Предельная теорема для момента разорения со степенными доходами в случае проинтегрированного гауссовского стационарного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 519.214.6

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МОМЕНТА РАЗОРЕНИЯ СО СТЕПЕННЫМИ ДОХОДАМИ В СЛУЧАЕ ПРОИНТЕГРИРОВАННОГО ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА

С. Г. Кобельков1

Найдено асимптотическое распределение момента разорения для модели, в которой интенсивность убытков описывается гауссовским стационарным процессом, а доходы описываются степенной функцией. Вычислены средние потери в случае разорения.

Ключевые слова: гауссовский процесс, метод Райса, вероятность разорения, момент разорения, средние убытки.

The asymptotic distribution of the moment of ruin is obtained for the ruin problem with the loss rate in the form of a Gaussian stationary process and a power function as profit. Mean losses are found in the case of ruin.

Key words: Gaussian process, Rice method, ruin probability, moment of ruin, mean losses. 1. Введение. Рассмотрим процесс риска u — Yt, где

Yt = fxs ds — ct®. (1)

J 0

Здесь u > 0 — начальный капитал; ct®, где c > 0,в > 1/2, описывает детерминированную часть суммарного капитала в момент времени t; Xs — стационарный действительнозначный центрированный гауссовский процесс с непрерывными траекториями, описывающий интенсивность случайной составляющей. Данный процесс рассматривается в литературе и как описывающий заполнение очереди в теории очередей [1, 2]. Вероятность

Pt(u) = P{30 ^ t < T : Yt >u} = P{ max Yt > u}

называется вероятностью разорения на отрезке [0, T]. В [3] найдена точная асимптотика вероятности Pt(u) для данной модели. Заметим, что fO Xsds является процессом со стационарными приращениями. Различные оценки в задаче о разорении для процессов со стационарными приращениями получены в [4, 5]. В [1, 6] найдена точная асимптотика P^(u) = P{supt>o Yt > u} при u ^ж для в = 1, Yt = Bh(t) — ct, где Bh — дробное броуновское движение. Также данная задача рассматривается в [2].

Пусть — момент разорения, т.е. = inf {t ^ 0: u — Yt < 0},а средние убытки в случае разорения на отрезке [0,T] описываются выражением E(— infт^t^o(u — Y0|£u ^ T).

Для модели Yt = Bh (t) — ct, где Bh(t) — дробное броуновское движение, в [7] доказано, что при соответствующей нормировке имеет асимптотически нормальное распределение, а в [8] найдена асимптотика средних убытков.

В настоящей статье исследуется асимптотическое распределение момента разорения для проинтегрированного гауссовского процесса (1) и вычисляются средние убытки в случае разорения на бесконечном промежутке.

Предположим, что R(t) — действительнозначная ковариационная функция процесса Xt, удовлетворяющая условиям:

/•те

Hi: G = R(s) ds > 0,

0в

/•те

H2: интеграл H = / sR(s) ds конечен, в0

/•те

H3: u2-2/4 sR(s) ds ^ 0, u ^ж. JvMe

1 Кобельков Сергей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр. лаб. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey@dodo.inm.ras.ru.

Теорема. В вышеприведенных условиях

1) для всех достаточно больших u существует единственное действительное решение to = to(u) уравнения

Gu + Gctt — 2cttОС + 2ctt-1 вИ = 0; (2)

2) пусть к{и,х) = t0 + xV2G9~lu~1-^/^ (29 - 1)-1/2-з/(2в)> тогда

P (in < n(u,x)\£u < те) ^ Ф(х)

при u ^ те, где Ф(х) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда средние убытки в случае разорения выражаются формулой

Е(- Ы<„ - < со) = ^-L-i-j-y + <41))

при u ^ те.

Перепишем вероятность разорения в виде

Vt(u) = Р (max —-. . f Xsds > и )

и обозначим Vt = J Xsds. Дисперсию процесса Vt можно записать как сумму Var Vt = S\(t) +

S2(t), где

/ОО ГО

R(s)ds — 2 sR(s)ds

= {l+cte/иГ = ! (1 + ctW2 ' (3)

Введем обозначения: a = to(1 — log-1 u), в = to(1 + log-1 u). Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Функция Si(t) имеет единственную точку максимума to для достаточно больших u,

являющуюся решением уравнения (2), причем t0 = (u(20 — 1)-1/c)1/t (1 + о(1)), и справедливы следующие асимптотические соотношения:

p{st^Vt >u)=0 (u_lexp{-^тЬ})' >и)=0 (u"lexp{"^ky})

при u ^ те.

Определим случайную величину Жи([0,Т|), равную числу пересечений уровня u процессом V на отрезке [0,Т].

Лемма 2. Справедливы следующие асимптотические соотношения при u ^ те:

ЕЗДМо]) = ~ 1)1/2"1/'С"1/'ехр } (1 + °(1))'

ЕМи([а, в]) = 2Еада, ¿с])(1 + о(1)),

ЕЖи((£о,к(х,и)]) = ЕЖ„([а,¿с])(2Ф(х) - 1)(1 + о(1)).

Лемма 3. Справедливо следующее асимптотическое соотношение при и ^ те:

ЕМи([а,в])(Ми([а, в]) - 1) = о(Е^„([а,в])).

2. Доказательства. Утверждение 1 теоремы содержится в лемме 1. Очевидно, что

(и) - Р(тах У > и)| < 3(Р(8ир У > и)+Р(вир У > и)), (4)

\а,0\ г<а г>в

\Рк(х,п)(и) - Р(г тах V > и)\ < 2Р(тах V > и). (5)

4 у [а,к(х,и)\ г<а

Кроме того, в [9, 10] показано, что для случайного процесса с непрерывно дифференцируемыми траекториями и произвольного отрезка 5 имеет место соотношение

0 < ЕЛЦ5) - Р(тах Т4 > и) < - 1).

t£S 2

Тогда из лемм 1-3, неравенств (4), (5) и определения условной вероятности

Рк(х,и)(и)

P (Си < к(х,и)\Си < œ) =

VM

следует утверждение 2 теоремы.

Доказательство леммы 1. Рассмотрим функцию S\(t), определенную в (3). В точках максимума ее производная равна нулю, т.е. они являются решениями уравнения (2). Функция Get9 — 2et90G + 2cte-l0H монотонна для больших t, следовательно, для достаточно больших u уравнение (2) имеет единственное решение, которое, очевидно, является точкой максимума функции Si(t). Подставим в уравнение (2) t = (u,e-1(20 — 1)-1 (1 + т))1/9. Отсюда легко получить оценку решения \т\ ^ Ciu-1/9 при u ^ ж для некоторой не зависящей от u константы Ci > 0. Следовательно, для решения уравнения (2) справедливо

асимптотическое при u ^ж равенство to = (u(20 — 1)-1 /о)(1 + о(1)).

Обозначим точку достижения максимума дисперсией процесса V на промежутке 5k = [k, min(a, k + 1)] через t*k, k = 0,..., [а]. Тогда

u2 1 ( u2

eXPi 2maxôfcVarFj 6XP \ 2(ЗД) + ЗД))

__и2_1 f и2 C2u2 }

6XP ^ 2(5i(a) + (ЗД) + S2(t*k) - Si(a))) p exp \ 2S^a) + 2S2(a) J

для достаточно больших u, где C2 > 0, так как Sit) — Si (a) ^ 0, а S2(t) является равномерно ограниченной функцией по и в силу условия Н2. Поскольку - 2Sf^ = - 2Sf^ + и Si(t0) - Si (a) >

_2Gto_ то

log u(1+ctg/u)2 '

eXP bmaxfvarlj = 0 ^ {" }) (6)

при u ^œ.

Воспользуемся неравенством из теоремы 8.1 работы [9]

f и2

P(max Vî > u) < C3 max(Var Vt) exp ~2тахуагу

l tes

где константа Сз может зависеть только от длины отрезка

Д г и2

РГэир Vt > и) ^ > Р(тах14 > и) ^ С^аБхНо) тах ехр <--———

[0,«) к=0 6к I 2шах^ Уаг V

здесь С4 > 0. Так как 51 (¿о) = 0(и1/в) при и ^ ж, то в силу соотношения (6) имеем

Пусть теперь 5к = [в + к, в + к + 1],к ^ 0. Согласно условию Н3 теоремы, для £ ^ в выполнено равенство

и2 1 Г и2 . и2^) ) ^ ^ Г и2 \

еХР\ 2Var Vt j ~ 6ХР \ 2S1(t) + 2S1mSi(t)+S2(t))i^C5eW\ 2ЗД)/'

3 ВМУ, математика, механика, №4

где C5 > 0 и не зависит от t, u. Представим

u2 _ u2 2 Si (в) — Si (в + к)

u

Si (в + к) Si (в) Si (в)Si(e + к)

В силу неравенства Si((3) — Si((3 + к) ^ /и)21 спРавеДливого Для достаточно больших и, имеем

' 1,2 с2(Р + к)2в~\ <

о С 2 \ о

P(sup Vt>u)^Y] P(sup Vt^u) < C6 exp - \ V exp

> k=o i ^m) k=o

Далее, легко установить, что Б'{(г0) = 0(и-1/в) при и — те. Так как функция $1 (¿) имеет максимум в точке ¿о и ¿с/в — 1, то, применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получаем $1(^0) — $1(в) = 0(и1/в ^-2(и)) при и — те. Следовательно,

(в,<х>) Лемма доказана.

Доказательство леммы 2. Так как случайный процесс УЬ непрерывно дифференцируем, то по теореме Е2 работы [9] среднее число пересечений уровня и процессом УЬ на отрезке [¿1, ¿2] конечно и вычисляется по следующей формуле:

Е^и(5)=/ / \у\рг(и,у) йуй1, (7)

■)Ьг -)о

где Рг(и,у) — совместная гауссовская плотность распределения случайных величин УЬ, У(.

Обозначим /1 = ЕЖи([а,¿о]). Воспользуемся соотношением (7) и произведем замену в интеграле

£ = ¿(т) = {у,(26 — 1)-1 /а)т + ¿о. Тогда после соответствующих преобразований получим

Л = Г m ^М^Д+хЫ expi-^ )iT,

u

лДтт in-iа(т-) 1 'v-y-v/v/yy —

где Ф^) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины, а(т) = Var Vt(T) = SMr))+S2(t{r)), (т(т) = ^a(r)VarF/(T) -Cov(y(r),F/(r))2 и 7(r) = . Здесь F/(r) понима-

ется как производная процесса Vt по t, взятая в точке t = t(T). Так как

u2 u2 u2S2(t(T))

2(ЗДт)) + ЗДт))) 2ЗДт)) 2ЗДт))(ЗД(т)) + ^(¿(т)))'

то в силу предположений Н2 и Н3 и того, что на рассматриваемом отрезке ^(¿(т)) = 0(и1/в), последнее слагаемое в (8) стремится к нулю. Следовательно,

\-1/ Л1/в г о

(9)

при и - те.

2

Ввиду того что функция 5*1 (¿) достигает максимума при £ = ¿о> функция ¿>з(т) = аз^т)) на от~

резке [— 1п-1 и, 0] имеет единственную точку минимума т = 0. Кроме того, на рассматриваемом отрезке справедливо равномерное по т соотношение при и — те

аШ (-^ехр{-7(т)2/2}+7(т)Ф(7)^ = ^ ( ^ ехр{-7(0)2/2}+7(0)Ф(7(0))^ (1 + о(1)). (10)

а(т) \у/21г у j у jj

Применим метод Лапласа [11, теорема 2.2] оценки интегралов к (9). Получим Нетрудно вычислить, что при и ^ж выполнено

7(0) 0, а(0)/а(0) = - 1)УтсУт (1 + 0(1)),

(П)

2

б*"(0) = ^-с1/ви2~1/в{2в - 1)^-1(1 + 0(1)).

2о

Таким образом,

1\ = 1+1'в(2в - \)1/2~1/вс~1/в ехр {—5*3(0)} (1 + о(1)).

2у2п

Аналогичным образом находим, что

ВКи((10,Й) = - 1)1/2-1/вс-1/вехр{_5з(о)} (1 + о(1)).

2 V 2п

Представим ЕЫи([а, к(и,х)]) = 11 + 12, где 12 = ЕЖад((£0, к(и, х)]). Аналогично (9) имеем

/2 = (Ц(2^1/С)1/9 ехр{-7(г)72} +7(г)Ф(7)) ехр{-53(0)} ¿т(1 + 0(1)).

л/2тт Уо а(т) \л/2тт )

(12)

Ввиду того что 5з(т) — 5з (0) является неотрицательной монотонной функцией на отрезке с концами в точках 0, (к(х) — ¿о)/ (и(20 — 1)_1/с)1/0, можно произвести замену переменной у2(т) = 2(5з(т) — 5з(0)) в интеграле (12). Поскольку функция 5з(т) имеет минимум в точке т = 0 и (к(и, х) — ¿о)/ (и(26 — 1)-1/а)1/0 ^ 0, то 5з(т) — 5з(0) = 5з'(0)т2/2(1 + 0(1)) при и ^ж. Тогда

у2((к(и, х) — ¿о)/ (и(26 — 1)-1 /а)1/0) = 2(5з((к(и, х) — ¿о)/ (и(26 — 1)-1/а)1/0) — 5з(0)) =

= 5'з(0)((к(и, х) — ¿о)/ (и(26 — 1)-1 /а)1/0)2(1 + о(1)) = х2(1 + о(1)) в силу выбора к(и,х).

Так как % = + о(1)) при г 0 и ^ = 2в'Цт), то ^ = + о( 1)) при г ^ 0.

Отсюда, воспользовавшись равномерной сходимостью (10) и соотношениями (11), получим

Еад*о,«(«,*)]) = ^Ши-1+1/в(29- 1)1/2-ехр{-53(0)} (-}= Г е~У*'Чу) (1 + о(1)).

и-1/(20) Г «20-1)-1 /с)1'\

Доказательство леммы 3. Положим ^ =-—-- „ / Х3й8. Тогда

1 + (20 — 1) ¿ ,;о

Р(вир V; >и) = Р(вир > и1-1/(20)), [«А [«,£]

где а = а/ (и(26 — 1)-1 /о)1/0 , ¡3 = в/ (и(26 — 1)-1 /о)1/0. При этом пересечению уровня и процессом Vt в

точке ¿ соответствует пересечение уровня и1-1/(20) процессом Zt в точке ¿/ {у,(26 — 1)-1 /а)1/0. Следовательно, второй факториальный момент ЕЖи([а,в])(^и([а,в]) — 1) для процесса V; совпадает с соответствующим вторым факториальным моментом процесса Zt на отрезке [а, /3] уровня и1-1/(20). Обозначим 3о = ¿о/ (и(26 — 1)-1/а)1/0.

4 ВМУ, математика, механика, №4

Воспользуемся выражением второго факториального момента через совместную плотность процесса и его производной из теоремы Е3 работы [9]:

ШЮ ГЮ

/ У1У2^ьАи1-1/(2в), и1-1/(2в), у1,у2)йу1 йу2 йв йЬ, о

(13)

где ,г,в(и1 1/(29) ,и1 1/(29), у1, у2) — совместная плотность случайных величин , ^^. Оценим ин-

теграл в правой части (13). Обозначим О = {(в,Ь) : ¿,в € [а,/?]}. Тогда

тм гм

/ VlV2<Pt, s ,t, s (u1-1/(2e) ,u1-1/(20) ,yi,y2)dyi dy2 dsdt < . J0

г г гм г г гм

^ JJ dsdt J y2^t ,s, t(y)dy + JJ dsdt J y2^t, s ,s(y)dy,

s t t s s

0 J J JO

Dn{t^s] Dn{t^s]

где

здесь ^t,s, t(y) — совместная плотность гауссовских величин Zt,Zs,Z't, а pt,s,s(y) — совместная плотность величин Zt,Zs,Z's в точке (u1-1/(20), u1-1/(20),y). Оценим первый интеграл; оценка второго интеграла проводится аналогично.

Обозначим через фt>s(V1,V2) совместную плотность величин Zt,Zs, а через фt,s(y) — условную плотность случайной величины Z't при условии Zt = u1-1/(20), Zs = u1-1/(20). Пусть также g(s) = Var Zs, ht (s) = Cov (Zt, Zs) и vt(s) = Cov (Z't, Zs). Тогда, переходя к условной плотности, получим

мм

УУ dsdt у yVt,s,t(y)dy = уу ^t,s(u1-1/(20) ,u1-1/(2e) )ds dt y y2^t,s(y)dy ds dt, (14)

Dn{t^s} Dn{t^s}

1 ( ц2-1/в ^

j{uI.1/(„.-./,*,) _ __еЧ1 { - + M.) - M*»}.

^ = v^H - - «'-""-•»'f-'»}

и

a2(s,t) = g(t)g(s) - h2(s),

m(s, t) = 1 (g(s) vt(t) - ht(s)(vt(t) + vt(s)) + g(t) vt(s)), a2 (s,t)

A (a, t) vt(t) .

Заметим, что g(t) = ht(t),ht(t) = vt(t),g'(t) = 2vt(t),g"(t) = 2vt(t)+2hf(t). Представим

g(s)+g(t)-2ht(s) = 1 (ht(s) - ht(t))2

g(s)g(t) - h2(s) g(t) + (g(sMt) - h2(s))g(t) " Оценим интеграл по t в (14) по методу Лапласа:

1 r,rni 2-i/e9{s)+g(t)-2ht(s)\ f

0 ехР \ ~и ' , , -т 2 / чч f / 7\iPt,s(y)dy dt ds =

2п [ 2(g(s)g(t) - ht(s)) ) Jo a(s,t)

Dn{t^s}

fe ( V2-1/9 1 ft ( v2-1/d(ht(s) - ht(t))2 1 fм y2 , , , , ,

= L 6XP Г"W j L eW\-2(g(s)g(t) - mW) | Jo ^jf^dydsdt < (15)

^ V V "( 0) 29(to) j Jâ !

для достаточно больших u. Из очевидного равенства д(т+io) = u 1/9(S1 (t(T))+S2(t(T))) и соотношения (8)

f 2_1/9 Л ~

получаем, что exp -j ~ ад2д(т) r = exp{—¿>з(т —¿о)}(1 + с>(1)) при и —oo, соответственно вторая производная

по г равна ^с1/ви2~1/в (2в - 1)1/^-1(1 + 0(i)) в ТОЧке i0. Рассмотрим интеграл

r?°c::pí -2-1/e(K(s)-k0(W\ ri? (y)dyds (16)

5 eXP\ 2(9(sMto)-hl(sMto)¡Jo a^{y)dydS- (16)

Справедливо неравенство

Г У2 ( Лг1 ^ Г у2 ( Лг1 A2(S,¿) , v?-Vem\s,t)

Jo & ' J-^ a(s,t) ' a(s,t) a(s,t)

Определим rg,rh,rv из следующих соотношений:

<700 = 9(t) + 9'ms -t) + - t)2,

ht(s) = ht(t) + h>(t)(s -t) + h'm + r\s - t)2, (17)

vt(s) = vt(t) + (v't(t) + rv)(s - t).

Данное определение корректно для t = s, так как функции g(s),ht(s) дважды непрерывно дифференцируемы по s, а функция vt(s) непрерывно дифференцируема один раз по s.

Подставив выражения (17) в определения функций m(s,t), A(s,t),a(s,t), получим

m(s, t)a2(s, t) = vt(t) Qrfl - rv - rh) (s - t)2 - + rh)(v't(t) + rv)(s - tf,

o2{s,t) = UtiMit) + ht(t)rg - ht(t)rh - v2{t) J (s - t)2 - vt(t){h'l(t) + rh)(s - tf-

-(1/4)(h'¡(t)+rh)2(s - t)4, (18)

A2(s,t)a2(s,t) = ( - \v2(t)rg + \v't(t)ht(t)rg - v't(t)ht(t)rh + 2v2(t)rv + v2(t)rh-

-2- Ы{1)г1){8 - I)2 + Ш)Ы1$)г*+Уг$)гнг*)(8 - ¿)3 - + гн)\з - ¿)4.

Рассмотрим производную |(в). Ее выражение через ковариационную функцию Я^) можно представить в виде суммы:

(26 1)-2/0а-2/0и1/0 ( )1

где у';(в) — непрерывно дифференцируемая по в функция. Аналогично

(26 — 1)-2/0 а-2/0 и1/0

h'í(s) = ht (s) -

(1 + (2в - 1)-1s0)(1 + (2в - I)"1 t0)

х (Я((и(26 — 1)-1 /а)1/0 (в — ¿)) — Я((и(26 — 1)-1 /а)1/0 в)) , (20 _ 1) —2/0а-2/0и1/0 , ,0 = + (1 + (26>-1)-1д")2 ~

где Ь!1(в),д"(в) — непрерывно дифференцируемые по в функции. Подставив данные соотношения в (18), получим

2 и ' 126 - II ' а ' I 14- I I. I Я II и126 - II 1 /

т(в^)а (в^) =

¿/е(20 - 1)-2/0с-2/0vt(t)R({и(2в - 1)-1 /о)1/0 s)

1 + (20 - 1)-1 s0

где 0((в — ¿)3) представляет собой функцию, не превосходящую по модулю Сэ\в — ¿\3 для некоторой константы С% одновременно для всех и на рассматриваемом отрезке в,Ь € [а,/?]. Следовательно, функция т(в, ¿)/ст(в, ¿) является равномерно ограниченной. Аналогично находим, что и-1/вД2(в, ¿)/а(в, ¿) также является равномерно ограниченной функцией.

Далее, подставляя разложения (17) для функций Нь(в),а'2(в,£), получим

(М*) - кФ)? > > - ¿0)

(д(в)д(?о) — (в)) 4(^ (??о)Л(?о) — ^ (??о)2)(в — ??о)2 8Ь(?о)

для достаточно больших и, так как ¿о является точкой максимума функции $1(£) и, следовательно, (?о) является бесконечно малой в силу условия Н3. Отсюда

ехр\ Чяшь)-ьц*)М1о)/ р\ в^л«»/• (19)

В силу доказанной равномерной ограниченности функций т2(в, ¿)/а(в, ¿),и-1/9Д2(в, ¿)/а(в, ¿), неравенства (10) и соотношения (19) интеграл (16) равномерно ограничен.

Сравнивая выражение (15) с соответствующим из леммы 2, получаем ЕЖи([а,/])(^и([а,/]) — 1) =

а(ЕМи([а,в])).

Доказательство следствия. Имеем

Е(1п^и — У)\£и < те) =

/о /■ ю

хйР(1по(и — х — У) < 0) у Р(|по(и + х — У) < 0)йх

уь>оу Р({и < те) Р(£и < те)

В силу доказанной теоремы

Р«„<оо) ехр{__^}

при и — те одновременно для всех х ^ 0. Следовательно,

ГЮ

Р(1по(и + х — у) < 0)йх . и2 ю , хЧ-1+/ Г (и + х)2 1 ^

при и — те. Применим метод Лапласа оценки интегралов [11, теорема 2.2]. Заметим, что функция ~ 231(1^(и+х)) Достигает максимума в точке х = 0 на промежутке х ^ 0 и ее производная по ж в точке х = 0 равна

2(и + х) 2с^ (и + х)

Тогда

$1(^о(и + х)) 5*1 (¿о(и + х))(1 + с^о(и + х)/и)'

ГЮ

I Р(§о(и + х — У) < 0)йх иИ-(26 — 1)-/

- - (1 + 0(1))

Р(Си < те) Сс1/в(1 + (26 — 1)-1)

при и — те.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 07-01-00077.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Narayan O. Exact asymptotic queue length distribution for fractional Brownian traffic // Adv. Performance Anal. 1998. 1. 39-63.

2. Dieker A.B. Extremes and fluid queues: Ph.D. Thesis. University of Amsterdam, The Netherlands, 2006.

3. Кобельков С.Г. О задаче разорения со степенными убытками для гауссовского стационарного процесса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 6. 23-29.

4. Kulkarni V., Rolski T. Fluid model driven by an Ornstein-Uhlenbeck process // Probab. Eng. Inf. Sci. 1994. 8. 403-417.

5. Norros I. A storage model with self-similar input // Queueing Systems. 1994. 16. 387-396.

6. Hiisler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes // Stochast. Process. and Appl. 1999. 83. 257-271.

7. Hiisler J., Piterbarg V. A limit theorem for the time of ruin in a Gaussian ruin problem // Stochast. Process. and Appl. 2008. 118. 2014-2021.

8. Boulongne P., Pierre-Loti-Viaud D, Piterbarg V. On average losses in the ruin problem with fractional Brownian motion as input // Extremes. 2008. 12, N 1. 77-91.

9. Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988.

10. Питербарг В.И. Метод Райса для гауссовских случайных полей // Фунд. и прикл. матем. 1996. 2, № 1. 187-204.

11. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 25.11.2009

УДК 517.94

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СЛЕДЫ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КАНОНИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

А. И. Козко1, А. С. Печенцов2

В пространстве L2[0, œ) рассматривается самосопряженный дифференциальный оператор L порядка 2m с краевыми условиями y(kl)(0) = y(k2)(0) = у(кз)(0) = ... = y(km)(0) = 0, где 0 ^ к\ < k2 < ... < km ^ 2m — 1, с ограничением на самосопряженность: (МГ=1 ^ {2m — 1 — ks }m=i = {0,1, 2,...,2m — 1}. Оператор L возмущается оператором умножения на действительнозначную измеримую финитную ограниченную функцию: Pf (х) = q(x)f (х), f G L2[0, œ). Вычислен регуляризованный след оператора L + P.

Ключевые слова: регуляризованные следы, спектральная функция, собственные значения, самосопряженный дифференциальный оператор, сингулярные дифференциальные операторы.

A self-adjoint differential operator L of order 2m is considered in L2[0, œ) with classic boundary conditions y(kl)(0) = y(k2)(0) = y(k3)(0) = ... = y(km)(0) = 0, where 0 < k1 < k2 < ...<km < 2m — 1 and {ks }'IJ=1 U {2m — 1 — ks }'IJ=1 = {0,1, 2,...,2m — 1}. The operator L is perturbed by the operator of multiplication by a real measurable bounded function q(x) with a compact support: Pf (x) = q(x)f (x), f G L2[0, œ). The regularized trace of the operator L + P is calculated.

Key words: regularized traces, spectral function, eigenvalues, self-adjoint extension, singular differential operators.

1. Введение. В пространстве L2[0, œ) рассматривается самосопряженный оператор L, задаваемый

1 Козко Артем Иванович — канд. физ.-мат. наук, доц. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: prozerpi@yahoo.co.uk.

2Печенцов Александр Сергеевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pechentsov@ok.ru.