Подход к планированию транспортной операции по уводу объектов космического мусора с геостационарной орбиты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Gorokhov Denis Evgenevich, candidate of technical sciences, gde@inbox.ru, Russia, Orel, The Federal Guard Service Academy

УДК 65.012.122

ПОДХОД К ПЛАНИРОВАНИЮ ТРАНСПОРТНОЙ ОПЕРАЦИИ ПО УВОДУ ОБЪЕКТОВ КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА С ГЕОСТАЦИОНАРНОЙ ОРБИТЫ

В.И. Горбулин, Е.В. Котяшов, О. Л. Куваев

Предлагается методический подход к планированию транспортной операции, осуществляемой для защиты космических аппаратов при возникновении чрезвычайных ситуаций, связанных с риском столкновения с объектами космического мусора. Рассматривается способ ранжирования объектов космического мусора по степени опасности, которую они представляют. Приводится алгоритм оценки возможности осуществления сближения с объектами космического мусора за время, сопоставимое с продолжительностью одного витка. Формулируется определение зоны достижимости космического аппарата.

Ключевые слова: космический мусор, геостационарная орбита, геостационарный космический аппарат, транспортная операция, план транспортной операции.

Известно, что количество объектов космического мусора (ОКМ) в околоземном космическом пространстве (ОКП), а в частности на геостационарной орбите (ГСО) и ее окрестностях, продолжает неуклонно возрастать. В настоящее время на ГСО по разным источникам [1,2] насчитывается от полутора до десяти и более тысяч объектов различной величины.

В результате каждой процедуры выведения геостационарного космического аппарата (ГКА) на ГСО доставляется целый набор ОКМ. Это отделяемые ступени ракет-носителей (РН), разгонные блоки, различные мелкие операционные элементы, отделяющиеся от КА и РН в процессе их активного функционирования.

Помимо прогнозируемого космического мусора, который в процессе запуска космического аппарата возможно увести с целевой орбиты, тем самым минимизировать его негативное влияние, на геостационарной орбите происходит появление космического мусора как результата саморазрушения, взаимных столкновений и последующих взрывов ранее запущенных космических аппаратов, которые отработали свой ресурс и стали неуправляемыми космическими объектами. В результате подобных инцидентов количество опасных объектов КМ (>5 мм) [2] возрастает экспоненциально.

Ряд исследователей [2, 3] обращает внимание на то, что при достижении определенной критической плотности мусора в космосе может начаться стремительно расширяющийся цепной процесс образования вторичных осколков - «каскадный эффект» или «эффект Кесслера».

Долгосрочное прогнозирование процесса засорения ОКП показывает, что даже при самых решительных мерах, таких как немедленное прекращение всех запусков и деятельности в космосе, связанных с образованием КМ, стабильность космической среды не может быть обеспечена. Все известные меры борьбы с КМ, кроме принудительного снятия КМ с орбиты, пока могут только замедлить темп засорения ОКП, но не снизить общую массу КМ. При этом для средних и высоких орбит (область И>2000 км, в том числе и ГСО) принудительное снятие КМ с орбиты подразумевает увод объектов КМ на орбиту захоронения.

В настоящее время прорабатывается схема увода с ГСО отработавших КА с помощью специального транспортного КА (ТКА), несущего на своем борту несколько модулей увода (МКАУ). Эти модули представляют собой малые маневрирующие КА, способные сблизиться с объектами КМ, закрепиться на них и увести их на орбиту захоронения.

Так как процесс выведения КА на ГСО занимает довольно продолжительное время и геостационарная орбита переполнена космическими объектами, ТКА предполагается выводить на орбиту заблаговременно в точки стояния, закрепленные за РФ. При этом, с целью оперативного применения ТКА при возникновении чрезвычайных угроз для ГКА, необходимо решать задачу планирования увода ОКМ с ГСО таким образом, чтобы обеспечить максимальную эффективность транспортной операции.

В общем случае замысел транспортной операции выглядит следующим образом. ТКА с расположенными на его борту несколькими МКАУ находится на орбите ожидания. При возникновении чрезвычайной ситуации, связанной с разрушением или столкновением объектов КМ и увеличением риска последующего столкновения с действующими КА, ТКА совершает маневр для создания благоприятных условий для работы МКАУ. По результатам работы средств системы контроля космического пространства (СККП) происходит ранжирование ОКМ и определение степени опасности, которую они представляют. Затем происходит назначение каждому МКАУ определенного ОКМ. МКАУ отделяется от ТКА и совершает маневр сближения с ОКМ для его последующего захвата и увода на безопасную орбиту.

Таким образом, математическая постановка задачи планирования транспортной операции может быть представлена в следующем виде.

Дано: ТКА с размещенными на его борту МКАУ (/ = 1.../) и ОКМ находятся на ГСО и движутся по орбите с постоянной относительной скоростью, параметры орбиты ТКА и объектов КМ заданы элементами Кеплера О, ¡, р, е, ю; истинные аномалии точки расположения ТКА^ и

точек расположения ОКМдп (п = 1...Ы); запас характеристической скорости ТКА АУ^КАхар и МКАУ ^У^КАУхар ; максимальное допустимое время проведения операции ^ зад, не превышающее продолжительность одного витка КА на ГСО.

*

Требуется определить: план транспортной операции Р с Р, при выполнении которого осуществляется сближение МКАУ с наиболее опасными ОКМ за время, не превышающее заданное:

P = arg min P(u, X, t),

t <T

пр

где P - множество допустимых планов транспортной операции; Тпр - максимально допустимое время проведения транспортной операции; u с U -вектор параметров допустимого управления МКАУ по сближению с ОКМ; X

= (xin) - матрица назначений i-го МКАУ n-му ОКМ, n = 1..Nномера объектов КМ, предназначенных для увода в реализуемом плане транспортной операции.

Рассматриваемый в данной статье план транспортной операции может быть представлен как детальный план полета [4] и состоять из следующих этапов

1. Ранжирование ОКМ по степени угрозы, которую они представляют для отечественных КА на ГСО;

2. Определение интервалов времени и фазовых углов, при которых возможно обслуживание ОКМ ТКА(МКАУ);

3. Построение матрицы назначений МКАУ;

4. Формирование алгоритма управления ТКА и МКАУ, обеспечивающего сближение с ОКМ за заданное время.

Рассмотрим этапы подробнее.

1. Ранжирование ОКМ по степени угрозы, которую они представляют для отечественных КА на ГСО

По результатам наблюдений средств СККП все ОКМ, находящиеся вблизи или пересекающие орбиту отечественных КА на ГСО, классифицируется по следующим категориям:

1. Класс L. Неуправляемые либрационные. Данные объекты КМ совершают долгопериодическое движение вдоль ГСО около одной из точек либрации L1(75° В.Д.), L2(255° В.Д.), L3(161° В.Д.), L4(348° В.Д.), с периодом колебания до 6 лет и амплитудой до 10о. Наиболее опасная из указанных точек L1, расположена в районе стояния отечественных КА, остальные в силу удаленности не представляют значительной опасности.

2. Класс D. Дрейфующие объекты КМ. На данный класс приходится наибольшее количество объектов КМ. Данные объекты подразделяются на два класса D1(дрейфующие выше ГСО) и D2 (дрейфующие ниже ГСО), при этом значительная часть имеет эксцентриситет отличный от 0, что позволяет им периодически пересекать ГСО.

3. Класс N. Малоразмерные объекты КМ. Часть ОКМ N1 (размером >1 м) возможно отслеживать наземными средствами СККП, что позволяет при опасном сближении совершить маневр уклонения КА. Объекты класса N2 (размером от 0,3 до 1м) возможно отлеживать лишь время от времени, объекты N3 (размером <0,3м) отследить наземными средствами СККП невозможно.

В соответствии с данной классификации ОКМ подвергаются ранжированию по степени возрастания опасности:

Р1- все либрационные класса Ь1 с амплитудой либрации более 10о и размерами N2;

Р2- все либрационные класса Ь1 с амплитудой либрации более 10о и размерами N3;

Р3 — все дрейфующие класса Б1 с перигеем менее 42216 км и размерами N2;

Р4— все дрейфующие класса Б1 с перигеем менее 42216 км и размерами N3;

Р5— все дрейфующие класса Б2 с перигеем более 42116 км и размерами N2;

Рб— все дрейфующие класса Б2 с перигеем более 42116 км и размерами N3.

Для количественного выражения коэффициента приоритета п-го ОКМ в вычислениях его ранг подвергается нормированию [9]:

^п =, (1)

Рп

"п N

£ Рп п =1

при этом нормированные приоритеты должны отвечать условию

N

£ =1 п=1

2. Определение интервалов времени и фазовых углов, при которых возможно обслуживание ОКМ ТКА (МКАУ)

Этап включает в себя решение следующих задач 2.1. Определение минимального и максимального времени перелета из точки А\ в точку А2 при заданном расходе &Ухар.

В основе решения поставленной задачи лежат: а) правило гиперболического годографа скорости [5-8] (геометрическая интерпретация представлена на рис. 1), заключающееся в следующем: заданы две точки Л\, Л2, отстоящие от центра Земли на расстояния Т\, Г2

соответственно и друг от друга на угловое расстояние 0 пер .

Тогда для того чтобы орбита ТКА проходила через А\ и А2, необходимо и достаточно, чтобы конец вектора скорости принадлежал гиперболе, асимптотами которой являются:

продолжение радиус-векторов г и Г2, прямая, проходящая через эти точки;

б) зависимость длительности перелета А1пер из точки А1 в точку А2 от угла наклона Ь вектора скорости перелета Упер к плоскости местного горизонта, которая при изменении угла наклона в диапазоне (Ьпред, Ьпараб ) монотонно возрастает от нуля до бесконечности (рис. 2).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация правила годографа скорости

Из рис. 1, а и б следует, что для отыскания минимальной и максимальной длительностей перелета достаточно определить минимальный и максимальный углы наклона вектора скорости, которые могут быть реализованы при использовании всего доступного запаса АУхар. Геометрически

решение задачи сводится к определению точек пересечения гиперболы годографа скорости и окружности, центр которой совпадает с точкой окончания вектора скорости Уд в точке приложения импульса, а радиус равен

величине

АУ

хар-

В аналитическом виде геометрическое решение принимает вид системы уравнений

u

2

w

2

V

2

mm

V 2 ctgAO A A_ mm д 12

= 1,

(2)

2

(u - V1u) +(w

V )2 =DV2 1w dad.

где и^ - координаты точек пересечения гиперболы и окружности в системе координат иОЖ; Утт - минимальная скорость [5,6], при которой еще возможен перелет из А\ в А2 ; У\и, - проекции вектора скорости ТКА в момент to на оси и, Ж (рис. 1) .

Рис. 2. Зависимость времени перелета от угла наклона вектора скорости к плоскости местного горизонта

В результате преобразования (2) получается уравнение четвертой степени относительно параметра и:

^и4 + Ви3 + Си2 + Ви + Е = 0, (3)

где

_ /2 - 2/1/2 cosb + /2 . B V f c0s Zlcos b- f2 V .

A _---, B _ VT1 /1 cos b +-:—--Vr1,

sin2 b

sin b

с _ V2 - 2tg b /1C0S b- f2 ; D _ Vr„ tgb; E _ tgb / _M; / _ ^

Г1

r2

2 sin b r2 2' 2

boo - постоянная гравитационного поля Земли.

При решении (3) возможны три случая:

все корни являются комплексными числами - это означает, что запаса характеристической скорости недостаточно для перелета в заданную точку;

два корня являются комплексными и два корня - действительными числами - это означает, что сфера радиуса АУхар пересекается с ближней

ветвью гиперболы годографа скорости в двух точках. Одной из этих точек соответствует минимальная дальность перелета, другой - максимальная;

четыре корня являются действительными числами - это означает, что сфера радиуса АУхар пересекается с обеими ветвями гиперболы годографа в четырех точках. Точкам пересечения с ближней ветвью соответствуют орбиты, движение по которым совпадает с направлением движения КА до приложения импульса. Одной из этих точек соответствует минимальная дальность перелета, другой - максимальная. Точкам пересечения с дальней ветвью соответствуют переходные орбиты, движение КА по которым к точке ^2 происходит в направлении противоположенном направлению движения КА до приложения импульса. Иными словами, запас АУхар

должен быть настолько велик, что его оказывается достаточно, чтобы развернуть вектор скорости в противоположенное направление.

Точки пересечения гиперболы годографа и окружности, полученные при решении (3), после преобразования в систему координат, связанной с центром Земли, позволяют найти минимальное и максимальное значения вектора скорости на орбите перелета, с помощью которых возможно определить:

значения большой полуоси

а

2 г

У

2

-1

т

где г - расстояние до точки ^ - гравитационный параметр Земли; У -

скорость КА на орбите перелета;

фокальный параметр р из решения системы уравнений

Р

Г1 =

1 + есов $

Г ад

Р

1 + е со8($ад гад X

где Г2 - расстояние до точки А2 ; $пер - истинная аномалия точки А на

орбите перелета;

эксцентриситет

е = . 1-Р;

т,

2

время перелета между двумя точками

У/

t = 2

a

m

E2 - E

1

E2 — Ei E2 + Ei e sin ——-Lcos-

v

2 2 2 где E1, E2 - эксцентрические аномалии точек Ai, А2 .

2.2. Построение зон достижимости КА на ГСО.

Под зоной достижимости ТКА понимается сектор ГСО, образованный множеством точек встречи, в каждую из которых могут одновременно попасть ОКМ и ТКА из положения на исходной орбите при равномерном движении первого и приложении одного импульса равного по величине DVxap ко второму.

Если принять высоту точек Ai, А2 равной (ri = r2) и последовательно изменять угол 0 пер от 0о до 360о, то график зависимости времени перелета между точками от угла 0 пер примет вид, представленный на рис. 3, при изменении высоты точек r (DVxap = const) - на рис. 4. На рис.

3, 4 верхним границам фигур соответствует максимальное время перелета, нижним - минимальное.

Рис. 3. График зависимости времени перелета от заданного запаса характеристической скорости

В таблице представлены результаты расчета ширины зоны достижимости в зависимости от заданного значения запаса характеристической скорости.

Значения ширины зоны достижимости

АУ, м/с 200 300 400 500

и с 3000 4500 5900 7100

0 пер, град 12 18 24 29

Рис.4. График зависимости времени перелета от разницы

высот точек А1, А2

2.3. Определение интервалов времени и фазовых углов, при которых возможно обслуживание ОКМ ТКА (МКАУ).

Движение объектов КМ на ГСО можно описать как зависимость времени от фазового угла и представить в виде

С

Г (0) = - 0,

(4)

где С = 2пЯ - длина орбиты; Т- период обращения ТКА (ОКМ).

Тогда с учетом (4) при размещении начала координат Г(А0) в точке расположения ТКА график возможностей ТКА по обслуживанию ОКМ приобретает вид, представленный на рис. 5.

В нижней части рис. 5 (позиции 1, 2) показаны проекции областей достижимости ТКА и МКАУ, которые образуют границы зоны достижимости, характеризуемые углами А0тка , А0МКАУ. Пунктирными линиями показано движение ОКМ по ГСО. Пересечения пунктирных линий с гра-

384

ницами области достижимости образуют интервалы фазовых углов и времени, при которых возможно обслуживание ОКМ (верхняя и левая части рис. 5).

3. Построение матрицы назначений МКАУ

На данном этапе требуется назначить каждому МКАУ определенный объект космического мусора, с которым он будет производить сближение. Указанная задача имеет вид транспортной модели [11], у которой в качестве пунктов отправления выступает множество МКАУ, в качестве пунктов назначения - множество ОКМ, в качестве стоимости перевозки -значения коэффициентов приоритета ОКМ wn, вычисленных в соответствии с (2), и состоит в нахождении парасочетаний, удовлетворяющих условию:

I N

W = I I winxin ®max, (5)

i = 1 n = 1

где Xin - переменная, значение которой равно 1, если i-й МКАУ выполняет сближение с n-м ОКМ, и 0 - в противном случае.

Для решения данной задачи с помощью численных значений границ областей достижимости, полученных на этапе 2, перечисляется состав ОКМ, достижимых каждым из МКАУ как при отделении от ТКА в момент время начала выполнения операции, так и после совершения маневра ТКА, предназначенного для расширения границ зон достижимости МКАУ.

Состав ОКМ, достижимый каждым из МКАУ, позволяет сформировать транспортную матрицу Z, число столбцов которой равно N - количеству объектов КМ, число строк I - количеству МКАУ, значения элементов - значениям коэффициентов приоритета ОКМ wn, вычисленным в

соответствии с (1).

Решением данной задачи является матрица назначений X = (х^п),

доставляющая максимум (5). Наиболее подходящим способом решения задачи является венгерский метод, алгоритм которого описан в работах [7,9,10].

4. Формирование алгоритма управления ТКА и МКАУ, обеспечивающего сближение с ОКМ за заданное время

В соответствии с матрицей назначений X формируется [12 - 14] вектор управления МКАУ и с и, обеспечивающий реализацию непрерывного и мягкого сближения ¿-го МКАУ с п-м ОКМ за время не превышающее заданное.

Заключение

Современный этап развития космонавтики все ближе и ближе приближает момент, когда необходимо вплотную заниматься проблемами роста популяции объектов космического мусора в околоземном космическом пространстве. Уже сейчас необходимо предпринимать шаги, которые бы обеспечили безопасное и непрерывное функционирование космических аппаратов.

В данной работе предлагается методический подход к планированию применения ТКА, функционирующего в районе геостационарной орбиты. Особенность данного подхода в том, что он позволяет оценить энергетические возможности ТКА, необходимые для осуществления оперативного (рассматриваемое время применения меньше продолжительности одного витка геостационарного КА) сближения с объектами космического мусора. Предложенный подход может быть положен в основу алгоритмического обеспечения автоматизированной системы управления, предназначенной для автоматизации процессов применения орбитальной группировки транспортных КА, а также для определения требований к тактико-техническим и баллистическим характеристикам разрабатываемых ТКА.

Список литературы

1. ОгЬйа1 БеЬпв фаЛейу News // КЛ8Л. 2017. Уо1. 21. I. 1. Р.12.

386

2. Виниаминов С.С. Комический мусор угроза человечеству. М.: ИКИ РАН, 2013. 208 с.

3. Kessler D. et al. The Kessler syndrome: Implications to Future Space Operations // 33rd Annu. American Astronautical Soc. Rocky Mountain Section. Guidance and Control Conf. Breckinridge, Colorado, USA. 2010.

4. Соловьев В.А., Лысенко Л.Н., Любинский В.Е. Управление космическими полетами: учеб. пособие / под ред. Л.Н. Лысенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2009. Ч. 1. 476 с.

5. Бэттин Р. Наведение в космосе. М.: Машиностроение, 1966.

406 с.

6. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с.

7. Миррер С.А. Механика космического полета. Орбитальное движение. М.: Резолит, 2007. 106 с.

8. Горбулин В.И. Оптимизация развертывания космических систем. Монография. СПб.: ВКА имени А.Ф.Можайского, 2003. 102 с.

9. Микони С.В. Теория и практика рационального выбора: монография. М.: Маршрут, 2004. 463 с.

10. Глухов В.В., Медником М.Д. Математические методы и модели для менеджмента. 2-е изд. СПб.: Лань, 2005. 528 с.

11. Таха, Хамеди А. Введение в исследование операций. 7-е изд. / пер. с англ. М.: Вильямс, 2005. 912 с.

12. Авксентьев А.А., Котяшов Е.В. Результативность сближения космического аппарата с пассивным объектом в условиях действия случайных возмущений // Тр. XXXII Всерос. НТК „Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем". 27-28 июня 2013 г. Серпухов: Филиал ВА РВСН им. Петра Великого, 2013. № 3. С. 18-24.

13. Авксентьев А. А. Оптимальное управление угловым движением космического аппарата при оперативном сближении с орбитальным объектом // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59. № 2. С. 128-133.

14. Авксентьев А.А., Ефимов В.П., Котяшов Е.В. Расчет условия включения двигательной установки космического аппарата с учетом динамики углового движения // Тр. XXXIV Всерос. конф. по проблемам науки и технологий, посвященной 90-летию со дня рождения акад. В.П. Макеева. 10-12 июня 2014. Миасс. С. 151-155.

Горбулин Владимир Иванович, д-р техн. наук, профессор, v_gorbulin@yandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Котяшов Евгений Валериевич, канд. техн. наук, докторант, kev246@mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

387

Куваев Олег Леонидович, адъюнкт, kuvaevoleg84@mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского

THE APPROACH TO PLANNING OF TRANSPORT OPERATIONS FOR THE DISPOSAL OF SPACE DEBRIS FROM GEOSTATIONARY ORBIT

V.I. Gorbulin, E. V. Kotyashow, O.L. Kuvaev

In the article, the methodical approach to the planning of transport operations carried out to protect the spacecraft at occurrence of emergency situations connected with risk of collision with space debris. The proposed method of ranking objects of space debris according to the degree of danger they pose. An algorithm for assessing the possibility of rapprochement with objects of space debris during the time comparable with the duration of one revolution. Formulation of determining the reachability of a spacecraft.

Key words: space debris, the geostationary orbit, geostationary spacecraft, transport operation, plan of transport operations.

Gorbulin Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, v_gorbulin@,yandex.ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Kotyashow Evgeny Valerievich, candidate of technical sciences, doctorate student, kev246@mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Kuvaev Oleg Leonidovich, postgraduate, kuvaevoleg84@mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy