Оценка ранга случайной квадратичной формы над конечным полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №35

УДК 519.719.1

ОЦЕНКА РАНГА СЛУЧАЙНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

А. В. Черемушкин

ФГУП «НИИ «Квант», г. Москва, Россия

Изучаются свойства распределения ранга случайной квадратичной формы над конечным полем СЕ(д). Отдельно рассматриваются случаи чётной и нечётной характеристик поля. Доказаны асимптотические нижние оценки значения ранга для почти всех квадратичных форм / от п переменных вида

rank(f) ^ n — ^J2 logq n + c

+ 1,

0 < c < 1, при n —У то.

Ключевые слова: конечное поле, симплектическая группа, квадратичная форма. DOI 10.17223/20710410/35/3

ON THE RANK OF RANDOM QUADRATIC FORM OVER FINITE FIELD

A. V. Cheremushkin

Technology Federal State Unitary Enterprise "Research Institute Kvant", Moscow, Russia

E-mail: avc238@mail.ru

The weights of Boolean functions of degree two are closely related to the ranks of quadratic forms. Though the weights of Reed — Muller codes are intensively researched in coding theory, the ranks of quadratic forms are not sufficiently studied. The article contains some asymptotic properties of the rank of a random quadratic form f(x^...,xn) = aijxixj over finite field GF(q). The cases of odd and

Uneven characteristics are separately considered. If q is odd, then the rank(f) of f is defined as the rank of the symmetric matrix (bj) with Ьц = a^, bj = (aij + aji)/2, j = i, 1 ^ i, j ^ n. It is proved that, for any odd q and 0 < c < 1, the lower bound for the rank of the almost all quadratic forms f in n variables is the following: rank(f) ^ n — [д/2logqn + c| + 1 as n — то. In the case of even q, the rank(f) of f is defined as the rank of a bilinear form f (x + y) + f (x) + f (y). If q = 2m, m ^ 1, n = 2k + e, e € {0,1}, 0 < c < 1, then the lower bound for the rank of the almost all quadratic forms f in n variables is the following:

rank(f) ^ 2k — 2

1log„ k + c +<—1>E

+ 2 as k — то. An another form of

2 09 ' 4

this inequality is rank(f) > n — [^/2 log9 n + c/_| +1, where 0 < d < 1. As a corollary, an asymptotic lower bound for the minimal size ^o(G) of a vertex cover of a graph G with n vertices is obtained. The vertex cover of G is a set S of vertices in G such that every arc in G is incident to a vertex in S. Let n = 2k + e, e = 0,1, c > 0. Then for the almost all graphs G with n vertices, the lower bound for the minimal vertex cover

size is the following: ^o(G) ^ k —

ilog2 k + c±i—a

+ 1 as k — то.

Keywords: finite field, symplectic group, quadratic form.

1. Случай конечного поля нечётного порядка

Каждой квадратичной форме

f (ж^ . . . , aj

над полем GF(q), q = pm, p ^ 3, от n ^ 1 переменных можно поставить в соответствие симметричную матрицу (bj) с элементами Ьц = a^ и bj = (aj + aj)/2, j = i, 1 ^ i, j ^ n. Ранг этой матрицы называется рангом квадратичной формы. Из классификации квадратичных форм [1, 2] следует, что квадратичную форму можно линейным преобразованием аргументов привести к одному из следующих вариантов:

(a) Ж1Ж2 + Ж3Ж4 + ... + X2s-iX2s + r = 2s + 1 ^ n;

(b) ж1ж2 + ж3ж4 + ... + x2s-1x2s + d^2s+1, r = 2s + 1 ^ n и элемент d E GF(q)* не является квадратичным вычетом;

(c) Ж1Ж2 + Ж3Ж4 + ... + X2s-lX2s, r = 2s ^ n;

(d) ж1ж2 + ж3ж4 + ... + x2s-1 — dx2s, r = 2s ^ n и элемент d E GF(q)* не является квадратичным вычетом.

Вероятность того, что квадратичная форма от n переменных имеет ранг r, определяется как относительная доля таких форм:

Pr (n) = Qr (n)/qn(n+1)/2, (1)

где Qr (n) —число квадратичных форм от n переменных, имеющих ранг r; qn(ra+1)/2 — число симметричных матриц над полем GF(q) размера n х n.

Группы инерции этих квадратичных форм имеют следующие порядки [1, 3]: - для случаев (а) и (b)

„ s

2(q2s — 1)q2s-1... (q2 — 1)q1 = 2qs^(q2i — 1),

i=1

- для случая (c)

- для случая (d)

2(q2s-1 — qs-1)(q2s-2 — 1)q2s-3 ... (q2 — 1)q1,

+ - 2)^-3 ... -

Соответственно для числа квадратичных форм возможны следующие значения:

п ( ) _ (дга - 1)... (дга - д25) _

(П) (д2* - 1)д2^-1 ... (д2 - 1)д1 (дп - 1)(дп-1 - 1)д1(дп-2 - 1)д2 (дп-3 - 1)д3(дп-4 - 1)д4

(q2s — 1)q2s-1 (q2s-2 — 1)q2*-3

(qn-2s+1 — 1)q2s-1(qn-2s — 1)q2s

...

x

(q2 — 1)q1

qs(s+1)(qn — 1)(qn-1 — 1) ■ ... ■ (qn-2s — 1) (q2s — 1)(q2s-2 — 1) ■ ... ■ (q2 — 1) 1

п ( ) _ (дп - 1)(дга - д)... (дп - д2*-1) +

2(д2*- - д^-1)(д2^-2 - 1)д2*-3 ... (д2 - 1)д1 +

(дп - 1)(дп - д)... (дп - д2*-1) _

+ 2(д2*-1 + д*-1)(д2*-2 - 1)д2*-3 ... (д2 - 1)д1 _ (дп - 1)(дп - д)д2*-1 \ (дп - д2)(дп - д3)... (дп - д2*-1)

х

(д* - 1)(д* + 1)д2*-2 У (д2*-2 - 1)д2*-3... (д2 - 1)д1

(дп - 1)(дп-1 - 1)д2*+1 (дп-2 - 1)д2(дп-3 - 1)д3

(д2* - 1)д2*-1 (д2*-2 - 1)д2*-3

(дП-2*+2 - 1)д2*-2(дП-2*+1 - ^^ ^ ^ - ^П-1 - ^

Х (д2 - 1)д1 _ (д27-1 Х

(дп 2 - 1)д2(дп-3 - 1) (дп-2*+2 - 1)д2*-2(дп-2*+1 - 1) _

Х (д2*-2 - 1) ... (д2 - 1) _

_ д*(*+1)(дп - 1)(дп-1 - 1) ■ ... ■ (дп-2*+1 - 1)

_ (д2* - 1)(д2*-2 - 1) ■ ... ■ (д2 - 1) . Приведём свойства этих чисел, необходимые в дальнейшем.

Лемма 1. При нечётном д ^ 3 и 0 ^ 2 в ^ п - 2 справедливы следующие соотно-

шения:

^2*+1(п)_ 1 (4)

д2*+3(п) (дп-2*-1 - 1)(дп-2*-2 - 1) V д2*+2

1

д2*+2(п) (дп-2* - 1)(дп-2*-1 - 1) V д2*+2

_ 1 . _ дп-2* - 1;

1 - ^ I ; (5)

(6)

^2*+1(п) _ 1 (1__^ , (7)

^2*+2(п) (дп-2*-1 - 1) V д2*+2,

Поэтому числа 1 ^ в ^ п, образуют монотонно возрастающие последователь-

ности.

Доказательство. Из формул (2) и (3) вытекают соотношения ^+3(п) _ (дп-2*-1 - 1)(дп-2*-2 - 1)д2*+2

^2*+1 (п) (д2*+2 -1) '

^2*+2(п) _ (дп-2* - 1)(дп-2*-1 - 1)д2*+2 ^ (п) (д2*+2 -1) '

^2*+1(п) _ д„_2з - 1

^2*+2(п) _ (дп-2*-1 - 1)д2*+2

^2*+1(п) (д2*+2 -1) .

Лемма доказана. ■

Лемма 2. При нечётном д ^ 3 для числа квадратичных форм с максимальным значением ранга справедливы следующие формулы:

1 ) ( 1 N ( 1

' 1 - -

О»(2к) = д*2*» (1 - ^ (1

дп—V V дп—V V д 1

О^2* + !) = 1 - ±) (1 - д^)..^1 - 1).

Доказательство. При п = 2к имеем

дк(к+1)(дП __ 1)(дП— 1 — 1) ■ ... ■ (дП-2к+1 _ 1)

(2к) =

(д2к - 1)(д2к—2 - 1) ■ ... ■ (д2 - 1)

к(к+1)(дп— 1 - 1)(дп—з - 1)... (д1 - 1) =

дк(2к+1) (1 - -—т) (1

д„— 1 / у дП— 3 / V д

Аналогично при п = 2 к + 1 имеем

^ , ^ _ дк(к+1)(дга - 1)(д„—1 - 1) ■ ... ■ (д„—2к - 1) _ «2к+1(2к + 1) = (д2к - 1)(д2к—2 - 1) ■ ... ■ (д2 - 1) =

= дк(к + 1)(дП - 1)(дП—2 - 1) ■ ... ■ (д1 - 1) =

=д™ (1 - дп )(1 - £) ••• (^ -1 )•

Лемма доказана. ■

Лемма 3. При нечётном д ^ 3 для вероятности максимального значения ранга справедливы следующие формулы:

Р2к+1(2к + 1) = (1 - д^п) - ¿¿т) ... (1 -1

В частности, р2А+1(2к + 1) = - д^+Т^ ^(2к) при к ^ 2.

Доказательство непосредственно следует из формулы (1) и леммы 2. Лемма 4. При нечётном д ^ 3, п ^ 2 и 1 ^ г ^ п справедлива оценка

«„—¿(п) < 1

«„(п) (д* - 1)(д*—1 - 1) ■ ... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)'

Доказательство. Из равенств (4)-(7) леммы 1 следует, что при п = 2к и 1 ^ г ^ к выполнены равенства

«2к—2г(2к) < 1

«2»(2к) (д2* - 1)(д2'—1 - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)'

«2»—2г— 1 (2к) < _1_

«2»(2к) (д2^+1 - 1)(д2' - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)'

1

Таким образом, при всех 1 ^ г ^ 2к справедлива оценка «2»—¿(2к) < 1

«2»(2к) (д* - 1)(д*—1 - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)' При нечётном п = 2к + 1 и 1 ^ г ^ к аналогично получаем «2»—2*+1(2к +1) < 1

«2»+1(2к + 1) (д2* - 1)(д2*—1 - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1):

«2»—2*(2к + 1) < _1_

«2»+1(2к + 1) (д2*+1 - 1)(д2* - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)"

Таким образом, при всех 1 ^ г ^ 2к + 1 справедлива оценка

«2»+1—¿(2к + 1) < 1

«2»+1(2к + 1) (д* - 1)(д*—1 - 1) ■... ■ (д2 - 1)(д1 - 1)' Лемма доказана. ■

Теорема 1. Пусть д нечётно и 0 < с < 1. При п ^ то для ранга почти всех квадратичных форм / от п переменных при п ^ то справедлива оценка

гапк(/) ^ п - ^2 п + с

+ 1.

Доказательство. Оценим долю квадратичных форм от п переменных ранга, не превышающего п - г:

Г (п)д—„(„+1)/2 < V < п«"—*)(п) <_п_

¿0«(п)д < ¿0. «п(п) < п «„(п) < (д1 - 1)(д2 - 1) ■... ■ (д*—1 - 1)(д* - 1)

(здесь использована оценка из леммы 4). В результате имеем

„—* «. (пМ * * ( ( 1

Е угг^ < ^ п - Е ^ (дт - 1) = п - Е т - ^ 1 - —

.7=0 °га(п) / т=1 т=1 \ \ д

1 г(г + 1) , * ( 1\ г(г + 1)

п--+ - дт^ <1о§гп--■

При г = + с], с > 0, выражение

2 ( /21о^ к + И2 ,- с2

, г(г + 1) П г2 (л/2Ю^Гк + с) ; п „

1о§д п--2- < 10§« п - 2 ^ 10§Г п--2- = - V 2 §Г п + 7

стремится к -то при п ^ то. Поэтому при п ^ то доля квадратичных форм ранга, меньшего чем п - 2 п + с], стремится к нулю. ■

2. Случай конечного поля чётного порядка

Каждая квадратичная форма / над полем ОЕ(д), д = 2т, т ^ 1, характеристики два от п переменных может иметь только чётный ранг, причем форму ранга 2г, 1 ^ г ^ [п/2], можно линейным преобразованием аргументов привести к виду

а) Ж1Ж2 + Ж3Ж4 + ... + Х2г—1Х2г + х2г+1 (2г +1 ^ п),

б) ж1ж2 + ж3ж4 + ... + х2г—1х2г + аж2г_ 1 + аж^ (2г ^ п),

где а _ 0 либо а является корнем неприводимого над СР(д) многочлена ах2 + х + а [1]. Так как ранг определяется по билинейной знакопеременной форме

/ (х + у) + / (х) + / (у),

х, у Е ОР(д)га, которая однозначно строится по квадратичной части многочлена, содержащей смешанные произведения без квадратов, то вероятность того, что квадратичная форма от п переменных имеет ранг 2г, можно записать в виде

Р2г(п) _ О*(п)/дп(п-1)/2'

где, как и выше, «2г(п) —число квадратичных форм от п переменных, имеющих ранг 2г, а п(п - 1)/2 — число попарных произведений переменных. Учитывая, что группа инерции билинейной формы от 2г переменных ранга 2г совпадает с симплек-тической группой Яр(2г,д) (см., например, [1, 3, 4]), получаем

(дп - 1)... (дп - д2г-1)

«2г (п) _ --г,-.

2 г

Так как [5, с. 414] |Бр(2г,д)| _ дг П (д2* - 1) _ (д2г - 1)д2г-1... (д2 - 1)д1, то

г=1

« ( (дп - 1)(дп - д1) (дп - д2г-2)(дп - д2г-1) _

«2г (п) (д2г - 1)д2г-1 ... (д2 - 1)д1 (8)

_ (дп - 1)(дп-1 - 1)д0 (дп-2г+2 - 1)(дп-2г+1 - 1)д2г-2 ( )

_ ... .

Лемма 5. При д _2т, т ^ 1, 1 ^ г ^ п/2 - 1 справедливо соотношение

^(п) - д2 1 . (9)

^2г+2(п) (дп-2г - 1)(дп-2г-1 - 1) V д2г+2,

Числа «2г(п), 1 ^ г ^ п/2-1, образуют монотонно возрастающую последовательность. Доказательство вытекает из равенства (8) и соотношения

(дП-2г - 1)(дП-2Г-1 - 1)д2г

^2г+2(п)/^2г (п)

(д2г+2 - 1)

Лемма 6. При д _ 2т, т ^ 1, для числа квадратичных форм с максимальным значением ранга справедливы следующие формулы:

«к (2к)_ (1- дП-Т) (1 - дп-3)...(! - 1 )•

(» + дк<2'+1) О - дп) 0 - дП-2 )-(1 - ±).

Доказательство. При п _ 2к имеем

(дп - 1)(дп-1 - 1)д0 (д2 - 1)(д1 - 1)д2'-2

(2к)

(д2' - 1) (д2 - 1)

^<к-1)(дП-1 - 1)(дП-3 - 1) ... (д1 - 1) _ д'-2'-1^ 1 - ^ ^ - ^ . . ^ 1 ^

дП-1 / \ дП-3 / \ д

Аналогично при п = 2к + 1 имеем

«2» + !) = д^ 1 - (1 - д^)..^ 1 - 1).

Лемма доказана. ■

Лемма 7. При д = 2т, т ^ 1, для вероятности максимального значения ранга справедливы следующие формулы:

= (1 - ^¿т) (1- д^)-^1-1

Р2»(2к + 1)= (* - (> - д^) -(1 - д3) -

В частности, (2к) = ( 1--) р2»_2(2к - 1) при к ^ 1.

V д)

Доказательство непосредственно следует из леммы 6.

Теорема 2. Пусть д = 2т, т ^ 1, п = 2к+е, е € {0,1} и 0 < с < 1 — произвольная константа. При п ^ то для ранга почти всех квадратичных форм / от п переменных при п ^ то справедлива оценка

2к ^ гапк(/) ^ 2к - 2

1, , с +(-1)£ о 1о^д к + 1 ;

2 4

Доказательство. В силу равенства (9) имеем

+2.

д2

«2г(п) < (д„—2Г—1 - 1)(д„—2г - 1) «2г+1(п), (10)

поэтому при п = 2к и 1 ^ г ^ к справедлива оценка «2^—*) (2к) < д2*

«2»(2к) (д2 - 1)(д3 - 1)(д4 - 1) ■ ... ■ (д„—2(»—*)—1 - 1)(д„—2(»—*) - 1)

2*

д

(д2 - 1)(д3 - 1)(д4 - 1) ■... ■ (д2*—1 - 1)(д2* - 1)'

Оценим долю квадратичных форм от п переменных ранга, не превышающего 2к - 2г:

V « (2к)д—^ < V ^(2к) < к^-¿)(2»)

^0 (2к)д 2 < 5 «¡М <к

кд2*

<

(д2 - 1)(д3 - 1)(д4 - 1) ■... ■ (д2*—1 - 1)(д2* - 1)'

Оценим логарифм этого выражения:

/

* «2,- (2к)

2*

1оМЕ «ткЛ < 1о§г к + 2г - £ 1о^д (дт - 1)

у=0 «2»(2к)у т=2

=1о^дк+2г - е (т - 1о§л1 - ^ т=2 \ \ д

(2г + 2)(2г - 1) Д п / 1 к + 2г - (-2-) + Е 1ogД 1 - -т) <

2 т=2 \ д

< 1 к - 2г2 + г + 1.

П1)

Положим г _ ние (11) стремится к -то

с + 1

2 1о§?к + 4

где с > 0. При таком выборе при к ^ то выраже-

1 С +1

1о^д к - 2г2 + г + 1 ^ 1ogq к - 2 [ к + —

+

^ к + ^

+1<

< ^ к - 2 | ^^ к + 2у^2 кСс^Г+{ С~4т) ) + V 1к + ^ + 2

Поэтому для п _ 2к п

с + 1

2к

2 1ogq к +

4

1, ,„ , 2с2 + С +1

_ -с\/ к + —4— +

ри к ^ то доля квадратичных форм ранга, меньшего чем , стремится к нулю.

При п _2к + 1 и 1 ^ г ^ к рассуждаем аналогично. В силу неравенства (10) справедлива оценка

<

д

«2<к-г)(2к +1)

«2к(2к +1) < (д2 - 1)(д3 - 1) ■ ... ■ (дп-2<к-*)-1 - ^(дП-2^ - 1)

„2г

(д2 - 1)(д3 - 1) ■ ... ■ (д2* - 1)(д2г+1 - 1)'

Аналогично получаем

ку- «2.(2к + 1)д-^ < ^ ^(2к +1) < к°2<к-^)(2к +1) <

ь (2к + 1)д 2 < ъ «2к(2к + 1) <к «2-(2к + 1) <

<

кд

2г

(д2 - 1)(д3 - 1) ■... ■ (д2г - 1)(д2т - 1)'

Оценим логарифм этого выражения:

^ ё Оы2кТ1Т < к - £2 (дт -1)

^ к + 2г - ( г - ^ (1 - < 1ogq к + 2г - ^^ _ 1ogq к - 2г2 - г.

Полагая г

с- 1

2 ^к + 4

получаем, что при к ^ то последнее выражение

стремится к -то. Поэтому для п _ 2к + 1 при к ^ то доля квадратичных форм ранга,

^ Г с - Г

- к +---— , стремится к нулю.

меньшего чем 2к 2

Можно изменить вид нижней оценки из теоремы 2, приблизив его к виду оценки из теоремы 1.

2

Следствие 1. Пусть д = 2т, т ^ 1, к = [п/2] и 0 < с' < 1 —произвольная константа. При п ^ то для ранга почти всех квадратичных форм / от п переменных при п ^ то справедлива оценка гапк(/) > п - [^2 п + с/_| + 1. Действительно,

2k — 2

n —

^ , c +(-1)£ о log, k + 1 ;

4

+ 2 ^ n-

\J2 logq k +

c + 1

+1

n c+ 1 2 logq n - 2 logq k + "y

+ 1 > n -

2 logq П +

С + 1 2

+ 1.

Приведём еще одно следствие из теоремы 2, содержащее нетривиальную асимптотическую нижнюю оценку наименьшего вершинного покрытия случайного простого, т. е. неориентированного без петель, графа. Хотя оценка представляется достаточно грубой, тем не менее автору не известно более точных результатов.

Следствие 2. Пусть п = 2к + е, е € {0,1}, и с > 0. Для почти всех простых графов с п вершинами величина наименьшего вершинного покрытия при п ^ то

оценивается снизу величиной в0(^) ^ к - л А к + с+(—1) + 1.

Доказательство. Каждому простому графу с n вершинами взаимно однозначно соответствует квадратичная форма от n переменных над полем из двух элементов, где каждому ребру (i, j) в графе соответствует одночлен XjXj, 1 ^ i < j ^ n. При этом наименьшему вершинному покрытию графа соответствует такой набор переменных, фиксация которого произвольными значениями превращает квадратичную форму в функцию меньшей степени нелинейности. Так как наименьшее число одночленов второй степени у квадратичной формы ранга r = 2s будет в её каноническом представлении (a)-(d), то число таких фиксаций ограничено снизу значением s, т.е. ^o(G) ^ s. Остаётся воспользоваться оценкой из теоремы 2. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Dixon L. E. Linear Groups with an Expositions to the Galois Field Theory. Leipzig: Publ. by B.G. Teubner, 1901.

2. Mullen G. L. and Panario D. Handbook of Finite Fields. CRC Press, A Chapman & Hall Book, 2013.

3. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. M.: Мир, 1974.

4. Мак-Вильямс Ф. Дж., СлоэнН.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.

5. Бурбаки Н. Алгебра: модули, кольца, формы. М.: Наука, 1960.

REFERENCES

1. Dixon L. E. Linear Groups with an Expositions to the Galois Field Theory. Leipzig, Publ. by B. G. Teubner, 1901.

2. Mullen G. L. and Panario D. Handbook of Finite Fields. CRC Press, A Chapman & Hall Book, 2013.

3. D'edonne Zh. Geometriya klassicheskikh grupp [Geometry of Classical Groups]. Moscow, Mir Publ., 1974. (in Russian)

4. MacWilliams F. J. and Sloane N. J. A. The Theory of Error-Correcting Codes. North Holland, 1977.

5. Burbaki N. Algebra: moduli, kol'tsa, formy [Algebra: Modules, Rings Forms]. Moscow, Nauka Publ., 1960. (in Russian)

2