRLS and PISA: the advancement of reading literacy in a 10-15-year-old cohort // Learning and Individual Differences. 2013. No. 26. P. 64-73.
