CC BY
44
УДК 532.74:538.66:538.27
В. И. Архипов, Н. Агмон
ОЦЕНКА РАЗМЕРОВ КЛАСТЕРА В АССОЦИИРОВАННЫХ ЖИДКОСТЯХ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ВРЕМЕННЫМ МАСШТАБАМ ОРИЕНТАЦИОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Аннотация. Проведен качественный анализ первого уравнения цепочки кинетических уравнений Цванцига - Мори для временной корреляционной функции суммарного дипольного момента кластера ассоциированной жидкости. Получены соотношения, позволяющие по данным диэлектрической спектроскопии оценивать размер кластера. Размер кластера, вносящего вклад в диэлектрическую релаксацию, оказывается связан с отношением макроскопического (коллективного) и микроскопического (единичного) времен ориентационной релаксации диполя. В свою очередь ранее полученная одним из авторов формула, связывающая отношение этих времен с параметрами диэлектрического спектра, позволяет оценить количество диполей в кластере по параметрам диэлектрического спектра.
Ключевые слова: Диполь, диэлектрик, вода, спирт, кинетические уравнения, проекционные операторы, время релаксации, диэлектрическая проницаемость, корреляционная функция, спектроскопия.
Abstract. A simplified derivation for the ratio of macroscopic to microscopic relaxation times of polar liquids is based on the Mori-Zwanzig projection-operator technique, with added statistical assumptions. We obtain several useful forms for the lifetime ratio, which we apply to the dynamics of liquid water. Our theoretical single-molecule relaxation times agree with the second Debye relaxation times as measured by frequency-domain dielectric spectroscopy of water and alcohols. From the theory, fast relaxation modes couple to the Debye relaxation time, tD. Slower modes are localized to smaller water clusters. This is exemplified by the lifetime ratios measured by time-domain dielectric spectroscopy and optical Kerr effect spectroscopy, respectively.
Keywords: Dipole, dielectric, water, spirit, the kinetic equations, projective operators, relaxation time, dielectric permeability, correlation function, spectroscopy.
Введение
Электрическое поле внутри диэлектрического материала запаздывает по отношению к внешнему приложенному полю ввиду конечности релаксационного процесса. Этот факт лежит в основе измерения комплексной диэлектрической проницаемости в различных методах диэлектрической спектроскопии [1-5]. В своей пионерской работе [1] Дебай объяснил этот эффект ориентационной релаксацией жестких молекулярных диполей [6, 7], которая описывается экспоненциальной функцией релаксации с характерным временем td, которое обычно называют «Дебаевским временем релаксации». К примеру, при комнатной температуре (25 °С) для воды td = 8,4 пс [8]. Дебай вывел свои формулы в предположении невзаимодействующих диполей. Однако такая сильно ассоциированная жидкость, как вода, с ее водородосвязанной тетраэдрической структурой [9] имеет близкую к дебаевской частотную зависимость диэлектрических потерь, соответствующую экспоненциальной релаксационной динамике. Несмотря на это, сильные взаимодействия
между соседними молекулами воды приводят к коллективным движениям, что подтверждается недавними расчетами по молекулярной динамике [10-12]. Это наводит на мысль о том, что td является характерным временем некоторого коллективного релаксационного процесса, которое больше времени переориентации единичного диполя ts. Возникают вопросы: какова природа этого коллективного процесса, какая связь между временами коллективной и индивидуальной релаксацией диполей? Используя поле полости Онсагера, Дебай нашел, что [1]
Ъ = ik±l, (1)
*s + 2
где ss = s(0) - статическая диэлектрическая проницаемость; - высокочас-
тотный предел действительной части s*(«) для рассматриваемого релаксационного процесса. Для воды при комнатной температуре ss = 78,3 и sOT = 6,3 [8], и отношение времен в уравнении (1) близко к 10. Такое большое отношение казалось не физичным [13] и последующие работы были сосредоточены на моделях [13-23], приводящих к значительно меньшему отношению td/ts. Оглядываясь назад, отношение равное 10, предсказанное уравнением (1), оказалось, лучше согласуется с современными данными по диэлектрической релаксации, чем более поздние теории. Используя диэлектрическую спектроскопию в частотной области от 100 до 300 ГГц [8, 24-27], на высокочастотном хвосте основного дебаевского релаксационного процесса была обнаружена полоса поглощения, которая фитинговалась дебаевским релаксационным процессом с характерным временем 1 пс. Этот более быстрый процесс некоторые авторы относят к переориентации единичного диполя молекулы воды [26]. В недавних инфракрасных фемтосекундных измерениях в [28-30] наблюдалась неоднородно уширенная OH полоса HOD в D2O. Медленная релаксация, соответствующая td, наблюдалась на красном крыле полосы (прочно водородно-связанные молекулы воды), в то время как более быстрое время релаксации, порядка одной пикосекунды, наблюдалось на голубом крыле (т.е. для слабо связанных молекул воды). Последние могут быть связаны с характерным временем переориентации единичных молекул.
Масса других спектроскопических методов, таких как временная диэлектрическая спектроскопия [31-32], дифракция нейтронов [33, 34], неупругое рассеяние рентгеновских лучей [35], спектроскопия эффекта Керра, основанного на оптическом гетеродинировании ^КЭ) [36], и флуоресценция с разрешением по времени [37], все дают время релаксации для молекулы воды 1 пс или быстрее.
Следуя наблюдениям, полученным из численного моделирования [10-12], которые показывают, что динамика воды включает коллективные движения кластеров, мы исследуем вопрос о том, как эти кластеры проявляются в диэлектрической релаксации, каков размер этих кластеров и каков молекулярный механизм поляризации?
В данной работе мы применим формализм проекционных операторов Мори - Цванцига [38, 39] для временной корреляционной функции суммарного дипольного момента кластера из N молекул. Аналогичный подход применялся для описания диэлектрической релаксации [18, 19, 21, 40-42] и рассеяния света [6, 17] с некоторыми отличиями в деталях.
2. Теория
Рассмотрим полярную жидкость, состоящую из молекул с дипольными моментами величины ц. Для рассмотрения коллективных явлений рассмотрим кластер из N молекул. Обозначим через 0j(t) в момент времени t между молекулярным дипольным моментом молекулы j в кластере и направлением внешнего электрического поля, приложенного в момент времени t = 0. Сумму проекций N-молекулярных дипольных моментов вдоль направления поля
N
можно записать следующим образом: Mn (t) = cos9j (t).
j=1
Размеры кластера (N) определим через радиус корреляции ориентации диполей. Задавшись в качестве исходного направления диполя некоторой произвольной молекулой 1, мы включаем в кластер все молекулы j, для которых корреляция <cos01(0)cos0j(t)> сравнима по абсолютной величине с <cos01(O)cos01(t)>. Угловые скобки, как обычно принято в статистической физике, обозначают равновесное среднее по ансамблю.
Комплексную диэлектрическую проницаемость е*(ю) в соответствии с теорией линейного отклика можно выразить через преобразование Лапласа временной производной от временной корреляционной функции дипольного момента N-молекулярного кластера [5], определяемого как
ФN (t) = (Mn (0)Mn (t))/(Mn (0)
где {M(0)Ny - статистическое равновесное среднее, которое для простоты обозначим как (m'N^J . Определим время релаксации как tn = Фдт (0), где
f (5 ) = J exp (-st )f (t )dt - преобразование Лапласа функции ft). Мы хотим
0
сравнить ниже два релаксационных времени: коллективное, Дебаевское время релаксации td, и время релаксации единичной молекулы т5. Эти времена определим как td = tn = Ф^(0), т5 = т1 = ФД0). Для простой жидкости, состоящей из невзаимодействующих диполей, N = 1 и т5 = td, но для ассоциированной жидкости два времени релаксации отличаются ввиду наличия кросскорреляций, когда функция <cos01(0)cos0j(t)> отлична от нуля.
В работах [41, 42] для функции Фдт(0 методом проекционных операторов Мори - Цванцига получена цепочка кинетических уравнений. Первое уравнение цепочки имеет вид
= -JKN (t>N (t - t')dt' (2)
с функцией памяти
K , {Lmn (0)UN (t)Lmn (»)) ,3)
KN (t )=-----------7—^---------------------------, (3)
(M2Ni
которая включает автокорреляции угловой скорости, с временной зависимостью, которая определяется усеченным оператором эволюции
и) = /(/ “п" ^,
п Мх)(Мх й
где П N =—, ,— - проекционный оператор.
(М^)
Для того чтобы определить время релаксации, рассмотрим преобразование Лапласа ФN (•?) = [•? + Кх (5)] . Положив 5 = 0, находим
1 (М2м)
^ = “ТТм = 1----------- ----1---------Г, (4)
(0) (м„ [( -ПN )] Мх
где мы выполнили явно временное интегрирование и'н(?) и положили
МN = ^Мх . Можно предположить, что зависит только от равновесных
корреляционных факторов. Отношение времен релаксации теперь можно записать как отношение преобразованных функций памяти:
*D _ K (0) __________НИMl2)
X,
Kn (0) (Mn [( -1! n ) ] _1 MN) /М [( - II. ) ]_1 м\
(5)
Числитель в правой части включает «статическую» корреляционную функцию, которая зависит от угловых координат, в то время как знаменатель включает «динамическую», которая зависит от угловых скоростей. Последняя выглядит достаточно сложно, и поэтому мы проведем ее детальное рассмотрение для упрощения на основе статистических предположений.
Заметим, что N - частичная автокорреляционная функция, которая может быть разложена на сумму N (симметричных) автокорреляций и N(N-1) (несимметричных) кросс-корреляций. Следовательно, мы находим
L cos 9г- -An )LJ L cos 9г-
L cos 9г- — П i )L J L cos 9г-
Lcos 9г-— Пn )L ] Lcos 9 j
L cos 9г-— fl i )L ] L cos 9г-
где выражения (6) и (7) являются равновесными средними (t = 0) и i Ф j = = 1, ..., N. Ввиду эквивалентности всех частиц в ансамбле эти корреляционные факторы не зависят от i и j. В этих обозначениях знаменатель в правой
hs ---------------------------------------1-----------------------------------------------f; (6)
ha --------------------1-------------------1----------------------------------------------Г, (7)
части (5) можно записать как ЩН+Ы-^На]. Подобным образом числитель в правой части (5) включает в себя фактор статических кросс-корреляций:
Числитель в правой части (9) содержит равновесные кросс-корреляции ориентаций, а знаменатель содержит авто- и кросс-корреляции угловых скоростей. Для больших N уравнение (9) почти идентично уравнению (35) в работе [18] или уравнению (12.3.29) в работе [6]. Различие состоит в члене Н5, который в общем случае не равен 1 в знаменателе, поскольку в числителе и в знаменателе (6) появляются разные проекционные операторы. Уравнение (9) остается формальным до тех пор, пока нет возможности оценить или аппроксимировать корреляционные функции, входящие в него.
Основные упрощающие предположения имеют вид
Вторая аппроксимация следует из того, что временной масштаб корреляций угловой скорости значительно меньше времени корреляции угловых переменных, а следовательно, кросс-корреляции угловой скорости выглядят как белый шум и временным интегралом от соответствующей функции можно пренебречь. Подобное приближение обсуждается в работе (раздел 12.3) Beme and Pécora, [6], где это показано на примере рассеяния света в хлороформе (табл. 12.3.1 в указанной работе). Для обоснования первого приближения рассмотрим ПN в уравнении (3) два предельных случая: полное отсутствие корреляций и сильная корреляция разных частиц i и j. В первом предельном случае мы предполагаем, что любое внутреннее произведение <cos0j| с переменными частиц i, появляющимися в (6), исчезают и удерживаются только члены с индексом j в П N . В противоположном пределе все N2 члены в проекционном операторе идентичны. В обоих случаях Пn сокращается до П1. Следовательно, мы можем заменить N-частичный усеченный оператор U'Nf) на одночастичный U\(t). Это предположение значительно более слабое [41, 42], чем замена на полный оператор эволюции U(t). Следовательно, мы находим, что hs ~ 1. Что касается статической корреляционной функции, мы можем применить неравенство Шварца и записать 0 < |f | < 1. Для невзаимодействующих частиц f = 0, в то время как для сильно взаимодействующих f ~ 1 в пределах кластера. С учетом этих замечаний интересно посмотреть, как отношение времен в (9) зависит от размера кластера N. Предположим для простоты, что f, hs и ha являются постоянными (не зависящими от N). Когда N = 1, мы получаем (предполагая hs = 1) td = ts. В этом пределе диэлектрическая релаксация отражает переориентацию отдельных молекул. Когда N > 1, диэлектрическая релаксация является коллективным явлением. Если N мало
(8)
С этими обозначениями выражение (5) может быть записано в виде
Td = 1 + (N - 1)f
Zs hs +(N - 1)ha
(9)
hs ~ 1, ha << hs .
(10)
(но больше 1), мы можем пренебречь членом ^ - 1)На по сравнению с Н5 в знаменателе уравнения (9), так что
тв / т = 1 + N - 1) / (11)
Таким образом, в этом случае одночастичное и полное время релаксации связаны просто через статический ориентационный фактор корреляций / (см. работу [6], с. 327). Для сильно ассоциированных жидкостей ( = 1) мы находим еще более простой результат
то/т* « N. (12)
Таким образом, в этом режиме отношение времен напрямую измеряет размер кластера (пунктирная линия). Окончательно получаем: при N ^ да преобладают кросс-корреляции; находим
То / Т ^/ / На. (13)
Поскольку На очень мал, это отношение может быть велико. Таким образом, мы получили интересный результат, заключающийся в том, что очень быстрые движения (малые т5) вносят вклад в то в пределах больших кластеров, в то время как более медленные движения являются более локализован-
ными то /т5.
Другое интересное качественное наблюдение следует из уравнений (6) и (7), оно касается температурной зависимости отношения времен. Когда Т растет, следует ожидать, что размеры кластера и кросс-корелляционные функции убывают. При условиях уравнения (6) отношение то/т5 пропорционально N и, следовательно, будет уменьшаться с ростом Т. В противоположность этому температурная зависимость может частично исчезать между / и На в уравнении (7). Следовательно, мы ожидаем активационное поведение для умеренно маленьких величин то /т5, но только слабую температурную зависимость, когда это отношение велико.
Мы завершим наш вывод количественной аппроксимацией. Применяя соотношения (10), мы положим Н5 = 1 и На = 0. Заменяя знаменатель на N, вместо (6) получаем
(мЪ)
Для случая изотропного образца среднее значение квадрата косинуса
равно [1, 2] <со82 01> = 1/3. Вводя диэлектрический фактор Кирквуда [2, 43] g = <MЩ2>/Nц2, мы получаем простое выражение то /т5 = 3^. Таким образом, для каждого пространственного измерения существует вклад g в отношение времен. Для того чтобы выразить отношение времен через диэлектрические параметры, используем формулу Фрелиха [2] для среднеквадратичного момента сферы объема V в бесконечной среде из того же диэлектрического материала
где кв - постоянная Больцмана. Это ограничивает конечный результат жидкостями, в которых кластеры близки к сферической симметрии, таким как вода, в противоположность спиртам, где кластеры имеют протяженную (линейную) форму. Подставляя <Мм2> в уравнение (15), окончательно получаем [42]
_ 3квТт0 (е^ ~ )(2^^ + ) (16)
^ 4лц2рс ’
где т0 - молекулярная масса; рс = Ыт01У - плотность кластера.
3. Сравнение с экспериментом
Метод диэлектрической спектроскопии для воды при комнатной температуре дает тр = 8,3 Пс. Маленькое плечо в области 100 ГГц на хвосте деба-евской линии может быть описано линией дебаевской формы и второй временной постоянной = 1 Пс. Таким образом, эти эксперименты дают тр/т,5 ~ 8,5. Наиболее известные соотношения дают для отношения времен значение значительно меньшее [42]. Исключением является соотношение Дебая, уравнение 1, которое дает приблизительно правильное отношение (его точное значение зависит от выбора еш).
В табл. 1 приведено сравнение второго времени релаксации из диэлектрических измерений для воды и спиртов [26] с из уравнения (16) и соотношения Дебая (1).
Таблица 1
Сравнение между вторым временем релаксации, полученным методом диэлектрической спектроскопии [26], и предсказанным теорией одномолекулярным временем релаксации для воды и спиртов
Жидкость Ро, г/см3 т0, г/а.е.м. ца, Д є/ є Ь С» со ТпЬ, пс т ,Ь п о т/, пс с п 43 ^ Н
вода 1,00 18,01 1,87 78,4 6,2 8,32 1,0 1,0 0,85
метанол 0,791 32,04 1,70 32,6 5,9 51,5 7,1 6,1 11,8
этанол 0,789 46,07 1,69 24,3 4,5 163 9,0 18,6 40,1
1-пропанол 0,804 60,10 1,68 20,4 3,7 329 15 35,7 84,2
Примечание. а - дипольный момент в газовой фазе [44]; Ь - экспериментальные данные, полученные методом частотной диэлектрической спектроскопии при температуре 25 °С [26]; с - настоящая теория, уравнение (16) с использованием дипольного момента с поправкой согласно (3); ё - модель Дебая, уравнение (1).
Обе модели находятся в согласии с данными диэлектрической спектроскопии для жидкой воды. Для спиртов, однако, в модели Дебая происходит рост слишком быстро с увеличением длины цепочечного ассоциата, в то время как настоящая теория остается в качественном согласии с экспериментом. Наилучшее согласие наблюдается для воды и метилового спирта, где наше предположение о сферичности кластера выполняется наилучшим образом.
Согласно уравнениям (11), (12) для маленьких кластеров тр/тх является мерой числа N сильно коррелированных молекул в кластере. Таким образом, при комнатной температуре это число для воды равно 9. Это согласуется с «механизмом тетраэдрического смещения» [45], в котором трансляционные
прыжки молекулы воды из связного в свободное место в тетраэдрической симметрии связаны с переориентацией окружающих молекул воды. Предполагая, что координационное число равно 4, эта перемещающаяся молекула имеет четыре старых и четыре новых соседних молекул, которые должны переориентироваться, для того чтобы число молекул воды, участвующих в элементарном акте, действительно было равно примерно 9.
Уравнение (16) описывает количественно отношение времен для воды и метанола при комнатной температуре в согласии с данными частотной диэлектрической спектроскопии. Из табл. 1 видно, что только развитая здесь теория наиболее правильно описывает эти свойства. Тем не менее мы полагаем, что эта теория на данной стадии наиболее приемлема на качественном уровне. Наша исходная цель состояла в том, чтобы понять кооперативную, многомолекулярную природу дебаевского времени релаксации td в терминах одномолекулярного времени переориентации xs.
Список литературы
1. Debye, P. Polar Molecules / P. Debye. - New York : Dover, 1929. - 425 p.
2. Fröhlich, H. Theory of Dielectrics / H. Fröhlich. - New York : Oxford University Press, 1958. - 249 p.
3. Smyth, C. P. Dielectric Behavior and Structure / C. P. Smyth. - New York : McGraw-Hill, 1955. - 441 p.
4. Hasted, J. B. Aqueous Dielectrics / J. B. Hasted. - London : Chapman & Hall, 1973. - 289 p.
5. Bottcher, C. J. F. Theory of Electric Polarization. II. Dielectrics in Time-Dependent Fields / C. J. F. Bottcher, P. Bordewijk. - Amsterdam : Elsevier, 1978.
6. Berne, B. J. Dynamic Light Scattering / B. J. Berne, R. Pecora. - New York : Wiley Interscience, 1976. - 404 p.
7. Ravichandran, S. Orientational relaxation in dipolar systems: How much do we undestend the role of correlations? / S. Ravichandran, B. Bagchi // Int. Rev. Phys. Chem. - 1995. - V. 14. - 271 p.
8. Buchner, R. The dielectric relaxation of water between 0 °C and 35 °C / R. Buchner, J. Barthel, J. Stauber// Chem. Phys. Lett. - 1999. - V. 306. - P. 57-63.
9. Eisenberg, D. The Structure and Properties of Water / D. Eisenberg, W. Kauzmann. -London : Oxford University Press, 1969. - 280 p.
10. Ohmine, I. Fluctuation, relaxations, and hydration in liquid water. Hydrogen-bond rearrangement dynamics / I. Ohmine, H. Tanaka // Chem. Rev. - 1993. - V. 93. -№ 7. - P. 2545-2566.
11. Ohmine, I. Liquid Water Dynamics: Collective Motions, Fluctuation, and Relaxation / I. Ohmine // J. Phys. Chem. - 1995. - V. 99. - № 18. - P. 6767-6776.
12. Ohmine, I. Water Dynamics: Fluctuation, Relaxation, and Chemical Reactions in Hydrogen Bond Network Rearrangement / I. Ohmine, S. Saito // Acc. Chem. Res. -
1999. - V. 32. - № 9. - P. 741-749.
13. Powles, J. G. Dielectric Relaxation and the Internal Field / J. G. Powles // J. Chem. Phys. - 1953. - V. 21. - № 4. - P. 633-637.
14. Glarum, S. H. Dielectric Relaxation of Polar Liquids / S. H. Glarum // J. Chem. Phys. - 1960. - V. 33. - № 4. - P. 1371-1375.
15. Fatuzzo, E. A calculation of the complex dielectric constant of a polar liquid by the librating molecule method / E. Fatuzzo, P. R. Mason // Proc. Phys. Soc. - 1967. -V. 90. - № 3. - P. 729-740.
16. Nee, T.-W. Theory of Dielectric Relaxation in Polar Liquids / T.-W. Nee, R. Zwanzig // J. Chem. Phys. - 1970. - V. 52. - № 12. - P. 6353-6363.
17. Keyes, T. Depolarized Light Scattering: Theory of the Sharp and Broad Rayleigh Lines / T. Keyes, D. Kivelson // J. Chem. Phys. - 1972. - V. 56. - 1057 p.
18. Kivelson, D. Theory of dielectric relaxation / D. Kivelson, P. Madden // Mol. Phys. -1975. - V. 30. - P. 1749-1751.
19. Madden, P. A consisten molecular treatment of dielectric phenomena / P. Madden, D. Kivelson // Adv. Chem. Phys. 1984. - V. 56. - P. 467-566.
20. Hubbard, J. B. Dielectric friction and molecular reorientation / J. B. Hubbard, P. G. Wolynes // J. Chem. Phys. - 1978. - V. 69. - № 3. - P. 998-1007.
21. Kalmykov, Y. P. On the relationship between macroscopic and single-particle orientational correlation functions in polar liquids / Y. P. Kalmykov, S. V. Limonova // J. Mol. Liq. - 1989. - V. 43. - P. 71-91.
22. Chandra, A. Relationship between microscopic and macroscopic orientational relaxation times in polar liquids / A. Chandra, B. Bagchi // J. Phys. Chem. - 1990. -V. 94. - № 7. - P. 3152-3156.
23. Kim, H. J. Smoluchowski fluctuation theory of dielectric relaxation / H. J. Kim, H. L. Friedman, F. O. Raineri // J. Chem. Phys. - 1991. - V. 94. - № 2. - P. 14421453.
24. Hasted, J. B. Far-infrared absorption in liquid water / J. B. Hasted, S. K. Husain, F. A. M. Frescura, J. R. Birch // Chem. Phys. Lett. - 1985. - V. 118. - № 6. - P. 622625.
25. Hasted, J. B. The temperature variation of the near millimetre wavelength optical constants of water / J. B. Hasted, S. K. Husain, F. A. M. Frescura, J. R. Birch // Infrared Phys. - 1987. - V. 27. - № 1. - P. 11-15.
26. Barthel, J. Dielectric spectra of some common solvents in the microwave region. Water and lower alcohols / J. Barthel, K. Bachhuber, R. Buchner, H. Hetzenauer // Chem. Phys. Lett. - 1990. - V. 165. - № 4. - P. 369-373.
27. Kaatze, U. Dielectric spectroscopy of aqueous solutions. Hydration phenomena and hydrogen-bonded networks / U. Kaatze // J. Mol. Liq. - 1993. - V. 56. - P. 95-115.
28. Woutersen, S. Femtosecond Mid-IR Pump-Probe Spectroscopy of Liquid Water: Evidence for a Two-Component Structure / S. Woutersen, U. Emmerichs, H. J. Bakker // Science. - 1997. - V. 278. - P. 658-660.
29. Laenen, R. Local Substructures of Water Studied by Transient Hole-Burning Spectroscopy in the Infrared: Dynamics and Temperature Dependence / R. Laenen,
C. Rauscher A. J. Laubereau // Phys. Chem. B. - 1998. - V. 102. - № 46. - 9304 p.
30. Nienhuys, H.-K. Orientational relaxation of liquid water molecules as an activated process / H.-K. Nienhuys, R. Laenen, C. Rauscher, A. Laubereau // J. Chem. Phys. -2000. - V. 112. - № 19. - P. 8487-8494.
31. Ronne, C. THz Spectroscopy of Liquid H2O and D2O / C. Ronne, P.-O. Astrand,
S. R. Keiding // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 82. - № 14. - P. 2888-2891.
32. Ronne, C. Low frequency spectroscopy of liquid water using THz-time domain spectroscopy / C. Ronne, S. R. Keiding // J. Mol. Liq. - 2002. - V. 101. - P. 199-218.
33. Conde, O. Hydrogen bond dynamics in water studied by depolarized Rayleigh scattering / O. Conde, J. Teixeira // J. Phys. (Paris). - 1983. - V. 44. - № 4. - 525 p.
34. Conde, O. Depolarized light scattering of heavy water, and hydrogen bond dynamics / O. Conde, J. Teixeira // Mol. Phys. - 1984. - V. 53. - № 4. - 951 p.
35. Cunsolo, A. Experimental Determination of the Structural Relaxation in Liquid Water / A. Cunsolo, G. Ruocco, F. Sette, C. Masciovecchio, A. Mermet, G. Monaco, M. Sampoli, R. Verbeni // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 82. - P. 775-778.
36. Winkler, K. Ultrafast Raman-induced Kerr-effect of water: Single molecule versus collective motions / K. Winkler, J. Lindner, H. Bursing, P. Vohringer // J. Chem. Phys. -
2000. - V. 113. - № 11. - P. 4674-4682.
37. Maroncelli, M. Continuum estimates of rotational dielectric friction and polar salvation / M. J. Maroncelli // Chem. Phys. - 1997. - V. 106. - № 4. - 1545 p.
38. Zwanzig, R. Memory Effects in Irreversible Thermodynamics / R. Zwanzig // Phys. Rev. - 1961. - V. 124. - № 4. - P. 983-992.
39. Mori, H. A Continued-Fraction Representation of the Time correlation Functions / H. Mori // Prog. Theor. Phys. - 1965. - V. 34. - № 3. - P. 71-78.
40. Шурыгин, В. Ю. Вычисление динамического структурного фактора жидкости методом сокращенного описания / В. Ю. Шурыгин, Р. М. Юльметьев // ЖЭТФ. -1989. - Т. 69. - Вып. 3 (9). - С. 938-947.
41. Архипов, В. И. Автокорреляционная функция угловой скорости как функция памяти диэлектрической поляризации жидкости в длинноволновой области /
B. И. Архипов, Ю. А. Гусев // Химическая физика. - 1992. - Т. 11. - № 12. -
C. 1631-1639.
42. Arkhipov, V. I. Hierarchy of dielectric relaxation times in water. Journal of / V. I. Arkhipov // Non-Crystalline Solids. - 2002. - V. 305. - P. 127-135.
43. Kirkwood, J. G. The Dielectric Polarization of Polar Liquids / J. G. Kirkwood // J. Chem. Phys. - 1939. - V. 7. - № 10. - P. 911-919.
44. Weast, R. C. Handbook of Chemistry and Physics / R. C. Weast, M. J. Astle ; Eds. 62nd ed. - Florida : CRC Press: Boca Raton, 1981-1982.
45. Agmon, N. Tetrahedral Displacement: The Molecular Mechanism behind the Debye Relaxation in Water / N. Agmon // J. Phys. Chem. B. - 1997. - V. 101. - 4352 p.
Архипов Владимир Иванович
кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра радиоэлектроники,
Казанский (Приволжский) Федеральный университет
E-mail: varkh59@hotmail.com Агмон Ноам
Профессор, химический факультет, Еврейский Иерусалимский университет
E-mail: agmon@fh.huji.ac.il
Arkhipov Vladimir Ivanovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, senior staff scientist, sub-department of radio electronics, Kazan (Volga Region) Federal University
Agmon Noam
Professor, Department of Chemistry, The Hebrew University of Jerusalem
УДК 532.74:538.66:538.27 Архипов, В. И.
Оценка размеров кластера в ассоциированных жидкостях по характерным временным масштабам ориентационной поляризации /
В. И. Архипов, Н. Агмон // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 126-135.
