Построение Гюйгенса для сильно диспергирующих и инверсных сред: возможности существования отрицательной рефракции и компенсации преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 535.3:621.373.8.038.82 Е. И. БАРЫКИНА, Р. А. БРАЖЕ

ПОСТРОЕНИЕ ГЮЙГЕНСА ДЛЯ СИЛЬНО ДИСПЕРГИРУЮЩИХ И ИНВЕРСНЫХ СРЕД: ВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ И КОМПЕНСАЦИИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Предложен новый метод построения Гюйгенса: на основе огибающей поверхностей плотности потока энергии вторичных волн. Метод позволяет наглядно проиллюстрировать такие оптические явления как отрицательная рефракция и компенсация преломления в сильно диспергирующих и инверсных средах.

Ключевые слова: преломление, рефракция света, волновой и лучевой вектора, построение Гюйгенса.

Согласно .принципу Гюйгенса-Френеля каждая точка волнового фронта в некоторый момент времени является источником вторичных волн, огибающая волновых фронтов которых даёт фронт волны в последующий момент времени. На этом принципе основано хорошо известное в оптике построение Гюйгенса [1], позволяющее не только объяснить поведение света на границе раздела двух сред, но и вывести законы его отражения и преломления. На рис. 1 приведено это

2

чевой векторы в падающей световой волне к[, - те же векторы в отражённой волне, а

к2, - в преломлённой волне, / - угол падения, г - угол отражения

© Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, 2007

построение для случая падения плоской световой волны из воздуха под углом / на оптически более плотную изотропную среду.

Плоская волна рассматривается как параллельный пучок лучей, перпендикулярных к волновому фронту, причём в изотропной среде направления волнового вектора к, совпадающего по направлению с направлением фазовой скорости волны V , и лучевого вектора ?, совпадающего по направлению с направлением вектора

плотности потока энергии £ (вектор Пойнтин-га), одинаковы. Построение выполнено для случая, когда луч 2 на одной из границ падающего светового луча только коснулся границы раздела, а луч 1 успел возбудить в точке падения две сферические световые волны, которые с фазовыми скоростями V, = с//7, « с и V 2 = с/п2 рас-

пространяются в соответствующих средах. Прочие лучи падающего светового луча коснутся границы раздела сред позже, чем луч 1, но раньше, чем луч 2, и возбуждённые ими сферические вторичные волны успеют углубиться в среды 1,2 на меньшее расстояние. Направления волновых и лучевых векторов в отралсённой и преломлённой волнах находятся путём восстановления перпендикуляров к огибающим волновых поверхностей этих вторичных волн.

Использование построения Гюйгенса весьма продуктивно для нахождения направлений распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в анизотропной среде, обладающей свойством двойного лучепреломления (см. рис. 2).

Направления волнового вектора ке и лучевого вектора необыкновенной волны в этом случае

не совпадают, а угол двойного лучепреломления а находится как угол между лучевыми векторами обыкновенной и необыкновенной волн (яо

и соответственно). В диспергирующей среде,

даже если она изотропна, направления лучевого и волнового векторов также не совпадают.

к о > К

К, ^

о

Рис. 2. Построение Гюйгенса для двупреломляющей среды. Слева - случай оптически положительного, а справа - оптически отрицательного одноосных кристаллов. Направление оптической оси кристалла указано пунктиром. Отражённый луч не показан

Рис. 3. Построение Гюйгенса для среды с небольшой нормальной дисперсией (слева)

и для среды с аномальной дисперсией (справа)

Лучевой вектор совпадает по направлению с направлением вектора групповой скорости V ^ ,

модуль которого, согласно формуле Рэлея,

, (¡V

где Л - длина волны. На рис. 3 показано построение Гюйгенса для диспергирующей изотропной среды с небольшой нормальной дисперсией ( с1у!с1А, > 0, но V > V) и для среды с аномальной дисперсией ( с1у/с1Л < 0, V > V ).

В случае среды с сильной нормальной дисперсией, когда V < Л^у/с1Х) и V кг < 0, лучевой вектор оказывается направленным в сторону, противоположную направлению волнового вектора. Это случай так называемой обратной волны, хорошо известный в электронике сверхвысоких частот и в физике плазмы [2]. Такая же ситуация может иметь место и в случае инверсной среды [3], в которой средняя плотность энергии распространяющейся электромагнитной волны отрицательна:

за счёт одновременно принимающих отрицательные значения относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей среды (£ < 0 , ¡л < 0). Это так называемые «левые» среды, существование которых предсказал В. Г. Веселаго ещё в 1967 г. [4], и которые были искусственно сконструированы недавно для микроволнового диапазона [5]. Действительно, лучевой вектор £

в общем случае сонаправлен с вектором Пойн-тинга, а так как

то его проекция на направление волнового

вектора к будет отрицательной в двух случаях: когда V <0 (обратная волна), либо когда

(IV) < 0 (инверсная среда.) В последнем случае

мы имеем дело с волнами отрицательной энергии, которые также хорошо известны [2,6]. Отсюда ясно, что построение Гюйгенса целесообразно выполнять не для поверхностей скоростей, а для поверхностей плотности потока энергии, переносимой волной в бездиссипативной среде, когда групповая скорость совпадает с фазовой

скоростью (8П(1 = (Цг)у) и при наличии диспер-(8 = (1¥)у

На рис. 4 слева показано построение Гюйгенса для поверхностей плотности потока энергии в сильно диспергирующей среде с нормальной дисперсией, когда реализуется случай отрицательной рефракции (угол преломления г < 0 ). Преломлённая волна в этом случае является обратной волной. Справа на рисунке изображён случай дисперсионной компенсации преломления,

когда у ^ = 0, волна энергии не переносит

(= 0 ) и преломлённый луч отсутствует. Рис. 4 пригоден также для построения Гюйгенса в инверсных средах, когда имеет место случай превращения преломлённой волны в волну отрицательной энергии или, в частном случае, в волну нулевой энергии. Это случай инверсной компенсации преломления.

сии

Рис. 4. Построение Гюйгенса для среды с сильной нормальной дисперсией, когда возникает отрицательная

рефракция (слева), и для частного случая дисперсионной компенсации преломления

Предложенный метод не только наглядно иллюстрирует возможные случаи преломления света в различных средах, но и может быть полезен для стимулирования исследований в области создания искусственных материалов с управляемой дисперсией и управляемой инверсией, перспективных с точки зрения практического использования в устройствах обработки оптических сигналов. Кроме того, метод может быть рекомендован к использованию в учебном процессе при преподавании курсов оптики и опто-электроники.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савельев, И. В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика / И. В. Савельев. - М. : Наука, 1988. - 496 с.

2. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубец-ков. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 560 с.

3. Браже, Р. А. Обобщённая математическая модель инверсной среды и её практические при-

ложения / Р. А. Браже // Прикладная математика и механика : Сб. науч. тр. - 2006. - Вып. 7. -С. 61 - 70.

4. Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями £ и ju / В. Г. Веселаго // УФН. - 1967. - Т. 92. - № 3.

-С. 517-526.

5. Shelby, R. A. Experimental verification of а negative refractive index of refraction / R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz // Science. -2001.-V. 292. - P. 77-79.

6. Островский, Л. А. Волны отрицательной энергии в гидродинамике // УФН. - 1986. -Т. 150. -№ 3. - С. 417-437.

© © © Ф ® в ® 0©©<в®@©<2>©©®@

Барыкина Елена Ивановна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ.

Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области нелинейных волновых процессов.

УДК 539.1

Ю. Н. САНКИН, С. Л. ПИРОЖКОВ

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ

Предложен смешанный вариационный принцип для преобразованных по Лапласу токов и напряжений, учитывающий начальные условия, для разветвленной электрической сети. Разработан метод расчета переходных процессов в сложной электрической сети при подаче напряжения.

Ключевые слова: метод конечных элементов, разветвленная электрическая сеть, переходные процессы.

Предложен смешанный вариационный принцип для преобразованных по Лапласу токов и напряжений, учитывающий начальные условия, для разветвленной электрической сети [1]. Данный вариационный принцип является аналогом смешанного функционала в пространстве преобразований Лапласа для вязкоупругих систем с распределенными параметрами [2]. Получены формулы метода конечных элементов (МКЭ) для отдельного участка сети для одного независимого поля напряжений, исходя из вариационных соображений и точным интегрированием. Описание соотношений МКЭ в пространстве преобразований Лапласа дано в работе [3]. В данной работе дается оценка нестационарных явлений,

Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков, 2007

связанных с воздействием новых источников напряжения на существующую сеть.

В качестве теоретической основы воспользуемся смешанным функционалом для напряжений и токов, преобразованных по Лапласу[1]:

е(р) = —/{[Ои+Ьр1-2Ыо + п]1+ 2 I

+

i-cpu-gu-2cuojujdx -

- — I u - 2 u

o,i

1 г o-

н— u 11 - 2i

2 V s

0,1

-lu'i 2

0,1

1 .

+ —ui

2

0,1

(1)