CC BY
30
Section 5. Mechanics
Karimov Kamolxon Abbasovitch, Tashkent State Technical University named after Abu Raikhan Beruni, professor, Department Mechanisms and elements of machines E-mail: kamolxon.karimov@gmail.com Akhmedov Azamat Xaitovitch, Tashkent State Technical University named after Abu Raikhan Beruni,
senior research worker-investigator, Department Mechanisms and elements of machines Habibullaeva Hudzhasta Nadzhibullaevna, Tashkent State Technical University named after Abu Raikhan Beruni, the assistant to the professor Department of «Mathematics and mechanics»
Statement and the analytical decision of the problem about free fluctuations of constructions of the bearing two concentrated weights
Abstract: The summary: In article statement of a problem is proved and the analytical decision of free cross-section fluctuations of constructions of the bearing two concentrated weights is resulted. For considered mechanical system the differential equations of movement in private derivatives are worked out. Boundary conditions are defined and by means of integrated transformation of Laplas-Karson required functional dependences and roots of the frequency equation are defined, and also the common decision of free fluctuations is received.
Keywords: a core, free fluctuations, a construction, the elasticity, the concentrated weights, delta-function, integrated transformation of Laplas-Karson, the differential equation in private derivatives, boundary conditions.
Каримов Камолхон Аббасович, Ташкентский государственный технический университет
имени Абу Райхана Беруни, профессор кафедры "Механизмы и детали машин" E-mail: kamolxon.karimov@gmail.com Ахмедов Азамат Хаитович, Ташкентский государственный технический университет имени Абу Райхана Беруни, старший научный сотрудник-исследователь
кафедры "Механизмы и детали машин" Хабибуллаева Худжаста Наджибуллаевна, Ташкентский государственный технический университет
имени Абу Райхана Беруни, доцент кафедры «Математика и механика».
Постановка и аналитическое решение задачи о свободных колебаниях сооружений несущих две сосредоточенные массы
Аннотация: В статье обосновывается постановка задачи и приводится аналитическое решение свободных поперечных колебаний сооружений несущих двух сосредоточенных масс. Для рассматриваемой механической системы составлены дифференциальные уравнения движения в частных производных. Определены граничные условия и с помощью интегрального преобразования Лапласа-Карсона определены искомые функциональные зависимости и корни частотного уравнения, а также получено общее решение свободных колебаний.
Бес^оп 5. МесИапюв
Ключевые слова: стержень, свободные колебания, сооружение, упругость, сосредоточенные массы, дельта-функция, интегральное преобразование Лапласа-Карсона, дифференциальное уравнение в частных производных, граничные условия.
Е10 = f (х ^).
д2и д2и д2и
/(х) = -т—-М,— 8(х-11)-М2— 8(х -12), дt дt дt
Рассматриваемая теоретическая задача имеет прикладной характер. В предприятиях нефтяной промышленности и по переработке химических жидкостей широко используются сложные резервуарные технические системы. Представляет интерес проведения теоретических исследований по изучению свободных колебаний высотных сооружений с резервуарами, заполненными жидкостью.
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях сооружений в виде эластического стержня, несущего две сосредоточенные массы с постоянной поперечным отрезком. Известно, что дифференциальное уравнение этой механической системы имеет следующий вид:
(1)
Для рассматриваемого случая это уравнение преобразуется к виду
22
(2)
где М1 и М2 — соответственно массы первого и второго груза.
С учетом выражения (2) уравнение (1) примет вид:
Э4м д2и Л/Гд2и д2и / ч
Е1 дХ4 + тди = -М> д^ - ^ - М2 д^ - ^ (3)
Решение уравнения (3) будем искать в виде
и(х^) = ф(х)cosat. (4)
Граничные условия для уравнения (3) примем в следующем виде:
х = 0, и(0^) = и '(0^) = 0;
д2и д3и д2и /
х = I, -Ы2^~ = Е1—г = 0. (5)
2 дt2 дх3 дх2 Подставляя выражение (4) в уравнение (3) получим
Ф"(х) -ф(х) = Ма2ф(11)3(х -¡1) + Ма>2ф(12)3(х -12) .(6)
ы ы ы
Для удобства последующих преобразований введем следующие обозначения:
4 та2 М, г Ы2 2
k =-, О, =—1 а , О2 =—2 а ,
Е1 1 Е1 2 Е1 В итоге получим
ф№ (х) - кАф(х) = О.ф«!)8(х - и + 0,2ф(12)8(х - \2). (7) Граничные условия для ф(х) примем в следующем виде:
х = 0, ф(0) = ф (0) = 0;
С учетом этого задача сводится к решению уравнения (7) при граничных условиях (8). В связи с тем, что в дифференциальном уравнении (7) участвует дельта-функция произведем интегральное преобразование Лапласа-Карсона ^ р^е 0 ^
Ф(р) —^ ф(х), Ф(р) = р ]ф(х )е-pxdx, 0
Р(р) ^ /(х) = Q1ф(I1 )8(х - I,) + Q2ф(I2)8(х -12). ' (х )е - pxdx = -рфш (0) - р2фп (0) - р ъф' (0) - р ф(0) + р Ф(р).
2. к4р^ф(х)е-pxd = кАФ(р).
0
3. р|/(х)в-рЧх = рта^в-л + 0.2ф(12)е-рЧ 0
При учете условий (8) определим Ф(р):
Ф(Р) = -7^77\ФШ (°) + РФ" (°) + )е-Л + 0-гФ(к -Рк ]. р - к
Если вернуться обратно от полученных функций отображения к первоначальной получим следующее выражение для искомой функции:
(кх )фш (0) + ки (кх)ф" (0) + "
+Оф(1^(к(х - ¡!))в(х - и + , (9)
_+Q2Ф(l2)V(к(х -12))в(х -12) _ здесь и (х), V (х) - функции Крылова.
Определяя из выражения (9) ф(11), ф(12) и введя обозначения,
А = QгQ2V(Щ - 12))ирк12) + к3СЬЩк\)
В =
Ф(р)-
•Ф(х) = кз
с =
D =
к8 + к 2(к(12 - к)) '
^^ (Щ - Ь))и (Ю + к }02и (к12)
к8 + к 2(Щ - к)) '
(Щ -¡2ш(Ю + k ^щц)
k9 + k 2(Щ2 -к)) '
(к(12 - ¡^(к!1) + к ди (к12)
к^ + к^^2(Щ2 - ¡¡)) получим следующее выражение искомой функции (9):
х = I, -М2а2ф(1) = Е1фш(I), ф11 (I) = 0.
(8)
((к1) + Ак 2Т (к(1 - {)) + Вк 2Т (к(1 - 12)))ф" (0) + ^1Т (к1) + Ск 2Т (к(1 -1) + Dк 2Т (к(1 -12 (0) (кV (к1) + Ак 2S(k(l -1) + Вк к(1 - ¡2)))ф"(0) + ((к1) + Ск к(1 -1) + Dk к(1 - ¡2)))ф'"(0)
ф(х) = и (кх) + ЛУ (к(х -1)6 (х -1,) + BV (к(х - 12))6(х -12) у (0) + + ^1V (кх) + СУ (к(х - 11))6(х -11) + DV (к(х - 12))6(х -12) ф (0).
(10)
Для однозначного определения постоянных интегрирования ф" (0), фш (0) используя последние две граничные условия (5) в итоге получим следующую систему уравнений:
(11)
Для того, чтобы система уравнений имело единственное решение необходимымявляетюя равен ство нулю детерминант, составленный из коэффициентов перед неизвестными величин ам и. Вэто м с^наа е п олу-чится сложное трансцендентное частотное уравнение относительно к. В стомслучае изкорней уравнесия к (I = 1..и) однозначно определяются частоты
ma EI
. Из вы-
щ (I = 1..п), которые соответствуют к4
ражения Тг = — (г = 1..и) определяются периоды колешу
баний для соответствующих частот.
Для различных характерных случаев высоты и веса сосредоточенных масс первые семь корни частотного уравнения будут иметь вид:
1 случай. I = 40 м, 11 = 30 м, 12 = 20м, М1 = 2 т, М2 = 1 т.
V = 0.0468, У2 = 0.1963, У3 = 0.2748!, У4 = 0.35314, У5 = 0.4319,, = У6 = 0.5104, У7 = 0.6675.
2 случай. I = 50 м, 11 = 25 м, 12 = 50м, М1 = 4 т, М2 = 2 т.
VI = 0.0374, У2 = 0.1570, У3 = 0.2826, У4 = 0.3435, У5 = 0.4082, = У6 = 0.5340, У7 = 0.6597.
3 случай. I = 100 м, 11 = 20 м, 12 = 70м, М1 = 1.1 т, М = 3 т.
у = е.еве9, Уе = е.1б1а, уа = е.2а5е, уб = е.а5ав, у5 = е.вв82, =
Уе с о^бо, У7 с 0.6597.
4 случай. I с 100 м, 11 с 2Э м, 12 с 5Эм, М1 = 1.1 ш,
М2 с 3 ш.
У с ь.ьобк, Уи с т. 1013, Ус с Ь.И357, Уо с Ь.СИка, У5 с ь.0555, с У6 с т.5770, к7 с Т.6500.
Представляется необходимым отметить, что следующие корни частотного уравнения могут быть однозначно определены с высокой точностью с помощью численных методов. Определяя частные решения соответствующие каждой частоте, используя метод суперпозиции, при учете выражения (4), можно получить общее решение свободных поперечных колебаний сооружений несущих двух сосредоточенных масс:
и(х ^) = ^ф (х )сова>^. (12)
1=1
На основании полученных корней можно сделать выводо том, что если относительно тяжелая масса устанавливается на одинаковом расстоянии, тогда не имеет большого значения, на каком расстоянии устанавливается вторая масса.
