CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
С.С.Мирзоев, М.Г.Файзиев ПОСТАНОВКА КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ 4-го ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 06.01.2014 г.)
В данной работе рассматриваются классические граничные задачи для неклассических (составных) уравнений 4-го порядка и исследуется характер их разрешимости.
Ключевые слова: уравнения неклассического (составного) типа - уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) - формула Пуассона - функция Грина - видоизменённая задача Коши.
1°. Рассмотрим модельное уравнение 4-го порядка составного типа [1,2]
( и \( п д2 д2 ^
а2 а2
У^г--7 + ^ и = 0. (1)
&г2 ау2 а? ау2 J ()
Здесь и(х,у) - искомая функция, х = (х,х2,...,хп) .
В полупространстве Я"1 = {(х,у) : х е Я",у > 0} с границей Г = {у = 0} рассмотрим задачу.
Задача Р1. Найти в полупространстве Я"+х решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям
и 1у=0 = Щ0(х) иу 1у=0 =Vl(x), иуу 1у=0 =^2( X), иууу 1у=0 = ¥ъ(х\ (2)
где щ(х), щ(х), щ2(х), щ(х) - заданные достаточно гладкие и ограниченные функции. Уравнение (1) сведём к системе уравнений составного типа
-А а2и 02и
У 0? V='(ху),
У ^=0.
у ах2 а/
Следовательно, задача P1 разбивается на две следующие задачи:
^ av_ an
-1 ах2 ау:
¿aMV-o, (3)
Адрес для корреспонденции: Мирзоев Собирчон Содикович, Файзиев Мубинджон Гафорович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: Sobirjonm@mail.ru, FayzievMG@mail.ru
V \ = х) К 1у=0 = У5(х)
(4)
где
^ а у а а у
У = Е -у; +у2' у5 = Е -^Т + У
.а а2и а2и тг. . 7=1 --г -у
и(У) |у=0 = Уо ■
Функция V (х, у) определяется как решение задачи (3)-(4) в виде [3]
1 -п-1 У
(5)
(6)
1 — Г о 1 "-3
V(У)= Т^^л-тI (У2 - г2)- гтгУМг +
+-
(п - 2)!—у о
1 —п-2 у
(7)
(п - 2)! —уп
| (у2 - г2)п-3 Тг{у)ёг.
Здесь Тг (/) обозначает среднее значение функции / на сфере радиуса г с центром в точке
(¿,¿2 -¿п) :
1
Тг [/(^ Х2 V- Хп )] =
а гп-1 "и' »
I /(Х1 +¿l,-, Хп
Е (-г -¿г )2=г2
ап - площадь п -мерной единичной сферы.
Теперь представим решение задачи (5)-(6) по известной формуле (см. [3])
удх
и(м о)=¿1
[Е (—г-4 )2 +^213
| о(м, м )V(м)м,
(8)
где G(M,М0 ) - функция Грина верхнего полупространства, М = (х, у) . Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 1. Если у (х), у (х), у (х), у (х) достаточно гладкие в Яп функции, то задача
(1)-(2) однозначно разрешима и её решение представимо через решение задачи (3)-(4) в виде (8). 2°. Рассмотрим следующее вырождающееся неклассическое уравнение 4-го порядка
а2 -
V
у^1 Е^+у-^+р— Е ^
г=1 —х —у —у Иг=1 —х —у
а2 а
2
^ = 0^
(9)
У
и
г=1
г=0
Здесь 5(х, у) - искомая функция, 0 < р < 1 - вещественная постоянная.
В полупространстве Я"+1 для уравнения (9) рассмотрим следующую задачу. Задача Р2. Найти в полупространстве Я"+1 решение 5(х, у) уравнения (9), удовлетворяющее условиям
Э Iу=0 = (хХ Эу 1у=0 = ((x), Эуу 1у=0 = ((x), Эууу Iу=0 = (x), (10)
где ((х), ((х), ( (х), ((х) - заданные достаточно гладкие и ограниченные функции.
Подобно как в предыдущей задаче, уравнение (9) преобразуем в систему уравнений
V а2 5 а2э ¿=1 ахг ау р » а2н а2н ан п
ур+1 У—Г + у—г + р— = 0.
¿=1 а^ ау 0у
Решение задач Р2 эквивалентно решениям следующих задач:
р » а2н а2н ан Л
ур+1 У-ТГ-+у^-г+= 0,
¿=1 ах ау ау [ну (х, у) + ——Р н(х, у)] у=0 = ф,
(11)
(12)
где
( =
У а^2
(з
^ 1 - р^ +——
У
и ^
^ а2 э а2 э ¿=1 ах ау
у=0 =(0( x), Эу 1у=0 = (( х).
Введя вместо у переменную
(
т = (1 - Ь) у1-
ь=■
1
< —
Л
р + 2 3
(13)
(14)
уравнение (11) приводим к известному эллиптическому уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)
(15)
" а 2н а 2н а ан п У—+-+-— = 0,
7=1 ахг дт т дт где а = 3Ь < 1, а условие (12) - к условию
и
Нш
т^0
т ] Ит(х,т) ± 1—РИ(х,т)
1 - Ъ
(16)
Решение уравнения (15) представляется в виде [4]
И(х,у) = | т1-аК2-а(х,т,&/(¿44 Л
(17)
2-а Яп
где
1 С -1 1-п - а
Ла =11 (И2 +1)^, Еа(х,т,& =
Е (хг-¿г )2 +т2
г=1
t = (^, ¿2, —, ¿и ), 4 = (4,4, —, 4), /(х) - непрерывная ограниченная функция.
Учитывая формулу (17) и равенство Ит (х,т) = тИ 2+а (х,т), где И2+а (х ,т) - есть решение уравнения типа (15) с коэффициентом а ± 2 в место а , увидим что
т) Ит(х,т) + ^И(х,т)
(1 - Ъ)-Л _
|тЪ-аЕ-а (х,т,4)д (£4
±
|т1-аЕ2-а(х,т,4)/(^
2Л
2-а Яп
Выполняя подстановку 4 = х ± тг и переходя к пределу, получим
Нш
т^0
т) Ит(х,т) +1-РИ(х,т)
+ Нш
т^0
Нш
1 - р
(1 - Ъ)-Л
I тЪ+1(|Г |2 ±1р±"д(х + т)4
-а Яп
2 Л.
2-а Яп
| (| г |2 ±1)а-п-1 /(х ±т)4
1 - р
/(х) = (р( х)
Следовательно, получим решение задачи (15)-(16) в виде
2
И ( х,т) =
(1 - р)л
2-а Яп
| т1-аЕ2-а (х^Ш^,
или
И(х,У) = 51 ЪГ I У1-РЕ2-а(х,
(1 - р)Л J
2-а Яп
1-п-а
Я
По известной правой части, теперь можно найти решение уравнения (13), удовлетворяющее условиям (14) в виде
1 о Г 2 2 s(x,у) =--rl (y -r)2 rT(m0)dr +
v (n-OWFh"-1 J 0/
j_
(" - 2)! Oy 0
1 O"-2 y
"-1 y
- "-3
^ i (у 2 - r2)¥ Tr № + (19>
(" - 2)! dy о
+ -
i д"-2 У £
1 O С - - С . -- о. it3
(" - 2)! Oy
n-2 id£|(£2 -rrTr[H(x,y-£)]dr.
о 0
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 2. Если ф0(л), ^(х), (х), (х) достаточно гладкие в Я" функции, то задача
(9)-(10) однозначно разрешима и её решение представимо через решение задачи (11)-(12) в виде (19). 3°. Рассмотрим еще одно вырождающееся уравнение 4-го порядка составного типа
( » о2 о2 q о Y^ о2 о2 ^
у" z
2
v = 0. (20)
V «■=1 дх Оу у ду ! дх ду
Здесь у(х, у) - искомая функция, 0 < q < 1 - вещественное число.
В полупространстве Я"1 будем рассматривать следующую задачу Коши с видоизменёнными начальными данными.
Задача Р3. Найти в полупространстве Я"+1 решение у(х, у) уравнения (20), удовлетворяющее условиям
V I y=о = Т0 (x), lim yqvy ly=0 = Т1 (x),
У^0 (21)
vyy 1 у=0 = x), lim У%у 1 y=0 = *3( x),
где т0(x), (x), r2(x), r3(x) - заданные достаточно гладкие и ограниченные функции. Преобразуем уравнение (20) к системе уравнений
^ о2v о2v ч
Z^T + = W (x, У ), 1=1 дxl оу
" о2W о2W q оЖ Л
yq Z-2---2---- = 0.
i=1 оК2 оу У оу
Тогда задача P3 распадается на следующие задачи:
Z» о2w о2w q ож
- q — = 0, (22) 2=1 дxl оу у оу
W Iy=0 =г4(x), limyqWy = r5(x), (23)
где
а т
а т
= ±т2, т5 =
^ -х;
г -х/
А -2 V -2 V „ .
г=1 -хг -у
V | у=0 =т0 ■
С помощью подстановки
" = (1 - с)у1
д 1 с = —-—< —
. д±2 з.
уравнение (22) приводится к гиперболическому уравнению ЭПД
А -Ж _0
г=1 -х2 -V2 V -V где а = 3с < 1, а условия (23) - к условиям
V
Ж V =т4(х), 1т(--)аЖу=т5(х).
1 - с
(24)
(25)
(26)
(27)
Следовательно, для уравнения ЭПД (26) будем решать задачу Коши с видоизменёнными начальными данными (27).
Общее решение уравнения (26) представляется в виде (см.[4])
Ж(х,") = Та) ±"^(/2),
где
Т(/) = т 1 , А =1 (1-1412)-
(28)
Аа1г (1-|4| 2)
/ (х), /(х) - произвольные непрерывные функции.
Удовлетворяя начальные условия (27), получим
|<Л=1
Ж(х,") | ^ = /(х) = т4(х),
= 7^ /2 (х) = т5( х),
1 - с (1 - с)а
Следовательно, решение задачи (26)-(27) даётся формулой
т
4
и
Ж(х,") = Та(т) ± (1 с)а"1аТ2-а(т5) 1 - а
или
Ж(х, у) = Таа) ± (1 - ду-^-аа (29)
Решение задачи (24)-(25) аналогично случаю задачи (5)-(6) можно представить в виде
v(Mо0 = -—-± \ С(Ы,М0)Ж(мум■ (30)
2 Я- (х( )2 «++1
г=0
Имеет место следующий результат.
Теорема 3. Если т0(х),т(х),т2(х), т3(х) достаточно гладкие в Яп функции, то задача Р3
однозначно разрешима и её решение представимо через решение задачи (22)-(23) в виде (30).
В заключение выражаем глубокую благодарность нашему научному руководителю, профессору Д.Х.Сафарову за постановку задачи и внимание к работе.
Поступило 07.01.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.
2. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
3. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. -М.: Наука, 1964, 367 с.
4. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. - Душанбе: Изд-во ТГУ им. В.И.Ленина, 1980, часть 1-3, 170 с.
С.С.Мирзоев, М.Г.Файзиев
ГУЗОРИШИ МАСЪАЛА^ОИ КЛАССИКИ БАРОИ МУОДИЛА^ОИ ГАЙРИКЛАССИКИИ ТАРТИБИ ЧОРУМ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола характери хдлшавандагии масъалах,ои канории классикй барои муодилах,ои гайриклассикии тартиби чорум мавриди тадкик карор ёфтанд.
Калима^ои калиди: муодилаи намуди гайриклассикй (таркиби) - муодилаи Эйлер-Пуассон-Дарбу (ЭПД) - формулаи Пуассон - функсияи Грин - масъалаи дигаргункардашудаи Коши.
S.S.Mirzoev, M.G.Fayziev STATEMENT OF CLASSICAL PROBLEMS FOR THE NONCLASSICAL
EQUATION OF THE 4TH ORDER
Tajik National University In this work the classical boundary value problems for the nonclassical (composite) equation of the 4th order and investigate the nature of their solvability we considered.
Key words: the equations of nonclassical (composite) type - equation of Euler-Poisson-Darboux (EPD) -Poisson's formula - Green's function - Cauchy 's modified problem.
