CC BY
46
т е п л о э н е р г е т и к а
УДК 536.3
ОЦЕНКА ТЕПЛООТДАЧИ ОТОПИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА СИСТЕМЫ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ С ВИХРЕВЫМ ТЕПЛОГЕНЕРАТОРОМ
Докт. техн. наук, проф. НЕСЕНЧУК А. П.1', магистр техн. наук ИОКОВА И. Л.1', канд. техн. наук РЫЖОВА Т. В.2', канд. физ.-мат. наук, доц. ЛАСЫЙ П. Г.1', инж. ШКЛОВЧИК Д. И.1', АЙДАРОВА З. Б.1'
1 Белорусский национальный технический университет, 2 ОАО «Минский автомобильный завод»
Оценка теплоотдачи в системе теплоснабжения имеет принципиальное значение. Учитывая вероятное расположение отопительных приборов на объектах, работающих в условиях чрезвычайной ситуации (полевой госпиталь) [1], выбор поверхности теплообмена (рис. 1) должен выполняться по формулам, отражающим вероятностную (случайную) ее ориентацию (рис. 2). В [1] и данной статье такие формулы приводятся. Однако их реализация при оценке основных характеристик системы теплоснабжения крайне затруднена из-за многообразия вариантов.
Рис. 1. Общий вид отопительного прибора
Случайное расположение (рис. 2) отопительных приборов на обогреваемом объекте предопределено временем развертывания объекта в рабочее состояние (для проведения одной операции оно составляет не более четверти часа - 15 мин).
Для расчета теплоотдачи от вертикальной поверхности отопительного прибора (ф = 0°) при 1700 < (Ог • Рг) < 108 [2] можно использовать критериальное уравнение
Ш = 0,55 (Ог • Рг )0,25.
5
Рис. 2. Возможное расположение отопительного прибора на обогреваемом объекте
Средняя температура на поверхности отопительного прибора /п = 82 °С. Результаты расчетов для первого опыта (вертикальная щель) представлены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты расчета (вертикальная щель)
°С 83,3 83,0 82,2 82,0 82,0 8^6 8^5 80,9 80,6
Ш3 ^082 ,,078 ^078 ,,077 ,,077 ,,075 ,,074 ^073
1в(ОгРг) 5,370 5,366 5,363 5,352 5,352 5,346 5,345 5,339 5,336 5,33,
Точки, являющиеся результатом обработки данных, практически укладываются на прямую линию (рис. 3). Запишем математически уравнение для линии, соответствующей значениям произведения ¡в (Ог • Рг) = = 5,331-5,370. Тогда
= а0 + а, ¡в (Ог • Рг). (1)
Определение коэффициентов а0, а1 при неизвестных выполним по методу наименьших квадратов [3]
£(18Шх - ^Ки )2 =Х(18Ких - ао - а, ¡в (Ог • Рг))2.
Очевидно, что левая часть (1) зависит от коэффициентов а0 и а,. Для минимизации суммы необходимо, чтобы ее частные производные по параметрам а 0 и а, были равны нулю:
д
—Х(¡вКих - 1вКи) = -2£( 1вКих - ао - а, ¡в(Ог • Рг)) = 0;
да.
д
(2)
—Х(!вКих - ¡вКи) =-2^(1вКих - а0 - а, ¡в(Ог • Рг))¡в(Ог • Рг) = 0.
да,
Из (2) запишем:
0 N + а, X ¡в (Ог • Рг ) = £ ¡вКи х;
а0 X ¡в (Ог • Рг) + а, £ ¡в (Ог • Рг)2 = £ (¡в (Ог • Рг) • ¡вКих ), где N = !0 - общее число данных.
(3)
Величины ^Ких и lg (°г • Рг) отсчитываются от их средних значений
и lg (Ог • Рг) . Тогда
а N + а X (Ог • Рг) - 1^(ОГ^рГ) ] = X (lgNu х - ^); 0 X [lg (Ог • Рг) - ^ (Ог • Рг) ] + а, X [^ (Ог • Рг) - 1^(ОГ^рГ) ]2 = (4) : X (Ог • Рг) - ^ (Ог • Рг)] - (lgNuх - ^).
Решая систему уравнений (4) в MathCad 15, находим коэффициенты при неизвестных:
а0 =-0,287; а1 = 0,255 (5)
и подставляем в (1)
^ Ш = -0,287+0,255 • ^ (Ог • Рг).
В окончательном виде расчетное критериальное уравнение запишется (Ф = 0°)
Ки = 0,516 ( Ог • Рг )0,255. (6)
Выражение (6) позволяет производить расчеты интенсивности теплообмена в условиях естественной конвекции в ограниченном пространстве (вертикальная щель при ее вероятностной ориентации).
Для обращенных вниз нагретых поверхностей в качестве характерного размера используется отношение площади греющей поверхности к ее периметру [2]:
^ 0,48•0,30
I = — = —-- = 0,09 м,
П 2 (0,48 + 0,30)
где ^ - площадь греющей поверхности; П - ее периметр (рис. 1).
При расчете теплоотдачи от наклонной поверхности используется формула, которая справедлива при 105 < Ог < 109 и 0° < ф < 90° [2]
Ки = 0,48 ( ^ ОгГ
Запишем уравнение для линии, соответствующей значениям ^Сг = = 7,886-8,014. Тогда
^и=а0+а^Ог. (7)
Определяем коэффициенты при неизвестных:
а0К+а1 X =X ^ х;
а0 X + а X ^°г2 =X( lgOг • ^Ки х ),
где N = 10.
Значения lgNuх и lgGr отсчитываются от их средних значений lgNu
и lgGr. Тогда
a0N + X [lgGr - lgGr] = X (lgNux - lgNu);
0 X [lgGr - lgGr] + ai X [lgGr - lgGr]2 =
X [lgGr - lgGr] - (lgNux - lgNu).
(9)
Решая систему уравнений (9) (при ф = 15°) в MаthCаd 15, получаем критериальное уравнение в окончательном виде
Nu = 0,467Gr0
(10)
Для ориентации отопительного прибора (рис. 2) при ф от 30° до 75° получено:
при ф = 30°: Nu = 0,478Gr0197 ;
при ф = 45°: Nu = 0,402Gr0'201; (11)
при ф = 60°: Nu = 0,366Gr0,199;
при ф = 75°: Nu = 0,296Gr0,201.
Опыты с горизонтальной щелью ф = 90° проводились ранее. Критериальное уравнение Nu = 0,236 (Gr • Pr )0,251 .
Если сравнить (7), (10) и (11) с Nu0 = 0,68 + 0,513(Ra • cos ф)0,25 при Pr =
= 0,7 [4], то можно получить итоговую формулу, учитывающую разные положения отопительного прибора
Nu = 0,5| |(Gr• Pr)0
f
или Nu = 0,5
1 + Рф (ф)
(Gr • Pr )0
(12)
где рФ (ф) - плотность распределения вероятностей.
Сравнение полученных значений с уже имеющимися данными [5] представлено на рис. 3, а также в табл. 2, 3.
100
Nu„
10
100000
1000000
Gr
ф = 0°
ф = 15°
ф = 30°
ф = 45°
ф = 60°
ф = 75°
ф = 90°
10000000
Рис. 3. Графическое представление результатов опытов (№ = Ог)) при случайном расположении отопительного прибора
1
Экспериментальные данные
Таблица 2
№ опыта Угол, град. Температура в щели, °С Температура поверхности, °С Температура в разных точках поверхности отопительного прибора, °С Средняя температура, °С
1 0 61 53 83,3 83,0 82,8 82 82 81,6 81,5 81,1 80,9 80,6 81,88
2 15 58 48 83,5 83,3 82,5 82,1 80,7 80,3 79,9 79,8 78,7 77,0 80,78
3 30 55 43 83,0 83,0 82,3 82,0 81,4 81,3 79,8 78,8 77,3 76,9 80,58
4 45 54 42 83,0 83,8 82,5 83,1 80,7 81,3 78,5 78,8 76 76,6 80,43
5 60 56 44 84,0 83,3 82,8 83,0 80,6 82,4 79,5 83,8 75,2 74,0 80,86
6 75 58 47 83,7 83,8 82,1 83,2 81,2 81,3 79,9 79 78,6 78,4 81,12
Таблица 3
Результаты опытов ^и = /(ф; Сг)) при случайном расположении отопительного прибора
ф = 0° ф = 15° ф = 30° ф = 45° ф = 60° ф = 75° ф = 90°
0г105 № 0г105 № 0г105 № 0г105 № 0г105 № 0г105 № 0г-105 №
3,391 11,002 15,69 15,856 17,86 15,548 18,71 14,393 17,62 12,457 15,81 10,172 2,557 5,129
3,359 10,976 15,57 15,826 17,86 15,548 19,21 14,487 17,2 12,381 15,87 10,182 3,571 5,576
3,337 10,959 15,1 15,704 17,43 15,454 18,4 14,333 16,9 12,326 14,86 10,016 3,806 5,666
3,252 10,888 14,86 15,642 17,24 15,413 18,78 14,405 17,02 12,348 15,51 10,124 4,156 5,791
3,252 10,888 14,03 15,418 16,88 15,33 17,29 14,111 15,56 12,075 14,32 9,924 4,732 5,982
3,209 10,851 13,79 15,352 16,81 15,316 17,66 14,186 16,66 12,282 14,38 9,935 4,156 5,791
3,198 10,842 13,55 15,284 15,89 15,102 15,91 13,822 14,89 11,942 13,55 9,787 3,689 5,621
3,155 10,806 13,49 15,268 15,27 14,952 16,1 13,862 17,5 12,435 13,01 9,688 2,858 5,274
3,133 10,787 12,83 15,077 14,34 14,719 14,34 13,467 12,24 11,372 12,77 9,643 2,858 5,274
3,101 10,759 11,8 14,767 14,09 14,655 14,72 13,555 11,5 11,195 12,65 9,62 2,375 5,036
Используя теорию случайных величин [6], в соответствии с рис. 4, если считать величину проекции х равновозможной на отрезке [0, 1], то угол ф является непрерывной случайной величиной Ф, которая выражается через равномерно распределенную случайную величину Х проекции по формуле
X
Ф = а1гат —.
I
Найдем функцию распределения и плотность распределения вероятностей этой случайной величины, учитывая, что случайная величина Х имеет функцию распределения
X
^х (X) = у, X е [0,1].
%
XI
п X
Рис. 4. Возможное случайное расположение отопительного прибора: Ф - угол между продольным сечением отопительного прибора и вертикальной стенкой; I - длина сечения; х - проекция сечения на горизонталь
Тогда
^ф (ф) = Р(Ф <ф) = Р(X <Isinф); ^ф (ф) = sinф, фе
0 П
Функция распределения является первообразной для плотности распределения вероятностей рФ (ф), поэтому
Рф(ф) = С08ф, фе
0 §
Рассчитаем основные числовые характеристики случайного угла Ф [6]. 1. Математическое ожидание (среднее значение случайного угла) определяем по формуле
М(Ф)= | фрф (ф)йф = |фСОБфйф = П-1.
Таким образом, если многократно бросать отопительный прибор, то среднее значение угла ф составит
М (Ф) = - = 1 * 32,7° .
2. Дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайного угла определяем из выражений • дисперсия:
Б(Ф)= |(ф-М(Ф))2 Рф (ф)йф=П ф-1-2 -1| cosфйф = п-3.
г
среднее квадратичное отклонение:
с(Ф) = ^Б(Ф) ^п-3 * 21,6°.
О
Значит, при многократном повторении эксперимента случайный угол отклоняется в среднем квадратичном на 21,6° от среднего значения. 3. Медиана случайного угла представляет собой угол фт такой, что
P ( Ф <фт )=P ( Ф >Фт ).
Следовательно, для нахождения медианы нужно решить уравнение
рф (ф)=2.
В рассматриваемом случае мы приходим к выражению
1
sin ф = —, 2
корнем которого является угол
Фт =П = 30°. 6
В итоге, повторяя много раз данный эксперимент, можно наблюдать, что в среднем значение угла ф не будет превышать 30°.
В Ы В О Д Ы
1. Выполнен анализ теплообмена в отопительной системе быстрого реагирования на температуру наружного воздуха, обладающей исключительной мобильностью.
2. Показано наиболее вероятное положение отопительных приборов системы отопления мобильного объекта и записана расчетная формула для оценки теплоотдачи (12).
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. О ц е л е с о о б р а з н о с т и использования вихревого теплогенератора при реализации теплоснабжения объектов, работающих в условиях чрезвычайных ситуаций / А. П. Несенчук [и др.] // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2012. - № 1. - С. 45-51.
2. Т е п л о- и массообмен: учеб. пособие: в 2 ч. / Б. М. Хрусталев [и др.]. - Минск: БНТУ, 2007. - Ч. 1. - 606 с.
3. Д л и н, А. М. Математическая статистика в технике / А. М. Длин. - М.: Советская наука, 1958. - 465 с.
4. A b d u l r a h i m Kalendar. Numerical and experimental studies of natural convective heat transfer from vertical and inclined narrow flat plates and short cylinders: thesis. ... for the degree of PhD. - Canada: Queen's University, 2011.
5. H a s s a n, K. E. Natural convection from isothermal flat surfaces / K. E. Hassan, S. A. Mohamed // Int. J. Heat mass transfer. - 1970. - Vol. 13. - Р. 1873-1886.
6. Г н е д е н к о, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. - М.: Наука, 1969. -400 с.
Представлена кафедрой ПТЭ и Т Поступила 10.10.2012
