Планирование траектории методами сплайн-интерполяции на сетке с неограниченным числом опорных точек Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.865.8:004.896

В. Г. ХОМЧЕНКО А. С. ГОРБАТЫХ

Омский государственный технический университет

ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ МЕТОДАМИ СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИИ НА СЕТКЕ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ОПОРНЫХ ТОЧЕК

Рассматриваются два общих случая планирования траектории движения схвата манипулятора в пространстве обобщенных координат при произвольном числе дополнительных опорных точек, значения координат которых в первом случае не регламентируются, а во втором регламентируются. Получены выражения для расчета суммарной степени полиномов, составляющих сплайн-функцию. Приведен метод выбора количества и расположения узлов интерполяции, учитывающий локальные свойства функции-интерполянта.

Ключевые слова: манипулятор, планирование траектории, интерполяция, сплайн-функция.

Метод планирования траектории схвата манипулятора на основе сплайн-функций сводится к использованию полиномов низких степеней путем деления траектории на участки. Понижение степени полинома уменьшает опасность нежелательного блуждания схвата. В результате траектория представляется кусочно-непрерывной функцией, проходящей через все заданные опорные точки. В целях обеспечения плавного безударного перехода схвата манипулятора с одного участка на другой значения функции, а также её первой и второй производной на границах участков должны быть равны друг другу [ 1 ]. Эти требования обеспечиваются соответствующим формированием условий, выбором которых можно в известной степени управлять поведением сплайна.

Как правило, в целях обеспечения безопасного движения вблизи начальной и конечной точки траекторию разбивают на три участка: участок ухода, крейсерского перемещения и участок подхода. То есть задают четыре опорные точки: начальную точку Ан, точку ухода А^, точку подхода А^ и конечную точку Ак. Однако в тех случаях, когда точки Ау и Ам удалены друг от друга на значительное расстояние, или на траекторию наложены дополнительные пространственные ограничения, может потребоваться большее число узловых координат, чем четыре. Увеличение числа опорных точек может быть оправданно и в случае высоких требований к точности реализации траектории.

Возможны два варианта общих случаев.

Первый — когда координаты дополнительных точек не регламентируются, а назначают лишь моменты времени прохождения их схватом.

Второй — заданы координаты всех промежуточных точек и моменты времени прохождения их схватом.

Запишем граничные условия для первого общего случая с использованием понятия относительного времени. Это позволяет достичь единообразия уравнений, описывающих изменение обобщенной переменной на каждом участке траектории. При этом относительное время будет изменяться от т = 0 (начальный момент времени для каждого из участка траектории)

до т = 1 (конечный момент времени для каждого из

т -

участков траектории). Тогда _ ( _ ( . где ш — номер участка, I — абсолютное врейя, < I: < 1:т; хт —

относительное время, 0< тт <1.

1 -й участок должен удовлетворять четырем граничным условиям:

1) 41 (0) = Чн (начальное положение);

2) ч', (0) = 0 (значение начальной скорости, обычно нулевое);

3) Ч", (0) = 0 (значение начального ускорения, обычно нулевое);

4) (1) = (положение в точке ухода).

(М-1 )-й участок также имеет четыре ограничения (здесь М — число участков):

1) Чм.,(0) =ЧМ.2(1) (непрерывность положения в мо-ментвремени 1М1);

2) ч'м.^О) = Ч'М.2(1) (непрерывность скорости в момент времени1М1);

3) яЗ м.,(0) =я" м.2(1) (непрерывность ускорения в момент времени 1м,);

4) Чм., (1) = Чп (положение в точке подхода).

М-й участок должен удовлетворять шести ограничениям:

1) Чм(0) = яп (положение в точке подхода);

2) Ч'м(0) =Ч'м-1(Ч (непрерывность скорости в момент времени 1:м);

3) я" м(0) =я" м.,(1) (непрерывностьускорения в момент времени1м);

4) Чм(1) =ЧК (конечноеположение);

5) я' м( 1) = 0 (значение конечной скорости, обычно нулевое);

6) Ч" м(1) =0 (значение конечного ускорения, обычно нулевое).

Все промежуточные участки (2 < ш < М-2) имеют по три ограничения, потому что нет необходимости фиксировать значение обобщенной координаты в дополнительных точках, а следует обеспечить лишь непрерывность по перемещению, скорости и ускорению:

1) =Чт.|(1) (непрерывность положения в момент времени 1:т);

2) Ч'щ(0) =ч'т.,(1) (непрерывностьскорости в момент времени 1:т);

3) Ч" т(0) = я" т_,(1) (непрерывность ускорения в момент времени 1:т).

С учетом приведенных ограничений можно получить выражение для расчета суммарного количества свободных коэффициентов системы уравнений

Интервал движения Тип монотонности функции сАУ Величина нормы Мс Точность е Шаг сеткн Ь

1 е [0,3] Постоянная функция =0 2 3

V 17

1е[3,4] Убывание 17

0,48

te[4,5] Возрастает 69

0,48

1 е [5,6] Убывает 69

0,48

te[6,^] Возрастает 69

0,97

16 [7,8] Убывает 17

3

[8,11] Постоянная функция =0

Ам = 4 + 4 + 6 + 3(М — 3) = ЗМ + 5; (М>3) (1)

Тогда сумма степеней полиномов сплайн-функции будет равна:

Рм=Ам - М = ЗМ + 5-М = 2М + 5;(М>3) (2)

Примеры:

М=3;Ам= 14; Рм =11 —это случай, когда траектория изменения каждой обобщенной координаты разбивается на три участка. Существует различные способы такого разбиения, каждый из которых обладает достоинствами и недостатками. Наиболее распрстранены следующие способы [2, с. 177]: 4-3-4,3-5-3,2-5-4—траектории.

М = 5; Ам = 20; Рм = 15 — при разбиении траектории на пять участков оптимальным является использование сплайн-функции типа 3-3-3-3-3 [2, с. 186]. Преимущество кубических сплайнов заключается в том, что это полиномы минимальной степени, обеспечивающие непрерывность по скорости и ускорению.

М = 10; Ам = 35; Рм = 25 — при таком разбиении в целях уменьшения степени составляющих сплайн-функции возможно включение в ее структуру полиномов 2-й степени. Примером может служить траектория типа 3-3-2-3-2-2-2-3-2-3 или 3-3-3-2-2-2-2-2-3-3.

Второй случай, когда заданы координаты всех опорных точек, является наиболее общим. Он возникает, когда траектория движения схвата не определяется лишь четырьмя опорными точками, а является функцией времени и задана на всем протяжении в декартовых координатах манипулятора.

В результате решения обратной задачи кинематики находят соответствующие заданным в абсолютных координатах точкам значения обобщенных координат по каждой степени подвижности.

1 -й участок должен отвечать четырем граничным условиям:

1) Ч1 (0)= Чн (начальное положение);

2) я' ,(0) = 0 (значение начальной скорости, обычно нулевое);

3) q" , (0) = 0 (значение начального ускорения, обычно нулевое);

4) 4,(1) = с[2 (положение во второй опорной точке).

М-й участок, как и в первом случае, должен удовлетворять шести ограничениям:

1) = Чм.1 (положение в точке );

2) ч'м(0) = ч'м.,(1) (непрерывность скорости в момент времени 1:м);

3) м(0) = я" м_, (1) (непрерывностьускорения в момент времени 1:м);

4) Чм(1) = Чк (конечноеположение);

5) я'м(1) = 0 (значение конечной скорости, обычно нулевое);

6) я" м(1) =0 (значение конечного ускорения, обычно нулевое).

Число ограничений для всех остальных участков (2 < т < М — 1) равно четырем:

1) Ят(0) =Чт.,(1) (непрерывность положения в момент времени 1;т);

2) Ч'т(0) =Ч'т.1(1) (непрерывность скорости в момент времени^);

3) я" т(0) =q" т.,(1) (непрерывность ускорения в момент времени у;

4) Чт(1) = Чт (положение в точке ш).

Определим сумму свободных коэффициентов и степеней полиномов:

Ам = 6 + 4(М— 1) = 4М + 2; (М>3) (3)

Рм=Ам-М = 4М + 2-М = ЗМ + 2; (М>3) (4)

Примеры:

М = 3;Ам=14;Рм=11 — совпало с первым случаем, так как участков, вносящих разницу, нет.

М = 5; Ам = 22; Рм = 17 — в отличие от первого случая в структуру кубического сплайна следует включить два полинома 4-й степени, например ? в качестве первого и последнего участка (4-3-3-3-4 — траектория).

М= 10; Ам = 42; Рм = 32 (4-3-3-3-3-3-3-3-3-4 - траектория) — аналогично предыдущему примеру.

а)

,fl"(t)=a(t)

Рис. 1. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке (диаграммы обобщенного перемещения (а), скорости (б) и ускорения (в)

Рис. 2. Сплайн-ннтерполяция на неравномерной сетке (диаграммы обобщенного перемещения (а), скорости (б) и ускорения (в)

Рассмотрим теперь другой вопрос техники интерполирования, а именно, выбор узлов интерполяции. На практике обычно требуется осуществить интерполяцию с некоторой заданной точностью. Эта задача решается путем выбора сетки на отрезке движения с учетом свойств интерполируемой функции и соответствующих оценок погрешности интерполяции.

Проведем анализ сплайна первой степени S(t) — непрерывной кусочно-линейной функции. Геометрически он представляет собой ломаную, проходящую через опорные точки:

S(t) = q, 1

ll+l li 1н

t-t.

-t.

В задаче планирования траектории сплайн S(t) является кратчайшим путем движения по заданным точкам, отклонение от которого следует считать погрешностью интерполяции.

Исходя из этого, точность интерполяции определяется остаточным членом:

где е(1) — остаточный член интерполяции;

<5(1) — интерполяционный сплайн.

Оценка остаточного члена зависит оттого, какими дифференциальными свойствами обладает интерполируемая функция <5(1), то есть следует определить её класс Скнаучастке [а,Ь]. Соответствие функциинеко-торомуклассу Скпредполагаетто, что на отрезке [а,Ь] она имеет непрерывную производную к-го порядка.

Условие я(Ч) е С2[^ Дк] эквивалентно требованию непрерывности сплайна и двух его первых производных во всех узлах сетки, поэтому в рамках данной задачи класс интерполируемой функции должен быть С2, что обеспечит плавность изменения обобщенных перемещения, скорости и ускорения.

Таким образом, согласно теореме оценки остаточного члена [3]:

цвю-чю!.^,

где е = —ИС. определяется согласно классу фун-

о

e(t) = S(t) - q(t) ,

кции; h — шаг сетки.

Оценка погрешности интерполяции дает возможность определить величину максимального шага сетки для обеспечения заданной точности. Например, на равномерной сетке с шагом h требуемая точность е достигается при условии

I 8-е

у цч v ;iic[t„,tK]

Однако данное решение не является оптимальным в том смысле, что при построении сетки таким способом мы будем иметь дело с завышенным числом узлов интерполяции. Это неизбежно усложняет вычислительный процесс.

Поставленная задача интерполяции решается с меньшим числом узлов, если учитывать локальные свойства функции. Из доказательств теоремы оценки остаточного члена интерполяционного сплайна [3] следует, что на тех участках, где q" (t) мала, можно взять сетку с меньшим шагом, по сравнению с теми участками, где она велика. Исходя из этого, составляется алгоритм построения сетки. Прежде всего, промежуток движения [tH, tj разбивается на участки монотонности функции q" (t), каждому из которых будет соответствовать определенное значение шага h. Пусть q" (t) монотонно убывает на некотором участке [ta, tj. Тогда, в силу монотонности второй производной на [ta, tb] имеем ||q"(t)||c|0ib| = |q"(t«)|.

Требуемая точность е достигается при шаге сетки, рассчитываемом по формуле:

h = I 8 е

а Ж(ОГ

Если q" (t.) * 0, то полагаем t ,, = t + h.. Если же

AVa' a Т 1 dd

q" (tj = 0, Tota+| = tb. Начиная этот процесс от левой границы отрезка [ta, tb], мы последовательно находим узлы до тех пор, пока очередная точка не выйдет за правую границу отрезка. Следующий участок разбивается потакомуже алгоритму. Если q" (t) монотонно возрастает, очевидно, процесс построения сетки следует начинать с правой границы интервала [ta, tj.

Убедимся в эффективности неравномерного распределения узлов интерполяционной сетки на конкретном примере. В целях определения функции q" (t) решим задачу интерполяции на некоторой равномерной сетке. Разобьем траекторию, например, на 11 участков с одинаковым шагом. Зададим коор-

динаты узлов: на промежутке с 1-го по 5-й участок значение обобщенной координаты равно 63 относительных единиц, на участке 6 значение координаты возрастает до 103 относительных единиц и остается неизменным на промежутке с 7-го по 11 -й. Результат решения представлен на рис. 1. Максимальная величина остаточного члена на участках колебаний при таком распределении узлов равна 3,98 относительных единиц.

Теперь, имея априорную информацию о функции q" Ц), реализуем описанный выше алгоритм построения неравномерной сетки (табл. 1, рис. 2).

В этом случае максимальное значение остаточного члена не превышает величины требуемой по условию задачи точности е = 2, а число участков равно 10.

В результате проведенных теоретических исследований получены следующие результаты:

— рассмотрен метод сплайн-интерполяции траектории движения схвата манипулятора в пространстве обобщенных координат на сетке с неограниченным числом узлов. Получены выражения для расчета суммы свободных коэффициентов и степеней полиномов, составляющих сплайн-функции.

— разработан алгоритм построения интерполяционной сетки, учитывающий локальные свойства функции. Такой подход позволяет достичь требуемой точности описания траектории, исключив при этом неоправданное увеличение числа узлов сетки.

Библиографический список

1. Шахинпур, М. Курс робототехники : пер. с англ / М. Ша-хинпур,- М.: Мир, 1990. - 527 с.

2. Фу, К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли. — Мир, 1989. - 621с.

3. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 352 с.

ХОМЧЕНКО Василий Герасимович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и робототехника».

ГОРБАТЫХ Александр Сергеевич, аспирант кафедры

«Автоматизация и робототехника«».

Адрес для переписки: email: gorbatykh@list.ru

Статья поступила в редакцию 17.02.2011 г. © В. Г. Хомченко, А. С. Горбатых

Книжная полка

УДК 620/М34

Материаловедение в машиностроении и промышленных технологиях [Текст]: учеб.-справ. рук. / В. А. Струк [и др.]. - Долгопрудный: Интеллект, 2010. - 535 с. - ISBN 978-5-91559-068-6.

В учебно-справочном руководстве изложены основы материаловедения машиностроительных материалов: металлов, полимеров, керамики, древесины и композитов на их основе. Приведены сведения о физико-химических процессах формирования структуры материалов при различных видах энергетических воздействий. Для всех типов материалов дан анализ взаимосвязи их структуры и свойств. Рассмотрены технико-экономические аспекты выбора материалов для различных узлов машин и механизмов. В издании впервые изложена ведущая тенденция современного материаловедения: эволюция материалов от обычных к многофункциональным, далее к активным, а затем к «умным», уделено внимание специальным материалам с особыми физическими свойствами (магнитные, высокоомные материалы, сверхпроводники, сплавы с «эффектом памяти» и др.), а также методам инженерии поверхности и высокоэнергетическим технологиям модифицирования поверхностных слоев машиностроительных изделий, высокоскоростной кристаллизации материалов, нанесению покрытий и др.