CC BY
68
Диго Г.Б., Диго Н.Б. ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВНУТРЕННИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ЗАПАСА РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Обсуждается проблема поиска оптимальных значений номиналов параметров технической системы по критерию запаса работоспособности на уровне внутренних параметров. Рассматривается случай полного отсутствия информации о закономерностях отклонений параметров от расчетных значений.
Введение
Традиционно задача параметрического синтеза сводится к нахождению таких значений параметров элементов системы, при которых она будет находиться в работоспособном состоянии. Параметрические возмущения (отклонения параметров от расчетных значений, вызванные технологическими, эксплуатационными и другими факторами и носящие в общем случае случайный характер) при этом, как правило, не учитываются. Отклонения параметров от расчетных (номинальных) значений могут приводить к потере работоспособности, поэтому актуальна проблема нахождения в некотором смысле оптимальных значений внутренних параметров (например, обеспечивающих наибольший запас работоспособности или максимальную вероятность выполнения условий работоспособности). Учет параметрических возмущений значительно усложняет решаемую задачу, так как при этом система становится стохастической [1]. Приходится учитывать, что выбор оптимальных значений параметров не всегда гарантирует заданное качество функционирования системы, поскольку найденные оптимальные значения параметров, обеспечивая достижение максимальной вероятности безотказной работы системы за определенный промежуток времени, могут не привести к выполнению требуемых ограничений на эту вероятность. Тогда для обеспечения требуемого качества функционирования системы приходится выбирать и реализовывать стратегию управления ее параметрами.
В качестве объекта исследований рассматриваются аналоговые технические системы с заданной (детерминированной) структурой и случайными параметрами, варьируемыми в заданных пределах. Выбор начальных (номинальных) значений параметров системы должен обеспечивать выполнение условий работоспособности системы в течение заданного времени эксплуатации.
В докладе обсуждается проблема поиска оптимальных значений внутренних параметров системы по критерию запаса работоспособности.
Постановка задачи
Рассматривается техническая система (или техническое устройство), качество работы которой зависят от значений параметров ее элементов X = ,...,хп) , X е Еп . Информация о возможных вариациях
значений внутренних параметров задана в виде пределов их возможных значений, определяющих область возможных изменений внутренних параметров, т.е.
х/тт^х/^*/тах = Х( ^ °= /=1,2,...,И. (1)
Заданы условия работоспособности системы
^ < У] (х) < Ъj, 1 = 1,...,т , (2)
у = {У]}т=1 - вектор выходных параметров, а],Ъ], ] = 1,...,т , - ограничения на его компоненты,
У] = (хl,..., хп), (3)
¥] (•) - известный оператор, зависящий от топологии исследуемой системы. Зависимости (3) обычно
задаются неявно, в алгоритмической форме, в виде численного решения систем уравнений [1].
Задача параметрического синтеза технических устройств и систем [1, 2] состоит в выборе номи-
нальных значений их параметров Хном = С^Н(Ш,...,хпном) , обеспечивающих максимум вероятности безотказной работы в течение заданного времени:
*„ом = а^тахР{Х(\ном,1) еV/е[0,Г]} . (4)
В (4) X (х ,/) - случайный процесс изменения параметров; Т - заданное время эксплуатации
устройства; - область работоспособности из п-мерного пространства внутренних параметров, в
каждой точке которой выполняются условия (2),
Цх = {х е Еп : Утп < у(х) < Утах} . (5)
Область работоспособности Ц из (5) имеет произвольную конфигурацию и ориентацию в пространстве параметров.
Условия работоспособности (2) формируют в пространстве выходных параметров область допустимых значений Ц , представляющую собой т-мерный прямоугольный параллелепипед
Цу = {У е Ет : Утп < У < Утах} . (6)
Ограничения (1) в ортогональной системе координат образуют п-мерный параллелепипед допусков
В,
В, = {Х е ЕП I х,-тт < х,- < х,-max, > = 1,...,п} .
В области работоспособности Ц , построенной в координатах параметров схемных элементов системы совокупность значений внутренних параметров представляется изображающей точкой п-мерного пространства этих параметров. Для обеспечения работоспособности системы эта точка должна находиться внутри области Ц , а расстояние от нее до границ Ц рассматривается как некоторый запас работоспособности системы [1, 3-5] на уровне внутренних или выходных параметров системы. Это детерминированные критерии, имеющие по сравнению со стохастическими критериями более ясную физическую интерпретацию.
Запас работоспособности на уровне внутренних параметров позволяет оценить степень удаленности вектора внутренних параметров от границ области работоспособности и, следовательно, пределы возможных вариаций параметров элементов, при которых не нарушаются условия работоспособности. Задача оптимального параметрического синтеза в этом случае сводится к нахождению такой точки внутри области работоспособности Ц (выбору таких номиналов параметров), которая находится на максимальном расстоянии от ее границ.
В тех ситуациях, когда расчет запаса работоспособности по каждому из внутренних параметров затрудняет оценку их влияния на выполнение того или иного условия работоспособности системы в це-
лом, оказывается целесообразным переход к таким критериям относительно выходных, а не внутренних параметров системы, ограничения на которые и составляют заданные условия работоспособности системы. Поэтому при параметрическом синтезе в условиях дефицита информации рассматривается два типа запасов работоспособности. Согласно [5], запас работоспособности на уровне внутренних параметров является запасом работоспособности первого типа, а запас работоспособности на уровне выходных параметров системы - запасом работоспособности второго типа. Соответственно этому задача оптимального параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности первого типа называется прямой задачей, а по критерию запаса работоспособности второго типа - обратной.
В случае прямой задачи оптимального параметрического синтеза находится такой вектор номинальных значений параметр°в Хном = (х1 номхпном) , для кот°р°го
Хм = аГ8 max min Sj (хном) . (7)
хНОм<еОх 1< ] < т
Функцию 5 (х) = тт SJ (
Хном) назовем минимальным запасом работоспособности. Оптимизационная задача (7) на основе критерия минимального запаса работоспособности является максиминной и заключается в нахождении таких значений внутренних параметров, при которых номинальная точка Хном = С^Н(Ш,..., хпном)
максимально удалена от границ Цх , т.е. задача (7) преобразуется к виду
тах тт 8(хном) , (8)
хНоМ еЦ J е[1,т ]
где т - количество условий работоспособности.
Таким образом, требуется разработать подход к нахождению оптимальных номинальных значений внутренних параметров при решении задачи оптимального параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности первого типа при отсутствии информации о закономерностях отклонений параметров от расчетных значений.
Анализ задачи
Согласно [1, 5], запас работоспособности первого типа позволяет оценить степень удаленности
вектора внутренних параметров от границ области работоспособности и, следовательно, пределы возможных вариаций параметров элементов, при которых не нарушаются условия работоспособности. Тогда задача оптимального параметрического синтеза (8) сводится к выбору точек внутри области работоспособности Ц (выбору номиналов параметров), находящихся на максимальном расстоянии от ее границ. Следуя [3], ее можно выполнять в два этапа. На первом этапе выбирается номинальная (опорная) точка хном еЦ , а на втором ищется оптимальная допусковая область.
Ввиду отсутствия информации как о закономерностях отклонений параметров от расчетных значений, так и о конфигурации и ориентации области работоспособности в пространстве внутренних параметров, в общем виде задача не имеет решения и приходится рассматривать разные случаи, опираясь на некоторые допущения. С учетом того, что в качестве критерия выбран запас работоспособности, представляется целесообразным рассматривать методы оптимизации, связанные с так называемой задачей центрирования области работоспособности [6-8]. Она может быть решена путем вложения в область работоспособности компактного (замкнутого и ограниченного) множества. Это могут быть п-мерные куб, шар, эллипсоид с максимально возможными размерами, центры которых будут соответствовать решению оптимизационной задачи [6, 9]. При этом предполагается, что цель оптимизации достигается при совмещении центров областей работоспособности и возможных изменений внутренних параметров (технологических допусков на внутренние параметры).
Критерий минимального запаса работоспособности
При формировании критерия запаса работоспособности приведем условия работоспособности (2) к виду
у] < Ъ], - У] < -а] , ] = 1,2,..., т , (9)
(т.е. перейдем к системе односторонних неравенств), и, введя некоторые допустимые погрешности на соответствующие выходные переменные для предотвращения деления на нуль в условиях равенства, преобразуем (9) в систему строгих неравенств
У] < Ъ] +А], - У] <-а] +А], ] = 1,2,..., т . (10)
Для оценки степени выполнения условий (10) введем в рассмотрение разности
Г Ъ] +А], ] = 1,2,...,т,
А] - У] ном , Л
'~а] 'А],
где У] ном - номинальное значение j-ой выходной переменной. Сделаем их безразмерными с помощью нормировки , характеризующей разброс соответствующей выходной переменной. Тогда за количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности примем величину Б] , называемую запасом работоспособности j-ой выходной переменной и задаваемую выражением [7]
5] (х) = (А] - У] ном)/, ] = 1,2,...,2т . (11)
Использование безразмерных величин Б] вида (11) обеспечивает сопоставимость получаемых оценок. Величины определяются с помощью статистического анализа или задаются константами на основе априорных представлений о рассеянии выходных параметров.
Таким образом, в качестве целевой функции выбираем наименьший из запасов работоспособности, и задача нахождения оптимальных номинальных значений внутренних параметров формулируется как макси-минная задача
тах тп 5] (хном), (12)
хномеЦ ] е[1,2т ]
где 2m - количество условий работоспособности.
Центрирование области работоспособности
Для решения задачи (12) необходимо найти такие значения внутренних параметров, при которых отображающая точка находится на максимальном расстоянии от границ Ц , или, другими словами,
находится в области работоспособности с максимальными запасами. Для этого, как отмечалось выше,
можно обратиться к методам центрирования области работоспособности.
1-а. +А,, ] = т +1, т + 2,...,2т,
Задача центрирования области работоспособности с геометрической точки зрения состоит в нахождении наибольшего замкнутого ограниченного геометрического тела, вложенного в эту область. Один из путей ее решения изложен в [8]. Для его использования осуществляется кусочно-линейное приближение области Цх многогранником Цх С Цх . Оно включает анализ ограничивающих область работоспособности неравенств на выпуклость, замену невыпуклых неравенств опорными гиперплоскостями (линейными неравенствами), наилучшим образом их приближающими, кусочно-линейное приближение каждого выпуклого неравенства несколькими линейными неравенствами [10-11]. Это равносильно аппроксимации
области Ц , ограниченной системой нелинейных неравенств, выпуклым многогранником Ц , который описывается системой линейных неравенств и определяет границы изменения внутренних параметров. Он, в свою очередь, однозначно определяется своими вершинами, каждая из которых является пересечением п гиперплоскостей, соответствующих ограничивающим Цх линейным неравенствам. Их общее число не превосходит СП (число сочетаний из 1 по п), где 1 - количество ограничивающих Ц линейных неравенств.
В построенном многограннике Цх задача центрирования заключается в нахождении такой точки
х е Ц, что вложенный в него шар (эллипсоид, куб, параллелепипед) с центром в этой точке имеет
максимальный объем. Для этого могут использоваться такие оптимизационные методы, как алгоритм построения вложенных брусов, назначение допусков методом диагоналей [12], метод вписанных эллипсоидов [13], алгоритм вложения гиперсферы наибольшего радиуса [8, 11]. Каждый из них наиболее
эффективен при выполнении определенных требований. Но поскольку в условиях неопределенности проверка их выполнения затруднена или вообще невозможна, представляется целесообразным рассматривать эти методы как многовариантный подход к построению геометрического тела максимального объема на основе многопроцессорных компьютеров, выбирая затем наилучший из полученных результатов.
В [14] описано применение технологии распараллеливания к одному из методов центрирования области работоспособности, обладающему значительным объемом потенциального параллелизма и хорошей, с точки зрения распараллеливания, структурой. Снижение вычислительных затрат достигается путем распараллеливания по данным и по потокам при использовании многопроцессорных компьютеров.
Заключение
Ввиду отсутствия информации как о закономерностях отклонений параметров от расчетных значений, так и о конфигурации и ориентации области работоспособности в пространстве внутренних параметров, в общем виде задача не имеет решения и приходится рассматривать разные случаи, опираясь на некоторые допущения. С учетом того, что в качестве критерия выбран запас работоспособности, наиболее целесообразным представляется рассмотрение методов оптимизации, связанных с так называемой задачей центрирования области работоспособности.
При использовании критерия запаса работоспособности на уровне внутренних параметров задача параметрического синтеза сводится к нахождению точек внутри области работоспособности (выбору номиналов параметров), находящихся на максимальном расстоянии от ее границ.
Отсутствие универсальных методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности может быть компенсировано применением многовариантного анализа на основе технологий параллельных и распределенных вычислений.
Работа выполнена при поддержке гранта ДВО РАН 0 9-1-П2-03 Программы № 2 фундаментальных исследований Президиума РАН.
Литература
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М.: Наука, 1992.
2. Абрамов О.В. Методы и алгоритмы параметрического синтеза стохастических систем // Проблемы управления. 2006. №4. С. 3-8.
3. Корячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. М.: Энергоатомиздат,
1987. 400с.
4. Норенков И.П., Мулярчик С.Г., Иванов С.Р. Экстремальные задачи при схемотехническом проектировании в электронике. Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1976. 240с.
5. Абрамов О.В., Катуева Я.В., Назаров Д.А. оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности // Проблемы управления. 2007. №6. С. 64-69.
6. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. Для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Е. Баумана, 2000. 360с.
7. Норенков И.П., Маничев В.Б.Основы теории и проектирования САПР. М.: Высшая школа, 1990. 335с.
8. Брейтон Р.К., Хэчтел Г.Д., Санджованни-Винчентелли А.Л. Обзор методов оптимального проектирования интегральных схем // ТИИЭР, №10, т. 69, 1981. С. 180-215.
9. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Использование эллипсоидов для описания области работоспособности // Информатика и системы управления. 2008. №1(15). С. 22-28.
10. Бернацкий Ф.И., Диго Г.Б., Диго Н.Б. Построение области робастных управлений на параллельных процессорах // Информатика и системы управления, №1(5), 2003. С.92-100.
11. Диго Г.Б. Алгоритмы оперативного управления нестационарным технологическим объектом с векторным выходом: Препринт. Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР, 1986. 18с.
12. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. М.: Наука. 1976. 160с.
13. Тарасов С.П., Хачиян Л.Г., Эрлих И.И Метод вписанных эллипсоидов // ДАН СССР, 1988. Т.298. №5. С. 1081-1085.
14. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Задачи оптимального параметрического синтеза при дефиците информации о вероятностных характеристиках параметров системы и детерминированных критериев // Параллельные вычисления и задачи управления (РАС0'2008.): Труды международной конференции. - М.: Институт проблем управления, 2008. С. 990-998.
