CC BY
38
Для решения задачи (6.1) используем ОРФ-3 третьего порядка точности:
Уз(х„ + РЬ) ~ Ст ■ у(0) +
+ С02-у(\) + к2С21-/(0) + (62)
+ к2С22-у\\) + Офъ). Коэффициенты в (6.2) определяются из САЛУ-4 при 8=0, Р=1/2:
' (6.3)
Ql + С02 + 0 + 0 = 1; _ 1 ~ 2
0 + С02 + -'СМ 2! +--сю 3! + 0 + 0
0 +сг 1 +С22 2
0 + 0 + сп 2
^02 = С =— С = ‘-'(и 2 ’ 22 —— с 16’ 21
23-3! 16'
Согласно условиям (6.2) и (6.4)
'П 1 А 11,
= -•4 +------1-
2 2 2
(6.4)
у(х +h(3) = у •24
16
16
(6.5)
- = 1,728. 2
ч 2 у
г—ъ*\лп. (6-6)
1+-2
(1 + х)2
Погрешность для задачи (6.3) при (6.6) - 1,7777-1,7280
8огФ=- ---------------Ю0% = 2,8%. (6.7)
Л. Коллатц [1] получил решение (6.1) методом конечных разностей (МКР) с погрешностью дмкр= -4,3%:
'О
(6.8)
У
у2;
= 1,8549 Литература
Точное решение задачи (6.1):
1. Коллатц JL. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.■— М.: ИИЛ, 1953,— С. 42-45; 102-103.
2. Mohr Е.. Deutsche Mathematik.— Bd 4, 1939.— S. 425.
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З.. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. -С. 153, 154.
4. Гольцов Н.А.. Основы численного анализа и алгоритмов для многопроцессорных вычислительных систем. - М.: МГУЛ, 2002. - 96 с.
ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУПРИПОДНЯТЫХ СТВОЛОВ И ХЛЫСТОВ И ВЛИЯНИЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ НА ЧАСТОТУ ОСНОВНОГО ТОНА
Г.А. ИВАНОВ, доцент МГУЛа, к. т. н.
Исследуемый предмет труда аппроксимирован зависимостью со всюду выпуклым продольным профилем [2]. Кроме того, распределение масс вдоль оси ствола может быть переменным, например, у хвойных пород деревьев; модуль упругости у различных пород также различен. Поэтому исследуем влияние полнодревесности, высоты подъема конца и неравномерно распределенной нагрузки на частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола.
Вычисления частоты основного тона колебания полуприподнятого ствола прово-
дим по математическим моделям, полученным в [1]. При этом достоверность моделей можно оценить непосредственно сравнением с точным решением, полученным для цилиндрических тел по формуле, приведенной в [4].
Ввиду большого разброса параметров дерева в качестве расчетного будем анализировать ствол сосны 16 ... II разряда высоты по Д.И. Товстолесу длиной ствола Ьс = 28 м и хлыста Ьх = 24 м, диаметрами (11,з = 20 ... 44 см, высотой подъема одного конца ствола (хлыста) Н = 0,7 ... 1,6 м, коэффициентом формы Ц2 = 0,4 ... 1, плотно-
стью р = 500 ... 1000 кг/м3 и средним модулем упругости ствола Е = 90- 102... 180- 102 МПа [3]. Колебания рассматриваются при постоянной по длине средней плотности древесины ствола, ввиду незначительного влияния изменения плотности по длине на частоту колебания.
0,2 г
Хлыст
(подъем за верхний отруб)
Ствол (подъем за комель)
I 1
£ о
а
с
-0,2
0 5 10 15, м
Упругая линия ствола, хлыста
Рис. 1
Вначале приведем форму колебания для ствола с параметрами: Ьс = 28 м и Ьх = 24 м; ёи = 20 см; а& = 0,65; Н = 0,934 м; р = 863,4 кг/м3 и Е = 145- 102 МПа (рис. 1). Эти же величины использовались при вариациях одного из оцениваемых параметров. Отклонения стрелы прогиба упругой линии направлены вниз от нейтральной (нулевой) линии. В данном случае длина поднятой части ствола Ь = 15,05 м, а у хлыста Ь = 14,25 м.
й н
0
Й й
ЕГ _ 5
э я
1
ю
е-о ю о
и
120
80
40
0
ей
У ео ^ я
І-Г О
.. ёгю ё
£
I *
>>
<и 3 Н н
і | и се
ЕГ
0,2 0,28 0,36 0,44
Диаметр на высоте груди, м
Рис. 2
Проанализируем влияние диаметра на высоте груди на частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола и хлыста (рис. 2). Из рис. 2 следует, что, во-первых, собственная частота колебаний
собственная частота колебаний хлыста, поднятого за верхний отруб, больше, чем у ствола, поднятого за комель во всем диапазоне изменения диаметра; во-вторых, при увеличении диаметра на 120 % рост частоты составляет всего 2,5 % у ствола и 3,4 % у хлыста. Отсюда заключаем, что диаметр на высоте груди практически не влияет на частоту основного тона колебания полуприподнятого предмета труда.
Далее проанализируем влияние средней плотности древесины на частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола и хлыста (рис. 3). Из рис. 3 следует, что, во-первых, собственная частота колебаний хлыста, поднятого за верхний отруб, больше, чем у ствола, поднятого за комель во всем диапазоне изменения средней плотности древесины; во-вторых, при увеличении средней плотности древесины на 100 % уменьшение частоты составляет всего 0,6 % у ствола и 1,4 % у хлыста. Отсюда заключаем, что средняя плотность древесины практически не влияет на частоту основного тона колебания полуприподнятого предмета труда.
11,5
11
сЗ
н о &
<я
т о 10,5 3
Я о. х „
% >
Й ю о
и
10
9,5
9
——V * \ ф
/ ) \ ф
У гаыст
п
ф ф * Ф ствол //
100
75
50
25
о
■25
Я ^ о со О
*
н
о
ч
с
500 750 1000
Плотность, кг/м3
Рис. 3
Влияние средней величины модуля упругости древесины ствола на частоту основного тона колебания полуприподнятого предмета труда также незначительно. Именно при увеличении среднего модуля упругости древесины на 100% сЕ = 90- 102доЕ= 180- 102МПа рост частоты основного тона колебания полуприподнятого предмета труда составляет всего 0,5 % у ствола и 1,4 % у хлыста. Ввиду малости изменения частоты основного тона графическое изображение не строим.
Теперь проанализируем влияние пол-нодревесности, то есть коэффициента формы на половине высоты ствола, на частоту основного тона колебания полуприподнято-го ствола и хлыста (рис. 4). Из рис. 4 следует, что, во-первых, собственная частота колебаний хлыста, поднятого за верхний отруб, больше, чем у ствола, поднятого за комель, почти во всем диапазоне изменения коэффициента формы на половине высоты ствола. Исключение составляют величины полнодревесности, близкие к цилиндру; во-вторых, при увеличении коэффициента формы на половине высоты ствола уменьшение частоты достигает 5,9 % у ствола при q2 = 0,85 и 28,8 % у хлыста при q2 = 0,95. Отсюда заключаем, что коэффициент формы на половине высоты ствола влияет, особенно существенно для хлыста, поднятого за комель, на частоту основного тона колебания полу-приподнятого предмета труда.
(Я
н о
Й ей
Ї “ 13
К п
и
со
В
ю о
и
а >И
ю
151----г— 5Ч?-Т—т^150
14 --------+У-^ ■■■■ 120
\ ствол V
90 60 30 0
-30
0,4 0,55 0,7 0,85 1
Коэффициент формы ствола ц,
Рис. 4
0<\г і X ф л
СТВС Л >-
-V / г \ * \ .* ф - этыст-
/ *
_/ ,4 ф > /
/
Ф
35
и
Я
а я і
■е*
п
о
ГЧ
У*
со Ё
и
V
Я
5
СО
Л -в"
учетом данного замечания реальное влияние диаметров будет более весомо, нежели в оценке, полученной для неизменного коэффициента формы.
И, наконец, оценим влияние высоты подъема конца предмета труда на лесосеке на частоту основного тона колебания полу-приподнятого ствола и хлыста (рис. 5). Из рис. 5 следует, что во-первых, собственная частота колебаний хлыста, поднятого за верхний отруб, больше, чем у ствола, поднятого за комель во всем диапазоне изменения высоты подъема конца предмета труда; во-вторых, при увеличении высоты подъема конца предмета труда на 128,6 % уменьшение частоты достигает 33,4 % у ствола и 32,7 % у хлыста. Отсюда заключаем, что высота подъема конца предмета труда влияет в равной мере как для ствола, поднятого за комель, так и для хлыста, поднятого за верхний отруб, на частоту основного тона колебания полуприподнятого предмета труда.
«я
н
о
в
03
V о 2
и „ 8 >
в
ю
о
и
13
12
11
10
9
8
\ ХЛЫ ГТ ^ і
/ і і • ^ " «
СТ вол
V
140 £
105
70
35
0
0,7
1,3
и Я Я о V
я
е;
-35 й 1,6 >»
- д
8 ю £
?!
о и л *
л
н
о
н
<и о на с<з
Ч ' '
о Я
Проверка достоверности формул, проводимая при коэффициенте формы на половине высоты ствола, равном единице, дает несовпадение точного решения и оценок по предлагаемым формулам, равное 0,2 % у ствола и 0,4 % для хлыста. Такая величина погрешности свидетельствует о высокой достоверности результатов, получаемых по предлагаемым формулам.
По данным проф. Д.И. Товстолеса известно, что с увеличением диаметров стволов наблюдается уменьшение коэффициента формы на половине высоты ствола, особенно заметное в низших ступенях толщины. С
Высота подъема конца, м Рис. 5
Приведенные графики изображают изменение частоты основного тона колебаний в зависимости от изменения одного из параметров при неизменных средних значениях остальных.
Рассмотрим ситуацию, при которой все параметры ствола группируются так, что частота принимает либо минимальное, либо максимальное значение. Для ствола диапазон изменения частоты основного тона колебаний составил от 7,7 до 13,7, а для хлыста от 7,8 до 23,3 рад/с (рис. 6).
Диаграмма собственных частот первой формы колебаний полупржоднятого ствола ■ ". (хлыст* и резонансных частот вертикальных колебаний том человека;
1 • высота подъема конца ствола (хлыста);
2 • коэффициент формы ствола;
3 - диаметр на высоте груди;
4 * плотность древесины.
Рис. 6
Общим для всех рассмотренных случаев вариации параметров служит частота основного тона колебания полуприподнято-го предмета труда. Это позволяет представить все рассмотренные случаи на одном графике (см. рис. 6) и дать сравнительную визуальную оценку влияния различных параметров на частоту колебания. Динамические характеристики тела человека таковы, что колебания в вертикальном направлении имеют резонанс на частотах 18...25 рад/с. При этом на частотах вертикальных колебаний свыше 12 рад/с хотя и наблюдаются дополнительные угловые и горизонтальные колебания головы, однако особенность биологической системы человека такова, что она может адаптироваться к вертикальным колебаниям таким образом, чтобы ее собст-
венная частота отличалась как можно больше от частоты возмущения.
В итоге получили, что физический параметр древесины - ее плотность; механический - средний модуль упругости и таксационный - диаметр на высоте груди практически не оказывают влияния на частоту основного тона колебания полуприподнятого предмета труда. Оказывают влияние на колебания таксационный параметр - коэффициент формы на половине высоты ствола и, особенно, технологический - высота подъема конца полуприподнятого предмета труда, и только. Кроме того, как видно из рис. 6, при перемещении полуприподнятого ствола за комель отсутствуют колебания основного тона, совпадающие с резонансными частотами колебаний тела человека, тогда как у хлыста, перемещаемого за верхний отруб, имеет место наложение части диапазона и резонансных частот.
Литература
1. Иванов Г.А. Собственные колебания первой формы полуприподнятых стволов деревьев в продольном перемещении // Лесной вестник. -2002. - № 2.
2. Иванов Г.А. Уравнения образующей профиля кроны и дерева в целом // Лесной вестник. - 2000. -№ 6.
3. Лесотаксационный справочник / Б.И. Грошев, С.Г. Синицын, П.И. Мороз, И.П. Сеперович. 2-е изд., перераб. - М.: Лесная промышленность, 1980.-288 с.
4. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1979. - 384 с.
АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ФАНЕРНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
М.В. БИРЮКОВА, асп. МГУЛа
Вопрос моделирования прибыли для фа- таких же задач для предприятий других от-нерных предприятий является практиче- раслей промышленности. Поэтому целью ски неизученным, в сравнении с решением настоящей статьи является раскрытие на ос-
