Полиномиальное квантование для комплексного пара-эрмитова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Keywords: greedy algorithms; space Marcinkiewicz; evaluation operators.

Гладких Денис Сергеевич аспирант

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Россия, Ярославль e-mail: dgladkikh@uniyar.ac.ru

Denis Gladkikh

post-graduate student

Yaroslavl Demidov State

University named after P.G. Demidov

Russia, Yaroslavl

e-mail: dgladkikh@uniyar.ac.ru

УДК 517.98

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА 1

© О. В. Гришина

Ключевые слова: пара-эрмитовы пространства; представления; операторы Лапласа; преобразование Березина.

Аннотация: Построены полиномиальные квантования на комплексном пара-эрмитовом пространстве

а/н, оде а = вь(п, С), н = сь(п -1, С).

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на симметрическом пространстве а/Н7 где а = ЯЬ(п, С), Н = СЬ(п — 1, С). Это пространство получается комплексификацией вещественного пара-эрмитова симметрического пространства ЯЬ(п, М)/СЬ(п — 1, М) ранга один. Ранг нашего пространства а/Н равен двум. Мы строим полиномиальное квантование по схеме [1], см. также [2]: определяем ковариантные и контравариантные символы дифференциальных операторов, отвечающих элементам универсальной обертываюшей алгебры (эти символы являются многочленами), находим преобразование Березина В, переводящее контравариантные символы в ковариантные, выражаем преобразование Березина через операторы Лапласа А и А (их два -соответственно рангу).

Пространство а/Н можно реализовать как многообразие X комплексных п х п матриц х = = (ху) ранга 1 и со следом 1. Будем записывать матрицы из X в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1. Введем на X орисферические координаты £, ц, где £ - вектор-строка

Ста—1 /г\п—1

, а ц - вектор-столбец из С :

х = 1 (—ц£ —ц

N(С,п)\ £ 1

Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

где N(С,п) = 1 _ С,П- ^ качестве переполненной системы Ф(С, п) мы берем ядро сплетающего оператора для представлений максимально вырожденной серии, а именно,

ф(£,п) = N (i,v)2a’2m,

где а Е C, m Е Z и мы используем обозначение zx,r = |z|A (z/|z|)r.

Напишем выражение преобразование Березина через операторы Лапласа. Введем функцию Л(А, т) от двух тереме иных А, т:

.(. т) Г(-А + т )Г(-А - т - п + 1)

Л(Лт) = Г(-А)Г(-А - п +1)--------------•

Эта функция инвариантна относительно замены т на 1 - п - т, поэтому она фактически есть функция от А и от т (т + п - 1). Мы имеем

B = Л(а + m, к)Л(а - m,l),

где надо считать к(к + п - 1) = Д, l(l + п - 1) = Д. Следовательно, при а ^ -ж преобразование Березина имеет асимптотику:

1 - ^(Д + Д)

а

Отсюда следует выполнение принципа соответствия.

Таким образом, в отличие от вещественного случая, для нашего пространства G/H мы имеем

m

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces // Вести. Тамб. ун-та Сер. Естеств. и техн. науки. 2005. Т. 10. Вып. 4. С. 412-424.

2. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces // Acta Appl. Math., 2004. V. 81 №1-3. P. 215-232.

Abstract: polynomial quantizations on a complex para-Hermitian space G/H where G = БЦп, C), H = = СЬ(п - 1, C) are constructed.

Keywords: para-Hermitian spaces; representations; Laplace operators; Berezin transform.

Гришина Ольга Владимировна ассистент

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

Olga Grishina

junior member of teaching staff Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov

e-mail: molchano@molchano.tstu.ru