CC BY
15Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение.1
Гарифуллин Р.Н. (grustem@gmail.com)
Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН
1 Введение
Постановка задачи. В данной работе исследуется нелинейное уравнение второго порядка, возмущенное быстро осциллирующей функцией с малой амплитудой:
^ + V'(u) = £f (тïcosf^^ , t> 0, 0 < £ < 1, т = £t. (1.1) dt2 \ e J
В качестве фазы возмущения берется функция Ф(т) = т — т3ф(т),ф(0) = 0; здесь f (т), ф(т) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Считается, что точка и = 0 является точкой устойчивого равновесия невозмущенного уравнения. Рассматривается случай общего положения V" (0) = 0. Без ограничения общности полагаем, что V"(0) = 1. Рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся вблизи нуля:
(|и| + |u|)|t=0 = O(£1/3), £ - 0. (1.2)
Для таких решений ставится задача о построении асимптотики при е — 0, пригодной на большом временном интервале 0 < t < O(e-1). Особый интерес представляют решения, амплитуда которых нарастает со временем до величин порядка O(1). Назовем такие решения авторезонансными.
Авторезонансом принято называть явление значительного роста амплитуды колебаний нелинейных систем под действием малого возмущения [1, 2, 3]. Подобные эффекты возникают и играют важную роль в ряде физических систем, например, в ускорителях релятивистских частиц [4, 5, 6]. Рассматриваемые решения описывают явление авторезонанса.
Из вида исходного уравнения (1.1) видно, что если главный член асимптотики имеет порядок O(1),e — 0, то он представляет собой решение невозмущенного уравнения. В работе [7] было построена полное асимптитическое решение в виде ряда по целым степеням £:
ki
W (Ф(т )/е,т ) + £ £k Uk (Ф(т )/е,т ),£ — 0.
и
k= 1
1 Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 03-01-00716, Научные Школы 1446.2003.1,
ШТАБ 03-51-4286.
Все коэффициенты этого разложения были определены однозначно. Однако, результаты работы [7] не позволяют оценить количество решений такого типа. Эта проблема решается в данной статье.
Предпринятые ранее исследования выявили неоднородную по времени структуру решения. В рассматриваемой задаче было обнаружено явление схожее с начальным погранслоем. Для небольших времен Ь ^ е-1 было получено полное двухпараметрическое асимптотическое решение - так называемое внутреннее разложение.
В данной работе дается конструкция асимптотического решения для далеких времен е-1/3 ^ Ь < О (е-1). Такие асимптотики принято называть внешним разложением, если следовать терминологии метода согласования [8]. Главный член асимптотики определяется аналогично [7]. Структура поправок определяется из соображения согласования с внутренним разложением. В процессе построения используется идеи метода усреднения Крылова-Боголюбова [9] и нелинейного метода ВКБ [10].
Сформулируем основной результат для главного члена асимптотики: Теорема 1. Пусть ЗУ(4)(0) - 5(У'"(0))2 = 0 и выполнены условия
192ф(0)
^(0) >--> 0
] (0) > ЗУ(4)(0) - 5(У'"(0))2 >
Тогда существует асимптотическое решение уравнения (1.1) следующего вида:
п(Ь,е) = т(а/и(Л),Л) + О(е),е ^ 0, е-2/3 < Ь < О(е-1).
Здесь и>(£, А) решение невозмущенного уравнения,
а = е-1Ф(т ) + По(т) + О(е1/12), А = Ао(т) + О(е7/12), т = еЬ.
Функции П0(т), А0(т) определяются из алгебраических уравнений. Два произвольных параметра содержатся в старших поправках разложения для а, Л.
Основная часть данной работы посвящена конструкции старших поправок. В работе строится полное асимптотическое решение в виде ряда по степеням е.
2 Решение невозмущенного и линеаризованного уравнения.
Конструкция внешнего разложения основаны на семействе периодических решений невозмущенного уравнения:
г!2ш
+ У'И = °- (21)
В этом разделе описывается двухпараметрическое семейство таких решений.
Поскольку уравнение (2.1) является автономным, то один произвольный параметр содержится в сдвиге фазы. В качестве второго параметра можно выбрать любой из первых интегралов. В данной работе из соображений согласования с внутренним разложением удобно выбрать полную амплитуду первой основной гармоники колебаний.
Для решений этого уравнения можно доказать следующее утверждение:
Лемма 1. Для уравнения (2.1) существует 2-х параметрическое семейство решений А,Ь0) = Ш(а, А), где функция Ш(а, А) гладкая по А 2п периодическая по переменной а = ^(А)Ь + Ь0, полная амплитуда первой основной гармоники - А и сдвиг фазы Ьь0 являются произвольными параметрами.
Доказательство утверждения следует из интегрируемости уравнения (2.1). Гладкость по А в окрестности нуля А Е [0, А0] можно показать, воспользовавшись гладкостью решения уравнения по начальным данным [11].
Для функций Ш(а, А),^(А) методом Ляпунова-Пуанкаре [11] может быть построена асимптотика при А ^ 0. Эта асимптотика имеет следующий вид:
А2У///(0) , ч А3(У/"(0)2 + У(4)(0)) 12 (сое 2а 3) +-—
Ш(а, А) = А С08 а+—^(со82а-3) + 1 Л(! -— со8 3а+О(А4), (2.2)
и(А) = 1 + (ЗУ(4)(0) - 5(У/"(0))2) + О(А4), А ^ 0. (2.3)
48
Также можно показать, что ^(А) - четная функция А. Для энергии невозмущенных колебаний
Е = + У (Ш)
при А ^ 0 верна асимптотика:
Е(А) = — + 4т-(27У(4)(0) - 37(У'"(0))2) + О(А5), А ^ 0. 2 576
Для всех приведенных функций существует полное асимптотическое разложение в виде рядов по целым степеням А.
Описанное в лемме решение будет использоваться в качестве главного члена внешнего разложения при подходящей модуляции амплитуды А и сдвига фазы ьь0.
При построении асимптотичекого решения существенную роль играют решения неоднородных линеаризованных уравнений, правая часть которых является 2п периодической функцией а. Эти уравнения имеют следующий вид:
^2(А)32Я + У"(Ш(а; А))Я = С(а; А), (2.4)
здесь Ш(а; А) - решение нелинейного уравнения (2.1), С(а; А) - 2п периодическая функция а, зависимость от параметра А возникает в правых частях уравнений (2.4) и, следовательно, в решении Я(а; А).
Ведем обозначения, в терминах которых удобно исследовать линеаризованное уравнение (2.4):
Определение 1. Обозначим через (Р) и [Р] среднее по периоду от Р и интеграл от функции Р без среднего значения:
1 р2п па
(Р) = ^ I Р(а)Жт, [Р] (а) = 2 (Р(а') - (Р))^а'.
Нас интересуют ограниченные периодические по а решения уравнения (2.4). Известно [11], что ограниченные решения существует лишь при выполнение условия:
(Жа С) = 0. (2.5)
Обозначим через С2 величину, определяемую правой частью уравнения из соотношения
(-' [ЖаС] (а) - -Жл(а)С(а)) + -'С = 0. (2.6)
Тогда общее периодическое можно записать в виде:
Я = Ыа(а) (С + - [[ЖаС]] (а) - [жас] (а)) +
V V - У (2.7)
+Жл(а)(С2 + [ЖаС] (а)))/Е'(А).
Оно содержит одну произвольную константу С.
Из соображений метода согласования удобно использовать решение, которое не содержит первых гармоник, т.е. решение удовлетворяющее условиям
(Я(а) сое а) = 0, (Я(а)вт а) = 0. (2.8)
Эти требования можно рассматривать как уравнения на константы 61,62. В таком случае выражение (2.6) следует трактовать, как условие на правую часть С(а; А) уравнения (2.4).
Эти рассуждения можно сформулировать в виде следующего утверждения:
Лемма 2. Для уравнения (2.4) существует единственное ограниченное 2п периодическое решение (2.7), не содержащее первых гармоник, тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.5),(2.6). Параметры С1,С2 однозначно определяются из условий (2.8).
Как видно из приведенной леммы, для построения периодического решения линеаризованного уравнения требуется выполнение двух условий для правой части. В конструкциях, которые приводятся ниже, на каждом шаге правые части уравнений содержат два произвольных параметра Д Б в весьма специфическом виде:
С(а, А) =Р(а, А) - 2-Бд2Ж - Д(-'даЖ + 2-длаЖ). (2.9)
Требования (2.5),(2.6) приводят к однозначному определению этих параметров. В следующей лемме приведены выражения для этих параметров и их асимптотики при А ^ 0, а также найдена асимптотика решения уравнения (2.4). Введем определение:
Определение 2. Обозначим через Ап, п Е Ъ множество функций, зависящих от А и возможно от других переменных со следующим свойством. Функция П(А) € Ап ^ П(А) = АпЕ(А), где -Р(А) гладкая функция разлагается в ряд Тейлора при А ^ 0.
В терминах элементов этого пространства с различными п будут выписываться коэффициенты асимптотических рядов.
Лемма 3. Пусть правая часть уравнения (2.4) имеет вид (2.9). Тогда для периодичности решения (2.7), не содержащих первых гармоник, необходимо выбрать $, О следующим образом:
О = ^(А)(ШСТ(а,А)П(а, А))/Е'(А), (2.10а)
5 = ((сУ(А) П] (а) - ^(А)ША(а,А)П(а, А)) + ^(А)^) /Е'(А). (2.10б)
Если П(а, А) € Ап, тогда Ь(а,А) € Ап, О(А) € Ап, 5(А) € Ап-1.
Доказательство. Из условий (2.5),(2.6) после некоторых упрощений получаются формулы (2.10). Из гладкости и асимптотик при А ^ 0 для функций Е(А) и Ш(а, А) имеем:
да Ш = АШ1(а,А), = Ш2(а,А), Е' = АЯ(А).
Здесь и всюду ниже функции с волной - гладкие функции своих аргументов. Поэтому из формул (2.10а), (2.10б), (2.7) последовательно определяются:
О = АпО (А), 5 = Ап-15(А), Ь = АпЬ(а,А).
Лемма доказана.
3 Усреднение в быстрой переменной.
Целью данного пункта является переход к усредненным уравнениям. Для рассматриваемого уравнения (1.1) с внешней осциллирующей силой существует много решений с двухфазной асимптотикой [12]. В данной работе мы интересуемся однофазными решениями, которые выделяются резонансным условием близости собственной и вынуждающей частоты: |^(А) - Ф'(т)| ^ 1. В качестве главного члена асимптотического решения берется решение невозмущенного уравнения с медленной деформацией параметров:
п « Ш(а, А), а = е-1Ф(т) + П(Ь,е), А = А(Ь,е).
Как видим структура быстрой фазы а ~ е-1Ф(т) фиксируется в главном.
Переход от исходного уравнения (1.1) к усредненным уравнениям осуществляется посредством замены
u(t, е) = U(а, A, П, т, а, е), т = et, а = w(A) - Ф'(т),
где Q(t, е), A(t, е) новые неизвестные переменные. Как это делается в похожих задачах [10] замена выбирается не точной, а асимптотической:
<х <х
U(а, П, A, т, е, а) = W(а, A) + ^ J] екamUfcm(a, П, A , т), еа ^ 0. (3.1)
к=1 т=0
В отличие от известных методов [10] предлагаемый анзац содержит разложение по малой величине
а = w(A) - Ф'(т), (3.2)
которая априори неизвестна, поскольку функцию A(t, е) еще предстоит найти. Такой подход значительно упрощает изложение и позволяет найти эффективные асимптотические формулы.
Здесь и ниже все ряды понимаются как асимптотические; вопрос о сходимости рядов не обсуждается.
Целью замены является переход к таким уравнениям для A, П, которые бы не содержали зависимости от быстрой переменной а. Такие уравнения обычно называются усредненными. Они являются отдаленными аналогами уравнений эйконала и переноса в методах типа ВКБ:
^^) + П) = u(A) + £ £ ека-SUn, A, т), (3.3а)
к=1 т=0
dA
^ = ^ ^ екат^кт(П, A, т). (3.3б)
к=1 т=0
На данном этапе вычисляются коэффициенты рядов (3.1),(3.3). Дополнительным ограничением является требование периодичности функций икт(а, П, A, т) по быстрой переменной а. Именно это (секулярное) условие, вместе с требованиями отсутствия первых гармоник, приводит к однозначному определению коэффициентов рядов (3.1),(3.3).
С учетом замены уравнение на U(а, A, П, т, а, е) приобретает вид:
d2U
— + V'(U) = 4е/ ес8(а - П). (3.4)
Здесь оператор полной производной по t от функции U выписывается обычным образом с учетом зависимости от t всех переменных.
Рекуррентная система задач для U^ получается обычным образом. Зависимость от быстрой переменной а находится из линейных уравнений:
^Щт + V"(W)Ukm = Скт(а, A, П, т) - 2^кт¿>2 W-
-Акт (^'(A)öCTW + öaw), k > 1, m > 0. (. )
Функции Gkm из правых частей вычисляются через предудущие поправки; например, при k =1 они имеют вид:
G10 =f (т) cos(a - П),
G11 = - U10 - dnSioöCTW - 5qDioÖaW, (3 6)
G1m = - dQU1,m-2 - 2^dCTQU1,m-1-
- önS1,m-1ÖCTW - önDw^W, m > 2.
На каждом шаге правые части содержат пару коэффициентов Skm, Dkm рядов (3.3). Эти коэффициенты определяются одновременно с решениями Ukm из секулярных условий (2.10).
Для решений уравнений (3.5) доказывается следующее утверждение:
Теорема 2. Для исходного уравнения (1.1) существует асимптотическая замена вида (3.1) такая, что усредненные уравнения на новые неизвестные A, П не содержит быстрой переменной а.
Для решения Ukm и коэффициентов Dkm, Skm верно: Ukm £ A1-k, Dkm £ A1-k,
'fcm
Доказательство. Утверждение теоремы следует из лемм 2, 3, если доказать, что £ А1-А. Эта формула доказывается индукцией по к.
Из представления (3.6) функций С1т видно, что требуемая асимптотика верна. Докажем ее для при к > 1.
Предположим, что утверждение теоремы доказано для всех к < п и докажем ее для к = п. Функция Спт состоит из дух частей - первая возникает из-за нелинейности У(м) в исходном уравнении, вторая из-за оператора полной
производной по ¿. Для функции имеем:
С1 =- V V(1+1) (^) у у^ ц. ц. ц. =
°пт / у I! / у / у цпл • • • игь31
1=2 ' ¿1+г2+...+1г=п Л+^2+...+^г=т
п
Е Vl+1 (а, A) £ Е A1-i1 U4n A1-i2 Ui2j2... A1-i1 U<lil =
1=2 ii+i2+...+i;=ra ii+j2+...+ii=m
n
E A1-nGnL(a, П, A, т) £A2-n 1=2
Для второй части Спт можно легко убедится, что Спт £ А п, следовательно:
^ = л1 + ^2 л 1—п
Теорема доказана.
Как видно из полученных результатов, коэффициенты асимптотических рядов (3.1), (3.3) имеют особенности при А ^ 0. Их происхождение связано с асимптотикой энергии Е(А) = А2/2 + 0(А3), А ^ 0. В частности, коэффициент $10 ~ А-1 при А ^ 0. Более точно:
Следствие 2.1. Для коэффициента $10 верна следующая формула: с: (п А \ /(тМ^совП
£ю(П,А,т) =--2Е,(А)-+ Сч1^ А ^ (З-7)
Эта формула играет важную роль в дальнейших построениях. Итогом данного параграфа являются усредненные уравнения (3.3).
4 Идентификация промежуточной переменной.
Целью данного пункта является редукция усредненных уравнений (3.3) после выделения в них главных членов асимптотики. При построении асимптотики для этих уравнений возникает новая переменная е1/2Г, которая является медленной по отношению к £ и быстрой по отношению к т = е£.
Полученные выше усредненные уравнения (3.3) содержат малый параметр. Из них требуется извлечь асимптотику функций П(£, е), А(£, е) при е ^ ° на достаточно далеких временах £ = 0(е-1). На первый взгляд эти уравнения весьма похожи на уравнения в переменных действие-угол с малым возмущением. Однако, резонансное условие а = ^(А) — Ф'(т) = о(1),е ^ 0 делает непригодным известные подходы [9]. Кроме того, надо иметь в виду, что для функций А(£,е), П(£,е) известна структура асимптотики при е ^ 0, которая возникает из требования согласования со внутренним разложением.
С учетом этих двух обстоятельств сделаем преобразование уравнений (3.3), выделив главные члены асимптотик:
А = Ао(т)+ е7/12А(т )А (г,е), (4.1)
П = П0(т )+ е7/12П1(£,е). (4.2)
Здесь А0(т), П0(т) описывают амплитуду и сдвиг фазы в главном; функции А1, П1 описывают поправки; множитель А(т) добавлен для удобства, выражение для него будет предъявлено чуть позже.
Подставим выражения (4.1), (4.2) в уравнения (3.3), получим:
еА0 + е7/12 ^^ = е^ю(П0, А0, т) + о(е), ас
еП0 + е1/12 аП1 = "(АО — Ф'(т) + е7/12^(А0)АА1 + О(е).
Здесь использовалась явная формула (3.2) и разложение функций ^(А), Д10(А, П, т) при е ^ 0 в окрестности точки П0, А0. Предполагая, что в первом выражении производная е7/12а^(АА1) имеет меньший порядок при е ^ 0, чем е и приравнивая нулю выражения при старших степенях е получаем алгебраические уравнения для определения А0, П0:
^(А0) = Ф'(т), (4.3)
—/(т )^(А0(т ))А0(т )81пП0 = 2Е'(А0)А0(т). (4.4)
При получении уравнения (4.4) использовалась явная формула для Д10. Решения этих уравнений берутся в качетсве главных членов в (4.1), (4.2). Для разрешимости полученных алгебраических уравнений необходимы некоторые дополнительные условия на исходные данные.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует т* > 0 такое, что при т € [0, т*] уравнения (4.3),(4.4) разрешимы в классе гладких функций, причем А0(т) > 0.
Доказательство. Так как ^(А0) - гладкая функция от А2, то (4.3) можно решать относительно А2. Воспользуемся теоремой о неявной функции. При т = 0 имеем решение А0(0) = 0. В силу условий теоремы имеет место неравенство:
ЗУ (4)(0) — 5(У "'(0))2_ =0 <9Я(0) 48 "7 = 0
Так как Ф"(0) = 0, Ф///(0) = 6ф(0) = 0, то решение уравнения (4.3) относительно А0 представляется гладкой функцией с выделенным множителем т2, т.е. А2(т) = т2Д0(т), Д0(0) = 0. При достаточно малых т имеем:
А2 А
6Ф(0) 2
-т .
7
Так как при выполнении первого из условий теоремы правая часть равенства положительна, то можно извлечь корень из обеих частей равенства и получить представление для решения уравнения (4.3):
А0(т ) = т/й0 (т) = тА0(т). Уравнения (4.4), очевидно преобразуется к виду:
в1пП0 = —
2Е ;(Ар(т ))А0(т) /(тМА0(т))А0(т).
(4.5)
(4.6)
Для локальной разрешимости этого уравнения в окрестности точки т = 0 необходимо, чтобы модуль правой части при т = 0 был меньше 1. В силу (4.5) и с учетом условий теоремы имеем место неравенство:
Иш
т=0
2Е '(Л(т ))А0 (т)
/ (т МА0(т ))А0(т)
2А0(0)
/ (0)^(А0(0))
Иш Е '(А,(т))
А0(т)
т=0
2Убф^(0)/7 I/(0)1
< 1,
следовательно уравнение (4.4) разрешимо. Так как правая часть (4.6) гладкая функция, то корень П0(т) также является гладкой функцией в достаточно малой окрестности нуля. Теорема доказана.
В дальнейшем всюду предполагаем, что условия теоремы 1 выполнены.
Необходимо заметить, что при выполнении условий теоремы для уравнения (4.3) существует единственное решение, а для уравнения (4.4) существует два корня на отрезке (—п,п). Какой из корней следует выбрать будет показано ниже.
После определения главного члена функции А можно уточнить структуру по е для дополнительного параметра а. С использованием выражений (4.1), (4.3) для а получаем следующую асимптотику при е ^ 0:
Ак
а = *(А) - Ф'(т) = £е7к/12^)(Аа(т))АА.
к=1 '
После этого все двойные ряды (3.1),(3.3) можно переразложить по степеням е.
При указанных в (4.3), (4.4) выборе функций Ао, П0 усредненные уравнения (3.3) переходят в уравнения для А1, П1. Если в качестве А выбрать:
А(т) = signDl0(т)
Я1°°(т)
^1(Г )
то уравнения приобретают вид симметричный в главных членах:
е1/2^ =Дт)П + £ еп/12В„(т,Аь П1), (4.7а)
п=1
ГП
е1/2=sign(wl(r)£>10) Я(т)А1 + ^ еп/12Е„(т,Аь П1). (4.7б)
п=5
Через Д(т) обозначено:
Дт) = ^Ыт )Д1°(г )| Коэффициенты рядов представляют собой полиномы по А1, П1:
1 3 3-т
В(т,А1, П1)=Вп(т)А1 + А ^ £
12й+73<га+1 т=0 ¿=0
га+1—12к—77,7—т—1
X
х пп+1-12к-73 А3А1 £
1га+1-12к-7^ Х ^ х ... х ^,
¿1+...+гт=г+т 3 3-т
(т, А1, П1) =*П(т, А1) + £ £ Е^П^15,т12к-7з,3-т-1х
т+73<п-5 т=0 ¿=0
х П?-5-12*-73 А3А1 £
^ X . . . X ^ ,
¿1 ¿т "
(4.8)
¿1+...+гт=1+т
Ui л\ / °> n = 6, rf Л\ ! 0, n = 7k,
Bn(T,A) = ( -A'/A, n = 6, Fn(T>Ai) = ( Wfc+iAfc+1Ak+1, n = 7k,
1 di+j Di,
=Dkm(T ) = j ^g^jA ^ ^ "^ ^ ))
Sj =sL(t) = j (По(т),Ao (T))
. . 1 . . . .. = ^¿(т ) = ¿у diA (Ao(T))-
Особенности при A ^ 0, которые присутствуют в коэффициентах рядов (3.3) переходят в особенности коэффициентов Bn, Fn при т ^ 0. В следующем утверждении устанавливается характер этих особенностей:
Лемма 4. Функции Dijm(T), Sj^T), ^¿(т), f„(t, A1, П1), Вп(т, A1, П1) можно представить в виде:
DiL(T ) = T 1-k-jD ijjT ), Sfcm (т) = T k jSfcjm(T),
, , ^ mod 2~ / \
^¿(T) = T CJj(T),
Bn = ^ nn+1-7j-12k a1t 1/2-3j/2-k jj (т),
12fc+7j<ra+1
Fra = ^ 5—7j—12k a1t-1-3j/2-k j (t ).
12fc+7j<ra-5
Утверждения леммы следуют из теоремы 2 и формул (4.5), (4.6) (4.8). В частности для S^ из (3.7) имеем:
(4.9)
S10 (т ) = -1+ U(T). (4.10)
т
5 Усреднение в промежуточной переменной.
Целью данного пункта является дальнейшее усреднение полученных уравнений
(4.7).
Система (4.7) в главном представляет собой линейные уравнения:
e1/2^ =sign(w1(T)D10(T)) D(t)A1
dT
dA1
(5.1)
e1/2^1 =d(t ат
1,
с малым параметром е1/2 при производных. Так как в правой части находятся одинаковые по модулю коэффициенты, то решение немедленно выписывается через экспоненты. Если sigп(w1(т)^Ю(т)) > 0, то одна из экспонент будет растущей.
Этот случай нам не подходит, так как целью построений является двухпараметри-ческое семейство ограниченных решений. В следующем утверждении приведены условия при которых существует такое семейство решений:
Лемма 5. Существует единственный корень уравнение (4.4) такой, что для системы уравнений (5.1) существует двухпараметрическое семейство ограниченных решений при т € (0, т0):
Qi(r,e) = Ccos (С + ф°) , Ai(r,e) = C sin (С + фо),
С = e-1/2 iТ D(r')dr'.
(5.2)
о
Здесь C, ф0 - произвольные постоянные.
Доказательство. Выберем корень уравнения (4.4) из условия:
f (0)y cos П°(0) > 0. (5.3)
Покажем, что это условие обеспечивает положительность подкоренного выражения в (5.2). Действительно имеем:
^i(0)Dlo°(0) = 0,
следовательно, значение подкоренного выражения определяется производной в точке 0. Значение производной в нуле равно:
£D°)(0) = D 10(0)^(0) = - М vY3V'4,(0) -245(V'"(0))2 cos«0(0).
Следовательно, подкоренное выражение имеет вид:
1 (т )D u,(T) = Тт vY 3V'4,(0) -f"'(0))2 cos «0(0) + O(T 2).
Оно является положительным при достаточно малых т и при выполнение условий леммы.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что формулы (5.2) дают решение системы (5.1). Лемма доказана.
В дальнейшем предполагаем, что выбран нужный корень уравнения (4.4). Для решение исходной задачи требуется построить асимптотику решений системы (4.7) пригодную на временах т = O(1),e ^ 0. Следую методу описанному в [9] выберем старший член асимптотики решения системы (4.7) в виде решения невозмущенной системы (5.2) при подходящей деформации амплитуды и фазы.
Целью данного пункта является переход от системы (4.7) к системе для амплитуды Cи фазы s(£,e) посредством асимптотической замены:
A1 (t,£)\= C( sin s\ + V4 rk/v( Pk {s,T,C,£)\ (54)
fi(r,e))~ 4 coss) + kL£ I Xk(s,T,C\e) ) (54)
c 2п периодическими по переменной s коэффициентами.
Целью замены является переход к новой системе, которая не содержит быстрой переменной s и является треугольной:
<х
е1/2дт s = D(t ) + ^ £k/6 Gk (t,C ), (5.5)
k= 1
<х
дтC = Y £k/6pk(t,C). (5.6)
т
k= 1
В процедуре усреднения подлежат определению коэффициенты рядов Хк, Рк, О к, Рк • Функции рк (в, т, С ),Хк (в,т,С) строятся в классе функций 2п периодических по в. Для однозначности построений на них накладывается дополнительное требование - отсутствие первых гармоник. Коэффициенты рядов находятся по обычной методике [9], в данной работе приведено утверждение описывающая структуру этих коэффициентов:
Теорема 4. Существует асимптотическая замена вида (5.4) такая, что система уравнений на новые переменные С, в является треугольной. Функции хк(в, т, С), рк(в,т,С), Ок(т,С), Рк(т,С) можно представить в виде:
( х: )='Т^т-а"/2 (Ш!)) • (■")
[к/3]
О к = т1/2 ^ С2к-6пт ~3п/2Опк(т), (5.8)
п=0
'к/3]
Рк = т-1 ^ С 1+2к-6пт~3п/2Р1п(т). (5.9)
п=0
Здесь функции ХП(в,т), ррк(в,т) 2п периодические по в, гладкие по т, функции ОрП(т), Рк(т) - гладкие по т.
Обычно в подобных задачах оказывается, что правая часть уравнения для С является функцией того же порядка при е ^ 0, что и возмущения, т.е. е1/28т С = 0(е1/12). Возможны такие возмущения, что величина С - константа, т.е. дтС = 0. Такие возмущения называются консервативными. Возмущения данной системы
является некоторым промежуточным между ситуацией общего положения и консервативной системой.
Вторым свойством системы (4.7) является четность-нечетность коэффициентов правых частей В, Ек относительно А, П1. Эта особенность обеспечивает возможность разложения правых частей уравнений для С, в в асимптотический ряд по степеням е1/6, в случае отсутствия этого свойства возникал бы асимптотический ряд по степеням е1/12.
Приведем явную формулу для Р0, она понадобится в дальнейшем:
Ро = С ( (ь 9|)' + 2^10 + 2^01 + 2^00) . (5.10)
6 Решение системы в медленной переменной.
Исходная задача свелась к системе (5.5)-(5.6), для правой части которой известна асимптотика при е ^ 0, с коэффициентами имеющими структуру (5.8), (5.9). Построение асимптотики функций С(т, е), в(т, е) при е ^ 0 является задачей регулярной теории возмущений и не вызывает затруднений. Основная цель данного пункта - определение структуры при т ^ 0 коэффициентов асимптотики при е ^ 0.
Сначала построим асимптотику для решений уравнения (5.6).
Лемма 6. Существует асимптотитическое решение уравнения (5.6) в виде ряда по степеням е1/6 с коэффициентами зависящими от т:
С(т, е) = ^ ега/6С„(т; С0). (6.1)
п=0
Для коэффициентов Сп(т) верно следующее представление:
[та/2]
С„(т; С0) = т-(1+2п)/4 ^ тк 1пк(т)СП(т; С0), (6.2)
к=0
где С^(т) - гладкие по т функции; С0 - произвольная постоянная. При дополнительных требованиях дтС0т(0) = 0, Ут > 0, С°(0) = С0 все функции определяются однозначно.
Доказательство. Подставив (6.1) в уравнение (5.6) получим рекуррентную систему для определения Сп(т):
дт С0 - р>(т,С0) = 0, (6.3)
дт с„ - Р0 (т, СП) = £ £ т £ с„ ..х-,. (6.4)
¿=1 т=0 ¿1 +г2+...+»т=га-1
С учетом (5.10), общее решение линейного уравнения (6.3) имеет вид:
1/4
( -"1(тМ 1/4 ехр^ " 1т2 Д10(т^ еХЧ2
С0(т) = С[ ^^ ) ехр ( ^ I (^10 + ^00 + ^1^00 + 1/т)^т
здесь С произвольная постоянная.
Подынтегральное выражение с учетом формул (4.9),(4.10) имеет следующий вид:
^0° + ^01 + ^1^00 + 1/т = -1 + С(т) + 510 (т) + тС1 (т )5 00 (т) + 1 = С1(т),
тт
где С1(т) гладкая функция. Следовательно, показатель экспоненты и сама экспонента является гладкой функцией т. Для множителя имеем
1/4 / - , , N 1/4
-^(т) \ / / <С (т)
т25{0(т) у УтЯ^т)
т-1/4т (т).
С учетом этих выражений получаем:
С0(т ) = т-1/4 СС(т),
где С(т) гладкая функция т. Константу С0 и функцию С^т) определим так:
С0 = Сс(0), С0(т) = С(т)/с(0).
Для функции С0(т) формулы (6.2) доказана.
Предположим, что теорема доказана при всех к < п. Тогда правая часть уравнения для С„(т) имеет вид:
[(„-1)/2]
^„(т, С0) = т-(5+2п)/4 ^ тк 1пк(т)^П(т, С0).
к=0
Так как С0(т) решение однородного уравнения, то решение уравнения для С„(т) можно записать в виде:
С„(т) = С0(т)!" С0)/С0(0)^0.
С учетом вида С0 подынтегральное выражение представляется в виде:
[(„-1)/2]
М0; С0)/С(0) = 0-(2+„)/2 ^ 0к 1пк(0)/4(0; С0).
к=0
Интегрирование увеличивает степень т у всех слагаемых на 1, кроме слагаемых вида ат-1 Ш (т), которые после интегрирования имеют вид а 1П'+1(т)/0' + 1). Слагаемые такого вида присутствуют только при п = 2т. Проинтегрировав и умножив на С0(т), получаем для Сп(т) формулу вида (6.2), для выполнения дополнительного условия при п = 2т необходимо добавить решение однородного уравнения с соответствующим коэффициентом. Лемма доказана.
Для в(т, е) строится аналогичный ряд:
Лемма 7. Существует асимптотитическое решение уравнения (5.5) в виде ряда по степеням е1/6 с коэффициентами зависящими от т:
в(т,е) = е-1/2 £ еп/6вп(т; С0) + в0. (6.5)
оо
е ' вп(т ; С
п=0
Для коэффициентов вп(т; С0) верно следующее представление:
[(п-1)/2]
вп(т; С0) = т(3-п)/2 ^ тк 1пк(т)а£(т; С°),п = 2т,
к=0 [(п-1)/2]
вп(т; С°) = т(3-п)/2 £ тк-йт 1пк(т)а£(т; С°),п = 2т + 1,
к=0
(6.6)
где 1п(т) - гладкие по т функции; ^^ -символ Кронеккера, в0 - произвольная постоянная. При дополнительных требованиях дт-1^]т+1(0) = 0, Ут > 1 все функции определяются однозначно.
Доказательство. С учетом (6.1) уравнение для в приобретает вид:
^ те
дтв = е-1/2 £ е-п/6Сп(т, С) = е-1/2 £ е-п/6Сп(т),
п=0 п=0
где Сп(т) определяется по формуле:
п п— 1 д'с
Сп(т) = £ £ 1 ^ (Со (т), т) £ Сп (т)... С (т).
^•=0 1=0 ¿1+...+гг=п-^
С учетом (5.8),(6.2) имеем:
[(п-1)/2]
Сп(т ) = т(1-п)/2 £ тк 1пк (т )Скп(т). к=0
Проинтегрировав уравнение для в получаем, что вп(т) определяются через интеграл и имеют представление (6.6). Лемма доказана.
После нахождения С, в для исходного уравнения построена полная асимптотика.
В коэффициентах рядов (6.1) и (6.5) есть нарастающие особенности при т ^ 0, которые делают эти разложения непригодными при малых т. Из требования малости следующего члена по сравнению с текущим определяется область пригодности этих рядов: т ^ е1/3, т.е. £ ^ е-2/3. Легко показать, что при таких т пригодны все построены асимптотические ряды.
7 Заключение.
Окончательные результаты полученные в статье собраны в виде следующего утверждения:
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (1.1) существует двухпараметрическое семейство асимптотических решений (3.1), в котором параметры А, О определяются выражениями (4.1),(4.2),(5.4). Для величин С, в построена асимптотика (6.1),(6.5), в которой присутствует два произвольных параметра С0,в0. Все ряды являются аси,мпт,от,ическими при е-2/3 ^ £ < 0(е-1).
В построенном формальном асимптотическом решении присутствуют два разных типа колебаний: быстрые колебания в переменной а с частотой порядка 0(1) содержатся в эллиптических функциях; медленные колебания в переменной в с частотой 0(е1/2) содержатся в тригонометрических полиномах. Например, после переразложений главный член и первая поправка имеют вид:
и(£,е) = W(а, £0(т)) + е1/12т-1/4С^т) ес8(в)дстW(а,Е,(т)) + 0(е2/12), е ^ 0,
а = е-1Ф(т ) + О0(т), в = е-1/2т 3/2Я00(т )+е-1/3т#?(т) + е-1/2Я20(т) + Я30 (т) + Я1(т) 1п т + в0.
Здесь функции с волной - определенные гладкие функции, С0, в0 - произвольные константы. По малой частоте частоте присутствуют только конечные гармоники. Так как тФ'(т) + пе1/2С0(т) > 8 > 0, т Е N |п| < N, то в данной задаче не возникает проблемы малых знаменателей [13].
Автор выражает благодарность Л.А. Калякину за обсуждение данной работы, О.М. Киселеву за полезные замечания.
Список литературы
1. Ещстз апд Рп&Иапд I. // Ат. Л. РЬуэ. 2001. 69, №10. Р.1096-1102.
2. Голованевский К.С. // Физика плазмы. 1985. Т. 11,вып.3. С.295-299.
3. Friedland L. // Physical Review E. 1997. V. 55. P.1929-1939.
4. В.И. Векслер.// Доклады АН СССР. 1944. Т. 43, С. 346-348. С. 393-396.
5. А.А. Андронов, Г.А. Горелик.// Доклады АН СССР. 1945. Т. 49. С. 664-666.
6. E.M. MacMillan.// Phys. Rev. 1945. V.68. P.153.
7. Калякин Л. А.// Математические заметки. Т.73, вып.3. 2003 С. 449-452.
8. А.М. Ильин. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989.
9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 501
10. Кузмак Г. Е.// Прикладная математика и механика. 1951, т.23, №3, с.519-506.
11. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1969. 379 с.
12. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях // Итоги науки и техники, 1980., том 15, с. 4-94.
13. Арнольд и др.// Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.3, Москва, 1985, 303с.
