Периодические колебания неоднородной струны с закрепленными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.946

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ*

И.А. Рудаков

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]

Рассмотрена задача о периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения с коэффициентами общего вида, зависящими от переменной х. Доказано существование счетного числа периодических решений в случае однородных граничных условий Дирихле на отрезке, если нелинейное слагаемое имеет степенной рост. Доказательство проведено вариационным методом. Периодические решения являются критическими точками функционала энергии, существование которых доказывается с помощью метода Файрайсла. В случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности, приведены формулировка теоремы о существовании и регуляризации по крайней мере одного периодического решения, а также условия, при которых периодическое решение единственно. Доказательство теоремы получено с использованием принципа Лере-Шаудера о неподвижной точке и опирается на ранние работы автора настоящей статьи.

Ключевые слова: волновое уравнение, периодические решения, задача Штурма -Лиувилля, критические точки функционала.

PERIODIC OSCILLATIONS OF AN UNHOMOGENEOUS STRING WITH FIXED ENDS

ЕА. Rudakov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]

The paper considers the problem of time-periodic solutions to the quasi-linear wave equation with x-dependent coefficients of a general form. The author proves the existence of a denumerable number of periodic solutions, if there are homogeneous Dirichlet boundary conditions on the segment when the nonlinear term features a power-law growth. The proof is based on a variational method. Periodic solutions are energy functional critical points, the existence of which is proved with the help of the Feireisle method. The author formulates a theorem about the existence and the regularization of at least one periodic solution in the case when the nonlinear term satisfies a non-resonance condition at infinity. The author also describes the conditions under which the periodic solution is unique. The proof of the theorem is obtained using the Lera- Schauder principle of a fixed point and it is based on the author’s previous research. Keywords: wave equation, periodic solution, Sturm -Liouville problem, functional critical point.

Keywords: wave equation, periodic solutions, Sturm-Liouville problem, functional critical points.

* Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ № 1.2640.2014.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

3

Введение. Рассмотрим задачу о периодических решениях волнового уравнения

p(x)utt — (p(x)ux)x + g(x,t,u) = 0, 0 < x < п, t G R; (1)

u(x,t + T)= u(x,t), 0 <x<п, t G R; (2)

u(0,t) = u(n,t) = 0, t G R. (3)

Функция p(x) удовлетворяет следующим условиям:

p(x) G C2[0,п], p(x) > 0 Vx G [0,п]. (4)

Уравнение более общего вида p(z)utt — (p(z)uz)z + h(z, t, u) = 0, описывающее распространение сейсмических волн, приводится к

уравнению (1) с помощью замены переменной x

P(s)

P(s)

z

ds.

0

Здесь p(z) — плотность породы; p(z) — коэффициент эластичности; Р = /Pp — акустический импеданс [1].

Введем обозначения:

Q = [0,п] х R\(TZ); np(x)

1 p" 1 / p'\

2 p 4 \ p у ;

П

B = j Vp(x)dx; Z+ = N ^{0}.

0

Задача о периодических решениях квазилинейного волнового уравнения с постоянными коэффициентами исследовалась во многих работах, например, [2-7]. Существование периодических по времени решений для волнового уравнения с переменными коэффициентами в случае, когда функция np(x) сохраняет постоянный знак np(x) > 0 Vx G [0, п] было доказано в работах [1, 8-10], для случая

np(x) < 0 Vx G [0, п] — в работе [11]. В настоящей работе доказано

существование периодических по времени решений задачи (1)-(3) при условии, когда функция np(x) может изменять знак на отрезке [0,п].

Квазилинейное волновое уравнение. Предположим, что существуют положительные константы A1, A2, A3, A4, r такие, что при всех (x,t,u) G Q х R выполнено неравенство

A3|u|r—1 — A4 < lg(x,t,u)l < Ai|u|r-1 — A2, (5)

где

2

r > 2, -Ai < A3 < Ai. (6)

r

Будем искать периодические решения, для которых период времени имеет вид

T = 2п-, a,b G N, НОД(а,Ь) = 1. (7)

a

4

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

Решение задачи (1)-(3) представим суммой ряда Фурье. Для построения соответствующей ортонормированной системы запишем задачу Штурма - Лиувилля в виде уравнений

-(p(x)p/(x))/ = \p(x)(fi(x); (8)

P(0) = р(ж) = 0. (9)

Рассмотрим пространства L2(0,п) и L2(Q), скалярное произведение в которых задается равенствами

(р,ф)= J ^^^p^dx-^ ррф е L2(0,n);

[0,п]

(u,v) = u(x,t)v(x,t)p(x)dx dt, u,v е L2(Q).

Для любой функции u е L2(Q) обозначим ||u|| = \/(u, u).

Задача, описываемая уравнениями (8), (9), имеет положительные, простые собственные значения А = An, n е N (An > 0), которым соответствуют собственные функции pn(x) [12]. Предположим, что функции pn(x) нормированы в пространстве L2(0,п). Согласно теореме Стеклова, система функций {pn(x)} является полной ортонормированной в пространстве L2(0,n). Из уравнений (8), (9) следует, что

, „ Г p'n(x)

система функций

An

также ортонормирована в пространстве

L2(0,п). Для задачи Штурма-Лиувилля (8), (9) доказано следующее асимптотическое представление собственных значений [12]:

х B 1

An = n + ----------+ an,,

2п n

(10)

где an = О ( -1

n2

n N.

Пусть H1(Q) — пространство Соболева, полученное замыканием

пространства С^(П) по норме ||u||i= \ (u2 + u/ + u2)p(x)dxdt

1/2

\П /

Н”0(П) — пространство, полученное замыканием по норме || • ||1 пространства бесконечно дифференцируемых во множестве П функций, финитных по x на отрезке [0,п] при каждом t. Система функций

Л

VT

Vn (x),

T

Pn(x)COS

a

bmt.

T

Pn(x) sin

a

bmt

m,n£N

является полной ортонормированной в пространстве L2(Q) системой. Обозначим D множество конечных линейных комбинаций функций

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

5

из системы Л. Определим оператор А0 : Ь2(П) ^ L2 (П), для которого D(Ao) = D и Aop = pptt - (ppx)x Ур е D(Ao). Пусть

А0Р

1

Р

А0р Ур е D(A0). Обозначим А

(А0)* в пространстве

L2(n). Функции из системы Л — собственные функции операторов А0

/ а \ 2

и А с собственными значениями pnm = ЛП — у-mj , n е N, m е Z+,

которым соответствуют собственные функции Tmpn(x) cos ((a/b)mt), n е N,m е Z+, Tmpn(x) sin ((a/b)mt), n,m е N. Здесь

m

1 jVT, m = 0; л/2 / VT, m е N.

Обозначим о(А) = |p-nm|n е N, m е Z+}.

С учетом представления (10) можно записать представление 1 В

pnm = 72(nb — am)(nb + am) +------+ an, где an ^ 0 при n ^ ж.

b2 п

Откуда следует существование единственной предельной точки В/п у множества о (А). При В = 0 обозначим через n0 такое натуральное число, что |an| < |B|/(2п) при n > n0.

Стандартно доказываются следующие свойства оператора А:

1) оператор А самосопряжен в пространстве L2(Q); 2) R(A) замкнут в пространстве L2(Q); 3) L2(Q) = KerA ® R(A); 4) при B = 0 пространство KerA конечномерно [1].

При r > 1 норму в пространстве Lr (П) определим равенством

/ \ 1/r

||u||r = I / |u|rp(x)dx I , u е Lr(П).

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция и е Lr(П) такая, что / u(ptt — (p(x)p'x)'x)dx dt +

+

g(x,t,u)p dx dt = 0 Ур е D.

n

n

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4), (7), функция g непрерывна на П х R, T — периодична по t, удовлетворяет требованиям

(5), (6) и либо функция g не зависит от t, либо g(x,t, —и) = —g(x,t,u) при всех (x,t,u) е П х R. Предположим также, что либо В > 0 и функция g не убывает по u при всех (x,t) е П, либо В < 0 и функция g не возрастает по u при всех (x, t) е П. Тогда для любого d > 0 существует обобщенное решение u е Lr (П) задачи (1)-(3) такое, что ||u||r > d.

6

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

◄ Рассмотрим случай B > 0 (случай B < 0 аналогичен). Обозна-

чим

M = {(n, m) £ N х Z+|^nm = 0,bn = am} (^J

b n

IJ <j (n,m) £ N х Z+|^nm = 0,m = an, a £ N,n < n0^ ;

Л1 = < JT<fn(x) cosnt, JT<pn(x) sinnt

n

n, — £ N, n > n0 > ; a

( n, m) £ M, m = 0

N1 = Ker (A), N2 = L(A1) — замыкание в пространстве L2 (П) конечных линейных комбинаций функций из множества Л1, N3 = L(A2). Отметим, что на N2 собственные значения оператора A равны B/n + + an и принадлежат к интервалу (B/(2п), 3B/(2п)).

Введем конечномерное подпространство En = N1 ® N2n ® N3n, где 2n > n0 и N2n, N3n — линейные оболочки множеств

U | У T ^n (x) cos bmt^/T^n (x) sin bmt

|pk (x) cos kt, pk (x) sin kt

k k k, -a

£ N, n0 < k < n

1

pk (x) cos -mt, pk (x) sin — mt | (k, m) £ M, k, m < n j

b ’^kW b

|^J< pk (x) cos kt, pk (x) sin kt

k, — £ N, k < n0 a

Рассмотрим на подпространстве En функционал F (u) = - (Au, u) +

2

u

+ j G (x,t,u) dxdt, где G (x,t,u) = j g (x,t, s) ds. n 0

Доказательство теоремы проведем, используя метод Файрайсла [14], разобьем доказательство на две части.

1. Доказательство существования критических точек F |En .

2. Переход к пределу при n ^ то.

1. Доказательство существования критических точек F |En. Представим En = Gc ф Lc, где Gc,Lc — линейные комбинации собственных функций оператора A с собственными значениями больши-

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

7

ми или не меньшими с. Из условия (5) выведем**

-A3 \u\r — A5 \u\ < G (x, t, u) < -A\ \u\r + A2\u\ Vx, t, u.

Поэтому для любого действительного с > 0 и любой функции u £ Gc получим

F (u) > -ciiu\\2 + A3\\u\ir Обозначим h (т) = A6Tr

A5 \ \ u\ \bl > A, \ \u\ \r — 2\c\ \ \u\ \2

2 \ C \ T

-

A7t. Функция h(T)

A7 \ \ u \ \ .

ограни-

чена снизу и h (т) ^ при т ^ +то. Поэтому существует

m (с) = min h (т) — 1. Следовательно,

[0,+гс)

F (u) >m (с) Vu £ Gc. (11)

Разложим функцию u £ En в ряд Фурье:

u=

Е Vn (x) (arim cos bmt + bnm sin ^mt) .

(n,m)gN xZ+

Обозначим

\ \ \ u \ \ \ s = \ bnrn \ (anm + bnm) .

(n,m)^N xZ+

/ r___2 r \ r__1

Возьмем число a £ I —-------- , —---- I и обозначим в = 2a---.

V2(r-1)’2(r-1)/ 1 r

Используя неравенство Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, выведем

\\u\\r < Ci\\\u\\\e Vu £ H3n. (12)

Обозначим Sn = {u £ En| \\\u\\\e = 1}.

Лемма 1. Для любого действительного числа d существует число w(d) < 0 такое, что

F(u) < d Vu £ {v £ Lw(d)\\\\v\\\e = 1}.

◄ Пусть w < 0. На множестве N2n собственные значения оператора А положительные. Следовательно, Lu С N3n. Пусть u £ Luf) Sn, amk , bmk — коэффициенты фурье-функции u. Используя (12), выведем существование константы C > 0 такой, что

F (u) <

<-1 Е < 2 ^

(m,k)gM

\bmk \ {amk + bmk) + r

J \u\rdxdt + A2 n n

\ u\ dxdt <

**Здесь и далее буквами с индексами A2,...; C\, C2,... обозначим положи-

тельные константы.

8

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

1

'У ] \^m,k \ \^m,k \ (amk +

i,k)eM

+^mo+C ныне+C \\\u\\\e —

< — — 2

amk

(m,k)€M

— -1 jwj1-'9\\\и!!!в + 2C

1

2

\w\1 e + 2C ^ —to

при \w\ ^ to. Откуда вытекает утверждение леммы. ►

Возьмем произвольное c < 0. Зафиксируем число с1 < ш (c) такое, что Lc1 С Ьш(с) (Lc1 = L^(c)j. Обозначим 7 (c) = min (m (c1), c - 1).

Докажем, что на отрезке [7 (c), c] есть критическое значение FI . Предположим противное. Тогда стандартно доказывается существование непрерывного отображения h : En ^ En такого, что h ({u\F (u) — c}) C {u\F (u) — 7 (c)} и h является нечетным отображением, если функция д нечетна относительно u, или h(u(^,t + + т)) = h(u)(^t + т) Vr G [0, T], если функция д не зависит от t [14]. Пусть P : En ^ LC1 — ортогональный проектор в пространстве L2 (П). Докажем, что

Предположим противное, т.е. существует u0 G Sn f] Lw(c) такое, что Ph (u0) = 0. Тогда h (u0) G Gw(c) С Gc1, поскольку c1 < ш (c). Тогда из (11) следует

Поскольку u0 G Lu(c)f] Sn, имеем F (u0) — c. Таким образом, F (h (u0)) — 7 (c) — m (c1). Это противоречит (14). Следовательно, верно (13). Однако Ph — отображение сферы в пространстве Lw(c) на подпространство меньшей размерности. Если функция д нечетна относительно u, то это противоречит теореме Борсук-Улама [14]. Если функция д не зависит от t, то это противоречит S1 -теореме Борсук-Улама [14]. Существует критическая точка un функционала в FIE такая, что F(un) G [7 (c), c], т.е.

Ph (u) = 0 Vu С Sn P| Lw(c).

(13)

F (h (u0)) > m (c1).

(14)

(15)

dx dt < c.

(16)

Умножим (15) на 1/2 и примем

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

9

Вычтем из полученного уравнения выражение (16) и запишем

-Y (с) > J п

Из (5), (6) выведем

1

2

g (x t, un) un

G (x,t,un)

dx dt > —c.

S\u\r - ^“24 + |u| - As < 2ug (x, t, un) -

— G (x, t, un) < ^2Ai + rA / |u|r + + As) |u| + As.

1

1

Здесь S = -A3--------A1. Следовательно, существуют константы C1,

2 r

C2 > 0 такие, что

|| un|| r < C2j

|| un|| Г + C2 ||un Wr + C2 > C1|c|.

Поскольку ||un||r + 1 > ||un||r, найдем

C1|c| - 2C2

(17)

|Mr >

C2 + 1

(18)

2. Переход к пределу при n ^ ж. Из (17) следует существование подпоследовательности, которую также обозначим un, un ^ u в пространстве Lr(П) слабо, g (x,t,un) ^ h в Lq(П) слабо. Здесь q = (r - 1)/r. Докажем, что u — решение (обобщенное).

Пусть un = u1n + u2n + u = u1 + u2 + u3; uk ,ukn £ Nk,

k £ {1, 2,3}. Тогда ukn ^ uk слабо в пространстве L2(H), k £ {1, 2, 3}. На пространстве N2 оператор А ограничен. Следовательно, Au2n^Au2 слабо в пространстве L2 (П). Действительно, для любого ф £ L2(H) имеем (Au2n, ф) = (Au2n,^2) = (u2n,Aф2) ^ (u2,Aip2) = (А^,ф), где ф2 — ортогональная проекция в пространстве L2(H) функции ф на подпространство N2.

Пусть anmk., &mk) a^k, Ь^к — коэффициенты Фурье un и u. Обозначим

JR = ^ ^mk | (Kk)2 + (bmk)2). Возьмем R> 2с1 + с2 и

\ftmk \^R

w = ^ sgn (^mk) фт (x) (a^k COS

\^mk \^R

bkt) + bmk sin (akt)).

Подставим w в (15). Используя (12) и неравенство Гельдера, получим

Jr = - g (x,t,un) wdxdt < ||g (x,t,ur,) ||q|М|г < C3C1 |И|в =

п

10

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

= C3C1

\

|^mT=e )2 + к>„ )2) <

I __ 11—в V(amk

|^mfc |^R

C2

\ Amk \

Следовательно, JR < _ „ ^ 0 при R ^ то, отсюда

R1—e

n \2

lim E A-k ((«n,k)2 + )2)

71,—^ OO ' ■* 4 7

(m,k)€M

C_ /у

1—

R 2

Hm (Au3n,u3n) ^ ] A-k ( (amk) + (bmk) ) '

(m,k)€M

Перейдем к пределу при n ^ то в (15) при фиксированном

w Е Eni, n1 е N:

(Au2,w) + (u3, Aw) + j hwdxdt = 0. (19)

n

Докажем методом монотонности, что h = g (x,t,u). Для любого элемента v Е Lr (П) р| D (A) имеем

(Av2 - Au2n, V2 - U2n) +

+ (g (x,t,v)

n

Примем в (15) w = un. Тогда

g (x,t,un))(v — un) dxdt > 0. (20)

lim

n

(Au2n,U2n)+ g (x,t,Un) Undxdt

= — E Amt ((a°mk)2 + (b-mkf) • (21)

(m,k)gM

Подставим в (19) w = un и устремим n ^ то: (Au2,u2) + + J hudxdt = — E Amk (^(a-nk)2 + (b-k)^. Откуда из (21) полу-

n

чим

(m,k)gM

lim

n

(Au2n,U2n)+ g (x,t,Un) Undxdt

= (Au2,u2) + hudxdt. (22)

Перейдем в (20) к пределу при n ^ то: (Av2 — Au2,v2 — u2) +

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

11

+

ф

J (g (x, t, v) — h) (v — u) dx dt > 0. Возьмем v = u + тф, т > 0, п

£ Lr("| D (A): т (Аф,ф2) + / (g (x,t, u + тф) — h) фdxdt > 0.

п

Устремим т ^ 0: J (g (x,t,u) — h) фdxdt > 0 Уф £ Lr(Q) p| D (A).

п

Следовательно, h = g (x,t, u). Отсюда и (19) следует, что u является обобщенным решением. Оценка ||u||r > d вытекает из (5), (18), (22). Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний неоднородной струны

p(x)utt — (p(x)ux)x = g(x,t,u) + f (x,t), 0 < x < п, t £ R. (23)

Предположим, что нелинейное слагаемое g удовлетворяет следующему условию: существуют а, в £ R, C £ (0, +то) такие, что

а < ^ ’—) < в Vu £ (—то, — C) I l(C, +то), y(x, t) £ Q. (24)

p(x)u w

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть g £ C:(Q x R), T периодична по t, выполнены условия (4), (7) и существуют положительные константы M1,M2 такие, что |gt(x, t, u) | < M1 |u| + M2 V(x, t,u) £ Q x R. Предположим, что либо B < 0 и выполнено условие (24), в котором а > В/п,

[а, в] П а(А) = 0 и —y < ^u) < M3 V(x,t,u) £ Q x R, либо

p(x)

В > 0 и выполнено условие (24), где в < В/п, [—в, —а] р| &(А) = 0

и —y < —Уи(х’^’и) < M3 V(x,t,u) £ Q x R, M3 > 0, y £ (0, |B |/п). p(x)

Тогда для любой функции f (x,t) £ H1(Q) задача (2), (3), (23) имеет обобщенное решение u £ H0(Q).

Доказательство существования решения опирается на теорему 3.1, приведенную в работе [10], доказательство гладкости решения дано в работе [15].

Замечание. Полученное в теореме 2 решение будет единственно, если дополнительно условиям этой теоремы потребовать при В < 0 выполнения условия

а(u

v)2 <

1

p(x)

(g(x,t,u) — g(x,t,v))(u

< в (u —

— v) <

v)2Vu, v £ R, V(x, t)

£ Q,

а при В > 0 — условия

12

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

a(u

v)2 <

1

p(x)

(g(x,t,v) - g(x, t,u))(u

v) <

< в(u — v)2 Vu, v G R, V(x, t) G П.

Заключение. Согласно теоремам 1, 2 и замечанию, в случае степенного роста по u нелинейного слагаемого волновое уравнение может иметь счетное число периодических решений, у которых Lr-норма стремится к бесконечности, а если нелинейное слагаемое имеет по u не более чем линейный рост, то волновое уравнение может иметь только одно периодическое решение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Barby V., Pavel A.#.Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 349. No. 5. P.2035-2048.

2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math. 1978. Vol.31. No. 1. P.31-68.

3. Bahri A., Brezis ^.Periodic solutions of a nonlinear wave equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1980. Vol. 85. P. 310-320.

4. Brezis H. , Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. 1978. Vol. 31. No. 1. P. 1-30.

5. Плотников П.И.Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Матем. Сб. 1988. Т 136 (178). № 4 (8). С. 546-560.

6. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // chechosl. Math. J. 1988. Vol. 38. No. 1. P. 78-87.

7. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., Мех. 1984. № 2. С. 9-13.

8. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Матем. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 3. С.427-438.

9. Shuguan /.Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients // Calc. Var. 2008. Vol. 32. P. 137-153.

10. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами // Матем. Сб. 2007. Т. 198. № 4 (8). С. 546-560.

11. Кондратьев В.А., Рудаков И.А. О периодических решениях квазилинейного волнового уравнения // Матем. заметки. 2009. Т. 85. Вып. 1. С. 36-53.

12. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 351 с.

13. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Известия РАН. Сер. Матем. 2006. № 1. С. 1-10.

14. Feirisl E. On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin plate // Chechosl. Math. J. 1998. Vol. 37. No. 2. P. 334-341.

15. Рудаков И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 226-232.

REFERENCES

[1] Barby V, Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coefficients. Trans. Amer. Math. Soc., 1997, vol. 349, no. 5, pp. 2035-2048.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. №4

13

[2] Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation. Comm. Pure Aple. Math., 1978, vol. 31, no. 1, pp. 31-68.

[3] Bahri A., Brezis H. Periodic solutions of a nonlinear wave equation. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1980, vol. 85, pp. 310-320.

[4] Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations. Comm. Pure Aple. Math., 1978, vol. 31, no. 1, pp. 1-30.

[5] Plotnikov P.I. Existence of a Countable Set of Periodic Solutions of the Forced Vibration Problem for a Weakly Nonlinear Wave Equation. Mat. Sb. [Sbornik: Mathematics], 1988, vol. 136 (178), no. 4 (8), pp. 546-560 (in Russ.).

[6] Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term. Chechosl. Math. J., 1988, vol. 38, no. 1, pp. 78-87.

[7] Rudakov I.A. Nonlinear Vibrations of a String. Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat., Mekh. [Moscow Univ. Math., Mech. Bull.], 1984, no. 2, pp. 9-13 (in Russ.).

[8] Rudakov I.A. Periodic Solutions of Nonlinear Wave Equation with Non-Regular Coefficients. Mat. Zametki [Math. Notes], 2004, vol. 76, iss. 3, pp. 427-438 (in Russ.).

[9] Shuguan J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependet coefficients. Calc. Var, 2008, vol. 32, pp. 137-153.

[10] Rudakov I.A. Periodic Solutions of a Quasilinear Wave Equation with Variable Coefficients. Mat. Sb. [Sbornik: Mathematics], 2007, vol. 198, no. 4 (8), pp. 546-560 (in Russ.).

[11] Kondrat’ev V.A., Rudakov I.A. Periodic Solutions of a Quasilinear Wave Equation. Mat. Zametki [Math. Notes], 2009, vol. 85, iss. 1, pp. 36-53 (in Russ.).

[12] Trikomi F. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations]. Moscow, URSS Publ., 2003. 351 p.

[13] Rudakov I.A. Periodic Solutions of Nonlinear Wave Equation with Homogeneous Boundary Conditions. Izv. Akad. Nauk, Ser. Mat. [Bull. Russ. Acad. Sci.: Math.], 2006, no. 1, pp. 1-10 (in Russ.).

[14] Feirisl E. On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin plate. Chechosl. Math. J., 1998, vol. 37, no. 2, pp. 334-341.

[15] Rudakov I.A. On the Time-Periodic Solutions of Quasi-Linear Wave Equation. Tr. MIAN [Proc. Steklov Math. Institute], 2010, vol. 270, pp. 226-232 (in Russ.).

Статья поступила в редакцию 12.02.2015

Рудаков Игорь Алексеевич — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры “Прикладная математика” МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специалист в области прикладной математики. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Rudakov I.A. — D.Sc. (Phys.-Math.), Professor of Mathematics, Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University, author specializes in the field of applied mathematics.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Рудаков И.А. Периодические колебания неоднородной струны с закрепленными концами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 4. C. 3-14.

Please cite this article in English as:

Rudakov I.A. Periodic oscillations of an unhomogeneous string with fixed ends. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2015, no. 4, pp. 3-14.

14

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4