Оценка напряженного и деформированного состояний деформирования листовой оболочки из анизотропного материала в режиме кратковременной ползучести Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

УДК 621.983; 539.374

ОЦЕНКА НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛИСТОВОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

С.Н. Ларин, В.И. Платонов, С.С. Яковлев (мл.)

Приведены результаты теоретических исследований процесса свободного деформирования прямоугольной мембраны из анизотропного материала. Особое внимание уделено оценке напряженного и деформированного состояний. Предполагается, что деформирование осуществляется в режиме кратковременной ползучести.

Ключевые слова: деформирование, мембрана, напряжения, деформации, давление, цилиндрические каналы.

Представлена свободная формовка длинной прямоугольной оболочки (мембраны), закрепленной вдоль длинной стороны [1, 2, 3]. Листовой материал принимается ортотропным с коэффициентами анизотропии Н Н

Ях - —; Яу = —, где х, у, г - главные оси анизотропии.

С7 ^

Мембрана шириной 2а, толщиной Ь нагружается давлением р,

изменяющимся во времени по некоторому закону р = Ро+ар1 , где

Ро>ар>пр ~ константы нагружения (рис. 1). Направление длинных сторон

заготовки совпадает с осью х (с направлением прокатки).

Главные оси напряжений совпадают с главными осями анизотропии. Деформирование осуществляется в режиме кратковременной ползучести. Длина мембраны значительно превосходит ее ширину, таким образом реализуется случай плоской деформации, т.е. = 0.

Рассматривая уравнения равновесия элемента мембраны (рис. 2) и принимая, что напряжения равномерно распределены по толщине заготовки, из равенства нулю суммы проекций сил, приложенных к элементу на нормаль ^ и касательную, получим [3]

(!)

и

где о у - окружное напряжение; р - радиус кривизны срединной поверхности, И - толщина мембраны.

Из второго уравнения системы (1) найдем, что

сvh = const. (2)

Рис. 2. Элемент мембраны

4

Из соотношений (1) и (2) следует, что в случае равномерного давления (р = const) радиус кривизны срединной поверхности во всех ее точках один и тот же, т.е. срединная поверхность мембраны при ее деформировании является частью поверхности кругового цилиндра с некоторым углом раствора 2а.

Для тонкой мембраны радиальное напряжение, совпадающее по направлению с нормалью к срединной поверхности, может быть приближенно принято равным нулю (az = Gp ~ 0), т.е. предполагаем, что реализуется

плоское напряженное состояние. Осевое напряжение в направлении длины мембраны определяем из условия = 0, при этом ov = Оф :

х 1 + «, 1,(1 +Rx) Эквивалентное напряжение

(4)

h

D,

1 + М

3rx(Rv + (\ + Rx)2 + RvRx)

2 (RX+RXRV+RV)

(5)

Для анализа формоизменения оболочки принимаем, что высота купола изменяется со временем t согласно соотношению Ж = Ы^.

Радиус средней поверхности в каждый момент времени запишем в

виде

р = а + Ы*. (6)

Перейдем к изучению деформаций, принимая во внимание, что толщина мембраны изменяется вдоль дуги окружности. Приращение деформации в направлении, касательном к окружности, будет определяться по формуле

^ А=(Р+Ф)(Ф+^Ф)-РУ = Ф , ¿Ф (7)

Ф РФ Р Ф "

Скорость деформации вычисляется по уравнению

+ * (8) РФ

Здесь ф - текущий угол между вертикальной осью симметрии заготовки и радиусом-вектором, определяющим положение точки на срединной поверхности оболочки в данный момент.

5

Используя соотношение р sin а = а, определим

Р

— = -ctgaa. Р

Из рассмотрения рис. 3 можно найти

ф _ sin(pá Ф ф sin a

(9)

(10)

Рис. 3. Схема к расчету деформированного состояния

Окончательно уравнение (8) приводится к виду

Sin ф

—г-1— ctga la. Ф sin a )

oí)

Принимается, что при деформации оболочки на каждом этапе деформирования имеет место радиальное перемещение точки срединной поверхности относительно нового центра срединной поверхности в момент / + Л (рис. 3), т. е. в направлении ф+ ¿/ф. Используя условие несжимаемости

(12)

получим

- ^р -

h

В результате

h h

sin ф á

(13)

cosa . +-a.

Ф sin a sin a

6

Интегрируя это уравнение по времени на этапе, определим

a sin j da • - í —-—

h = ^^^ e ao j sin a . (15)

sin a o

Здесь ho и a o - начальная толщина и угол на каждом этапе деформирования.

Величина угла

sin j da

j = jo + dj; dj =-1- ,

sin a

где jo - начальный угол, характеризующий положение точки, на каждом этапе деформирования.

Установим связь между углом a и временем деформирования t. Для этого приравняем выражение (6), содержащее t в явном виде, очевид-

a

ному соотношению р =-, тогда получим уравнение

sin a

actga + btf = —, (16)

sin a

которое сводится к виду

a b f

tg~ = - tf . (17)

2 a

Установим связь между углом a и временем деформирования t в соответствии с решением уравнения (17):

( b f Л

a = 2arctg -tf . (18)

V

a

Получим соотношение, характеризующие изменение толщины оболочки со временем деформации в центральной точке срединной поверхности оболочки при ф = 0. Для этого в выражении (15) ф® 0 получим с sin ф ,

учетом, что lim-- = 1:

j®0 j

í ™ ™ Л

h == ho

V

2 a 2 «o

cos — / cos — 2 2

Так как ao = 0 , то h = ho cos2 « .

Согласно уравнению (17) вычислим

h

h =-2-. (19)

i b 2 f 1 + t2f

a 2 7

Рассмотрим вопрос об изменении толщины оболочки от времени в

месте ее закрепления (р = а.

Из соотношения (15) следует

f т sin а оса

h = h0---^ .

sinao ос

Поскольку ocq = 0, при предельном переходе (Xq —> 0 получаем

7 7 sin а h-h

О->

а

где fio - начальная толщина листовой оболочки. Учитывая выражения (17) и (18), получим

V

-tj

h = h07-—^-. (20)

- b f arctg— tJ a

i

a2

Эквивалентная скорость деформации определяется по следующему выражению:

£C=CÍJH^_crga)áj (21)

cpsina

где

Л1/2

с = ^(ях + яхяу + яу) (яхя* + ЯхЯу (1 + ях )2 + я*я*)' 1 ^яхя1у,2(ях + яу+1)

Полученные выражения можно использовать для оценки силовых параметров и предельных возможностей формоизменения процесса изотермического свободного формоизменения узкой прямоугольной листовой заготовки.

Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания №2014/227 на выполнение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014-2020 годы и гранта РФФИ № 16-08-00020.

Список литературы

1. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В.А. Голенков, С.П. Яковлев, С.А. Головин, С.С. Яковлев, В.Д. Кухарь; под ред. В.А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.

2. Изотермическое деформирование металлов / С.З. Фиглин, В.В. Бойцов, Ю.Г. Калпин, Ю.И. Каплин. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

8

3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.Н. Ларин [и др.]; под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.

Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Яковлев Сергей Сергеевич, студент, mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

EVAL UA TION OF TENSION AND STRAIN STA TE DEFORMA TION SHEET SHELL OF THE ANISOTROPIC MA TERIAL TO BRIEFLY CREEP

S.N. Larin, V.I. Platonov, S.S. Yakovlev

The article presents the results of theoretical studies of free rectangular membrane deformation of an anisotropic material. Particular attention is paid to the assessment of stress and strain states. It is assumed that the deformation is carried out in short-term creep mode.

Key words: deforming the membrane, stress, strain, pressure, cylindrical channels.

Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Yakovlev Sergey Sergeevich, student, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University