Оценка значений индуктивности на основе дифференциальной модели в пространстве состояний и результатов натурных экспериментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.8

А.Ж. Абденов, П.М. Воробьев НГТУ, Новосибирск М.Г. Рубанович СГГ А, Новосибирск

ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ ИНДУКТИВНОСТИ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ НАТУРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

На основе экспериментальных данных построена дифференциальная математическая модель, характеризующая зависимость значений индуктивности от ширины отрезка полосковой линии. Использование регуляризующего сплайна позволяет сгладить результаты экспериментов. Численное нахождение производной позволяет сравнить ожидаемый результат с результатом полученным экспериментально.

A.J. Abdenov, P.M. Vorobiev

Novosibirsk State Technical University

630092, Novosibirsk, K. Marx, 20 Russian Federation

M.G. Rubanovich

Siberian State Geodetic Academy

630108 10 Plakhotnogo UI., Novosibirsk, Russian Federation

EVALUATION OF INDUCTANCE VALUES BASED ON DIFFERENTIAL MODELS IN SPACE CONDITION AND RESULTS OF BOARD EXPERIMENTS

On the basis of experimental data differential mathematical model characterizing the dependence of the inductance values of the width of the strip line segment is based. Using regularizing spline allows to smooth the results of experiments. Numerical calculation of the derivative allows us to compare the expected results with those obtained experimentally.

В ходе проведения различных экспериментов полученные значения, как правило, отличаются от реальных и имеют некоторый разброс относительно действительных значений. Ставится и решается задача разработки метода построения математической модели в пространстве состояний на основе экспериментальных значений, которая оценивает значения индуктивностей.

В ходе данного исследования был проведен эксперимент, по данным которого была построена математическая модель. Эксперимент заключался в измерении индуктивностей отрезков полосковых линий. Индуктивность измерялась при 10 различных ширинах полоска. В ходе эксперимента получен дискретный набор значений индуктивности на интервале изменения параметра Ь = [1.4, 5.8] мм.

В качестве математической модели, характеризующей зависимость значений индуктивности от ширины отрезка полосковой линии L(b) предлагается использовать линейную непрерывно-дискретную модель в про странстве состояний [1].

Пусть зависимость индуктивности от ширины полоска описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением вида:

4г1(Ъ) = а1КЪ) + а2, Ь = [Ь0,Ь„],

(1)

Цй0) = £0, (2)

где Ь(Ь) - значения индуктивности при ширине полоски равной Ь е [Ьп, Ь.: ]

, Ьо - начальное значение интервала изменения параметра Ь, Ь0 - начальное значение индуктивности, a1 и a2 - неизвестные параметры

дифференциальной модели.

Выход измерительной системы можно записать в виде стохастического соотношения:

У1(Ьк) = кГ1(Ьк) + ^(Ьк), к = 1,Ы, 1 = 1,т (3)

где уг(Ьк) - известный вектор измерений индуктивности г-го отрезка полосковой линии N, Иг характеризует измерительную систему, гг(Ьк) -случайная погрешность измерений (предполагается V ~ N(0, К)), N - размер выборки. Из таблицы 1 размер выборки N принимает значение равное 10.

Требуется оценить неизвестные параметры а1 и а2 дифференциального уравнения (1) по данным выхода измерительной системы {у(Ьк\ к = 1,А,г,

/ = 1, т }.

Для простоты полагается =1. Вводятся обозначения: йЬ

тогда соотношение переписывается в виде:

7 = Х-0 + К. (4)

Соотношение (4) представляет собой регрессионную модель. Для нахождения оценок параметров модели (4) используется стандартное соотношение метода наименьших квадратов [1]:

~Щ)" ~т) г л>—) , <2 = а

, х = 1 , У =

л(ь N)_ ЛЬ N) Л—2)_ а2

д = (хТху1хТу. (5)

Вектор У получается путем численного нахождения производных

—Ь(Ък). Для этого данные наблюдения {уфк), А- = 1, /V ) аппроксимируются с

ёЪ

помощью регуляризирующего кубического сплайна Б(Ь) и получается временной ряд с уровнями у(ЬК), к = \,ы. Тогда с учетом х(Ьк) = у(Ьк), к = 1,Ы

значения производных —Ь(Ьк) вычисляются по формуле [2]:

—Ь

±Щ) = 1<ь,^ Щ) _ ^ & + 322 -у (1 _ Зг,)м ] _ (6)

ёЬ А Ъ 6

где Ь = [Ьу,Ьу+1\, г = (Ь-Ь])/АЬ, получаем в процессе построения

ЗД, у = 1М.

Вычисленные значения оценок параметров дифференциальной модели равны:

{ ах = -0.36878, а2 = 14.570 }.

Таблица 1. Результаты расчета индуктивности, полученные в эксперименте

данные для отрезка линии длиной, нГ н

Ширина отрезка линии, мм 1,4 1,9 2,4 2,7 3,3 3,8 4,0 4,3 5,0 5,8

Данные эксперимента 16,0 14,9 13,3 12,1 10,0 10,6 10,3 9,4 8,7 8,3

Данные модели 16,1 14,6 13,4 12,7 10,1 10,2 9,8 9,5 8,7 8,1

120

100

80

60

40

£,нГ н

С

/?,м м

1 2 3 4 5 6

Рис. 1. Данные эксперимента и дифференциальной модели

В результате исследования был предложен метод построения модели зависимости индуктивности полоска от ширины в виде обыкновенного дифференциального уравнения. Оценены параметры этой модели. Оценка параметров дифференциальной модели включала процедуру сглаживания данных эксперимента с использованием алгоритма регуляризирующего сплайна, численного нахождения производных и стандартного соотношения метода наименьших квадратов. Построенная модель с коэффициентами а и а2 относительно хорошо аппроксимирует экспериментальные точки, что мы видим на рис. 1.

1. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.

2. Абденов А.Ж., Снисаренко А.В., Трошина Г.В. Описание динамических процессов с помощью кусочно-дифференциальной модели. - Новосибирск: Сб. науч. трудов НГТУ. - 2002. - № 1(27). - С.3-12.

© А.Ж. Абденов, П.М. Воробьев, М.Г. Рубанович, 2010