CC BY
48
24. Серазутдинов М. Н. Приближенный метод решения задачи о воздействии подвижных нагрузок на пластину. Труды семинара по теории оболочек. - Казань, 8.VII, 1976, - С. 112 - 120.
25. Якушев Н. З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок. Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань, в. 8. 1972, - С. 3 - 21.
26. Ataman Magdalena. Колебания шарнирно закрепленной балки под действием сосредоточенной подвижной массы. 10 Российско-польский семинар «Теоретические основы строительства», Москва-Иваново: Сб. работ. Warszawa: Wyd. Politechn. Warszaw. 2001, - С. 47 - 56.
27. Cheng Yuan-sheng, Cheung Y. K., K Au F. T. Определение динамической реакции пластин при движении транспорта методом конечных полос. Appl. Math. and Mech. Engl. Ed. 2002. 23, №5, -P. 507 - 513.
28. Grzyb Andrzej. Теоретические основы расчета нелинейной динамической системы рельсового транспорта. Dynamica pojazdow szynowych i optymalizacja ich podukladow. Krakow, 1996, - C. 47 - 60.
29. Guo Xiangrong, Zeng Qingyuan. Аналитическая модель колебательной системы в виде высокоскоростной комбинации балочного моста и движущегося поезда. J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. 2000. 28, №3, - C. 60 - 62.
30. Housner G. W. Bending Vibrations of a Pipe Line Containing Flowing Fluid. Journal of Applied Mechanics. Trans ASME, vol. 19 №2, 1952, - P. 205 - 209.
31. Ichikawa Masami, Matsuta Akira, Miyakawa Toshio. Simple analysis of a multi-span beam under moving loads with variable velocity. Trans. Jap. Soc. Aeronaut. and Space Sci. 1999. 41, №134, - P. 168 - 173.
32. Kononov A. V., Dieterman H. A. A uniformly moving constant load along a Winkler supported strip. Eur. J. Mech. A. 1999. 18, №4, - P. 731 - 743.
33. Mazur-Sniady Krystyna, Sniady Pawel. Dynamic response of a micro-periodic beam under moving load - deterministic and stochastic approach. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland). 2001. 39, №2, - P. 323 - 338.
34. Sheng Guo-gang, Zhao Bing. Динамические характеристики упругой балки под движущимися колебательными нагрузками. J. Changsha Commun. Univ. 2002. 18, №2, - C. 17 - 22.
35. Stending H. Die Schwingung von Trager bei bewegten Lasten. Jng. Acch. 1934, - P. 275 - 305.
36. Sun Lu. Closed-form representation of beam response to moving line loads. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2001. 68, №2, - P. 348 - 350.
37. Szczesniak Waclaw, Zbiciak Artur. Колебания упругой шарнирно закрепленной балки с одной степенью свободы под инерционной равномерно распределенной подвижной нагрузкой. 10 Российско-польский семинар «Теоретические основы строительства», Москва-Иваново: Сб. работ. Warszawa: Wyd. Politechn. Warszaw. 2001, - C. 173 - 200.
38. Szczesniak Waclaw. Wybrane zagadnienia z dynamiki plyt. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa. 2000, - 295 с.
УДК 539.3:624.07
ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО ПЛАСТИНЕ С ЗАЩИТНЫМ СЛОЕМ ИЗ МАЛОСВЯЗНОГО
МАТЕРИАЛА
В. Б. Запорожец, к. т. н., доц., Е. В. Запорожец, к. т. н., С. Н. Горлач, к. т. н., доц.
Ключевые слова: поперечный удар, пластина, защитный слой.
Введение. Данную статью следует рассматривать как продолжение наших работ [4 - 6 и др.], посвященных расчету и изучению разнообразных изгибающих воздействий движущихся грузов на различные пластины.
В местах возможного падения груза на сооружение обычно создают защитный слой, который предотвращает повреждение основных несущих элементов. Зачастую этот слой состоит из уплотненного песка или из кирпичей, уложенных без перевязки и раствора. В этих случаях материал слоя является малосвязным, что позволяет существенно упростить расчет.
Анализ публикаций. Во многих случаях динамическое и статическое поведение металлических листовых элементов рабочих площадок, однослойных железобетонных стеновых панелей, плит перекрытия и покрытия описывается в рамках классической теории изгиба тонких жестких пластин [1; 2; 7; 8 и др.]. По этой причине эта теория и используется в данной работе.
При проектировании, как правило, используют приближенную теорию удара [1; 2; 7 и др.], основанную на едином коэффициенте динамичности, которая не учитывает возможность нарушения контакта между грузом и ударяемой конструкцией, не дает возможность проследить развитие процесса удара во времени, весьма приближенно отражает напряженно-деформированное состояние ударяемой конструкции (особенно напряженное) и т. д.
Целью работы является следующее: 1) сформулировать контактную задачу для случая взаимодействия жесткого груза с тонким слоем из малосвязного материала, что позволит проследить развитие процесса удара во времени; 2) на примерах расчетов поперечных ударов по конкретной железобетонной плите перекрытия проследить влияние на некоторые компоненты ее напряженно-
деформированного состояния таких факторов как изменения толщины защитного слоя из уплотненного песка и координат места удара.
Постановка и решение задачи. Рассматривается поперечный изгибающий удар груза по прямоугольной пластине, шарнирно или свободно опертой на жесткий контур. Такую схему опирания обычно стремятся реализовать при проектировании элементов конструкций, испытывающих большие динамические воздействия [1; 2; 7]. Пластина может иметь защитный слой из малосвязного материала, равномерно распределенный по всей ее верхней поверхности.
Уравнения движения элементов системы, построение численного решения задачи и рекуррентные соотношения, позволяющие описать во времени поведение взаимодействующих тел, подробно изложены в работах [4; 5] и используются в данной работе. Поэтому здесь приведено только краткое описание постановки задачи и ее решения.
Поведение элементов системы изучается в неподвижной прямоугольной системе координат xyz, связанной с двумя смежными боковыми гранями пластины, причем плоскость x0y совпадает со срединной плоскостью пластины. Вдоль осей x и y пластина имеет соответствующие размеры a и e . Время t отсчитывается с момента первого геометрического контакта груза с поверхностью защитного слоя или пластины, если упомянутый слой отсутствует. При поперечном ударе центр тяжести груза в плоскости x0y всегда имеет координаты xi и yi.
Для описания деформированного состояния системы в произвольный момент времени достаточно знать перемещения груза b = b(t) по оси z и динамические прогибы пластины w(x, y, t). При наличии контакта груза с поверхностью защитного слоя или пластины их сближение описывается следующим выражением:
8 = b-(wi + Hs), (1)
где 8 = 8(0 = кГ" ;
Г = Г (/) - контактная сила (равнодействующая распределенного давления на площадке контакта, направленная по оси 2);
= м>(х1, у1, /) - динамический прогиб пластины под грузом; Н в - толщина защитного слоя, если он имеется.
Вид выражений для определения к и " существенно зависит от начальной формы взаимодействующих тел, материалов, из которых изготовлены тела, и используемого решения контактной задачи. Так, если контактирующая часть одного тела имеет сферическую форму, а контактирующая часть другого тела ограничена плоскостью, то, согласно решению Г. Герца [9],
" = 2/3 и к = 0,8255(^!2/Я)1/3, (2)
где цх= (1 2)/К8 + (1-^2)/Еь;
, Е£ и уь , Еь - соответственно коэффициенты Пуассона и модули упругости материалов взаимодействующих тел (в данной работе V, Е£ - для груза и уь, Еь - для пластины, если она не
имеет защитного слоя);
Я - радиус сферической контактирующей части одного из тел (в нашем случае - груза). В других случаях значения к и " определяются экспериментально или на основе иных решений контактной задачи. Так, если груз контактирует плоской поверхностью с тонким слоем из малосвязного материала, который имеет также плоскую поверхность, то к определению местных деформаций в зоне контакта становится применим метод коэффициента постели [3]. В этом случае коэффициент постели (К) может быть определен по следующей формуле из [3]:
K = 0,5
E,
Es (1 -v)
Hs (1 -V) Hs (1 + v, )(1 - 2vs)
(3)
тогда в выражении (1)
П = 1 и к = 1/(К ■ А), (4)
где А - площадь плоской поверхности груза, контактирующей с плоской поверхностью защитного слоя;
- соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала слоя. Выражение (1) является уравнением связи перемещений груза и пластины по оси г и оно действительно только при наличии контакта. Если 8 (г) < 0, то при односторонней связи между
взаимодействующими телами, которая в рассматриваемом случае имеет место, следует полагать Е (г) = 0 и рассматривать раздельное движение элементов системы, так как силовой контакт нарушен.
Для решения задачи использован метод поэтапного интегрирования на малых и последовательных интервалах времени. На произвольном (т +1)-м этапе решения задачи время т изменяется в пределах от 0 до С . Если гт является временем начала этапа, то время на этапе г = гт + т , а для конца этапа гт+1 = гт +С. Динамические прогибы w = w(х,у,т) и погонные изгибающие моменты Мх = Мх (х,у, т), Му = Му (х,у, т), как и в [4 - 6 и др.], представлены в виде разложений в двойные ряды Фурье по собственным функциям. Для (т +1 )-го этапа
w
= ZZTijXiYj , Mx = DH(a2 + e))Tl]XlY] и My = DXX(e) + v, a2)Tl]XlY];
(5)
i=i j=i
i=i j=i
i=i j=i
зо o
зо o
o o
где i =i, 2, 3,...; j =i, 2, 3,...; D = E, hh /[i2(i -v¡)]; h - толщина пластины;
Xi = Xi (x) = sin ai x; Yj = Yj (y) = sin e^y;
a¡ = in/a; ej = jn/e ;
T
Tj = Ti] (T) = NijmS*j + Tijm Cij + Au J Fi] (T)slní; (T-Ti)dTi ;
0
*
Aj = 4/(m aea j-);
T„m = Tij (0) ; Ni,m = Tijm ,t (0)/íi, ;
Sjj = sin (DjjT; Cjj = cosíOjjT;
Е Т) = Е(т1) X, (х1)1] (у1);
Е (т\) = Е (г);
*
т = ръ ■ Н + ■ - суммарная масса пластины и защитного слоя, если он имеется, приходящаяся
на единицу поверхности срединного слоя пластины;
ръ - плотность материала, из которого изготовлена пластина:
р3 - плотность материала защитного слоя;
®у = ^Б(а,2 + е2 )2 /т * - -я частота свободных колебаний пластины.
Здесь и далее подстрочный индекс т, стоящий после запятой, соответствует дифференцированию по времени.
На этом же (т +1 )-м этапе перемещение груза по оси 2 описывалось выражением
£Т2 1 т
Ь(Т) = Ьт + тЬт,т +^ - |Г(Т)(Т - Т^Т
-'тТ 0 , ,*
2 М "о
где £ - ускорение свободного падения;
*
М - масса ударяющего груза;
Ьт = Ь(0) ; Ьт ,т = ь,т (0).
Примеры численной реализации. Горизонтальная железобетонная плита, такая же, как и в работе [6], имеет расчетные размеры в плане а = е = 5 м и толщину И = 0,3 м. Полагается, что при ее изготовлении использован тяжелый бетон естественного твердения класса В20 с коэффициентом Пуассона Уь = 0,2 и начальным модулем упругости Еь = 27 ГПа [10], который и используется в качестве модуля упругости в выражениях (2, 5). К сожалению, в тексте наших работ [5; 6] в значениях Еь
3 з
пропущен множитель 10 . Плотность железобетона рь = 2,4 т/м [10]. Защитный слой из уплотненного
песка имеет плотность = 1,8 т/м3 и = 130 МПа, у = 0,3.
Стальной груз (М * = 500 кг, Уё = 0,3 и Ег = 200 ГПа) транспортируется вдоль середины плиты (х1 =
0 т 5 м, а у1 = 0,5 е = 2,5 м) и в аварийной ситуации может упасть на плиту. В момент первого
геометрического контакта груза с поверхностью плиты или защитного слоя (при t = 0) он имеет
начальное перемещение Ь0 = 0 и начальную скорость соударения Ь,{ = Ь0,Т = ^2£Н, которая
соответствует его падению с высоты Н = 6 м (расстояние от нижней поверхности груза до верхней поверхности защитного слоя, если он имеется, или до поверхности плиты без этого слоя).
Форма груза может быть произвольной, но наиболее часто в начальный момент времени часть груза, контактирующая с плитой или с защитным слоем из уплотненного песка, имеет почти плоскую квадратную или круговую поверхность площади А = 0,25 м2. Аналитическое решение контактной задачи для такого случая отсутствует. В инструкции [7] отмечено, что при отсутствии данных о форме ударной части ударяющего тела ее следует считать сферической. В работе [5] показано, что с увеличением радиуса сферической части груза, контактирующей с плитой, возрастают наибольшие контактные силы, прогибы и изгибающие моменты. Поэтому для случая поперечного удара груза по плите без защитного слоя, ударная часть груза принималась сферической с большим радиусом (Я =100 м) и сближение груза с плитой описывалось в рамках решения контактной задачи Г. Герца (2). В случае же удара по защитному слою из уплотненного песка сближение груза с плитой описывалось в рамках метода коэффициента постели (3, 4).
Расчеты выполнены при постоянных длинах этапов решения задачи ^ = Тх /400, где Тх - период основной формы колебаний плиты без учета массы защитного слоя (= 0, = 0). Расчет прекращался при t = 0,6 Тх, так как за это время все рассматриваемые величины достигали своих наибольших значений. При определении прогибов и изгибающих моментов в выражениях (5) удерживались члены рядов с 7 = 1, 2,..., 30 и ] = 1, 3,..., 29.
Некоторые результаты расчетов поперечного удара по плите для различных координат места поперечного удара (х^ = 0,25 т 2,5 м, а л = 0,5 е = 2,5 м) и толщин защитного слоя (= 0,1 т 0,5 м) приведены на рисунках 1, 2 и в таблице 1. В них отражены следующие величины: наибольшие контактные силы (Г); наибольшие положительные динамические прогибы в трех точках при центральном ударе (х1 = 2,5 м), а в остальных случаях в четырех точках срединной плоскости,
расположенных вдоль середины плиты [под грузом = х1; 0,5 е), в центре плиты 5 = ж(0,5а; 0,5е),
а также в двух точках н0 25 = н(0,25а; 0,5е) и н0,75 = н(0,75а; 0,5е)]; наибольшие динамические
изгибающие моменты в плите в месте удара (Мх, Му). На рисунке 1 приведена также
продолжительность первого соударения (t).
На рисунке 1 в виде графиков приведены результаты расчетов поперечного удара в центр плиты (х1 = у1 = 2,5 м) для пяти толщин защитного слоя (= 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и 0,5 м).
На рисунке 2 в виде графиков представлены результаты расчетов плиты с защитным слоем из уплотненного песка (= 0,3 м) при различных координатах места поперечного удара (Х1= 0,25, 0,5, 0,75, ., 2,5 м).
В таблице 1 приведены результаты расчетов поперечного удара в центр плиты (х^ = у^ = 2,5 м) для следующих двух случаев: когда имеется защитный (Н а = 0,3 м) и когда этот слой отсутствует (Н5 = 0).
кН
5000 3000 1000
0,1
0,2
0,3
0,4 0,5
Н5 , м
" =" 0,5 , мм
12,5 10 7,5 5
Мх=Му , кН-м/м 1100
900
700
500
0,1
/•10 3, с
10
0,2 0,3 0,4 0,5
Н5, м
0,1
0,2 0,3
0,4
0,5
Н5, м
0,2 0,3
Н5, м
Рис. 1. Наибольшие контактные силы (а), наибольшие положительные динамические прогибы (б) и изгибающие моменты (в) в месте удара, а также продолжительность первого соударения (г) при поперечном ударе груза в центр плиты с защитным слоем различной толщины
^ кН 2700 • 2600 • 2500 • мм 8 6 4 2 0
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 х1,м
_____ 1-=5"^
г-- Г-1 ;----
1
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 хьм - " 1 —■— " 0.75 --" 0.5 —*— " 0.25
М,
800
700
600
500
У
/ „ — - --- --- . _ _ .
/ / / ✓
/ Г
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 х,,м —— Мх --Му
Рис. 2. Наибольшие контактные силы (а), наибольшие положительные динамические прогибы четырех точек срединной плоскости плиты (б) и наибольшие изгибающие моменты в плите в месте удара (в) при различных координатах места поперечного удара по плите с защитным слоем
б
а
г
в
5
0
0,1
0,4
0,5
а
б
в
Таблица 1
Поперечный центральный удар
Hs, м F, кН W1 = W0 5, мм W0 25 = W0 75 , мм Mx =My, кН-м/м
0 12843 10,04 4,227 2296
0,3 2592,4 8,349 4,980 740,1
Обсуждение и анализ полученных результатов. На основании представленных в таблице 1 и на рисунках 1, 2 данных для рассмотренных поперечных ударов можно отметить следующее:
1. Из данных, приведенных в таблице 1 для случая центрального удара по плите с защитным слоем из уплотненного песка и без него, видно, что после создания защитного слоя существенно уменьшились наибольшая сила взаимодействия (в 4,95 раза), наибольшие прогибы плиты под грузом м^ = Wo,5 (в 1,20 раза) и изгибающие моменты в месте удара (в 3,10 раза), в то же время, наибольшие прогибы w025 = w075 несколько увеличились (в 1,18 раза), но эти прогибы значительно меньше упомянутых
прогибов w1 = w0,5.
2. Для рассмотренных случаев центрального удара по плите с защитным слоем различной толщины из рисунка 1 видно, что по мере увеличения толщины защитного слоя наибольшие контактные силы, наибольшие динамические прогибы и изгибающие моменты в месте удара убывают, а продолжительность первого соударения возрастает. Полученные результаты не противоречат общим положениям теории удара, так как по мере увеличения толщины защитного слоя увеличивается суммарная масса ударяемой конструкции и увеличивается ее податливость в месте удара (согласно выражениям (3, 4) уменьшается величина коэффициента постели K и увеличивается коэффициент к в уравнении связи перемещений груза и плиты (1)).
3. При удалении места удара от контура плиты к ее центру из рисунка 2 видно следующее:
• наибольшие контактные силы (F) вначале убывают (до x1и 1,0 м), затем несколько увеличиваются и далее (при x1 > 1,25 м) практически мало отличаются друг от друга;
• величины наибольших динамических прогибов различных точек срединной плоскости плиты изменяются по несхожим законам: w1, w0 5 и w0 25 все время возрастают, а w0 75 вначале возрастают (до x1 и 1.5 м), а затем убывают;
• в зависимости от значения x1 абсолютно наибольшими могут быть прогибы м0,5 или м0,75 ;
• наибольшие изгибающие моменты Mx и My могут существенно отличаться по величине,
причем наблюдаются случаи, когда Mx > My и Mx < My ; Mx достигает абсолютного максимума при
x1 и 0,75 м, а M - при x1 и 1,25 м.
Вывод. Приведенные результаты расчетов свидетельствуют об эффективности используемого аппарата для решения задачи об ударе груза по пластине с защитным слоем из малосвязного материала.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. ДБН В 2.2.5 - 97. Будинки i споруди. Захисш споруди цившьно! оборони // - К. : Укрархбудшформ, 1998. - 81 с.
2. Барштейн М. Ф. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика / М. Ф. Барштейн, Н. М. Бородачев, Л. Х. Блюмина и др. / Под ред. Б. Г. Коренева и И. М. Рабиновича // - М. : Стройиздат, 1981. - 215 с.
3. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова, В. И. Соломин // - М. : Стройиздат, 1984. - 679 с.
4. Запорожец В. Б. О расчете изгибающего воздействия движущихся грузов на пластины / В. Б. Запорожец // Theoretical Foundations in Civil Engineering. - Dnepropetrovsk : PSACEA. - 1996. - Vol. 1, -part 2, - № 4. - Р. 214-219.
5. Запорожец В. Изгибающее воздействие движущихся грузов на железобетонные плиты / В. Запорожец, Е. Запорожец, С. Горлач // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - Warsaw : WP. - 2007. - № 15. -Р. 713-720.
6. Запорожец В. Изгибающий поперечный удар груза по железобетонной плите перекрытия / В. Запорожец, Е. Запорожец, С. Горлач // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - Warsaw : WP. - 2008. - № 16. - Р. 531-536.
7. Сорокин Е. С. Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки / Е. С. Сорокин/ Под ред. Б. Г. Коренева / ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко // - М. : Стройиздат, 1966. - 134 с.
8. Голышев А. Б. Проектирование железобетонных конструкций: Справочное пособие / А. Б. Голышев, В. Я. Бачинский, В. П. Полищук и др. / Под ред. А. Б. Голышева // - К. : Буд1вельник, 1990. - 544 с.
9. Пономарев С. Д. Расчеты на прочность в машиностроении / Под ред. С. Д. Пономарева: В 3-х т. // -М. : Машгиз,1958. - Т. 2. - 975 с.
10. СНиП 2.03.01 - 84*. Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР // - М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1989. - 80 с.
УДК 624.04
ОПТИМАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ КОНСТРУКЦ1Й В УМОВАХ НЕЧ1ТКО ПОСТАВЛЕНИХ
Ц1ЛЕЙ ТА ОБМЕЖЕНЬ
В. О. Бараненко, д. т. н., проф., I. П. Дулща, здобувач
Ключовi слова: оптимгзацтна модель, нечiткi множини, критерИ, обмеження. Вступ. Р1зноманггш форми опису невизначено! шформацп про вихвдш даш будь-яко! техшчно! системи утворюють широке коло формулювань ошгашзацшних задач [2]. Серед них можна видшити тага типи: 1) задача з нечеткими описами параметр1в як в цшьовш функци, так 1 в обмеженнях; 2) задач! досягнення нечико поставлених цшей при нечиких обмеженнях. Деяк1 приклади задач першого типу в мехашщ конструкцш подано в працях [3; 8], а другого типу в ллератур! практично нема.
Мета ще! роботи полягае в адаптацп теори нечпких множин до деяких задач оптимального проектування конструкцш другого типу. Досягнення ще! мети може бути здшснене на основ! використання нечиких чисел, принцишв розширення, злиття та а - р1вшв у теори нечпких множин [1].
Основна частина. Нехай О е нечпкий критерш, а С - нечике обмеження, що являють собою нечита множини, яш визначеш в ушверсуму Х з ввдповвдними функц1ями належност!
МО (х) та МС (х); х е X е Я1.
Означення 1. Принцип злиття нечпких множин за Белманом - Заде [9] полягае у визначенш нечпко! пвдмножини Б е X як результат операцп л - перетину множин О та С, тобто Б = О п С !,
вщповвдно, МО = МО ЛМс .
Означення 2. Оптим1зацшною задачею досягнення нечпко поставлено! мети при нечеткому обмеженш називають таку задачу:
х/ор/ = ах%{БирмО (х)}; х е О с С е Я\ ;а е[0,1] ( 1 )
х
для а -р1вня. Розв'язання ошгашзацшно! задач! (1) грунтуеться на використанш принцишв злиття, узагальнення, а -р1вшв, а також ввдповщних чисельних метод1в одновим1рно! ошгашзацп.
На практищ можна опинитися в ситуаци, коли цш та обмеження - нечита пвдмножини 1 розмщеш в р1зних просторах результапв. Цей випадок бшьш щкавий. Наприклад, нехай маемо одну цшь 1 два обмеження: 1) нечита цшь О(х) задана як нечита множина в простор! X; 2) нечита обмеження як
множини Сх(у), С2(х), ввдповщно в просторах У та 2 з вщповщними функщями належност! Мс1, Мс2 . Припустимо, що !снуе перетворення у ^ х ! х ^ х, тобто х = /¡(у)! х = /2 (х).
Маючи неч!тку множину Сх в У, треба знайти таку нечпку множину С1 в X , функщя належност! яко! ввдповщае умов!
Мс1( х) = Мс1 (/ (у)). ( 2 )
Аналопчним чином, маючи нечпку множину С2 в 2 , знаходять таку нечпку множину С 2 в X , функщя належност! яко! вщповвдае умов!
Мс 2(х) = Мс2( /2(х)). ( 3 )
Множини С1, С 2 знаходяться шляхом використання а - р!вшв, вщповвдно у множинах С1, С2, принципу розширення (узагальнення) ! сп!вв!дношень (2), (3). На рисунку 1 як шюстращя подана граф!чна !нтерпретац!я обудопви множини С1.
