CC BY
31
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 126-131 ^ Механика
V IК 539.3
Предельное сопротивление упругому деформированию трансверсально-изотропных материалов
А. В. Борисов, Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Посредством аффинных преобразований компонент тензора напряжения и тензора деформации вводится понятие аффинно-подобных трансверсально-изотропных материалов. Среди бесконечного множества трансверсально-изотропных аффинно-подобных материалов выделяется класс материалов, энергия деформирования которых расщепляется на шаровую и девиаторную части. Предложен критерий предельного упругого деформирования трансверсаль-но-изотропного материала. Указываются пути экспериментального определения механических характеристик предельного состояния.
Ключевые слова-, предельное сопротивление, предел упругого деформирования, трансверсально-изотропный материал, афинно-по-добный трансверсально-изотропный материал.
1. Закон Гука трансверсально-изотропного материала.
Пусть трансверсально-изотропная среда отнесена к прямоугольной декартовой системой координат ж, у, г. Направим ось г нормально к плоскости изотропии, а оси ж и у — в этой плоскости произвольно. Уравнения закона Гука имеют вид [1]
еш = Лццах + Ац22Ру + Ацззаг, еху = А^п^ху,
еу = Ац22(7х + Аццау + АцЗЗ^г, ежг = ^ШЗ^шг, (1-1)
&г = Аизз (&х ~Ь ®у) ~Ь Ацзз&х, в^г = А1313СГуг,
где ех, ..., еху — компоненты тензора деформации; ах, ..., аху — компоненты тензора напряжений; Ацц, ..., .41212 — характеристики анизотропии упругих свойств.
Механические характеристики Ацц, ..., .41212 связаны с техническими характеристиками соотношениями
Ацп = 1/Ех, -41122 = —^ух/Ех, Ацзз = — 1/гх/Ех, А3333 = 1/Ег,
А1212 = 1/2<?шз/ = Ацц — Ац22 = (1 + ^ух)/Ех, А1313 = 1/2С?жг. (1.2)
Характеристики упругого деформирования трансверсально изотропного материала можно определить экспериментально, проведя три эксперимента: одноосное растяжение в плоскости изотропии позволяет найти Ех, иух и г/гї; одноосное растяжение вдоль оси г позволяет найти Ег и г/хг, причем игх1Ех = ихх/Ех\ чистый сдвиг в плоскости хг позволяет найти
Трансверсально-изотропное тело обладает упругим потенциалом, имеющим билинейную форму
и квадратичную форму 21¥ = Ацц(ах + (Ту) + Лззззсг2 + %А\т ахау + Ацзз(ах + сгу)сгг]+ (1.4) +4Аш2СГХу + 4Аш$(аХ2 + ауг).
В общем случае упругий потенциал не расщепляется на шаровую и деви-аторную части.
Исследуем возможность расщепления энергии деформирования траневер-еально-изотропного тела на шаровую и девиаторную части, вводя аффинное моделирование [2].
2. Аффинно-подобный материал.
Введем аффинно-подобный материал посредством аффинных преобразований:
— компонент тензора деформации
При выполнении аффинных преобразований (2.1)—(2.2) упругий потенциал (1.4) принимает вид
— коэффициенты податливости трансверсально-изотропного аффинно-подобного материала.
2И^ — х ~Ь еуау "Ь ~Ь ‘^[єху&ху ~Ь ® ух® ух ) (1-3)
&х — — ®11 &г\1
&ху ®11®33££я ®11®33
(2.1)
компонент тензора напряжения
(2.2)
2\¥ = С’іш(г| + т2) + С3333Т,,2 + 2[С’ц22'г$'гч + Спзз^ + тп)тя} + +4С131з(г|? + т£) + 4С’і2і2'г|гг,
(2.3)
где
Сцц = а^Ащі, Сц22 = аіі Ац22, С’зззз = «зз4-4зззз5
2 2 ^ 2 2 / \ С’изз = «И °33 -^1133) С]212 = «11 -41212- С’їЗІЗ = «И °33 ^1313 (2.4)
Моделируемый и аффинно-подобный материал являются энергетически сопряженными:
2W = вжСГх еуау + ezCTz 2(&ху&ху &yz&yz &xz&xz) =
= £?Т? + £VTV + £ЯТЯ + 2 (efyTfr + е$яТ£я +
£mTm )• (2-5)
Закон Гука (1.1) для аффинно-подобного материала принимает вид ££ = СццТ£ + Cn22Tv + Сиззтя, ££v = Cl212T£v,
£v = С1122Ц + CmiTrj + Cii33Ts, £^<; = CisisT^, (2.6)
£я = Сцзз(г^ + тп) + С$$$зТя, £щ = Ci$i$Tm.
Поскольку параметры оц и 033 произвольны, то формулами (2.1), (2.2) вводится бесчисленное множество моделей траневереально-изотропных аффинно-подобных материалов.
3. Аффинно-подобный объемно-изотропный материал.
Рассмотрим деформирование аффинно-подобного материала средним аффинным напряжением рср = (т^ + тп + тя)/3. Пусть на трансверсально-изо-тропный аффинно-подобный материал действует напряжение = тп = тя = Рср-
Из (2.6), следует, что в аффинно-подобном материале возникнут деформации
= £V = (Сии + Сц22 + С^изз)гср, £я = (2Сцзз + Сзззз)гср. (3.1)
Соотношения (3.1) перепишем в виде £ср = -РоРср; _ £ср = ~ £ср = рРср) ~ еср = Р<;Рср, (^-2)
где введены обозначения
£ср = (е$ + + е?)/3, Ро = [2(Сцц + Сц 22 + 2Сцзз) + Сзззз]/3,
Р$ = Сии + Сц22 + Си33 - Ро, Р<; = 2Сцзз + С3333 - Pq.
Из (3.2) следует, что среднее аффинное напряжение тср вызывает в аффинно-подобном материале изменение формы.
Используя произвол в выборе параметров аффинного преобразования оц, 022, среди бесконечного множества аффинно-подобных материалов выделим класс аффинно-подобных материалов, у которых среднее аффинное напряжение не вызывает изменение формы — — еср = £v — еср = £я — еср = 0.
Такие аффинно-подобные материалы будем называть объемно-изотропными.
Такая реакция аффинно-подобного трансверсально-изотропного материала на воздействие среднего аффинного напряжения возможна в том случае, если 1\ = 1\ = 0:
Сии + С1122 + Сизз = Ро, 2С1133 + С3333 = Pq. (3.3)
Исключая параметр Ро из уравнений (3.3), получим
Сзззз + Спзз — Сц22 — Сцц = 0.
(3.4)
Учитывая зависимости (2.4), придадим уравнению (3.4) вид
Азззз^'1 + -411.зз^2 — -4ПП — -4 П22 = 0,
(3.5)
где ш = озз/оц. Отсюда
или, используя технические характеристики,
где а* = Ег/Ех.
Из уравнений (3.3) найдем
0 = Ро/а\г = Ац п + .4 Ц22 + ш2-4цзз = ш2(2Лцзз + ш2Лзззз). (3.8)
Таким образом, компоненты аффинного преобразования можно задавать с точностью до параметра ац.
Отметим, что требование объемной изотропии для аффинно-подобного материала не накладывает никаких ограничений на механические характеристики моделируемого материала.
Для объемно-изотропного материала в аффинном пространстве закон Гука можно записать в виде
= РоРср + + Рц22Тг1 + ^1133 Тя, = Сі212Т^п,
Єг, = Р0РсР + ^1122Т? + ^1ШТ„ + ^цззт5, Є£я = СіЗІЗТ^, (3.9)
£? = РоРср ~Ь Ризз(т£ ~Ь Т?}) ~Ь -^ЗЗЗЗ^я = С^ІЗІЗ^я где введены обозначения
^1111 = Сцц - Ро/з, Р1122 = Сц22 - Ро/з, ^іізз = Спзз - Л)/3, ^зззз = Сзззз - Л)/3.
Учитывая, что
Рпп + Р\ 122 + ^1133 = 0, /•'з.ЗЗЗ + 2Рп 33 = 0, и исключая из (3.9) параметры Рцц и /*3333, получим
Єср = Ро^ср,
Єср — Рокері
(3.10)
- Єср = Рііззі^ - т$) + ^Ц22(тч - Т^), Є^ = Сі212Т^і
Єт) ^ср = Рц22{т~£ Т^) + ^цзз(т5 Т^^), Є£я = Сізі$Т£я, (3.11)
Є? — єср = ^цзз(т? — Т5) + ^ізз(тч — Т5), = СізізТ^?.
Для аффинно-подобного трансверсально-изотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии упругий потенциал можно записать в виде
2\¥ = Звз2р - ^Ц22(а€ - *п)2 - *1133(«€ - ^)2-
— ■^1133 (зг, — 8Я)2 + 4С131з{$щ + + 467x212^1^, (3.12)
Где = (Тх, 8^ = (Ту, 8Я = Ш СГг, 8^ = (ТХу, = Ш<ТХг1 = ШСГуг, ЗвСр =
+ 8^ + 8Я.
Таким образом, энергия упругого деформирования аффинно-подобного трансверсально-изотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии, расщепляется на шаровую и девиаторную части.
4. Пределы упругого деформирования.
Известно, что у изотропных материалов отсутствует корреляция между упругими характеристиками и характеристиками пределов упругого деформирования. Поэтому будем считать, что у трансверсально изотропных материалов также нет корреляции между пределами упругого деформирования и характеристиками упругих свойств.
Пусть в экспериментах по определению характеристик упругости испытания проведены до предела упругости. Обозначим: а8Х — предел упругости при одноосном растяжении вдоль оси ж, а8Х — предел упругости при одноосном растяжении вдоль оси г, а8хг — предел упругости при чистом сдвиге в плоскости хг.
Рассмотрим класс трансверсально изотропных материалов, пределы упругого деформирования которых не зависят от воздействия обобщенного гидростатического давления рср.
Примем, что для аффинно-подобного трансверсально изотропного материала в объемно-изотропном пространстве условие предельного состояния записывается в виде квадратичной функции
Л[(в£ — в^)2 + 4в|ч] — В[(з£ — я?)2 + (зт, — я?)2] + С(з^я + я|?) = 1, (4.1)
где А. В, С — характеристики предела упругого деформирования объемноизотропного аффинно-подобного материала.
Если в соотношениях (4.1) перейти в физическое пространство, можно записать
А{{(тх — (Ту)2 + 4сг23/] — В[(стх — ш2сгг)2 + ((Ту — ш2сгг)2] + Сш2(а2г + сг2г) = 1.
(4.2)
Подставляя пределы упругого деформирования в уравнение (4.2), получим
А = 1/а2х, В = 1/2ш4ст2г, С = 1/ш2а2хг. (4.3)
Особенность предела упругого деформирования (4.2) заключается в том, что в нем кроме пределов упругого деформирования фигурирует универсальная характеристика упругих свойств ш.
Список литературы
1. Кузнецов Е.Е. О закономерностях аффинного моделирования в линейной теории упругости анизотропных сред // Изв. ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. 2006. Вып. 3. С. 31.
2. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971. 220 с.
Поступило 29.06.2009
Борисов Андрей Викторович (magadan-tula@rambler.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (magadan-tula@rambler.ru), к. ф.-м. н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (magadan-tula@rambler.ru), д. ф.-м. н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Limiting resistance to elastic deformation of transversal-isotropic materials
A. V. Borisov, E. E. Kuznetsov, N. M. Matchenko
Abstract. By means of affine transformations the component stres tensor and deformation tensor is entered concept of affinely-similar transversal-isotropic materials. Among infinite set of transversal-isotropic affinely-similar materials the class of the materials which energy of deformation is split on spherical and deviator parts. The criterion of limiting elastic deformation of a transversal-isotropic material is offered. Ways of experimental definition of mechanical characteristics of a limiting status are specified.
Keywords: limiting resistance, a limit of elastic deformation, a transversal-isotropic material, an affinely-similar transversal-isotropic materials.
Borisov Andrey (magadan-tula@rambler.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Kuznetsov Eugeny (magadan-tula@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Matchenko Nikolay (magadan-tula@rambler.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
