Научная статья на тему 'Параметрический синтез отображения осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени'

Параметрический синтез отображения осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
108
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА / ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ / АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА / ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС / NONLINEAR DYNAMICS / DISCRETE TIME / SELF-OSCILLATION SYSTEM / DYNAMIC CHAOS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зайцев Валерий Васильевич, Нураев Дмитрий Борисович, Юдин Александр Николаевич

Предложено новое дискретное отображение классической автоколебательной системы - осциллятора Ван дер Поля. Отображение получено на основе сочетания методов параметрического синтеза и инвариантности импульсных характеристик динамических систем. Приведены примеры генерации регулярных и хаотических автоколебаний.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

PARAMETRICAL DESIGN OF DISCRETE MAPPING OF VAN DER POL OSCILLATOR

New discrete mapping of a classical self-oscillating system van der Pol oscillatoris proposed. Mapping is obtained on the basis of combining the methods of parametric synthesis and the invariance of pulse characteristics of dynamical systems. Examples of generating regular and chaotic self-oscillations are given.

Текст научной работы на тему «Параметрический синтез отображения осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени»

УДК 621.373.12

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОТОБРАЖЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ВАН ДЕР ПОЛЯ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

© 2013 В. В. Зайцев, Д. Б. Нураев, А. Н. Юдин Самарский государственный университет

Предложено новое дискретное отображение классической автоколебательной системы - осциллятора Ван дер Поля. Отображение получено на основе сочетания методов параметрического синтеза и инвариантности импульсных характеристик динамических систем. Приведены примеры генерации регулярных и хаотических автоколебаний.

Нелинейная динамика, дискретное время, автоколебательная система, динамический хаос.

1. Современная нелинейная динамика [1] рассматривает эволюцию динамических систем как в непрерывном (НВ), так и в дискретном времени (ДВ). Модели и методы нелинейной НВ-динамики широко и успешно применяются в радиофизике, биофизике, экологии, химических технологиях и многих других отраслях науки и техники. В области дискретного времени нелинейная динамика смыкается с цифровой обработкой сигналов [2], и объекты ДВ-динамики могут служить основой алгоритмов обработки. Для выполнения этих функций необходим широкий круг ДВ-систем, обеспечивающий возможность выбора заданной характеристики преобразования сигналов. Поиск таких систем следует рассматривать в качестве одной из задач нелинейной динамики дискретного времени.

Как правило, объекты НВ-динамики являются результатом формализации физических (химических, биологических и т.д.) моделей реально существующих систем, в то время как ДВ-системы в большинстве случаев возникают в результате дискретизации времени в НВ-системах. При этом конкретная форма процесса дискретизации существенным образом влияет на характеристики полученной (синтезированной) ДВ-системы. Заметим, что для обозначения ДВ-систем часто используется также термин «дискретные отображения».

Широко известен ряд способов построения дискретных отображений. В качественной теории динамических систем это сечения Пуанкаре [1]. Для гамильто-новых систем с помощью введения в гамильтониан нелинейных дельта-воздействий строятся универсальное и стандартное отображения [3]. Рассматривается также и самый прямой способ дискретизации времени - конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении движения системы. Но он не даёт эффективных алгоритмов преобразований сигналов ДВ-системами [2].

В теории и практике синтеза линейных дискретных фильтров находит применение метод инвариантности импульсных характеристик (МИИХ) относительно дискретизации времени. Он привлекателен с физической точки зрения, т.к. сохраняет временные характеристики отклика линейной системы на внешнее воздействие. В работах [4, 5] метод распространён на автоколебательные системы томсоновского типа. В настоящей работе МИИХ дополнен элементами параметрического синтеза и получен новый вариант дискретного отображения осциллятора Ван дер Поля - базовой модели теории нелинейных колебаний.

2. В рамках МИИХ линейному дис-сипативному НВ-осциллятору с собственной частотой (О0 и добротностью Q

С2 х ю0 Сх 2

—^ + —— + ю02 х = 0 &2 0 сИ

(1)

ставится в соответствие ДВ-осциллятор

х[п] - 2 ооз(2к О0 )а0х[п -1] + а02х[п - 2] = 0,

(2)

где О 0 - собственная частота ю0, измеряемая в единицах частоты дискретизации, а 0 - параметр линейной диссипации:

а 0 = ехр

С О ^

- к

0 0

(3)

Опираясь на физическую модель системы, уравнение движения осциллятора Ван дер Поля запишем в виде

С2 х ю.

+ Ю- (1 - Р(1 - х2))СХ + ю2 х = 0. (4)

ёх2 0

СХ

Здесь р - коэффициент превышения (р > 1) порога генерации (р = 1).

Коэффициент при первой производной в уравнении (4) рассматриваем как нелинейный параметр диссипации. Тогда при дискретизации времени в нелинейной системе, по аналогии с переходом (1) ® (2), предлагается совершить переход от дифференциального уравнения (4) к разностному уравнению

х[п] - 2 еов(2к О 0 )а (х[п - 1])х[п -1] + + а2 (х[п - 2])х[п - 2] = 0,

(5)

где диссипативная функция с учётом (3) принимает вид

(

а(х) = ехр - к — (1 - р(1 - х2))

V 0

Л

Разностное уравнение движения (5) с учётом (6) даёт итерируемое дискретное отображение - алгоритм генерации ДВ-автоколебаний. Конечно, этот образ осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени лишь один из множества возможных (см., в частности, [4, 5]).

Нетрудно показать, что при высоких частотах дискретизации (О0 ® 0) разностное уравнение (5) переходит в дифференциальное уравнение (4), и тем самым ДВ-осциллятор сохраняет «верность» НВ-прототипу.

3. Приведём некоторые результаты, иллюстрирующие режимы генерации ДВ-осциллятора Ван дер Поля (5). Значение добротности в дальнейшем остаётся постоянной величиной 0 = 20, а собственная частота резонатора О0 и уровень возбуждения р варьируются.

На рис. 1 а показаны амплитудный спектр А(О) и предельный цикл автоколебаний ДВ-осциллятора с параметрами О 0 = 0,21, р = 3,8. Этот режим генерации

качественно полностью соответствует свободным автоколебаниям в НВ-системе. Специфика ДВ-системы проявляется лишь в том, что вследствие эффекта подмены частот [2] гармоники автоколебаний наблюдаются на частотах, не кратных основной частоте (на рис. 1 прослеживаются третья и пятая гармоники). Взаимодействие подменённых гармонических составляющих приводит, в конечном счёте, к хаотизации автоколебаний при значительных уровнях возбуждения. Рис. 1 б, на котором представлены усреднённый амплитудный спектр А (О) и хаотический аттрактор автоколебаний, иллюстрирует режим генерации динамического хаоса в осцилляторе с параметрами О0 = 0,31 и р = 12 . Дальнейший рост уровня возбуждения до значения р = 38 переводит ДВ-осциллятор (5) в режим генерации хаотических импульсов, показанных в правой части рис. 1 в.

100

10

0.1

0.01

А(3)

1.5 1

0.5 0

0 0.1 0.2 0.3

0.4

а

-0.5

а

1 1.5

А(3)

3.5

2.5

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4

а

А(3)

1

/ }

У" У VI \

г

-2

1 Ф/ 1 1

— -

| | х/п-1/

б

-2

-1

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 ¡3

-10

0 50 100 150 200 250 300

1

5

2

4

1

3

0

2

1

1

0

0

1

2

4

5

3

0

5

2

в

Рис. 1. Амплитудные спектры и фазовые портреты автоколебаний ДВ-осциллятора Ван дер Поля

4. Таким образом, представленный дискретный осциллятор Ван дер Поля демонстрирует набор разнообразных режимов автоколебаний: как регулярных, так и хаотических. Одно из возможных применений ДВ-осциллятора в режиме регулярных автоколебаний - синхронное и частотное детектирование [6]. Широкий спектр хаотических автоколебаний позволяет использовать их для маскировки информационных сигналов, например, так, как это предложено в статье [7].

Библиографический список

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики [Текст] / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

2. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Оппенгейм, Р. Шафер - М.: Техносфера, 2006.- 858 с.

3. Заславский, Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика [Текст] / Г.М. Завславский - М. - Ижевск: НИЦ РХД,

Ижевский институт компьютерных исследований, 2010. - 472 с.

4. Зайцев, В. В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля [Текст] / В.В. Зайцев, С.В. Давыден-ко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2000. - Т.3. - №2. - С. 64-67.

5. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами [Текст] / В.В. Зайцев [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. - №4. -С. 98-103.

6. Зайцев, В. В. Метод усреднения и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний [Текст] / В.В. Зайцев, А.В. Карлов (мл.), Ар. В. Карлов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2011. - Т. 14. - №4. - С. 77-80.

7. Зайцев, В. В. Способ защиты информации с использованием алгоритма генерации хаотических автоколебаний [Текст] / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // Вестник СамГУ. - 2006. - № 9(49). - С. 66-71.

PARAMETRICAL DESIGN OF DISCRETE MAPPING OF VAN DER POL OSCILLATOR

© 2013 V. V. Zaitsev, D. B. Nuraev, A. N. Yudin

Samara State University

New discrete mapping of a classical self-oscillating system - van der Pol oscillator- is proposed. Mapping is obtained on the basis of combining the methods of parametric synthesis and the invariance of pulse characteristics of dynamical systems. Examples of generating regular and chaotic self-oscillations are given.

Nonlinear dynamics, discrete time, self-oscillation system, dynamic chaos.

Информация об авторах

Зайцев Валерий Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор, профессор кафедры радиофизики, Самарский государственный университет. E-mail: zaitsev@samsu.ru. Область научных интересов: нелинейная динамика, статистическая радиофизика, численное моделирование.

Нураев Дмитрий Борисович, аспирант, Самарский государственный университет. Область научных интересов: нелинейная динамика.

Юдин Александр Николаевич, аспирант, Самарский государственный университет. Область научных интересов: нелинейная динамика.

Zaitsev Valery Vasilyevch, candidate of physics and mathematics, professor, professor of the department of radiophysics, Samara State University. E-mail: zaitsev@samsu.ru. Area of research: nonlinear dynamics, statistical radiophysics, numerical modeling.

Nuraev Dmitriy Borisovich, postgraduate student, Samara State University. Area of research: nonlinear dynamics.

Yudin Alexander Nicolaevich, postgraduate student, Samara State University. Area of research: nonlinear dynamics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.