Оценка постоянной Гельдера для слабых решений m-гессиановских уравнений в замкнутой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОЦЕНКА ПОСТОЯННОЙ ГЕЛЬДЕРА

ДЛЯ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ т-ГЕССИАНОВСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ*

H. В. Филимоненкова

С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, ассистент, Nf33@yandex.ru

I. Введение

В 80-е годы прошлого века в работах Н. М. Ивочкиной, Л. Каффарелли, Л. Нирен-берга, Д. Спрука, Н. В. Крылова, Л. Эванса были заложены основы современной теории полностью нелинейных уравнений второго порядка в частных производных. В таких уравнениях присутствует нелинейная зависимость решения от вторых производных, и, если при этом главная часть уравнения зависит только от вторых производных, они называются гессиановскими. Типичным примером такого рода является т-гессиановское уравнение

¿гтижж = / ,

где ¿гтихх — это сумма главных миноров порядка т матрицы ихх, и € С2(П), П С Д”,

1 ^ т ^ п. В частности, при т = 1 это уравнение Пуассона, при т = п — уравнение Монжа—Ампера. Основной целью исследований вышеназванных авторов [1-4] было доказательство разрешимости задачи Дирихле для таких уравнений в классе СА(0,). В настоящее время актуальной является задача исследования гладкости слабых решений, именно этому посвящена предлагаемая работа.

Обратимся к постановке задачи и обзору имеющихся на сегодняшний день результатов. Рассмотрим пространство Буш(п) симметричных матриц размера п х п. Выберем и зафиксируем целое число 1 ^ т ^ п. Символами обозначаем след порядка т

матрицы $, равный сумме всех главных миноров порядка т матрицы $. Рассмотрим конус Кт в пространстве 8уш(п):

Кт = > 0, * = 1,..., т}.

В частности, конус К” — это конус положительно определенных матриц.

Рассмотрим область П С Д”. Функция и € С2(П) называется т-допустимой в области П, если ихх(ж) € Кт,х € П. Заметим, что п-допустимая функция — это выпуклая функция в области П и что т-допустимая функция не может иметь строгий максимум внутри области П, каково бы ни было 1 ^ т ^ п.

Оператор Ет назовем т-гессиановским оператором:

•т[и] = (¿Гтихх)1/т.

Поставим в области П задачу Дирихле для т-гессиановского уравнения:

•т[и] = / в П, и| дП = <£>. (1.1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00729).

© Н.В.Филимоненкова, 2010

Задача (1.1) является одним из основных примеров задачи Дирихле для полностью нелинейного уравнения второго порядка. Условия, достаточные для разрешимости задачи (1.1) на множестве т-допустимых функций, были впервые опубликованы в работе Л. Каффарелли, Л. Ниренберга и Д. Спрука [4] 1985 года.

Теорема 1.1. Пусть дП —строго (т — 1)-выпуклая поверхность класса С4, <р € СА(дО>), / £ С2(И),/ > 0. Тогда существует единственное т-допустимое решение и € С3+а(П) задачи (1.1).

Понятие области со строго (т — 1)-выпуклой границей будет определено в § 2.

В работе Н. Трудингера [5] 1997 года введено понятие слабого решения задачи (1.1) в аппроксимативном смысле, частным случаем которого является следующее определение.

Определение 1.1. Функция V называется т-аппроксимативным решением задачи (1.1) с / € ЬР(П), р > 1, <р € С(дП), П — липшицева область, если существует последовательность т-допустимых функций {ик} такая, что ик(х) ^ v(x),x € П, У^т[и&] — /||ьр(П) ^ 0, \\и‘к — ^Ус(дП) ^ 0.

Такое определение «оставляет много свободы» для слабого решения, оно не гарантирует автоматически его существование и единственность, и поточечная сходимость не дает никакой очевидной информации о качестве функции V. Тем не менее при определенных условиях можно утверждать существование, единственность и хорошие свойства т-аппроксимативного решения.

Теорема 1.2. Пусть дП — строго (т — 1)-выпуклая поверхность класса С4, <р € С(дП), / € Ь”(П), / ^ 0. Тогда существует единственное т-аппроксимативное решение задачи (1.1). При этом V (Е С(0,) П Са(£1) с любым 0 < а < 1.

В этой теореме существование, единственность и непрерывность в замкнутой области доказываются с помощью регуляризации задачи (1.1) и применения известного принципа максимума Александрова [6]. Метод построения внутренних оценок постоянной Гельдера для аппроксимативного решения был намечен в работе [5] Н. Трудингера, однако вопрос о гельдеровости слабого решения в замкнутой области до сих пор оставался открытым. Результаты, представленные в предлагаемой работе, — оценка скорости роста аппроксимативного решения вблизи границы и, как следствие, оценка постоянной Гельдера в замкнутой области. Первые результаты такого типа были получены автором данной работы в публикациях [7, 8]. Цель настоящей статьи — предложить облегченный вариант их доказательства. Облегченный не только за счет отсутствия технической рутины, тщательно разобранной в предыдущих статьях, но и за счет реального упрощения в работе с оценками у границы. Дело в том, что подход Н. Тру-дингера к получению внутренних оценок содержит элегантный прием, оригинальный тем, что позволяет обойтись на завершающем этапе без привычного итегрирования. В предлагаемой статье впервые показано, как этот прием работает для получения оценок постоянной Гельдера у границы. Несмотря на то, что «технология добычи» внутренних оценок и приграничных по существу различна, удалось достичь внешнего единообразия на основных этапах их вывода.

Сформулируем результаты настоящей работы. Рассмотрим в области П множество п = {ж € П : ^^х, дП) < ¿} — приграничную полосу ширины ! > 0. Обозначим через N единичную внутреннюю нормаль к поверхности дП в той или иной точке.

Теорема 1.3. Пусть дП — строго (т — 1)-выпуклая поверхность класса С2, / ^ 0.

Если / € Ь”9(Пй) и 1 ^ ц < (п + 1)/2, то для любой точки жо € дП и для любого ¿о > 0 такого, что жо + N¿0 € Щ, т-аппроксимативное решение V задачи (1.1)

|"(,о +ЛЭД -„(,0)1 ^ ^ +4fh_4u^ a = ±tl(,2_iy (L2)

Константа с зависит от n, У^Ус2(ЭО), ||dQ||c2 и р-кривизн dQ,p = 1, . .., m.

Неравенство (1.2) представлено в форме, отражающей зависимость оценок явно от функции f и скрыто — от других параметров задачи (1.1). Как видно из теоремы 1.4, скорость возрастания v при подходе к границе зависит от локальной суммируемости f вблизи границы. В частности, если f £ Lnq(Щ) с любым q < (n + 1)/2, то соотношение (1.2) справедливо с любым 0 < а < 1. Если же f £ Ln(n^), то а = (n + 1)/2n.

Доказательство теоремы 1.3 в параграфе 3 проходит в два этапа: мы используем модификацию метода О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой из работы [9] для вывода основополагающей леммы 3.1, а затем специальный прием Н. Трудингера для получения теоремы 3.2.

Следствием теоремы 1.3 и внутренних оценок является принадлежность m-аппроксимативного решения пространству Гельдера в замкнутой области.

Теорема 1.4. Пусть dQ —строго (m — 1)-выпуклая поверхность класса C2, <р £ C(dQ), f ^ 0. Если f £ Ln(Q) П Lnq(П^) и 1 ^ q < (n + 1)/2, то т-аппроксимативное решение задачи (1.1) v £ Ca(Q) с а = (п + l)/2n(2 — l/q).

Очевидно, достаточно доказать аналог теорем 1.3, 1.4 для m-допустимого решения и задачи (1.1), существование которого гарантируется теоремой 1.1.

2. Вспомогательные предложения

Пусть xo £ dQ. Свяжем с точкой xo декартову систему координат (x1, x2,..., xn) с началом в xo и базисом {ei, в2,..., en}, где вектор en направлен по внутренней нормали к поверхности dQ в точке xo, вектора ei, e2,..., en-i лежат в касательной плоскости. В дальнейшем будем называть такой базис сопровождающим базисом поверхности dQ и использовать его в той или иной точке. Обозначим x = (x1, x2, x3,..., xn-i), x = (x, xn).

Возьмем произвольное число p > 0. В рамках поставленных задач будем считать, не умаляя общности, что в окрестности радиуса p точки xo поверхность dQ может быть задана в явном виде:

xn = w(x), |x| < p, ^(0) = 0, ^j(0) = 0.

Сопоставим точке xo область

Qp = {|x| < p, w(x) < xn < w(x) + к(р2 — x2)}. (2.1)

Параметр к > 0 имеет большое значение для дальнейших построений и будет зафиксирован позднее. Для описания свойств границы области Q нам понадобится понятие р-выпуклых поверхностей.

Определение 2.1. Гиперповерхность Г £ Rn называется строго р-выпуклой в точке x, если S = diag[ki, .. ., kn-i](x) £ Kp, где ki(x), .. ., kn-i(x) — главные кривизны Г в точке x. Число trp(S)(x) называется р-кривизной Г в точке x.

В статье [8] это определение сформулировано в терминах симметричной матрицы кривизны поверхности Г. Понятие строго (n — 1)-выпуклой поверхности совпадает с понятием строго выпуклой поверхности в традиционном смысле.

Введем новую переменную у = ж” — ш(ж) + кж2 и с ее помощью представим вспомогательную область Пр из (2.1) в следующем виде: Пр = {|ж| < р, кж2 < у < кр2}. Граница области Пр состоит из двух частей:

Гр = {|ж| < р, у = кж2}, Гр = {|ж| < р, у = кр2}.

Рассмотрим в области Пр функцию Шр(у), которую будем называть барьерной:

W'ty)=2M* Ij(^) -Лг], М'>0. (2.2)

Легко проверить, что для функции Wр в области Пр верны соотношения

Wр|Гр < 0, WP|fp = -Mр, (2.3)

2M P

—Wp < —у. (2.4)

кр2

Самое важное свойство барьерной функции изложим в следующей теореме, полное доказательство которой для барьеров такого же типа, как Wр, содержится в статье [8].

Теорема 2.1. Пусть функция p из задачи (1.1) продолжена внутрь области Пр по правилу p(x) = р(Х, w(X)), x G Пр. Если Гр — строго (m — 1)-выпуклая поверхность, то можно выбрать достаточно малое число к так, чтобы функции (Wр ±p) были m-допустимы в 0,р. Выбор к зависит от ||р||с2(гр), ||Гр||с2 и р-кривизн Гр,р = 1, . .., m.

В ближайших рассуждениях нам также понадобится ряд вспомогательных фактов. Во-первых, следующая версия принципа максимума Александрова в следующем виде.

Лемма 2.1. Пусть функция z определена в цилиндрической области Q С {x : |Х| <

r, |xn| < cr2}. Пусть Q+ — это часть области Q, на которой матрица zxx положи-

тельно определена. Тогда найдется постоянная c = c(n, с) такая, что всюду в области Q

/ \ 1/n

z > inf z - cr(n+1)/n dQ

I det zxxdx \Q+

Во-вторых, будем использовать известное неравенство Маклорена (см., напр, [1]). Лемма 2.2. Пусть г — т-допустимая функция в области Q С К”. Тогда в каждой точке области

< ^т[г].

Также нам понадобится важное следствие вогнутости и 1-однородности оператора -Рт в конусе т-допустимых функций.

Лемма 2.3. Если ф, ф — произвольные т-допустимые функции, то

[Ф]Фу > [ф].

3. Поведение решения у границы

Пусть функция р из задачи (1.1) продолжена внутрь области Пр по правилу

р(х) = р(Х, о>(Х)), х £ Пр.

При помощи вспомогательных областей и барьерной функции, описанных в предыдущем параграфе, докажем основное рекурентное соотношение для колебания т-допу-стимого решения задачи (1.1) у границы. Сопоставим фиксированной точке хо £ дП области Пг С Пр, г < р (см. (2.1)).

(п + 1)/2. Тогда для т-допустимого решения и задачи (1.1) верно соотношение

где со зависит от п, ||р||с2(гр), ||Гр||с2 и р-кривизн Гр,р = 1, . .., т.

Доказательство. Обозначим Мг = вир^г |и — р|, Мр = вир^р |и — р|. В области Пр рассмотрим барьерную функцию Шр из (2.2). Введем новую функцию г, выбрав ее поочередно двумя способами.

I. Положим

Благодаря граничным свойствам (2.3) барьера Шр и выбору величины Мр можно утверждать, что г|э^р ^ 0. Из теоремы 2.1 следует, что г = и + (Шр — р) — это сумма двух т-допустимых функций в области Пр. В таком случае г тоже т-допустима и не может иметь строгий максимум внутри области Пр. Следовательно, г ^ 0 во всей области. С учетом свойства (2.4) имеем в области Пр оценку

С помощью принципа максимума Александрова из леммы 2.1 оценим г снизу в области Пр. Поскольку

Пр = {|Х| < р,^(Х) < х” < ^(Х) + к(р2 — X2)}, нетрудно показать, что область Пр можно вложить в цилиндрическое множество ради-

Из соотношений (2.3) и величины Мр вытекает, что г|э^ ^ 0. С учетом оценки (2.4) приходим к выводу, что

Лемма 3.1. Пусть Гр — строго (т — 1)-выпуклая поверхность класса С2, 1 ^ д <

2Мр

(3.1)

ту-

кр

II. Положим теперь

Тогда принцип максимума Александрова приводит к оценке

Оценим второе слагаемое в этом выражении. На множестве П+ функция г является строго выпуклой и тем более т-допустимой, поэтому для нее справедливо неравенство Маклорена из леммы 2.2 и свойство вогнутости из леммы 2.3:

< (*т [г])” < )”.

Продолжаем оценивать:

[и](и—р—ш %• = /—[и](р+ш %• < /—р+р] < /.

Последние два неравенства верны в силу теоремы 2.1, которая утверждает т-допусти-мость функций (Шр + р) в Пр, что позволяет применить свойство вогнутости оператора к сумме (Шр + р), причем ^т[Шр + р] > 0. Итак, окончательно выводим в области

Пр

2 М р

р - гх < —у + с(п, ||Гр||с2)/П+1)/п||/11ь^)- (3-2)

кр2 4

Объединяем результаты (3.1) и (3.2) для получения в области Пр оценки с модулем:

2М р

|М - РК —аУ + с(п, ||Гр|ЫР(”+1)/1/11ь~(ад. кр

Так как Пг С Пр, можно перейти к 8ирг в обеих частях неравенства, учитывая, что у ^ кг2 в Пг. После этого поделим обе части неравенства на (кг2)“:

Мг Мр (г\2(1-а) У”+1)/”„ ,, , ^

^ Ь) + с(п’1Мс2’ (3-3)

С учетом того, что область Пр имеет объем порядка р”+1, применим неравенсво Гель-дера к величине ||/||ьп(Пр):

II/11^) < с(|ГрУ02)р(”+1)/”(1-1/^)||/||ь„,(Пр),

где ц такое, как в показателе суммируемости / из условия теоремы. С помощью этого можно добиться повышения степени р во втором слагаемом (3.3) настолько, насколько позволяет показатель суммируемости /:

Мг М р (г \2(1-а) р(”+1)/”(2-1/?)

2\а < 2?-^- ( ^ ) + с(п, ||ГР||С2, х)£------^----------ll/IU-W

(кг2)“ (кр2)“ ур)

При а = (n + 1)/(2n) (2 — 1/q) получаем утверждение леммы. Итоговая константа со зависит от п и от тех же величин, от которых зависит параметр к (см. теорему 2.1). □

С помощью леммы 3.1 оценим скорость роста m-допустимых решений задачи (1.1) вблизи границы. Рассмотрим приграничную полосу ширины d

П = {x € Q : dist(x, dQ) < d}.

Обозначим через N единичную внутреннюю нормаль к поверхности dQ в той или иной точке.

Теорема 3.1. Пусть дії — строго (т — \)-выпуклая поверхность класса С2. Пусть 1 ^ ц < (п + 1)/2. Тогда для любой точки хо Є дП и для любого ¿о > 0 такого, что хо + N¿0 Є т-допустимое решение и задачи (1.1) удовлетворяет неравенству

\и{х0+Ш0)-и(х0)\ ^ лі/(і-а) (овси/а \ п+1(^

---------^---------«4 Ч^і^ + соіі/ііі-<п'>]' " = —

где со зависит от п, ||р||с2(дп)> ||ді||с2 и р-кривизн дП,р = 1, . .., т.

Доказательство. Возьмем точку хо, сопровождающий базис поверхности дП с началом в этой точке и рассмотрим всевозможные области Пр при условии кр2 ^ Все они лежат в полосе Щ, и, очевидно, на границу одной из них попадает точка хо + N^1:

□ 1ГІ . -п 2 Л \и{хо+Шо) -и(х0)\ ^ виРяР0 \и~Ч>\

Зр0:х0+Л/(10£Гро, кр0 = д, о, -------------—-------- <-----{яр20)а--'

Оригинальный прием Трудингера (если перенести его сюда из методики получения внутренних оценок) состоит в том, чтобы оценить сразу величину

виРп„|и — И

тах ----. -----,

кр2^ (кр2)“

использовав при этом лемму 3.1 со специально подобранным соотношением между числами г и р. Прежде всего заметим, что максимум не может достигаться при р ^ 0, потому что для любого 0 < а < 1

вирпр |и — р| вирцр |и — . .

= (кр ) -----— ---- ^(яр) 8ир|гіж|^0 при р —> 0.

п

d

(кр2)“ кр

Пусть максимум достигается при каком-то г > 0:

8ирПг|м-р| ,о ^

{хр2)а {хг2)а ' >

Пусть

7 = 21/(1-а), 2 < 7 < то.

Применение леммы 3.1 строится на соотношении между величинами г и ¿, критерием сравнения служит число 7. Если кг2 > ¿/72, то оценим просто

8иР0.1м-И „ Л/Ц-а)0^«

(хг2)“ <4 ^ ' (Л'5]

Более содержательной является ситуация, когда кг2 ^ ¿/72. В этом случае к(7г)2 < ¿, и область П7Г содержится среди тех областей, по которым в соотношении (3.5) происходит максимизация. Число 7 выбрано так, что, применив лемму 3.1 к областям Пг С П7Г С Щ, получим

8ПРа>-р| 1811Рп \и-ср\ Л/(1-а)пгп

(хг2)« ^ 2 (Х(7г)2)“ +С°4

Благодаря тому, что г доставляет максимум в (3.4), приходим к оценке

8иР(^)~У| < 2с041/С1-“)||/|и_(п,). (3.6)

Оценки (3.5) и (3.6) равносильны утверждению теоремы 3.1. С учетом произвольности выбора точки хо костанта со зависит от п, ||р||с2(дп), ||дП||с2 и р-кривизн дП, р = 1,..., т.

4. Оценка постоянной Гельдера в замкнутой области

Доказательство заключительной теоремы, по сути, «склейка» внутренней ситуации и приграничной. В качестве ключевого, сугубо внутреннего, соотношения будем использовать лемму, аналогичную по форме лемме 3.1.

Лемма 4.1. Рассмотрим два вложенных шара Вг С С П, 2г < р. Тогда при любом 0 < а ^ 1 для т-допустимого решения и задачи (1.1) верно соотношение

/ \ 1 — а

оясВти (г\ оасв и р

Константы С1, С2 зависят от п, т.

Лемма 4.1 восходит к работе [5] Н. Трудингера. Ее переработанное доказательство опубликовано в статьях [7, 10]. Сама по себе эта лемма приводит к оценке постоянной Гельдера внутри области П в зависимости от расстояния до границы. Сопряжение этой леммы с теоремой 3.1 из предыдущего параграфа дает оценку постоянной Гельдера в замкнутой области.

Теорема 4.1. Пусть дП — строго (т — 1)-выпуклая поверхность класса С2 и и — т-допустимое решение задачи (1.1). Пусть 1 ^ ц < (п + 1)/2. Тогда для любой точки хо € О и для любого шара Вр = Вр(хо) справедливо неравенство

о«сврппи 1/(1—а) (°всои , |т| , |т| . \

----^< с ^----Ь с0У\\ь^Ч(па) + ||/||ь-(п) + |М|с1(ап)) ■

Константа с зависит от п и т. Константа со зависит от п, ||р||с2(дп), ||дП||С2 и р-кривизн дП,р = 1, . .., т.

Доказательство. Принцип доказательства этой теоремы, в целом, очень похож на доказательство теоремы 3.1. Еще раз воспользовавшись приемом Н. Трудингера, оценим сразу величину

овсв„ппи тах ------------.

0<p^diamQ ра

Как и в теореме 3.1, легко убедиться, что максимум не может достигаться при р ^ 0.

Пусть максимум достигается при 0 < г ^ ё1ашП. Не умаляя общности, можно считать

г ^ 1:

о«св„ппи овсВгппи

тах -------------=------------. (4.1)

0<p^diamП ра га

Обозначим через ¿о = &Б^жо, дП) расстояние от точки хо до границы области П. Для доказательства теоремы надо рассмотреть три случая: внутренний, приграничный и смешанный — в зависимости от соотношения между величинами г, ! и ¿о. В качестве критерия сравнения введем число

7 = (2с1)1/(1—а),

где С1 —константа из леммы 4.1, зависящая только от т и п. Можно считать 7 > 2.

Случай 1. Если г < do/7, то рассмотрим шары Br С BYr С П, 2г < 7г. Число 7 подобрано так, что, находясь в условиях леммы 4.1, имеем соотношение

Благодаря тому, что г доставляет в (4.1) максимум, и соглашению г ^ 1, получаем

°~^ ^cW-^WfW^w, с = с(п, то). (4.2)

Случай 2. Если г ^ do/7 и Br П П С Щ, то «пойдем через границу» и оценим сверху величину

oscBrno« = sup |u(xi) - u(x2)|.

xi ,X2 GBrnQ

Обозначим буквами di и d2 расстояния от точек xi и Х2 до границы области П, а также

реализующие эти расстояния точки xi, Х2 G дП: di = |xi — xi|, d2 = |x2 — X21. Благодаря

тому, что do ^ 7Г, нетрудно получить оценки

di,d2 < (7 + 1)r, |xi — X21 < (27 + 4)r. (4.3)

Оценим величину |u(xi) — u(x2)| по неравенству треугольника

|u(xi) — u(x2)| < |u(xi) — u(xi)| + |p(xi) — p(x2)| + |u(x2) + u(x2)|.

Поскольку обе точки xi и X2 лежат в полосе Щ, используем для выражений |u(xi) — u(xi)| и |u(x2) — u(x2)| оценку из теоремы 3.1. В итоге

Kxi) - и(х2)I < 41/(1-“) (££^ + coll/IU»,(nd)) № + d?) + ||^||oi(en)|xi - Х2\. Оценки (4.3) и условие г ^ 1 приводят к выводу

OSCBrnnU (OSCudU ..... \

---^dpi +co||/||b^(nd) + M\ci(dQ)) , с = с(п, то). (4.4)

Случай 3. Если г ^ do/7 и Br ПП С П^, то это значит, что do + г ^ d. Следовательно, г ^ d/(1 + 7), и это приводит к оценке

OSCBr nfiu i/(i-a) oscOu , s

--------- < c /v ;—-------, c=c(n, to). (4.5)

га da v ' v '

Объединяя оценки (4.2), (4.4), (4.5), получим утверждение теоремы.

Литература

1. Ивочкина Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа—Ампера // Мат. сб. 1983. Вып. 22. С. 265-275.

2. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. 376 с.

3. Evans L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations // Comm.Pure and Appl.Math., 1982. Vol. 35. N 3. P. 333-363.

4. Caffarelly L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math., 1985. Vol. 155. P. 261-301.

5. Trudinger N. S. Week solutions of Hessian equations // Comm. Partial Differential Equation. 1997. Vol. 22. P. 1251-1261.

6. Александров А. Д. Задача Дирихле для уравнения Det||zij У = p // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. 1958. Вып. 1. С. 5-24.

7. Ивочкина Н. М., Филимоненкова Н. В. Оценка постоянной Гельдера для m-гессианов-ских уравнений // Проблемы математического анализа. 2009. Вып. 40. С. 69-76.

8. Ивочкина Н. М., Филимоненкова Н. В. Лемма о возрастании для аппроксимативных решений задачи Дирихле для m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. 2008. Вып. 38. С. 37-45.

9. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Оценки на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида // Препринты ЛОМИ P-I-85. Л., 1985.

10. Филимоненкова Н. В. Теорема типа Фрагмена-Линделефа для m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. 2009. Вып. 39. С. 147-155.

Статья поступила в редакцию 11 марта 2010 г.