Поочередное преследование с тремя участниками (случай поточечной встречи) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.9:517.9

DOI: 10.15507/0236-2910.026.201601.020-031

ПООЧЕРЕДНОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ С ТРЕМЯ УЧАСТНИКАМИ (СЛУЧАИ ПОТОЧЕЧНОЙ ВСТРЕЧИ)

В. Д. Ширяев, Е. В. Анощенкова, Р. Р. Бикмурзина

ФГБОУ ВПО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (г. Саранск, Россия)

Вопросы поочередного преследования группы уклоняющихся игроков рассматривались в ряде работ. Так, в исследованиях [1-3] решение задачи было найдено в предположении о том, что очередность встреч выбирается в начальный момент времени (программно), а игроки движутся по прямым линиям. В работе [4] приведено решение поставленной задачи с использованием подхода Р. Айзекса, а в [5] рассмотрены возможности выбора очередности встреч как программно, так и позицион-но. В данной статье рассматривается простая дифференциальная игра на плоскости преследователя Р и коалиции двух убегаюшдх E = {E1, E2}. Движения всех игроков предполагаются безынерционными; преследователь Р превосходит по скорости каждого из убегающих; всем игрокам известны цели, физические возможности, а также точное местоположение друг друга в каждый момент игры. Платой коалиции E (преследователя Р) служит (минус) суммарное время, затраченное преследователем Р на поточечную встречу с E1 и E2 (под встречей подразумевается совпадение местоположений преследователя и преследуемого). Выбор порядка преследования в начальный момент предполагается заданным (программный выбор очередности встреч). В работе найдена граница зоны безопасности второго из убегающих игроков. При решении задачи использовался также геометрический подход. Полученная система уравнений решалась с помощью систем компьютерной алгебры, в частности «Wolfram Mathematical. Определив границу зоны безопасности второго из убегающих игроков, можно аналогичным рассмотренному методом исследовать игру между преследователем Р и тремя преследуемыми, действующими согласованно (при этом первый из преследуемых игроков исключается из игры).

Ключевые слова простое преследование, правило параллельного сближения, окружность Аполлония, зона безопасности, огибающая семейства, коалиция, стратегия

Для цитирования: Ширяев В. Д., Анощенкова Е. А., Бикмурзина Р. Р. Поочередное преследование с тремя участниками (случай поточечной встречи) // Вестник Мордовского университета. 2016. Т. 26, № 1. С. 20-31. doi: 10.15507/02362910.026.201601.020-031

ALTERNATE PURSUIT WITH THREE PARTICIPANTS (THE CASE OF POINTWISE MEETING)

V. D. Shiryayev, Ye. V. Anoshchenkova, R. R. Bikmurzina

Ogarev Mordovia State University (Saransk, Russia)

The issues connected with alternate pursuit of escapees group are considered in a number of papers. So in papers [1-3] the solution of the problem has been found in the assumption that the next meeting is selected at the initial time (by the program) and the players are moving straight. In paper [4] the solution of the task using the approach of R. Isaacs is given. In paper [5] the choice opportunities of the next meeting ( both software and positional) are considered. The article deals with a simple differential game on the pursuer plane P and the coalition of two escapees E={E1,E2} .The movement of all the players are assumed as inertialess. The pursuer speed P exceeds the speed of each of the escapees. The targets, physical abilities and the exact location of each other in any moment of the

© Ширяев В. Д., Анощенкова Е. В., Бикмурзина Р. Р., 2016

game are known to all players. The price of the coalition (the pursuer P) is (minus) the total time spent by the pursuer P on the pointwise meeting with E and E2 . A coincidence of pursuer and escapee location is meant under the meeting. The choice at the initial time of the persecution is supposed as given (software selectable regular meeting). The limit of the security zone of the second escapee has been found. A geometric approach is used in the problem solving. The resulting system of equations is solved numerically by means of computer algebra, in particular through the Wolfram Mathematics. After defining the boundary of the second escapee security zone one can study the game between the pursuer P and three escapees acting in concord (the first escapee is eliminated from the game).

Keywords: simple persecution, generally parallel convergence, circle of Apollonius, security zone, coalition, strategy

For citation: Shiryayev VD, Anoshchenkova YeV, Bikmurzina RR. Alternate pursuit with three participants (the case of pointwise meeting). Vestnik Mordovskogo universiteta = Mordovia University Bulletin. 2016; 1(26):20-31. doi: 10.15507/02362910.026.201601.020-031

Решению простейшей дифференциальной игры поочередного преследования коалиции двух убегающих игроков посвящены работы [1; 3-7]. В нашей статье исследуется игра на плоскости преследователя Р и двух убегающих - Е1 и Е Рассмотрим границу зоны безопасности второго из преследуемых игроков.

Отметим, что убегающие игроки действуют согласованно, т. е. составляют коалицию Е = {Е , Е2}. Выигрыш игрока Е определяется как время встречи P с последним из убегающих игроков, выигрыш P - как величина выигрыша Е с обратным знаком. Под встречей подразумевается совпадение местоположений игроков P и Е (здесь и далее: i = 1,2).

Предположим, что в каждый момент времени преследователь P имеет информацию о своем местоположении, а также местоположении и направлении скорости игрока Е Игрок Е, в свою очередь, имеет информацию о своем местоположении и местоположении игрока P.

Пусть u - линейная скорость игрока P, V. - линейная скорость убегающего Е и > V Будем полагать, что игроки движутся с максимальными скоростями и для простоты считать, что и = 1, v¡ < 1, v2 < 1. Решение игры строится в предположении, что преследователь Р в момент

времени ^ = 0 выбирает один из следующих способов поведения [1; 6; 8]:

1) использует правило параллельного сближения (^-стратегия), преследуя

сначала Е затем Е2;

2) использует правило параллельного сближения (^-стратегия), преследуя сначала Е2, затем Е1.

Среди данных предположений найдем наилучший ответ убегающей коалиции Е, который подразумевает максимизацию времени преследования.

Предположим, что в момент времени ^ = 0 игрок Р принимает решение преследовать сначала Ер а затем Е2.

Введем систему координат хОу, центр которой совпадает с начальным положением преследователя Р, а ось абсцисс ориентирована в направлении начального положения игрока Е Координаты точки Р - Р0 (0; 0), точки Е1 -

Е10 (Ь; 0), точки Е2 - Е20 (с; с[) (верхними индексами будем отмечать положения игроков в соответствующие моменты времени). Границей зоны безопасности игрока Е1 является окружность Аполлония (С) с радиусом г1 и центром в точке (а; 0) [7-8; 10]:

i - v2

-b;

1

i - v2

-b.

(1)

Обозначим точку встречи игроков Р и Е1: Р'1 (х1; у1). Координаты х1, у1 определяются соотношениями:

v

a =

ку круга с центром в точке E2 и следу-x = а + ri c°sa; = r smor. (2) ющим радиусом:

За время (момент встречи P и Е) игрок Е2 может попасть в любую точ-

=м=

У1

(3)

Р и с. 1. Построение границы зоны безопасности игрока E2 F i g. 1. Building a border security zone E2 player

y(a, ß) = ^ (x - a - r cosa)2 + (y - rl sin a)2 -x - c - r2 cos ß)2 + (y - d - r2 sin ß)2

Зафиксируем E в точке E22 (x2; y2) окружности (C2). Координаты x2 и y2 определяются по формулам:

x - c - r2 cos в)2 + (y - d - r2 sin в)2 x2 = c + r2cos в; y2 = d + r2sin в; V . (5)

x2 = c + r2co sfi, (4)

где 0 < в < 2п , в = const. Пусть точка E «пробегает» всю

Граница зоны безопасности игрока окружность (C2), т. е. 0 < р < 2л. Найдем

E. для начальных местоположений P', . . , , _

J, . М ф(а, В), т. е. огибающую семейства (5).

e2 - окружность Аполлония: „в^

г--;-"2 J(x - c - r2cos ß)2 +(y - d - r2sinß)2

>(a, ß) = yj(x - a - rjcosa) +(y - rjsma) ---

= 0,

дф(а,ß) (x -c - r2 cosß)r2 sinß -(y - d- r2 sinß)r2 cosß

dß

v^(x -c - r2cosß)2 +(y - d- r2sinß)2

= 0.

Для этого рассмотрим следующую систему [3; 9]:

Из второго уравнения системы (6) Таким образом, следует: y-d

sin в = ^

или

( - c - r2 cos ß ) r2 sin ß --(y - d- r2 sinß)r2 cosß = 0,

(x - c - r2 cos ß) r2 sin ß = = (y - d - r2 sin ß)r2 cosß.

cos ß =

<J(x - c )2 +(y - d )2

x — c

yj(x — c )2 +(y - d )2

. (7)

Подставив равенства (7) в первое уравнение системы (6) и преобразовав полученное выражение получим:

Л2 (

v(x - c )2+ (у - d )2

+ У - d - Г2

У - d

<J(x - c)2 +(y - d)2

V(x-c)2 +(-d)2 r, :

—--J(a + Tjcosa) +(rjSina)

или

ф(а) = - a - rjcosa)2 +(y - ^sina)2 -

-•^/(a + r1 cosa)2 + (r1 sina)2

( - c) 2 + (y - d )2

V2

= 0

2

2

v

2

2

p(a) = -\J(x - a )2 + y2 + rj2 - 2 (x - a )r¡ cosa - 2yr¡ sina

V(x - c)+(y - d ) f

--г--V'

--w a + r + 2ar¡cosa

= 0.

(8)

Таким образом, при

У(Х - с )2 +(у - d )2

а2 + г12 + 2аг cosа

_ // _ ^)2 + / _ ^)2

^ (а) = у!(х-о)^а^овОТ—^па] _ —-—-

= 0,

а при

Ус* - с )2+(у- d )2

а2 + г12 + 2аг1 cosа

_ I/ _ ^) 2 + / _ ^) 2

(а) = У(_о)^а^соТаТУ^па] + —-У-

-^а2ТГ2Т2аГ"со8~а = 0.

Пусть теперь точка Pt «пробега- т. е. огибающую семейства (8). Путем ет» всю окружность Аполлония (С}), преобразований, аналогичным рассмо-т. е. 0<«<2л . Найдем У 9(а), тренным выше, получим систему:

р(а) = ■>,(-О^^+у^ТГ^аУСо8^^-У81па] -

У(х с) +(у_с1)_ а 2 + г2 + 2аг^а = 0,

Ср(а) 1

(х - а)ша - у cosа

Са Г1 х - а)2 + у2 + - 2г1 [(х - а)cosа + у smа]

) (у ) - ^а^ТГЦ^ТгОГ^соТа

а ■ slgn

sinа

= 0.

Перепишем ее в следующем виде:

V* - |М| = 0,

((х - а - у соэа)-sign(M)sina = 0

(10)

2

2

2

2

где

R = (x - a)2 + y2 + r12 - 2r1 [(x - a)cosa + y sina] ; Q = 1 + v¡ + 2v1 cosa ;

M J(x - с )2 + (y - d )2 - .

Стремление избавиться от радикалов путем возведения в квадрат приводит к громоздкой системе уравнений четвертой степени, решение которой допустимо только численно с последующей непростой процедурой отсеивания сопутствующих корней, поэтому подобный метод в данном случае бесперспективен.

Задача может быть решена напрямую с помощью средств компьютерной алгебры (например, как в данной статье, системой «Wolfram Mathematica»). Стратегия коалиции E состоит в выборе того, под каким углом будет убегать игрок E Очевидно, что после этого выбора определяется точка и время встречи игроков P и E В этом

случае оптимальной стратегией игрока E2 является удаление от этой точки с максимальной скоростью по прямой линии.

Построение границ зон безопасности было проведено с использованием функции «Parametric Plot», нахождение оптимального угла - с помощью «Maximize».

На рис. 2-10 представлены границы зон безопасности игроков E1 и E На рис. 2 показаны направления движений игроков для обеспечения максимизации времени поимки E. На остальных рисунках направления движения игроков отличаются от оптимальных. Для примера были выбраны V, = 0,6; V2 = 0,4.

2

V 5 -

Лд

p0 ( Ef

í I

Р и с. 2. Расположение игрока E° вблизи окружности Аполлония (вне окружности) F i g. 2. The player E2° position near the circle of Apollonius (out of the circle)

Р и с. 3. Расположение игрока E0 вблизи окружности Аполлония (внутри окружности) F i g. 3. The player E0 position near the circle of Apollonius (inside the circle)

Р и с. 4. Расположение P0, E0 E0на одной прямой (E0 - вне окружности Аполлония) F i g. 4. P0, E0 E0are located on the same line, E0 is situated out of the circle of Apollonius

Р и с. 5. Расположение P0, E0, E02 на одной прямой (E0- внутри окружности Аполлония) F i g. 5. P0, E0 E0 are located on the same line, E0 is situated inside the circle of Apollonius

/ .....p° . tV)

\ F0 El ч/У

V_„

Р и с. 6. Начальные местоположения E0 = E0 F i g. 6. Initial location E0 = E0

Р и с. 7. Расположение P0, E"р E02 на одной прямой (E°2 - вблизи P0) F i g. 7. P0, E0, E"0 are located on the same line, E0is situated near P0

Р и с. 8. Расположение P0, E0 E0., на одной прямой (P0 - между E'jи E0) F i g. 8. P0, E"r E°0 are located on the same line, P0 is situated between El and E20

Р и с. 9. Расположение P0, E°r E02 на одной прямой (E02 - между E0и P0 внутри окружности Аполлония)

F i g. 9. P0, E0 E0are located on the same line, E20is situated between E0'and P0 1 2 inside the circle of Apoll2onius 1

Р и с. 10. Расположение P0, E0 E0 на одной прямой (E0 - между E0 и P0 за окружностью Аполлония)

F i g. 10. P0, E0, E0 are located on the same line, E0is situated between E0and P0 out of the circle of Apollonius

На рис. 2-3 точка Е0 расположена достаточно близко к границе зоны безопасности игрока Е°, поэтому часть границы зоны безопасности игрока Е0 близка к окружности. Причиной этого является то, что местоположение Е0 на границе зоны безопасности представляет собой точку разрыва, поскольку при выборе направления Е1 к Е2 направление движения игрока Е2 однозначно выбрать невозможно.

Определив границу зоны безопасности второго из убегающих игроков,

можно аналогично рассмотренному исследовать игру между преследователем P и тремя преследуемыми Е Е Е [2], действующими согласованно (фактически исключив из игры первого из преследуемых игроков). Кроме того, предложенный метод может быть использован при решении простейшей дифференциальной игры поочередного преследования коалиции двух убегающих игроков в случае Я-встречи (Я > 0) с первым игроком и поточечной встречи - со вторым.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Петросян Л. А., Ширяев В. Д. Групповое преследование одним преследователем нескольких преследуемых // Вестник ЛГУ (Сер. «Математика, механика и астрономия»). 1980. № 13. С. 50-57.

2. Ширяев В. Д. О задачах простого преследования с четырьмя участниками // Математическое моделирование сложных систем. СПб, 1999. С. 52-53.

3. Ширяев В. Д., Нестерова Т Н. Задача поочередного преследования со многими участниками // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем. Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2004. С. 111-120.

4. Шевченко И. И. О поочередном преследовании // Автоматика и телемеханика. 1981. № 11. С. 54-59. URL: http://www.mathnet.ru/links/56042ca7de6dcc2aca19b4094cf18822/at6041.pdf.

5. Абрамянц Т. Г., Маслов Е. П., Рубинович Е. Я. Простейшая дифференциальная игра поочередного преследования // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8. С. 5-15. URL: http://www.mathnet. ru/links/18b651a96ec80bd34126bef353968bc9/at7146.pdf.

6. Петросян Л. А., Ширяев В. Д. Простое преследование одним преследователем двух преследуемых // Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения. Якутск, 1978. С. 103-108.

7. Ширяев В. Д., Куляшова Н М., Виноградова О. О. Геометрический подход к решению игр простого преследования со многими участниками. Деп. ВИНИТИ № 1254 - В 98 от 22.04.1998 г. 26 с.

8. Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования. Новосибирск : Наука, 1983. 144 с.

9. Ширяев В. Д., Анощенкова Е. В. Игра с «линией жизни»: случай поточечной встречи // Вестник Мордовского университета. 2014. № 1-2. С. 139-147. URL: http://vestnik.mrsu.ru/index.php/ ru/articles/38-14-12/205-10-15507-vmu-025-201502-64.

10. Ширяев В. Д. Бескоалиционная дифференциальная игра простого преследования // Управление, надежность, навигация. Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 1984. С. 33-41. URL: http://istina. msu.ru/collections/2883707.

Поступила 23.10.2015 г.

Об авторах:

Ширяев Виктор Дмитриевич, профессор кафедры фундаментальной информатики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, доцент, ORCID: http:// orcid.org/0000-0003-0497-3769, shiryayevvd@mail.ru

Анощенкова Екатерина Васильевна, старший преподаватель кафедры фундаментальной информатики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7256-6634, anoshchenkovaev@mail.ru

Vol. 26,no. 1. 2016_MORDOVIA UNIVERSITY BULLETIN¡ШЦ

Бикмурзина Равиля Ряшитовна, доцент кафедры фундаментальной информатики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат педагогических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-7651-6340, bravilya@mail.ru

REFERENCES

1. Petrosyan LA, Shiryayev VD. Gruppovoye presledovaniye odnim presledovatelem neskolkikh presleduyemykh [Group pursuit with one pursuer and pursued more]. VestnikLGU(Matematika, mekhanika i astronomiya") = LGU Bulletin: Mathematics, Mechanics and Astronomy. 1980; 13:50-57. (In Russ.)

2. Shiryayev VD. O zadachakh prostogo presledovaniya s chetyrmya uchastnikami [On tasks of simple pursuit with four participants]. Matematicheskoye modelirovaniye slozhnykh system = Mathematical modeling of complex systems. St. Petersburg; 1999:52-53. (In Russ.)

3. Shiryayev VD, Nesterova TN. Zadacha poocherednogo presledovaniya so mnogimi uchastnikami [The task of alternately persecution with many participants]. Metody vozmushcheniy v gomologicheskoy algebre i dinamika system = Methods of perturbations in homological algebra and dynamics of systems. Saransk: Mordovia Univ. Publ.; 2004:111-120. (In Russ.)

4. Shevchenko II. O poocherednom presledovanii [About alternate persecution]. Avtomatika i teleme-khanika = Automation and Remote Control. 1981; 11:54-59. Available from: http://www.mathnet.ru/link s/56042ca7de6dcc2aca19b4094cf18822/at6041.pdf. (In Russ.)

5. Abramyants TG, Maslov YeP, Rubinovich YeYa. Prosteyshaya differentsialnaya igra poocherednogo presledovaniya [The simplest differential game alternately persecution]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control. 1980; 8:5-15. Available from: http://www.mathnet.ru/links/18b651a96e c80bd34126bef353968bc9/at7146.pdf. (In Russ.)

6. Petrosyan LA., Shiryayev VD. Prostoye presledovaniye odnim presledovatelem dvukh presleduyemykh [Simple one pursuer pursuit of two persecuted]. Nekotoryye voprosy differentsialnykh i integralnykh uravneniy i ikh prilozheniya = Some questions of differential and integral equations and their applications. Yakutsk; 1978:103-108. (In Russ.)

7. Shiryayev VD, Kulyashova NM, Vinogradova OO. Geometricheskiy podkhod k resheniyu igr prostogo presledovaniya so mnogimi uchastnikami [Geometric approach to simple pursuit of games with many participants]. VINITI no. 1254-V98, 22.04.1998. (In Russ.)

8. Petrosyan LA, Tomskiy GV. Geometriya prostogo presledovaniya [Geometry of simple pursuit]. Novosibirsk: Nauka; 1983. (In Russ.)

9. Shiryayev VD, Anoshchenkova YeV. Igra s "liniey zhizni": sluchay potochechnoy vstrechi ["Life line" game. Line of pursuit meeting]. VestnikMordovskogo universiteta = Mordovia University Bulletin. 2014; 1-2:139-147. Available from: http://vestnik.mrsu.ru/index.php/ru/articles/38-14-12/205-10-15507-vmu-025-201502-64. (In Russ.)

10. Shiryayev VD. Beskoalitsionnaya differentsialnaya igra prostogo presledovaniya [Noncooperative simple pursuit differential game]. Upravleniye, nadezhnost, navigatsiya = Control, safety, navigation. Saransk: Mordovia Univ. Publ.; 1984:33-41. Available from: http://istina.msu.ru/collections/2883707. (In Russ.)

Submitted 23.10.2015

About the authors:

Viktor Shiryayev, professor of Fundamental Informatics chair of Ogarev Mordovia State University (68, Bolshevistskaya St., Saransk, Russia), Ph.D. (Physics and Mathematics), docent, ORCID: http://orcid. org/0000-0003-0497-3769, shiryayevvd@mail.ru

Yekaterina Anoshchenkova, senior lecturer of Fundamental Informatics chair of Ogarev Mordovia State University (68, Bolshevistskaya St., Saransk, Russia), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7256-6634, anoshehnkovaev@mail.ru

Ravilya Bikmurzina, associate professor of Fundamental Informatics chair of Ogarev Mordovia State University (68, Bolshevistskaya St., Saransk, Russia), Ph.D. (Pedagogy), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-7651-6340, bravilya@mail.ru