CC BY
17
УДК 62.501.72 Агафонов Сергей Викторович,
канд. техн. наук., ст. преподаватель ИрГСХА, тел.: (3952)45-30-57
Данеев Алексей Васильевич, д-р. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Информатика» ИрГУПС, тел.: (3952)63-83-79, e-mail: daneev@mail.ru Русанов Вячеслав Анатольевич, д-р. физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел.: (3952)-36-50-93, e-mail: v.rusanov@mail.ru Шарпинский Дмитрий Юрьевич, научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
тел.: (3952)-45-30-57, e-mail: dmitry.shrp@gmail.ru
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИИ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ АЗОТИРОВАННОГО СЛОЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
S. V. Agafonov, A. V. Daneev, V.A. Rusanov, D. U. Sharpinsky
OPTIMAL TECHNOLOGIES OF OBTAINING THE NITRIDED LAYER IN THE ELECTROSTATIC FIELD
PROCESS CONSTRUCTION
Аннотация. Предлагается способ нелинейного математического программирования для обоснования (необходимые и достаточные условия) оптимального технологического процесса азотирования в среде электростатического поля. Способ основан на квадратичной аппроксимации для отклонений векторного аргумента физико-химических факторов металлообработки от некоторого заданного режима азотизации и предъявляет минимальные требования к экспериментальным данным при идентификации математической модели процесса получения азотированного слоя.
Ключевые слова: математическое программирование, азотирование, электростатическое поле, квадратичная аппроксимация.
Abstract. Provides a method of nonlinear mathematical programming to justify the (necessary and sufficient conditions) of the optimal process of nitriding in a medium of the electrostatic field. The method is based on a quadratic approximation for the deviations of the vector argument of physicochemical factors of metal from a given mode nitriding and imposes minimum requirements for the experimental data in the identification of a mathematical model of the process of obtaining the nitrided layer.
Keywords: mathematical programming, nitriding, the electrostatic field, the quadratic approximation.
Введение
Классический взгляд на математическое моделирование - это дескриптивный подход физика: функции, связанные с природными явлениями, ус-
тойчиво подчинены некоторым универсальным законам, и задача заключается в том, чтобы их открыть. Однако не такова на самом деле практика дескриптивных наук: центральным будет скорее представление, что математическое моделирование заключается в следовании принципу, что искомая «оптимальная модель» является просто самой точной моделью в пределах заданного допустимого уровня сложности или наименее сложной моделью, которая аппроксимирует наблюдаемые (экспериментальные) данные с точностью до заданного допустимого несогласования.
В теории идентификации систем идея формализации рассмотрений сложности модели исследовалась в работах [1, 2]. Соображение, что алгоритмы идентификации (обязательно) имеют интерпретацию на языке оптимальной аппроксимации, является основным с точки зрения, выдвинутой Льюнгом [3, 4]. В данной работе по существу использованы оба означенных подхода, а именно намечена комбинированная методология, лежащая в основе процедуры оптимальной нелинейной аппроксимации при математическом моделировании процесса азотирования обрабатываемой поверхности механической (силовой) детали в условиях инверсивного электростатического поля (с нестационарным потенциалом) в рамках линейно-квадратичного представления уравнений векторной регрессии.
1. Постановка задачи синтеза оптимальной многомерной нелинейной регрессии
В принципе статические модели типа «вход-выход» можно получить из динамических путем
использования экспериментальных стационарных конечных значений (или, что эквивалентно, при нулевой частоте). К сожалению, динамическая модель обычно линеаризуется, что недопустимо для статической модели, если ее предполагается использовать для оптимизации в значительном диапазоне. Кроме того, статическая модель должна быть гораздо более подробной, нежели динамическая (оптимизация, улучшающая производительность примерно на 1 %, уже может представлять значительный прикладной интерес), поэтому структурно-параметрическая идентификация многомерной статической нелинейной системы «вход-выход» в отсутствии полного априорного знания физико-математических законов ее функционирования, так называемая математическая модель «черного ящика», заслуживает углубленного внимательного рассмотрения, особенно если речь идет об обосновании допустимого уровня сложности исследуемого процесса.
Везде далее К-поле вещественных чисел, Кп-п-мерное векторное пространство над К(с евклидовой нормой, обозначаемой через || • ), Мп,т(Я) -пространство всех пхш-матриц (т. е. матриц размера пхш) с элементами из Ки фробениусо-вой матричной нормой || В ||Р:= (2^)12, В = [<1щ]
(эквивалентно ВеМп,т(Я) =>|| В ||Р= (ХхВТВ)1/2); как обычно, символ := означает равенство по определению, ХхО:=^ь-след квадратной матрицы G(сумма ее диагональных элементов), «т» - операция транспонирования матрицы (вектор-столбца), ^„-единичная пхш-матрица, со\(а1, ... , а„) -вектор-столбец с вещественными элементами а1, ... , а„.
Обычный подход в теории идентификации сложных систем «вход-выход» методологически состоит в том [5], чтобы априори фиксировать некоторый частично параметризированный класс стационарных моделей и затем на основе фиксированных апостериорных данных подобрать параметры уравнений модели, минимизирующие некоторый формальный критерий. По существу данный подход можно рассматривать как применение первого метода, означенного во введении, в котором производится «подгонка параметров модели» при фиксированном числе свободных коэффициентов ее уравнений, при этом критерий определяется априори выбранной сложностью модели. Поэтому выделим к дальнейшему рассмотрению класс стационарных статических многосвязных нелинейных систем типа «вход-выход», описываемых векторно-матричным уравнением регрессии вида
У = c+Лu+diag [мТВ1м,... ,мТВ„м]+в(м); (1) где У е К - вектор выходных сигналов системы, и е Ят - вектор задающих воздействий системы,
сеЯп, ЛеЫп,т(Я), Б1еМП1т(Я), ДТ= В, (1=1,...,п) и diag [...] - диагональная пхш-матрица соответствующих билинейных управляющих воздействий иТВи. Относительно вектор-функции г(и) предполагаем, что структура ее аналитического представ -ления априори неизвестна, но в целом неявно зависит от выбора линейной -с+Аи и билинейной -diag[uTB1u,...,uTBnu] составляющих входного сигнала; поскольку нелинейная компонента е(и) уравнения (1) всегда может рассматриваться как остаточный («недомоделированный») член разложения его правой части.
Ясно, что результат у, прогнозируемый линейно-квадратичной формой (ЛКФ) c+Лu+diаg[uTB1u,...,uTBnu] правой части уравнения (1), будет отличаться от реального сигнала, поскольку нелинейный закон е^) вносит некоторое влияние. С другой стороны, как отмечено выше, аналитическое представление члена е(и) зависит от выбора (фиксации) коэффициентов ЛКФ. Как следствие, на этапе идентификации коррекция заключается в изменении параметров ЛКФ с тем, чтобы измеренные результаты и прогнозируемые на базе ЛКФ максимально совпали; очевидно, что новые прогнозы и параметрическая коррекция могут затем осуществляться по существу оперативно (при этом дополнительная информация используется в основном для осуществления частичного или полного анализа адекватности модели по последним текущим измерениям). Иными словами, говоря более формально, методологическая парадигма апо-стериорно-оптимального параметрического синтеза ЛКФ должна обеспечивать суммарный ||шшв(и)|^п на семействе репрезентативной выборки проведенных натурных экспериментов. На языке формул данная парадигма имеет вид следующей оптимизационной задачи.
Постановка задачи апостериорно-оптималь-ного параметрического синтеза ЛКФ для уравнения нелинейной регрессии: найти векторно-матричное решение с, Л, Bi, г = 1, ..., п двухкритериальной задачи
2 I \\у(1 )-с-Аи(1 )-=1,...,к \
(2)
\^иТ (I )В^ (I),..., иТ (I) Впи(1 )| я„ ) шт( ||с||2 +||А||2 + . 2 ЦВ-Ц2р )1/2,
где у(1)е Яп, u(l)е К" - векторы экспериментальных данных (здесь у(1) - «реакция» на входное воздействие и(1)), к - число выполненных экспериментов; необходимо отметить, что методологических ограничений на величину к не накладываем.
иркутским государственный университет путей сообщения
Замечание 1. Первое условие -minZ... в математической постановке (2) гарантирует посредством генеральной выборки ^натурных экспериментов оптимальную линейно-квадратичную аппроксимацию исследуемого физического процесса в терминах нелинейной регрессионной модели (1), второе - обеспечивает (в случае не единственности решения по первому minZ.) параметрическую конкретизацию подобной модели со свойством минимальной матричной нормы.
2. Параметрическая идентификация ЛКФ-структуры уравнений нелинейной векторной регрессии
Алгоритм идентификации в многокритериальной постановке (2) для многосвязной стационарной нелинейной системы «вход-выход» класса (1) свяжем с понятием нормального псевдорешения (или, что эквивалентно, канонического решения по методу наименьших квадратов) для системы линейных алгебраических уравнений.
Определение 1 [6, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных уравнений
Dx = d, DeMqJR), deRq называется вектор xeRp, имеющий наименьшую евклидову норму ЦхЦ^ среди всех векторов, приносящих минимум величине \\Dx-d \\Rq.
Пусть DeMq,p(R) и D+- обобщенная обратная (псевдообратная) матрица Мура - Пенроуза [6, с. 500] для матрицы D. Асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет аналитический вид
D+ = \im{DT(DDT+TEq}-1: т^0}; условимся, что везде далее мнемонический знак «+» означает операцию псевдообращения соответствующей матрицы.
Лемма 1 [7, с. 35]. Вектор x = D+d - нормальное псевдорешение линейной системы Dx = d, DeMqJR}, deRq.
Для «взаимноувязывания» переменных входных воздействий на данные генеральной выборки обозначим через й(1} вектор размерности 1+m(m+3)/2, имеющий координатное представление:
U(l) := col(l,Mj(/),...,um(l),Mj(/)Mj(/),...,
ur (l )u (l),..., Um (l )Um (l)) g Rm (m+3)/2,
1 < r < s < m, (3)
col (Ui(l),..., Um (l )):= u(l) G Rm, 1 < l < k.
Д := col(yi(1),...y¡(k)) g Rk- полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала y (i = 1,...,n) . Далее, стремясь к линейно-
параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели «вход-выход» для выходного сигнала y , выпишем согласно системе (1) линейно-квадратичную форму уравнения его регрессии
Ci + Z1 < j<m aU + Z1 <q<p<m bqpUUp , (4)
(i = 1,...,n).
Теперь введем (1 + m (m + 3) /2) - вектор параметров модели регрессии. Ясно, что в силу (4) любой фиксированный набор из п таких векторов полностью определяет представление ЛКФ относительно некоторой модели «вход-выход» типа (1):
^i := c0¡ (Ci, am, bi11,..., К ,..., bmm ) G i^"^2, 1 < q < p < m.
Утверждение 1. Задача оптимизации (2) имеет решение
z* = U+Д, i = 1,..., n; (5)
здесь U-полная матрица экспериментальных данных входных воздействий, Д - полный вектор экспериментальных данных для выходного сигнала
У (i = n).
Доказательство. Система (1) для каждого l-того эксперимента согласно соотношениям (3), (4) приобретает компактный вид
y (l)= UT (l) Zi (l), i = 1,..., n (6)
Таким образом, если переформулировать (очевидным образом) оптимизационную задачу (2) в векторно-матричных терминах zi, Д ,U, приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов г)=1,...,п: jmm| Д1 -UzJ Rk
[mín|| zJjj1+m,m+3)/2
Назовем U:=[U(l),...,U(k)]T GMk
U+m(m+3)/2 (R)
полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий, соответственно,
Очевидно, что в силу леммы 1 эта многокритериальная система имеет единственное нормальное псевдорешение (5) относительно г ,I = 1,..., п.
Следствие1. Пусть г* = и+р,(г =1,...,п/, тогда каждый вектор г параметров ЛКФ (4) такой, что г Ф г*, удовлетворяет одному из двух условий
1'
и,.
а)\Щ-иг\1к> р-иг)
п1+т(т+3//2 > Х г,1+т(т+3//2 •
или
б)1 Р - Щ\я> = ||Д и\\-Ж+т^'/"- II "11й1+
Замечание 2. Качественные оценки а), б) из следствия 1 в основном зависят от объема апостериорной информации (количества экспериментов к), а именно если к > 1 + т(т + 3// 2, то, как правило, реализуется пункт а), если к < 1 + т(т + 3/ / 2 - весьма вероятно, что имеет место позиция б).
3. Моделирование линейно-квадратичной структуры уравнений векторной регрессии процесса азотирования
Без нарушения общности в качестве начального (нулевого) положения вектора входных управляющих воздействий и можно принять некоторую эмпирически выделенную из общего состава экспериментальных данных точку ю про-
Г>т
странства Я ; ясно, что в этом случае координаты
вектора и следует рассматривать как отклонения относительно режима ю.
Процесс азотирования в среде инверсивного электростатического поля в серии натурных экспериментов (к = 12)опишем следующими переменными:
вектор у е Я3 контролируемых (выходных) характеристик:
у1 - поверхностная твердость по Виккерсу, 10-1 [НУ],
у2 - удельный износ, 10-1[мг/см ],
у3 - глубина азотированного слоя 102 [мм];
вектор и е Я4 задающих (входных) воздействий
и1 - степень диссоциации аммиака, 10-1 [%], и2 - температура процесса, 10-1 [°С], и3 - длительность процесса, 10-1 [час], и4 - напряжение на электродах, 10-3 [У]. Заметим, что прямое применение разработанных выше аналитических методов приводит к хотя и несложным, но громоздким выкладкам (ниже расчет проводился в среде МЛТЬЛБ [8]); так, например, согласно таблицы 1, матрица ибудет иметь размерность к*1+ш(ш+3)/2=12*15, а псевдообратная и+, соответственно, - 15^12.
и-полная матрица экспериментальных данных:
0 0 -1 04 0 0 0 0 0 0 0 1 -04 0,16
1 5 -1 0.4 1 5 -1 04 25 -5 2 1 -0.4 0,16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 34 1 0 0 3,4 0 0 0 0 0 11.56
0 5 0 3,4 0 0 0 0 25 0 17 0 0 11.56
1 0 -1 3,8 1 0 -1 3.8 0 0 0 1 -3,8 14.44
0 5 -1 3,8 0 0 0 0 25 -5 19 1 -3,8 14,44
1 5 0 0 1 5 0 0 25 0 0 0 0 0
0,4 3 -0,4 0,18 0.16 1.2 -0,16 0 072 9 -1,2 0.54 0.16 -0,072 0,0324
0,3 3,5 -0,3 0,16 0.09 1.05 -0,09 0,048 12,25 -1.05 0.56 0,09 -0.048 0.0256
0,2 4 -0.2 0,14 0.04 0,8 -0,04 0,028 16 -0,8 0.56 0.04 -0.028 0.0196
0.1 4,5 -0,1 0,12 0.01 0,45 -0,01 0,012 20,25 -0,45 0,54 0.01 -0,012 0,0144
[Г - матрица, псевдообратная к (/:
о
-0,2555 -0,064) -0,4685 0,2684 -0.2422 0.1 0.4601 -0.0997 0.0127 0.0804 -0.0491 0.4819 О 1418 -0.0066
О
-0,26 -0,152 -0,0019 0.045 -0,2284 0,1 -0,4142 0,2145 0,0299 -0,0941 0,0149 0,0335 0,1198 -0,0341
1
-0,291 -0,4173 0,5228 -0,2496 -0,2058 0,1 -0.4467 0,1332 0,0433 -0,0774 0,0564 -0.4377 -0.1545 -0.0093
0
0,2335 -0.055 -0,018 0.0522 0,2448 -0,1 0.4537 -0,116 0.0118 -0,122 -0,055 0,0298 0,1981 0,0638
0
-0,2408 0.0398 -0,0204 0,0539 -0,2491 0.1061 -0,4237 0,1908 -0,0096 0,1282 0,0705 0,0121 0,1234 -0,0296
-0,2306 0,0517 0,0199 -0.0201 -0.2413 0,0943 -0,4382 0,1544 -0.0103 0,1012 0,0031 -0,0307 -0.146 0.0013
о
0.2403 -0,0398 0,0203 -0,0531 0,2486 -0,1 0,4193 -0,2018 0,0084 -0,1049 -0,0123 -0,012 -0.1209 0,0327
0
0,2397 -0,0397 0,0202 -0,0521 0.248 0.1 0.4143 -0,2143 0.0084 0.094 -0,0149 -0,0119 -0,1181 0,0362
0
8.0402 0,2429 -0,189 -1,109 7,9905 -3,312 -0 463 -1,157 -0.028 0,2722 0,6805 0,1393 -0.576 -0,72
0
-6,2258 0,5878 0,0732 0.8994 -6,3499 2,7347 03598 0,8996 -0,1615 -0,1981 -0.4952 -0.1972 0,447 0,5587
0
-6 9919 0.3415 0,1125 0.9928 -7,0638 2.9231 0,4052 1,013 -0,0907 -0,2365 -0,5913 -0,1845 0,5008 0,6259
0
5,742 -0,4963 -0,0708 -0,8282 5,8487 -2 7465 -0,3268 -0,8169 0,1849 0,157 0,3924 0,1775 -0.415 -0.5188
Я
иркутским государственный университет путей сообщения
Таблица 1
Экспериментальные данные процесса нанесения азотированного слоя(ш = 45 %, ш2 = 500 °С, ш3 = 25 час, ш4 = -1900 V)
Эксперимент Задающие воздействия Параметры азотного слоя
№ и1 и2 и3 и4 У1 У2 У3
1 0 0 -1 0,4 80,3 6,0 14
2 1 5 -1 0,4 93,3 3,4 22
3 0 0 0 0 97,4 13,1 17
4 1 0 0 3,4 84,7 12,2 18
5 0 5 0 3,4 79,2 10,3 28
6 1 0 -1 3,8 54,8 42,4 11
7 0 5 -1 3,8 87,0 11,9 25
8 1 5 0 0 89,4 3,5 33
9 0,4 3 -0,4 0,18 87,0 4,2 22
10 0,3 3,5 -0,3 0,16 92,0 3,8 24
11 0,2 4 -0,2 0,14 98,8 4,0 28
12 0,1 4,5 -0,1 0,12 87,0 4,1 28
Принимая во внимание решение параметрической оптимизации (4)-(6) и уравнения модели линейно-квадратичной векторной регрессии (описывающей в терминах многомерной полиномиальной аппроксимации многосвязный процесс азотирования в среде инверсивного электростатического поля, обладающего вариацией потенциала в силу параметрического представления вектор-структуры и+, а также, согласно табл. 1, векторов 1=1, ..., 3) имеют вид
у1(и)=97,4-107,2и1+0,156и2+9,868и3+
+ 12,09и-107,3 и1 +45,77щщ+ +13,61и1и3+13,15и1и4-
- 0,924и2 - 9,471и2и3 - 9,003и2и4 -и 2
- 9,936 из +9,341и3и4+10,04 и2-
у2(и)=13,1 - 6,254и1 -
4 '
2,458и2+4,398и3 -
2
ляет сравнить три последние колонки табл. 1, а также табл. 2.
Таблица 2
(7)
- 2,644и4 - 5,756 и 1 +2,195и1и2 -
- 15,77и1и3+5,085и1и4+0,149 и22 +
+2,441и2и3+0,703и2и- 3,9и32 -
- 5,541и3и4+0,243 и2; у3(и)=17 - 12,94и1+2,177и2+ +1,546и3+1,49щ - 13,37и2 +
+ 6,028и1и2+6,022и1и3+0,054и1и4+0,051 и2 -
- 0,266и2и3-1,664и2и4 -
- 1,98 и2 +0,938и3и4+1,908 и2.
Критический анализ «прогнозной эффективности» предложенной выше модели нелинейного математического описания физико-химических свойств процесса азотирования, выраженный квазилинейными векторно-матричными уравнениями регрессии (1), т. е. системой уравнений (7), позво-
Прогноз нелинейной регрессионной модели
У1(и) У2(и) Ув(и)
80,3 6,0 14
93,3 3,4 22
97,4 13,1 17
84,7 12,2 18
79,2 10,3 28
54,8 42,4 11
87 11,9 25
89,4 3,5 33
85,98 4,165 21,7
95,06 3,905 24,9
95,74 3,895 27,1
88,02 4,135 28,3
В следующем разделе приступим к много -мерному геометрическому исследованию «минимаксных» свойств решений нелинейной векторной регрессии, описывающей электростатическую азотизацию поверхности обрабатываемой детали, с целью нахождения режима износоустойчивости и коррозийной стойкости геометрии ее детали; интересной чертой получаемых аналитических результатов является их явная зависимость от параметров системы (7).
4. Интерполяция физико-технических характеристик азотного слоя. Оптимизация процесса азотирования
В конечном счете, главная цель математического моделирования - это ответ на вопрос: «Как может и как на самом деле должен вести себя ис-
следуемый физический процесс под действием управляющего воздействия?». Ответ на вторую часть поставленного вопроса дает решение оптимизационной задачи (9), тогда как ответ на первую содержит
Утверждение 2. Показатель качества
J, (и) := У, (и) (i = 1,-, п)
может иметь внутренний максимум или минимум в идентифицированной ЛКФ-структуре уравнений нелинейной регрессии лишь в точке u* eRm:
u* =-B71 ATe, /2, (8)
где {еь...,еп} - стандартный базис в Rn. При этом, когда uTB U есть отрицательно определенная квадратичная форма, то показатель J(u) имеет в точке (8) максимум, если uTB¡u суть положительно определенная квадратичная форма, показатель J(u) имеет в и* минимум. В случае, когда
uTB¡u может принимать как положительные, так и отрицательные значения, встречаемся со стационарной точкой более сложного типа, а именно так называемой седловой точкой.
Доказательство. Для показателя качества J(u) на множестве значений линейно-квадратичной модели (1) необходимое условие локального экстремума
col (д(еТАи + и Т Bu)/ ди,,..., d(eTAu + uT Btuj)
(/ дип ) = 0 e Rn,
определяют в пространстве Rmкоординаты (8) для
стационарной точки и* относительно принятого
функционала критерия качества J(u), в то время как знакоопределенность второго дифференциала
d 2 J.(и)=X X, д 2 J,(и) / дич диР i
Г ичир
определяет достаточные условия экстремума
*
в стационарной точке и* .
Следствие 2. Если матрица Выявляется положительно определенной (аналогично, отрицательно определенной), то минимальное (соответственно максимальное) значение критерия качества ^(и)равно
с - вТлв;1 АТе /4. Возвращаясь к системе квадратичных уравнений синтеза физической структуры поверхностного («вкрапленного») состава азотного слоя (7), получим численные реализации матриц А, В^ 0=1, ... ,3):
Г-107,2 0,156 9,868 12,091
/Й -6,254 -2,458 4,398 -2,644 I,
L-12,94 2,177 1,546 l,49j
Г-107,3 22,89 6,805 6,5741
«И 22,89 -0,924 -4,736 -4,501 |,
1 6.805 -4,736 -9,936 4,671 |
L 6,574 -4,501 4,671 10,04j
Г-5,756 1,097 -7,883 2,543l
«2=1 1,097 0,149 1,221 0,351 I,
1 -7,883 1,221 -3,9 -2,77 I
L 2,543 0,351 -2,77 0,243J
Г-13,37 3,014 3,011 0,0271
«И 3,014 0,051 -0,133 -0,832 I.
1 3,011 -0,133 -1,98 0,469 |
L 0,027 -0.832 0,469 1,908]
Теперь мы в состоянии решить аналитическую проблему, которая послужила толчком к изучению положительности (или отрицательности) квадратичных форм из уравнений (7), а именно ответить на вопрос, когда стационарная точка (8) является точкой относительно минимума, максимума или седловой точкой.
Говоря более формально, задача определения положительной (или отрицательной) алгебраической определенности квадратичных форм uтBiu свелась к геометрической задаче весьма обычного типа - вычислению собственных А 0 = 1, ..., 3; ] = 1, ..., 4) значений симметрических матриц Bi 0 = 1, ..., 3):
- А„ = -112,9806, А.12 = -11,0635, = 2,6782, А14 = 13,2459, что говорит о наличии стационарной седловой точки для целевого функционала у1(и): R4
- А21=-12,9683, А22=-2,4045, А23=0,4083,
А24=5,7005, что говорит о наличии стационарной
седловой точки для целевого функционала у2(и): & ^
- А31 = -14,7109, А32 = -1,5 3 8 5, А33 = 0,5297, А34 = 2,3288, что говорит о наличии стационарной
седловой точки для целевого функционала у3(и): & ^ &.
Графическая иллюстрация изменений показателей качества ^(и), i = 1, ..., 3 при стационарной температуре и длительности процесса азотирования в зависимости от масштабированных согласно данным табл. 1 вариаций (относительно режима азотизации ю) степени диссоциации аммиака (± 40 %) и напряжения электростатического поля (± 1000 V) приведена на рис. 1-3.
Рис. 1. Функциональный характер зависимости Рис. 2. Зависимость удельного износа поверхности
твердости по Виккерсу от показателей режима материала от параметров процесса ее азотирования
азотизации
Рис. 3. Функциональное отношение между глубиной азотированного слоя и параметрами режима азотирования
Комбинируя предыдущие результаты, штатный режим азотирования, обеспечивающий максимальную твердость, износостойкость и толщину физической структуры азотного слоя обрабатываемой поверхности механической детали, свяжем с решением оптимизационной задачи вида
max {F (u): u е R4 j,
F (u) := rJ (u) + r2J2 (u) + r3J3 (u) где весовые коэффициенты riti=1,...,3 целевого функционала F(u) выбираются из соображений экспертной оценки дифференцированного действия показателей качества Ji(u), i = 1, ..., 3; в качестве таковых были взяты
ri = 0,5; Г2 = -0,3; r3 = 0,2.
Это задает следующий аналитический вид целевого функционала (9):
F (u) = 48,17 - 54,3336u + 1,2508u2 +
3,941u3 + 7,1342u4 - 54,603u2 + 23,433 8uxu2 +
+12,7386uu + 5,059uu - 0,4962u22 - (10)
5,521u2u3 - 5,045u2u4 - 4,1941u32 +
+6,5203u3u4 + 5,3287u2.
Геометрия шести вариантов функциональной зависимости показателя качества (10) от координатной вариации двух выделенных компонент (при «заморозке» двух других) четырех мерного вектора и в отклонениях от режима ю графически проиллюстрирована на рис. 4-9, при этом параметры вариаций составили следующие интервалы (в относительных физических единицах): и = ± 40 %, щ = ± 50 °С, и = ± 5 час, щ =± 1000 V.
При разработке новых технологических приемов обработки металлопокрытий желательно иметь адекватную математическую модель, позволяющую предсказывать «взаимоувязанное влияние» различных факторов физико-химической среды металлообработки, а также механических и геометрических характеристик обрабатываемой поверхности детали на получаемые результаты. Математическая модель оптимизации (9) для многофакторного процесса азотирования дает возможность выявить наиболее критичные параметры
и задать определяющие направления совершенствования используемых и разрабатываемых технологических установок получения азотированного слоя. Утверждение 2 и формула (8), позволяющие вычислять геометрические координаты
стационарной точки, применительно к задаче оптимизации (9) определяют (в терминах системы
(1)) следующие высокоэффективные технологические параметры режима азотизации:
Утверждение 3. Стационарная точка задачи оптимизации (9) имеет решение
и = -(ГХВ + Г2В2 + Г3В3 )-1((е1 + е2 + е3 )Т)
(diag [г, г, Г ]|А)Т /2,
"5 -0.4
Рис. 4. Фрагмент целевого функционала Н«\М:). Рис. 4. Фрагмент целевого функционала щ)
Рис. 5. Фрагмент целевого функционала Ь\и\.щ). Рис. 5. Фрагмент целевого функционала и3)
Рис. 6. Фрагмент целевого функционала Г(и1, и4)
Рис. 7. Фрагмент целевого функционала ¥(иг, и3)
и4 ■ - и2
Рис. 8. Фрагмент целевого функционала /'(н2, щ)
Рис. 9. Фрагмент целевого функционала Г(и3, и4)
иркутским государственный университет путей сообщения
при этом необходимым и достаточным условием, что данная точка обеспечивает max {F(u): ueR4}, является выполнение следующих неравенств:
det \_bj ]?< 0, q = 1,...,3; (11)
здесь \b] еMqq (R)- главные подматрицы
[6, c. 30] матрицы (r1B1+ r2B2+ r3B3).
Заключение
Проведено построение нелинейной математической модели типа «вход-выход» для процесса азотирования в среде электростатического поля, используемой для технологического расчета параметров твердости материала обрабатываемой поверхности силовой детали, ее удельного механического износа, глубины нанесения азотированного слоя. Данная регрессионная модель использует идентифицированные (на базе экспериментальных данных) многомерные квадратичные уравнения, что позволяет адекватно описывать процесс азотирования в широком диапазоне вариаций степени диссоциации аммиака, температуры и длительности процесса, а также электрического напряжения на паре «анод-катод». Обнаруженные отклонения расчетных (прогнозируемых) значений синтезированного азотированного слоя и экспериментальных данных не носят принципиального характера, вследствие чего в работе предложена эффективная методика оптимального расчета свойств и параметров многофакторного режима азотизации.
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов, а также расширению рамок адекватности регрессионных уравнений азотизации за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:
- на определение и алгоритмизацию процедуры выбора весовых коэффициентов ri (i=1, ..., 3),
исходя из «намерений» выполнения аналитических условий (11);
- на расширение линейно-квадратичной формы уравнений регрессии (1) ее «тейлоровским разложением» более высокого порядка;
- на учет в качестве расширенных координат выходного сигнала регрессионной модели таких физико-механических параметров синтезированного азотированного слоя в среде электростатического поля, как коэффициент сухого трения и хрупкость азотированного покрытия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Caines Р. Е. On the Scientific Method and the Foundation of System Identification // Modelling, Identification and Robust Control / eds. : Byrnes CI, Lindquist A. - Amsterdam, North Holland, 1986. - P. 563-580.
2. Rissanne J. Stochastic Complexity and Statistical Inference // Unpublished Manuscript, I.B.M. Research K54/282. - San Jose, California. - 1985.
3. Ljung L., Soderstrom T. Theory and Practice of Recursive Identification. - Cambridge, Massachusetts : MIT Press, 1983.
4. Ljung L. A Non-Probabilistic Framework for Signal Spectra. - // Proc. 24th Conf. Decis. Control, Ft Lauderdale. - Florida, 1985. - December. - P. 1056-1060.
5. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М. : Наука, 1991. - 432 с.
6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М. : Мир, 1989. - 656 с.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М. : Наука, 1988. - 552 с.
8. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и SCILAB. - СПб. : Наука, 2001. - 288 с.
