CC BY
111
УДК 338.2
ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА СВЕРТОК ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ ОЦЕНКИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ КРИТЕРИЕВ
Е.А. Власова, Ю.А. Карпов, Б.В. Тарасов
В данной работе предлагается подход к построению дерева свертки и выбору соответствующих матриц на основании информации, задаваемой при определении значений матрицы парных сравнений важностей критериев, позволяющий существенно снизить трудоемкость при использовании матриц свертки для построения КО
Ключевые слова: дерево, матрица, оценка, свертка
В начале 1970х годов американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analytic hierarchy process" (AHP) (в русском переводе -
*
"Метод анализа иерархий") [1, 2]. Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря исключительно широкому распространению и активному применению и по сей день, особенно в США. Его отличительной особенностью является использование матриц парных сравнений для критериев, для которых не существует объективных оценок. Такие матрицы заполняются экспертами или лицами, принимающими решения (ЛИР), и формализуют относительную попарную предпочтительность значения критерия для рассматриваемых альтернатив. Определение предпочтительности альтернатив путем парных сравнений вызывает меньше затруднений у ЛИР в сравнении с необходимостью напрямую задать вес для каждой из альтернатив, с чем, возможно, связана немалая доля популярности этого метода и его производных. Окончательное значение комплексной оценки получается в результате взвешенной суммы значений критериев, что, в частности, исключает возможность учесть часто присутствующее взаимное влияние критериев друг на друга. Недостаткам данного метода уделено внимание в работе [3].
Использование матриц свертки для формирования КО представляет собой более гибкий инструмент с этой точки зрения (за счет использования функций, зависящих от пары объединяемых критериев и описываемых матрицей свертки), а так же естественным образом позволяет передать существующую иерархию критериев в структуре дерева свертки. Обратной стороной является сложность в использовании такого подхода для ЛИР, состоящая в необходимости задания матриц свертки и выбора структуры дерева. В предыдущих работах [4, 5] авторы попытались сформулировать свойства различ-
Власова Екатерина Анатольевна - ВГАСУ, аспирант, тел.(4732) 76-40-07
Карпов Юрий Александрович - ВГАСУ, аспирант, тел.(4732) 76-40-07
Тарасов Борис Васильевич - НПЦ «Модуль» (Москва), канд. техн. наук, докторант, Е-шаД syrtsov@cnks.ru
ных матриц свертки в терминах, не требующих детального знакомства с аппаратом матриц свертки, а также предложили подход к определению степени влияния конкретного критерия на КО при заданном выборе структуры дерева и матриц свертки, также облегчающий восприятие и анализ результатов построения КО. Результаты данной работы еще более облегчают использование аппарата матриц свертки, позволяя реализовать автоматизированный выбор структуры дерева и матриц свертки на основе данных, задаваемых в виде матрицы парных сравнений критериев.
1. Выбор структуры дерева
Определение структуры дерева сверток на основе информации, представленной в матрице парных сравнений критериев представляет определенную трудность, связанную с тем, что последняя описывает отношение между любой парой критериев, в то время как дерево сверток описывает последовательность парных объединений критериев и/или продуктов свертки и напрямую учитывает отношения лишь для некоторого подмножества пар критериев. В связи с этим, в работе рассмотрение ограничивается таким классом матриц сравнительной важности критериев, который позволяет определить некоторый «порядок» для группы сворачиваемых критериев. Этот «порядок» и позволит определить структуру дерева сверток при использовании подхода, предлагаемого в данной работе.
Определение. Пусть Я — матрица парных сравнений размера ЫхЫ для группы критериев К, где элемент Гд в /-ой строке задает степень предпочтительности д-того критерия по отношению к ьтому. Будем считать группу критериев К упорядочиваемой по отношению к матрицеЯ, если существует такая перестановка 4, к е 1..Ы, 1РФ 1Ч при р Ф д, что для Р>4, Р,д е 1..Ы, Гдр < 1.
Для групп критериев и матриц, упорядочиваемых в смысле, задаваемым определением (1), возможна такая перестановка критериев, что матрица примет следующий блочно-диагональный вид, в котором верхнетреугольная часть содержит только такие элементы, которые меньше или равны 1 (рис. 1).
Рис.1. Результат переупорядочивавши критериев, при котором верхнетреугольная часть матрицы сравнений критериев содержит элементы, только меньшие или равные 1. Критерии 2, 3 и 4 образуют диагональный блок размером 3х3 в силу равенства относительных весов.
В дальнейшем изложении в качестве диагональных блоков будем рассматривать только квадратные подматрицы из единичных элементов, симметричных относительно диагонали матрицы, что позволяет остальным элементам верхнетреугольной части матрицы принимать значения, равные 1 и считать, что переупорядочивание критериев уже произведено.
ЯевиК: 1
Критерий 1:1
Критерий 2: 1
1
і
Критерий 3:1
Критерий 4: 1
Рис. 2. Основная структура дерева свертки
Для получаемого порядка блоков на диагонали матрицы Я представляется возможным сконструировать дерево в результате рекурсивного применения следующей процедуры (Процедуры 1), в которой более «важный» (т.е. находящийся левее и выше на диагонали) блок сворачивается с результатом свертки менее «важных» блоков. Получаемое (достаточно вырожденное) дерево, в листьях которого находятся блоки критериев на диагонали матрицы Я, представлено на рис.2. Таким образом, более «важные» блоки критериев оказываются ближе к корню дерева, соответствующему получаемой КО. Для окончательного определения структуры дерева требуется определиться с процедурой построения поддерева, соответствующего диагональным блокам
размера, большего 1. Критерии, принадлежащие такому блоку, эквивалентны по важности с точки зрения содержимого матрицы Я, в связи с чем порядок свертки этих критериев в соответствующем поддереве может быть произвольным при сохранении условия эквивалентности критериев с точки зрения их важности. Как будет показано ниже, определенный выбор матриц свертки в узлах поддерева позволяет сохранить это свойство. Учитывая это обстоятельство, в данной работе предлагается следующая процедура (Процедура 2) построения поддерева для набора критериев, принадлежащих одному диагональному блоку:
Результат применения процедуры 2 к диагональному блоку, содержащему критерии 2, 3 и 4 из рис. 1, представлен на рис. 3.
I
2___г_
г з
Критерий 1:1
Критерий 5:1
1 2 3
1 Ї2 ПГ~
Критерий 2: 1
-------1
Критерий 4:1
Критерий 3:1
Рис.3. Построение дерева при наличии диагонального блока неединичного размера. Матрицы, сворачивающие критерии блока выделены цветом.
2. Выбор матриц свертки
Для окончательного построения КО при выбранной структуре дерева свертки необходимо определиться с выбором матриц, осуществляющих свертки критериев и/или результатов свертки друг с другом. В данной работе, рассмотрение будет ограничено матрицами свертки для трехбалльных оценок, удовлетворяющим условиям, приведенным в работе [4], но предлагаемый подход без больших усилий может быть обобщен на случай большей балльности значений сворачиваемых критериев.
В работе [5] авторами предложен способ определения важности критериев по отношению к построенной КО при заданном выборе дерева и матриц свертки как отношение числа случаев, в которых изменение критерия приводит к изменению КО, к полному числу случаев, в которых происходит изменение КО. Это позволяет для заданного дерева сверток осуществлять выбор матриц свертки в узлах дерева так, чтобы получаемые важности критериев наилучшим образом соответствовали отношениям, задаваемым матрицей Я. В общем случае, получить вектор «важностей» (весов) критериев, точно со-
ответствующих заданным в произвольной матрице попарных сравнений отношениям (Гij=Wi/WJ) не представляется возможным, поскольку элементы заданной пользователем матрицы Я не обязательно обладают тем свойством, что г//г/к=гк/. По этой причине содержимое матрицы Я используется различными авторами для определения вектора весов, наиболее близко (с точки зрения этих авторов) соответствующего представлениям ЛПР о важности критериев, выраженных им в виде матрицы парных сравнений.
В данной работе предлагается следующий двухэтапный подход к определению матриц свертки на основании матрицы парных сравнений критериев. На первом этапе, значения элементов матрицы Я используются для определения относительной важности каждого диагонального блока критериев и результата свертки менее «важных» (т. е. находящихся правее и ниже на диагонали) блоков. Эта относительная важность определяется для узла дерева, где происходит свертка рассматриваемого диагонального блока с поддеревом менее важных блоков и позволяет сделать начальный выбор используемой в узле матрицы свертки. На втором этапе производится оптимизация сделанного выбора путем последовательной замены выбранных матриц на близкие по свойствам для того, чтобы полученные в смысле [5] важности критериев лучше соответствовали отношениям, заданным матрицей Я. Детальное изложение обоих этапов будет приведено ниже.
Начальный выбор матриц
Рассмотрим случай свертки /-го диагонального блока с поддеревом менее «важных» диагональных блоков. Для простоты изложения будем полагать, что блок имеет единичный размер и, следовательно, соответствует единственному критерию К/. В таком случае соответствующая критерию /-я строка матрицы Я может быть использована для определения относительных весов критерия и поддерева, являющегося результатом свертки менее «важных» блоков так, что Wкi:WnoддеPеeо / = 1:1Гду > / (2). Получаемое отношение может быть использовано для подбора матрицы, для которой отношение важностей сворачиваемых критериев (в смысле [5]) наиболее близко к отношению (2). Относительные важности критериев в смысле [5] для всех матриц свертки трехбалльных оценок (таб. 1), рассмотренных в [5] приведены в табл. 2.
Таблица 1
5' ]
1 :
* 1 г )
: : : >
% 1 >
|
% 1 1 >
2 : : У
% »
: I :
1 I >
л ; 1 1
* 1 : )
.X,
Ж
га
*4-, -1- -3-
4; 1 I 1 7 I 1
1“ 1 1 4 Э
% 1 )
I
ъ 1 г »
1 2 1 2 >
Ж
I
1
% 1 1
1
% 1 }
и
га
КГ
т
Из таблицы видно, что для трехбалльных оценок максимальное отношение важностей, получаемое для соответствующих матриц свертки, не превышает 5:1. Диапазон таких отношений может быть расширен вместе с увеличением балльности оценки (и размеров соответствующих матриц свертки), но вряд ли будет достаточен для точного соответствия отношению (2). Мы не считаем данную проблему критической, поскольку (вслед за автором работы [2]) полагаем более важным помочь пользователю построить комплексную оценку в соответствии с его собственными представлениями, чем точно удовлетворить (зачастую противоречивым) соответствиям, задаваемым матрицей Я.
Таблица 2
Отношение критериев Кол-во матриц Номера матриц
6:0 1 1
5:1 2 3, 10
5:2 2 2, 9
4:1 2 5, 8
4:3 2 12, 14
3:2 2 7, 11
3:4 2 34, 36
2:1 3 4, 6, 13
2:3 2 29, 33
2:4 3 26, 28, 35
2:5 2 24, 31
1:1 8 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22
1:4 2 27, 30
1:5 2 25, 32
0:6 1 23
В случае отличного от единицы размера диагонального блока, предлагается выбирать соответствующую матрицу свертки на основании отношения суммы важностей критериев, принадлежащих блоку, и суммы важностей (по отношению к первым) критериев, принадлежащих менее важному поддереву, или как Л^-:£2 д, у е [/../+Ж/], к е [/+N■.N1 (3), где N — размер диагонального блока, начинающийся с /-й строчки. Важности критериев, принадлежащих рассматриваемому диагональному блоку, по определению (1) одинаковы и равны 1. В заключение описания данного этапа выбора матриц отметим, что в качестве матрицы, используемой при построении поддерева из критериев, принадлежа-
щий одному диагональному блоку, может быть использована матрица М19, поскольку для нее результат свертки симметричен относительно сворачиваемых критериев и критерии имеют одинаковую важность в смысле [5]. Кроме того, несложно показать, что все критерии, принадлежащие диагональному блоку, имеют одинаковую важность по отношению к результату свертки, построенному в соответствии с процедурой 2, если в качестве матрицы свертки используется матрица М19.
Оптимизация выбора матриц
Предложенный подход к выбору матриц свертки в узлах дерева позволяет лишь грубо аппроксимировать отношение важностей между критерием/диагональным блоком и группой менее важных критериев, не учитывая парные соотношения важностей, задаваемые матрицей Я. В то же время, сделанный таким образом выбор может служить начальной точкой для оптимизационной процедуры, варьирующей выбор матриц для лучшего соответствия между значениями элементов матрицы Я и получаемыми соотношениями важностей критериев. Заметим, что важность критерия в смысле [5] можно определять по отношению к любому поддереву, содержащему критерий. В данной работе предлагается рассматривать соотношение критериев, определяемое элементом Гу матрицы Я, как таковое по отношению к минимальному поддереву дерева свертки, содержащему критерии К/ и К Например, для критериев 2 и 4 из примера рис. 3 минимальное поддерево содержит также критерий 3 и матрицы свертки, выбеленные цветом. Заметим, что в таком случае отношение критериев для построенной комплексной оценки (и всего дерева свертки) может отличаться от Гу. Также заметим, что выбор матрицы, произведенный на предыдущем этапе, зачастую неоднозначен в силу того, что одному и тому же соотношению критериев может соответствовать несколько матриц (таб. 2). При этом от выбора такой матрицы зависит индивидуальный вес критериев, принадлежащих сворачиваемым матрицей поддеревьям, по отношению к комплексной оценке. В силу приведенных наблюдений можно построить процедуру оптимизации выбора матриц свертки, заменяющие матрицы в рамках подгрупп, показанных в таблице 2, с целью минимизации отклонения соотношения пар критериев от задаваемого матрицей Я для минимального поддерева, содержащего рассматриваемые пары.
Результаты
На основе результатов, представленных в данной и предыдущих работах [3, 4], было разработано приложение, автоматизирующее построение дерева свертки для комплексной оценки на основе информации, задаваемой матрицей опарных сравнений критериев (рис. 4). Оно позволяет не только автоматически строить структуру дерева и выбирать содержимое соответствующих матриц свертки, но и позволяет пользователю вручную задавать матрицы свертки, используя представленную в [3] классификацию.
Рис. 4. Внешний вид приложения, реализующего автоматическое построение дерева свертки для КО на основе матрицы попарных сравнений. Элементы управления в левой части экрана позволяют задать значения критериев и их относительную важность в матрице попарных сравнений. Для автоматически построенного дерева сверток существует возможность вручную выбрать требуемые матрицы сверток в узлах дерева, а также получать соответствующие значения весов критериев (колонка Вес/важность в левой верхней часть экрана).
Рис. 4 иллюстрирует использование набора контекстных меню, позволяющие задать требования к матрице в терминах поведения результата свертки. Полезной особенностью при этом является автоматическое определение абсолютных весов критериев в смысле [5], что позволяет интерактивно определять влияние сделанного выбора относительно матриц свертки на получаемые соотношения критериев.
Естественным образом реализована возможность интерактивно менять значения критериев, отражающиеся как непосредственно на соответствующих узлах дерева, так и на значении построенной комплексной оценки, представленной вершиной дерева. В целом, приложение, с точки зрении авторов, значительно упрощает построение и анализ комплексных оценок на основе матриц свертки, беря на себя реализацию наиболее трудоемких и малоинтуитивных действий, необходимых при построении дерева и начальном выборе матриц свертки.
Выводы
В данной работе представлен подход к автоматизированному построению комплексной оценки на основе матриц сверток, значительно повышающий доступность использования этого метода для экспертов и ЛПР за счет использования матриц попарных сравнений критериев для формализации соотношений, существующих с точки зрения ЛПР в рассматриваемой области. Предложенный подход к построению структуры дерева свертки и выбору матриц свертки на основе анализа матриц сравнений критериев позволяет автоматизировать эти, наиболее нетривиальные и малоинтуитивные операции, необходимые при использовании матриц свертки для формирования КО. В тоже время, сохранена возможность последующего выбора используемых матриц свертки непосредственно пользователем,
использующая ранее предложенную авторами классификацию возможных матриц в терминах зависимости поведения результата свертки от поведения сворачиваемых критериев. Наконец, определение и визуализация степени влияния каждого критерия на результат построения КО в зависимости от выбранной структуры дерева и матриц свертки, базирующиеся на предложенном авторами методе, предоставляют возможности для анализа построенной оценки в доступной форме. В качестве направления дальнейшей работы авторы рассматривают возможность оптимизации построения КО с учетом задаваемых матрицей сравнений соотношений критериев не только за счет выбора матриц свертки, но и путем более оптимального выбора структуры дерева свертки, требующего дополнительного анализа матрицы сравнений критериев и соответствующего усложнения процедуры построения дерева.
Литература
1.Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати - М.: Радио и Связь, 1993.
2.Saaty T. “The Analytic Hierarchy and Analytic Network Processes for the measurement of intangible criteria and for decision-making” in Multiple criteria decision analysis: state of the art surveys / T. Saaty // Volume 57 by Jose Figueira, Salvatore Greco, Matthias Ehrgott, - 2005. - p. 346.
3.Carlos A. A critical analysis of the eigenvalue method used to derive priorities in AHP / Carlos A. Bana e Costaa, Jean-Claude Vansnick // European Journal of Operational Research, - 2008. - Vol. 187, Is. 3, P. 1422-1428.
4. Баркалов С.А. Механизм комплексной оценки объектов в системах организационного управления / С.А. Баркалов, Е.А. Власова // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета, - 2009. -Том 5, № 4, с. 147-151.
5.Баркалов С.А. Определение степени влияния критерия на комплексную оценку / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, Е. А. Власова // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета, - 2009. -Том 5, № 5, с. 33-37.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет НПЦ «Модуль» (г. Москва)
CONSTRUCTION OF THE TREE OF CONVOLUTIONS FOR THE COMPLEX ESTIMATION ON THE BASIS OF THE MATRIX OF PAIR COMPARISONS OF CRITERIA
E.A. Vlasova, Yu.A. Karpov, B.V. Tarasov
In the given work the approach to construction of a tree of convolution and a choice of corresponding matrixes on the basis of the information set at definition of values of a matrix of pair comparisons важностей of criteria is offered, allowing essentially to lower labour input at use of matrixes of convolution for construction TO
Key words: a tree, a matrix, an estimation, convolution
