CC BY
27
2016 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 1(31)
УДК 512.13
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТИПОВ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОТ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОРОГОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Д. А. Сошин
ФГУП «НИИ «Квант», г. Москва, Россия
Введён в рассмотрение класс к-значных алгебраических пороговых функций. Показано, что класс АТк всех таких функций от п переменных включает в себя класс Т,к известных пороговых функций и значительно расширяет его. Доказано, что при к = 2 и п = 3 только один геометрический тип задается функцией, не являющейся алгебраической пороговой, а остальные принадлежат классу АТ|. Алгебраические пороговые функции обладают простотой реализации в различных вычислительных средах, в том числе в перспективной оптической, что делает их изучение актуальным для синтеза высокоскоростных систем переработки информации.
Ключевые слова: пороговые функции, многозначная логика, алгебраические пороговые функции, геометрические типы.
БОТ 10.17223/20710410/31/3
REPRESENTATION OF GEOMETRIC TYPES OF BOOLEAN FUNCTIONS IN THREE VARIABLES BY ALGEBRAIC THRESHOLD
FUNCTIONS
D. A. Soshin
Technology Federal State Unitary Enterprise "Research Institute Kvant", Moscow, Russia
E-mail: danil_re@list.ru
Algebraic threshold functions are defined in the article. It is shown that the class ATk of all k-valued algebraic threshold functions in n variables includes the class of k-valued ordinary threshold functions in n variables and is much greater than it. It is proved that, for k = 2 and n = 3, the only geometric type is determined by a function which is not an algebraic threshold one, but others belong to the class AT|. Algebraic threshold functions are simply realized in different computing areas, including the perspective optical ones, what makes important researching them for the synthesis of highspeed information processing systems.
Keywords: threshold functions, multiple-valued logic, algebraical threshold functions, geometric types.
1. Основные обозначения
В работе использованы следующие основные обозначения: k — значность логики; n — количество переменных x\, x2,... , xn;
— Пк = {0,1,... , к — 1}, Пп = Пк х Пк х ... х Пк;
4--'
п
— К — поле действительных чисел;
— Ъ — множество всех целых чисел;
— гт(у) —функция взятия остатка при делении целого числа у на модуль т (гт(у) € {0,..., т — 1});
— — множество всех к-значных функций от п переменных (/П : Пп — Пк);
— Тк — класс всех к-значных пороговых функций от п переменных;
— АТ^ — класс всех к-значных алгебраических пороговых функций от п переменных;
— ЬП — множество всех линейных функций к-значной логики от п переменных.
2. Алгебраические пороговые функции
В [1-3] приведено следующее определение к-значной пороговой функции. Определение 1. Функция к -значной логики /к : Пп —у Пк называется пороговой, если для неё существует линейная форма
Ь(Ж1,Ж2, ...,Хп ) = С1Х1 + С2 Х2 + ... + СпХп, С, € Ъ, % =1,...,П,
и Ьо, Ь1,... , Ьк € Ъ, такие, что для любого а € {0,... , к — 1} выполняется
/к (Х1, Х2, . . . , Хп) = а ^ Ьа ^ С1Х1 + С2Ж2 + ... + СпХп < Ьа+1,
набор (с1 , с2, ... , сп) назовём вектором коэффициентов линейной формы (в некоторых работах его называют вектором весов [4]), а (Ь0, Ь1,... , Ьд) —вектором порогов функции . Элементы множества Пп будем называть точками и ассоциировать их с точками в п-мерном вещественном пространстве Кп.
Определение 1 введено с условием того, что доказан факт совпадения множества КТ всех пороговых функций, у которых векторы коэффициентов линейной формы и порогов выбираются из множества действительных чисел К, с множеством ЪТ всех пороговых функций, у которых соответствующие векторы выбираются из множества целых чисел Ъ (одно из последних доказательств в булевом случае содержится в [1], и оно распространяется на случай многозначной логики).
Алгебраическую пороговую функцию (АПФ) определим следующим образом. Определение 2. Функцию к-значной логики : Пп — Пк назовём алгебраической пороговой, если существуют целочисленные наборы (с0, с1, ... , сп), (Ь0, Ь1,... , Ьк) и модуль т, такие, что для любого а € {0,... , к — 1} выполняется
/(Х1,Х2, ... ,Хп) = а ^ Ьа ^ Гт(Со + С1Х1 + С2Х2 + ... + СпХп) <Ьа+ь (1)
Двойное неравенство (1) можно записать равносильным способом
Ьа ^ Со + С1Х1 + С2Х2 + ... + СпХп + т£ < Ьа+1 (2)
для некоторого £ € Ъ [5, том1, глава V, §1]. Сокращённо вектор коэффициентов линейной формы и вектор порогов алгебраической пороговой функции будем записывать следующим образом:
С(п) = (со,С1,...,Сп), Ь(к) = (Ьо,Ь1 ,...,Ьк), а тройку (с(п); Ь(к); т) назовём структурой алгебраической пороговой функции / к.
Пример 1. Зададим 2-значную алгебраическую пороговую функцию /| (xi , x2), в обозначениях определения 2, её структурой
(c(3); b(2); m) = ((1,1,1);(0,1,2); 2). Выпишем неравенства, задающие значения функции /|:
/22(xi, Х2) = 0 ^ 0 ^ Г2 (1 + Xi + Х2) < 1,
/22(Xi, X2) = 1 ^ 1 ^ Г2(1 + Xi + X2) < 2. Заданная таким образом функция представляет линейную булеву функцию
xi + x2 + 1 (mod 2). (3)
Пример 1 иллюстрирует функцию /(xi ,x2), принадлежащую классу AT22, но не принадлежащую классу T|. Такой вывод следует из того, что функция (3) не является полностью монотонной, в то время как любая пороговая k-значная функция полностью монотонная [3].
Определение 3 [3]. Функция k-значной логики / (xi ,x2,..., xn) называется t-монотонной, если для любого s ^ t, любого подмножества переменных xix, xi2,..., xis и любых двух фиксаций этих переменных (^, £2,..., £s), (¿i, ¿2,..., 5s) соответствующие этим фиксациям подфункции / и /s удовлетворяют одному из условий: либо / ^ /s, либо / ^ /s. Функция называется полностью монотонной, если она n-моно-тонна.
В табл. 1 приведены примеры алгебраических пороговых функций, не принадлежащих классу T^ при минимальных параметрах k ^ 2 и n ^ 1.В случае n =1 и k = 2 все функции пороговые.
Таблица 1
Примеры не пороговых, но алгебраических пороговых функций при минимальных параметрах n и k с заданием структуры соответствующей функции
Все функции пороговые
((0,1);(0,1, 2, 3);2)
2
((1,1,1); (0,1, 2); 2)
((0, 2, 3); (0, 3, 6, 9); 9)
n
k
1
2
3
Для задания произвольной пороговой функции / Е Т^ с вектором линейной формы (с1, с2,..., сп) и вектором порогов (Ъ0, Ъ\,..., Ък) алгебраической пороговой функцией необходимо за счёт выбора коэффициента с0 добиться, чтобы линейная форма алгебраической пороговой функции с0 + с1 х1 + с2х2 +... + спхп принимала минимальное
значение 0, а пороги (6о, 61,... , ) сдвинуть на соответствующее значение со. Модуль т при этом необходимо взять строго большим максимального значения, которое принимает получившаяся линейная форма на множестве ПП. Алгебраическая пороговая функция будет иметь структуру
((со,сьС2,... ,сп); (6о + со, 61 + со,... А + со); т).
Помимо включения ТП С АТП верно включение ¿П С АТП, где ¿П — множество линейных функций к-значной логики от п переменных. Для доказательства достаточно в качестве модуля т взять значение к, вектор порогов равным вектору (0,1,... , к), а вектор коэффициентов линейной формы — совпадающим с вектором коэффициентов соответствующей линейной функции. На схеме рис. 1 стрелками изображены включения одного множества в другое. Класс АТк, как и класс пороговых функций, прост в реализации.
Рис. 1. Диаграмма включений линейных, пороговых и алгебраических пороговых функций
3. Геометрическая замкнутость класса алгебраических пороговых функций
Рассмотрим группу преобразований Сп на множестве функций многозначной логики [6]. Группой движения Сп назовём группу, порождённую группами £п и N:
^п = ^ , ^га ) ,
где £п — группа подстановок на множестве {1,... ,п}; N = {-1,1}п — группа инвертирования переменных. Действие данных групп на множестве ПП определяется следующим образом: для любой точки (а1,а2,... , ап) € ПП, для любых преобразований 8 € я и в =(в1,в2,...,вп) € N
(й1, й2, ..., «пг = (а«-1(1), а«-1(2),..., а5-1(га}), в { а», если вг = 1,
(Й1,Й2, . . . ,«п )в = («1,«2, . . . ,«п), «г =<,
I к — 1 — аг, если вг = — 1.
Обозначим через /^в« функцию, полученную из функции по правилу
/^ = /^(хвз)
Заметим, что действие —1 € N1 на произвольное значение а € П соответствует действию стрелки Лукашевича а-1 = а = к — 1 — а. Далее будем рассматривать её действие не только на аргументы, но и на саму функцию.
Определение 4. Функции /П и ¿П из множества ^П называются эквивалентными относительно группы движения Сп (обозначается ¿П ~ /П), если существуют элементы 8 € Я и в € ЛТп, такие, что ¿П = /П,в,в-
Эквивалентность относительно группы движения СП является отношением эквивалентности. Свойства рефлексивности, транзитивности и симметричности проверяются непосредственно из определения. Это отношение разбивает множество ^П на классы эквивалентности. Класс эквивалентности относительно группы движений функции /П из множества ^ обозначим /]Сп = : 8 € £П,в € .
Известно [2], что действие группы преобразований на класс пороговых функций ТП не выводит функции за пределы класса. Для любой функции из класса пороговых функций ТП данное свойство можно записать следующим образом:
[/»]С„ С ТП. (4)
Кроме того, для любой функции /П из класса пороговых функций ТП выполняется
/П-1 = /П =(к — 1 — /') € Т£ (5)
При одновременном выполнении свойств (4) и (5) для произвольного класса функций будем говорить о его геометрической замкнутости. С расширением класса пороговых функций возникает вопрос о геометрической замкнутости класса алгебраических пороговых функций АТ^.
Утверждение 1. Класс алгебраических пороговых функций АТП замкнут относительно действия преобразований группы движений СП.
Доказательство. Рассмотрим в отдельности действие преобразований из групп $П и N на алгебраическую пороговую функцию /П. Пусть функция /П задана структурой (с(п); 6(к); т). Преобразование в = (в1, в2,... , вП) € N действует на линейную форму функции /П следующим образом:
Ь(жв) = Со + С!^1 + С2 ж^2 + ... + спхпп =
П
= Со + ^ СгвгЖ + Сг(к — 1 + вг^г) = Со + (к — 1) ^ Сг + ^ СгвгХ.
г:вг=1 г:вг=-1 г:вг=-1 г=1
Из полученного выражения видно, что функция /П^ является алгебраической пороговой со структурой («(п); 6(к); т), где вектор «(п) имеет вид
и(П) = («о,«1, . . . ,«п), «о = Со + (к — 1) ^ Сг, «г = Сгвг, « =1,...,П.
г:вг=-1
Структура функции /П , где в € 5П, также отличается от структуры функции /П только вектором коэффициентов линейной формы. Линейную форму Ь функции выразим через линейную форму Ь функции /П:
Ь(ж) = Ь(ж3) = Со + С1Жз-1(1) + С2Х«-1(2) + ... + СПХ8-1(П) = = Со + С«(1)Ж1 + Сз(2)Ж2 + ... + с«(п)жп.
Из последнего получаем, что структура функции имеет вид (V(п) ; 6(к); т), где V у =
= (с(п))3 1 = (Со,С5(1),С5(2) ...,С«(П)).
В силу того, что преобразования из группы сдвига £П и группы инвертирования N не выводят за класс АТП, получаем его алгебраическую замкнутость относительно группы движений СП. ■
Теорема 1. Класс алгебраических пороговых функций АТ^ является геометрически замкнутым.
Доказательство. Для геометрической замкнутости класса АТ^ осталось доказать, что инвертирование функции не выводит её из этого класса. Пусть функция задана структурой (с(п); Ъ(к); т). Проведём эквивалентные преобразования условия (2):
/п = а ^ Ьа ^ Со + + С2Ж2 + ... + сгажга + т£<Ъа+1, /% = а ^ -Ъа ^ -Со - С1Х1 - С2Ж2-----сгажга - т£ > -Ъа+1. (6)
Для того чтобы привести двойное неравенство (6) к виду (2), воспользуемся следующим свойством: для любых целых чисел а, Ъ, с выполняется а < Ъ ^ с ^ а ^ Ъ - 1 < с. Перепишем (6):
= а ^ -Ъа+1 ^ -со - 1 - С1Х1 - С2Ж2-----СпХп - т£ < -Ъа. (7)
Далее выделим максимальное и минимальное значения, которые принимает функция /. Пусть эти значения Р и р соответственно. Не ограничивая общности, для функции / можно считать, что Ър = 0, а ЪР+1 = т. Функция /^, в свою очередь, принимает минимальное значение к - 1 - Р, а максимальное к - 1 - р. В неравенстве (7) осталось обеспечить, чтобы нижний порог, отвечающий значению к - 1 - Р, и верхний порог, отвечающий значению к - 1 - р, равнялись 0 и т соответственно. Для этого, не нарушая справедливости неравенства, к левой и правой частям прибавим т:
/к = а ^ -Ъа+1 + т ^ -с0 - 1 - с1 х1 - с2х2 - ■ ■ ■ - спхп - т£ < -Ъа + т. (8) Свернём (8) следующим образом:
= а ^ -Ъа+1 + т ^ гт(-Со - 1 - С1Х1 - С2Х2-----сгахга) < -Ъа + т.
Таким образом, функция / является алгебраической пороговой со структурой (и(п). ¿(к). т), где
и(п) = (-со - 1, -С1, -С2,..., -Сп), ¿(к) = (-Ък + т, -Ък-1 + т,..., -Ъо + т), что завершает доказательство. ■
4. Геометрические типы булевых функций от трёх переменных и их представление алгебраическими пороговыми функциями
Определение 5. Геометрическим типом функции Е ^ будем называть объединение класса эквивалентности /]с„ с классом эквивалентности /]сп и писать
/кг = /и /К.
Заметим, что тип /является классом эквивалентности функции относительно группы Сп, где Сп — расширение группы Сп преобразованием инвертирования функции.
Далее покажем, что в булевом случае при п =3 алгебраическими пороговыми функциями не представляется только один из геометрических типов, тогда как пороговые функции не задают 8 таких типов. Произведём каталогизацию функций
Перебор функций геометрического типа [/произведём путём нахождения класса эквивалентности [/|]с3 и дополнением его инвертированным классом [/|]с3 • Функции внутри класса получаются действием преобразований из группы Сз на выбранного представителя. Представители классов, в свою очередь, выбираются, исходя из структуры графа связности функции, поскольку действие преобразований С3 сохраняет расстояние между точками графа и не изменяет его структуру. Опишем строение графа связности функции. Множеством вершин X графа &/2 = (X, и) функции /| являются точки множества П;], в которых функция принимает значение 1 (носитель функции):
X = {(аьа2,аз) € ^2 : /32(аьа2,аз) = 1},
а множеством рёбер и является множество рёбер куба, соединяющих соседние вершины графа:
и = {((аьа2,аз), (61,62, Ьз)) € X2 : х ((аьа2,аз), (61,62,63)) = 1} , где х — расстояние Хемминга между точками (а1, а2, аз) и (61, 62, 6з):
X ((аьа2,аз), (61, 62,6з)) = ¡пё(а* = 6г), 1пё(аг = 6г) = < 1 если а
¿=1 I 0, если аг = 6г.
В случае несовпадения классов [/|]с3 и [/|]с3 один из них содержит функции с весом |/||, не превосходящим 4. В случае их совпадения вес функций равен 4. Исходя из этого, для выбора представителей типов достаточно перебрать графы &/2 = (X, и), у которых IX| ^ 4. Для функций /|, таких, что |/Ц ^ 4, встречается всего 13 видов графов. В табл. 2 приведена классификация представителей. Нумерация представителей классов состоит из тройки чисел а.6.с, где а = IX6 — число компонент связности в графе &/2; с — порядковый номер представителя класса с параметрами а и 6. Такая нумерация соответствует порядку, установленному в каталоге В. Г. Никонова [7].
В табл. 3 приведены все представители геометрических типов. Каждый предста-
7
витель типа записан в виде числа п/ = ^ 2г • /(аг), где аг — упорядоченные в лекси-
г=о
кографическом порядке точки множества П2- В скобках объединены числа (п/, п/) и упорядочивание пар в типе идет по первой координате, а типы расположены в порядке увеличения их мощности.
Из 14 геометрических типов только 6 представляются пороговыми функциями (0.0.1, 1.1.1, 2.1.1, 3.1.1, 4.1.1, 4.1.2), ещё 7 представляются алгебраическими пороговыми (2.2.1, 2.2.2, 3.2.1, 3.3.1, 4.2.1, 4.2.2, 4.4.1), и только класс 4.1.3 не представляется алгебраическими пороговыми функциями.
Аналитическое задание и структура одного представителя из каждого класса 2.2.1, 2.2.2, 3.2.1, 3.3.1, 4.2.1, 4.2.2, 4.4.1 приведены в табл. 4.
Докажем, что функция /(4Л.з) = (0, 0,1,0, 0,1,1,1) из класса 4. 1 . 3 не представляется алгебраическими пороговыми функциями.
Теорема 2. /(4.°) € АГ2.
Доказательство. Пусть функция /(4Л.з) принадлежит классу АТ32 и имеет структуру ((со, с1, с2, сз);(0,6,т); т). В силу свойств функции гт можно считать, что коэффициенты линейной формы (с0,с1,с2,сз) принадлежат полуинтервалу [0,т).
Таблица 2
Графы булевых функций от трёх переменных веса не больше 4
№ а.6
Изображение графа
Номер класса а.б.с и иллюстрация представителя
№ а.6
Изображение графа
Номер класса а.б.с и иллюстрация представителя
0.0
0.0.1
©/з2 = (0, 0)
4.1
4.1.1
1.1
1.1.1
4.1
4.1.2
2.1
2.1.1
4.1
4.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
4.2
4.2.1
Л
3.1
3.1.1
1
4.2
4.2.2
3.2
3.2.1
4.4
• • •
4.4.1
V
3.3
• • •
3.3.1
В точке (0, 0, 0) функция /(4Л.3) принимает значение 0, откуда получаем, что со принадлежит полуинтервалу [0,Ъ):
/(4Л.3)(0, 0,0) = 0 ^ 0 ^ тт(со) < Ъ ^ 0 ^ со < Ъ. (9)
В точке (0,1, 0) функция /(4Л.3) принимает значение 1, значит, для некоторого целого Ь выполняется
Ъ ^ со + с2 + Ьт < т. (10)
Из (9) и того, что 0 ^ с2 < т, получаем ограничения на сумму со и с2:
0 ^ со + с2 < т + Ъ. (11)
Условие (10) при ограничениях (11) возможно только при Ь = 0: Ъ ^ со + с2 < т.
Для краткости подобные цепочки рассуждений будем записывать следующим образом:
/(4Л.3)(0,1, 0) = 1 ^ Ъ ^ со + с2 + Ьт < т"
0 ^ со < О У ^ Ъ ^ со + с2 < т.
0 ^ со + с2 < т + Ъ
0 ^ с2 < т
Таблица 3
Геометрические типы булевых функций от трёх переменных
0.0.1
(0, 255)
4.4.1
V
(150,105)
4.1.2
Л
(51, 204), (170, 85), (240,15)
4.2.2
(90,165), (153,102), (195, 60)
2.2.2 л
(24, 231), (36, 219), (66,189), (129,126)
4.1.1
ля
3.3.1
А
1.1.1
7\
(113,142), (178, 77), (212,43), (232, 23)
(22, 233), (73,182), (104,151), (146,109).
(41, 214), (97,158), (134,121), (148,107)
(1, 254), (2, 253), (4, 251), (8, 247), (16, 239), (32, 223), (64,191), (128,127)
2.1.1
(3, 252),
(10, 245), (17, 238), (48, 207), (136,119) (192, 63),
(5, 250), (12, 243), (34, 221), (68, 187), (160, 95), (80,175)
2.2.1
4.1.3
А
(6, 249), (9, 246), (18, 237), (20, 235), (33, 222), (40, 215), (65,190), (72,183), (96,159), (130,125), (132,123), (144,111)
1А
(27, 228), (39, 216), (71,184), (139,116), (163, 92), (197, 58)
4.2.1
А
У
(29, 226), (53, 202), (83,172), (141,114), (177, 78), (209, 46)
(45, 210), (57,198), (75,180), (89,166), (99,156), (101,154), (135,120), (147,108), (149,106), (169, 86), (201, 54), (225, 30)
3.1.1
л
3.2.1
ЛЛ
(7, 248), (11, 244), (13, 242), (14, 241), (19, 236), (21, 234), (35, 220), (42, 213), (49, 206), (50, 205), (69,186), (76,179), (81,174), (84,171), (112,143), (138,117), (140,115), (162, 93), (168, 87), (196, 59), (200, 55), (176, 79), (208, 47), (224, 31)
(25, 230), (26, 229), (28, 227), (37, 218), (38, 217), (44, 211), (52, 203), (56,199), (67,188), (70,185), (74,181), (82,173), (88,167), (98,157), (100,155), (131,124), (133,122), (137,118), (145,110), (152,103), (161, 94), (164, 91), (193, 62), (194, 61)
Аналогичным образом показывается, что с0 + с1 + с2 принадлежит полуинтервалу [т, т + 6), а с0 + с1 + с2 + сз — полуинтервалу [т + 6, 2т):
/(4Л.з)(1,1, 0) = 0 ^ 0 ^ с0 + с1 + с2 + ¿т < 6"
6 ^ с0 + с2 < т 0 ^ с1 < т
^ 6 ^ с0 + с1 + с2 < 2т
^ т ^ с0 + с1 + с2 < т + 6;
Г12)
/(4Л.з) (1,1,1) = 1 ^ 6 ^ с0 + с1 + с2 + сз + ¿т <
т
т ^ с0 + с1 + с2 < т + 6 0 ^ сз < т
^ т ^ с0 + с1 + с2 + сз < 2т + 6
^ т + 6 ^ с0 + с1 + с2 + сз < 2т.
13)
Дальнейшее доказательство разбивается на восемь случаев независимого расположения коэффициентов с1, с2, сз в полуинтервале [0, т), а именно либо в полуинтервале [0,6), либо в полуинтервале [6,т). Покажем, что случаи
Таблица 4
Аналитические задания и структуры алгебраических пороговых функций
Номер геометрического типа а.б.с Аналитическое задание представителя геометрического типа а.б.с Структура представителя геометрического типа а.б.с
2.2.1 /(2"2Л) = (Х1 0 Х2)Х3 ((0, 3, 3, 2); (0, 3,4); 4)
2.2.2 /(2-2-2) = Х1Х2Х3 V хг ХХз ((0,1,1, 2); (0, 2, 3); 3)
3.2.1 /(з-2-1) = хг Х2х3 V х2 ((0, 2, 2,4); (0, 3, 5); 5)
3.3.1 /(3-3-1) = Х1Х2Хз 0 Х1 0 Х2 0 Хз ((0, 2, 2, 2); (0, 2, 3);3)
4.2.1 /(4-2-1) = Х1Х2 0 Х1 0 Х2 0 Хз ((0, 3, 3, 2); (0, 2,4); 4)
4.2.2 /(4-2-2) = Х1 0 Х2 ((0,1,1,0); (0,1, 2); 2)
4.4.1 /(4-4-1) = Х1 0 Х2 0 Хз ((0,1,1,1); (0,1, 2); 2)
I. 0 < с2 < Ъ, 0 < с3 < Ъ, II. Ъ ^ с2 < т, Ъ ^ с3 < т,
не зависящие от с1, не могут выполняться. Введём обозначения для значений остатков функции / (4Л-3) в точках :
(0,1, 0): г(1) = тт(со + с2),
(0,1,1): г(2) = Гт (со + с 2 + сз),
(1,1,1): Г(3) = Гт (со + с1 + с 2 + сз),
(1, 0,1): г(4) = Гт (со + с1 + сз),
(1, 0, 0) (1, 1, 0) (0, 0, 1)
Г(5) = Гт (со + с1), Г(6) = Гт (со + с1 + с2) Г(7) = Гт (со + сз).
На рис. 2 значения этих остатков привязаны к соответствующим вершинам трёхмерного куба.
Рис. 2. Графическое задание функции /(413)
Выделенные случаи разберём последовательно. I. 0 < с2 < Ъ, 0 < сз < Ъ.
Выразим значения остатков г(3) и г(2) через г(6), г(1) и сравним их:
г(3) = г(6) + Сз + ¿т"
/(4.1.3)(1,1,1) = 1 ^ Ь ^ г(3) < т
0 ^ с3 < Ь 0 < г(6) < Ь
} ^ г
0 ^ г(6) + С3 < 2Ь < т + Ь
(3) = г(6) +
С3;
П4)
г(2) = г(1) + с3 + ¿т" /(4.1.3)(0,1,1) = 1 ^ Ь ^ г(2) <т
.1.3)
0 ^ С3 < Ь
> ^ г(2) = г(1) + С3.
^ Ь ^ г(1) + с3 < т + Ь
Г15)
Ь ^ г(1) < т
Из того, что г(6) < г(1), и условий (14) и (15) следует неравенство
г(3) < г(2).
Г16)
Аналогичным образом при выражении остатков г(3) и г(2) через г(4), г(7) и коэффициент с2 получим неравенство г(2) < г(3), что противоречит (16).
II. Ь ^ с2 < т, Ь ^ с3 < т.
Покажем, что если Ь ^ С3, то т — Ь ^ С3. Рассмотрим переход от Со к г(7):
/(4Л.3)(0, 0,1) = 0 ^ 0 ^ с0 + с3 + тКЬ"
+С3
0 ^ с0 < Ь Ь ^ с3 < т
^ Ь ^ с0 + с3 <т + Ь
^ т ^ с0 + с3 <т + Ь ^ с3 >т — Ь.
Данное рассуждение можно провести для каждого сг, поскольку по каждой переменной есть переход из нулевой вершины в нулевую:
Ь ^ сг <т ^ т — Ь < сг <т, г =1,2,3. (17)
Используя подход доказательства п. 1 и свойство (17), получаем условия
Ь ^ с3 < т ^ г(2) < г(3) и Ь ^ с2 < т ^ г(2) > г(3),
которые противоречат друг другу.
Поскольку случаи I и II не зависят от значений коэффициента с1, осталось рассмотреть четыре случая:
III. 0 ^ с1 < Ь, 0 ^ с2 < Ь, Ь ^ с3 < т;
IV. Ь ^ с1 < т, 0 ^ с2 < Ь, Ь ^ с3 < т; V. 0 ^ с1 < Ь, Ь ^ с2 < т, 0 ^ с3 < Ь;
VI. Ь ^ с1 < т, Ь ^ с2 < т, 0 ^ с3 < Ь. В каждом случае покажем невозможность выполнения условий (12) и (13), полученных без наложения ограничений на коэффициенты линейной формы. Докажем вспомогательное свойство, противоположное (17):
0 ^ сг <Ь ^ 0 < сг < т — Ь, г = 1, 2, 3.
Г18)
Проведём доказательство для i = 1, 0 ^ ci < b. Рассмотрим переход от r(2) к r(3):
л.з)(1 1 1) = 1
(2)
f (4.1.3)(1,1,1) = 1 ^ b ^ r(2) + c1 + mt < m
+ci : b ^ r <m| (2) > ^ b ^ r(2) + ci < m ^ 0 ^ ci <m - b.
> ^ b ^ r(2) + c1 < m + b
0 ^ ci < b
По каждой переменной у функции f(4Л.3) есть переход из единичной вершины в единичную, что доказывает условие (18).
Продолжим рассмотрение выделенных случаев. III. 0 ^ ci < b, 0 ^ c2 < b, b ^ c3 < m.
Покажем, что значение co + ci + c2 лежит в полуинтервале [0, b), используя свойство (18) для i = 1, 2. Для этого последовательно добавим к c0 значения ci, c2:
f (4Л.3)(1, 0, 0) = 0 ^ 0 ^ co + ci + tm < b"
+ci : 0 ^ c0 < b 1 } ^ 0 ^ co + ci < b;
} ^ 0 ^ co + ci < m
0 ^ ci < m — b
f(4J.3)(1,1, 0) = 0 ^ 0 ^ c0 + ci + c2 + tm < b"
+c2 : 0 ^ c2 < m — b] > ^ 0 ^ co + ci + c2 < b. (19)
0 ^ co + ci + c2 < m
0 ^ co + ci < b
Получили противоречие с условием (12).
IV. 6 ^ с1 < т, 0 ^ с2 <6, 6 ^ сз < т.
Рассмотрим значение суммы с0 + с1 + с2 + сз, добавляя к с0 коэффициенты с2, сз, с1 в указанном порядке. Поскольку логика рассуждений повторяется, будем далее опускать каскады условий и писать только результат, используя условия (17) и (18):
+c2
+c3
+ci
b ^ co + c2 < m;
m + b ^ co + c2 + c3 < 2m;
2m + b ^ co + ci + c2 + c3 < 3m.
Получили противоречие с условием (13). V. 0 ^ с1 <6, 6 ^ с2 < т, 0 ^ сз <6.
В данном случае от с0 до с0 + с1 + с2 + сз будем переходить, добавляя слагаемые
в порядке c2, c3, ci:
+c2
+c3
+ci
b ^ co + c2 < m; b ^ co + c2 + c3 < m; b ^ co + ci + c2 + c3 < m.
Получили противоречие с условием (13). VI. b ^ ci < m, b ^ c2 < m, 0 ^ c3 < b.
Сформируем c0 + ci + c2 + c3, добавляя к Со коэффициенты в порядке ci, c3, c2:
+ci
+c3
+c2
m ^ c0 + c1 < m + b; m + b ^ c0 + c1 + c3 < 2m; 2m + b ^ c0 + c1 + c2 + c3 < 3m.
Получили противоречие с условием (13). Рассмотрение всех случаев привело к завершению доказательства. ■
В силу геометрической замкнутости класса алгебраических пороговых функций получили, что ни одна функция из класса 4.1.3 не представляется алгебраической пороговой функцией: [/(4Л'3)]с3 ^ АТ| = 0.
Следующая теорема определяет необходимое условие принадлежности функции классу алгебраических пороговых функций.
Теорема 3. Любая подфункция алгебраической пороговой функции является алгебраической пороговой.
Доказательство. Пусть дана алгебраическая пороговая функция / со структурой ((С0,С1,С2,... , сп); (60,61,... ,6Й); т). Для Ь € {1,... , п}, гьг2,... , ц € {1,... ,п} и произвольной фиксации (ж^, ,...,) = (е1, е2,..., еЬ) рассмотрим подфункцию /£. В силу замкнутости класса АТ^ относительно перестановки переменных можно считать, что (г1, г2,... , = (п — Ь + 1, п — Ь + 2,... , п). Тогда
/ п п—Ь \
/ = а ^ 6а ^ Гт [ Со с^ + 5] С^жЛ < 6а+1.
\ в=п—Ь+1 г=1 /
Полученное условие задаёт следующую структуру подфункции /£:
co + Е cs es,ci,c2,... ,cn ; (bo,bi,... ,bfc); m
s=n-i+1 /
а значит, функция f — алгебраическая пороговая. ■
Заключение
В работе введён в рассмотрение новый класс k-значных алгебраических пороговых функций AT^, расширяющий класс традиционных k-значных пороговых функций Tk. Выделим основные результаты:
1) установлено включение класса Tk в класс AT^ и показано, что AT^ содержит все линейные функции L^;
2) доказана геометрическая замкнутость класса AT^;
3) произведена типизация функций относительно указанных преобразований при k = 2, n = 3 и составлен каталог геометрических типов с нумерацией, предложенной В. Г. Никоновым в работе [7];
4) доказано, что только один из 14 геометрических типов булевых функций от трёх переменных не задаётся функциями из класса AT32;
5) для 7 геометрических типов, не задаваемых функциями из класса T32, но реализуемых функциями из класса AT32, приведены структуры представителей;
6) доказано, что любая подфункция алгебраической пороговой функции является алгебраической пороговой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соколов А. П. О конструктивной характеризации пороговых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15. №4. С. 189-208.
2. Морага К. Многозначная пороговая логика // Оптические вычисления. М.: Мир, 1993. С. 162-182.
3. Никонов В. Г., Никонов Н. В. Особенности пороговых представлений k-значных функций // Труды по дискретной математике. 2008. Т. 11. № 1. С. 60-85.
4. Зуев Ю. А. Комбинаторно-вероятностные и геометрические методы в пороговой логике // Дискретная математика. 1991. Т.3. №2. С.47-57.
5. Глухов М. М, Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т. 1, 2. М.: Гелиос АРВ, 2003.
6. Никонов В. Г., Сошин Д. А. Геометрический метод построения сбалансированных k-знач-ных пороговых функций и синтез подстановок на их основе // Образовательные ресурсы и технологии. 2014. №2(5). С. 76-80.
7. Никонов В. Г. Классификация минимальных базисных представлений всех булевых функций от четырех переменных // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. Дискретная математика. 1994. Т. 1. №3. С. 458-545.
REFERENCES
1. Sokolov A. P. O konstruktivnoy kharakterizatsii porogovykh funktsiy [On the constructive characterization of threshold functions]. Fundam. Prikl. Mat., 2009, vol. 15, no. 4, pp. 189-208. (in Russian)
2. Moraga K. Mnogoznachnaya porogovaya logika [Multiple-valued threshold logic]. Opticheskie Vychisleniya. Moscow, Mir Publ., 1993, pp. 162-182. (in Russian)
3. Nikonov V. G., Nikonov N. V. Osobennosti porogovykh predstavleniy k-znachnykh funktsiy [Features of threshold representations of k-valued functions]. Tr. Diskr. Mat., 2008, vol.11, no. 1, pp. 60-85. (in Russian)
4. Zuev Yu. A. Kombinatorno-veroyatnostnye i geometricheskie metody v porogovoy logike [Combinatorial-probability and geometric methods in threshold logic]. Diskr. Mat., 1991, vol. 3, no. 2, pp. 47-57. (in Russian)
5. Glukhov M. M, Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra. V. 1,2. Moscow, Gelios ARV Publ., 2003. 416 p. (in Russian)
6. Nikonov V. G., Soshin D. A. Geometricheskiy metod postroeniya sbalansirovannykh k-znach-nykh porogovykh funktsiy i sintez podstanovok na ikh osnove [The geometric method for constructing a balanced k-valued threshold functions and construction of substitutions based on them]. Obrazovatel'nye Resursy i Tekhnologii, 2014, no. 2(5), pp. 76-80. (in Russian)
7. Nikonov V. G. Klassifikatsiya minimal'nykh bazisnykh predstavleniy vsekh bulevykh funktsiy ot chetyrekh peremennykh [The classification of minimal basic representations of Boolean functions of four variables]. Obozrenie Prikladnoy i Promyshlennoy Matematiki. Ser. Diskretnaya Matematika, 1994, vol.1, no. 3, pp. 458-545. (in Russian)
