CC BY
9при /л ^ 1 многообразие нереализуемо даже локально. При /л £ (1, 2) видно, что прямая z = с/х2 проходит через первый (z(y/—t)) экстремум, т.е. реализуема только часть основного многообразия, прилегающая к полюсу х S1 При /л = 2 функция z(x) монотонно убывает, поэтому в данном случае реализуется
все основное многообразие. Наконец, при /л > 2 реализуется все основное многообразие Бертрана и часть дополнительного, прилегающая к экватору {\f—t} х S1, что следует из того, что прямая z = с/л2 проходит через первый экстремум, а допустимая область изменения переменной х есть в точности R>o \ {V—t}',
7) t < 0, с > — 2-^/—t. Если с ^ Ои /л < 1, то имеется единственный минимум z(x) в точке х = л/^t. Вычисления показывают, что в этой области как у основного, так и у дополнительного многообразия реализуема часть, прилегающая к экватору {л/—t} х S1. При /л > 1,— > h(ß) (см. лемму 6) реализуема всегда часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+00} х S1, часть дополнительного многообразия, прилегающая к экватору х S1, и часть основного многообразия, прилегающая к
экватору t} х S1. Во всех прочих случаях основное многообразие Бертрана реализуемо целиком, а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к экватору {V~t} х 'S*1-Теорема 2 доказана. □
Следствие. Для указанных в теоремах 1 и 2 римановых многообразий Бертрана, реализуемых в виде поверхностей вращения, соответствующие поверхности вращения задаются параметрически в
-=^TcV^ у=*=^ ^ ** т ■■= ± /
При этом вдоль граничной параллели {в0} х S1 поверхности Ii х S1, не являющейся ни полюсом, ни абсолютом,, ни экватором, (т.е. в0 + c — td-2 е {0, +ж}, в0 + t = 0), поверхность вращения касается плоскости, содержащей эту параллель. Вдоль граничной параллели {в0} х S1, являющейся экватором, поверхность вращения касается цилиндра,, содержащего эту параллель.
Авторы приносят благодарность А.Т. Фоменко за постановку задачи, A.B. Борисову, Е.А. Кудрявцевой, И. X. Сабитову за полезные замечания и обсуждения.
Работа выполнена при поддержке грантов Правительства РФ № 11.G34.31.0054, РФФИ № 13—01— 00664-а и программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1410.2012.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
2. Darboux G. Sur un problème de mécanique // Despeyrous T. Cours de mécanique. Vol. 2, note XIV. P.: A. Herman, 1886. 461-466.
3. Fomenko A. T. Symplectic geometry. 2nd revised ed. N.Y.: Gordon and Breach, 1995.
4. Fomenko A. T., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
5. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-35.
Поступила в редакцию 20.02.2013
УДК 512.562+519.1
ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА ПЕРЕСТАНОВОЧНО-УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
М. И. Харитонов1
В работе доказывается, что количество n-элементных перестановочно-упорядоченных множеств с максимальной антицепью длины к не более min { щу?, ^"(„-'fc)?)2 } • Также доказывается, что для количества перестановок (n) чисел от 1 до n с максимальной убывающей подпоследовательностью длины не больше к справедливо неравенство ■ Проводится обзор работ, посвященных биекциям и связям между парами линейных порядков, парами диаграмм Юнга, целочисленными двумерными массивами и целочисленными матрицами.
1 Харитонов Михаил Игоревич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mikhailkharitonovQyandex.ru.
Ключевые слова: комбинаторика слов, к-разбиваемость, теорема Дилуорса, полилинейные слова, полилинейные тождества, диаграммы Юнга.
It is proved that the number of n-element permutationally-ordered sets with the maximal antichain of length not exceeding к is not greater than min {щр-, }• ^ a^so Provefl
that the number of permutations (n) of the numb ers {1,.. .,п} with the maximal decreasing subsequence of length not exceeding к satisfies the inequality ■ A review of papers
focused on bijections and relations between pairs of linear orders, pairs of Young diagrams, two-dimensional arrays of positive integers, and matrices with integer elements is presented.
Key words: combinatorics on words, ^-divisibility, Dilworth theorem, multilinear words, multilinear identities, Young diagrams.
Введение и основные понятия. В работе оценивается количество перестановочно-упорядоченных множеств.
Определение 1. Частично упорядоченное множество M называется перестановочно-упорядоченным, если порядок на нем есть пересечение двух линейных порядков.
Рассмотрим теперь некоторую перестановку п элементов 1, 2,..., п (иначе говоря, п Е Sn). Определим понятие к-разбиваемости.
Определение 2. Пусть для перестановки п Е Sn 1 ^ i1 ^ i2 ^ ... ^ ¿ь таких, что п(«1) ^ n(i2) ^ ... ^ n(ik). Тогда перестановка п(1)п(2) ...п(п) называется ^-разбиваемой.
Sn n
(2га)! га!(га+1)!'
Предложение. Если слово является к-разбиваемым, то для любого m < к оно также является m -разбиваемым.
Далее нам потребуется определение диаграммы Юнга.
)n
n
возрастают, между числами нет пустых ячеек и есть элемент, который содержится и в первой строке, и в первом столбце.
Определение 4. Диаграмма Юнга называется диаграммой формы p = (p1,p2,... ,pm), если v нее m строк и i-я строка имеет длину pi.
Формы диаграмм Юнга пробегают все возможные разбиения на циклы элементов симметрической
Sn Sn
классу сопряженности группы соответствует некоторое ее неприводимое представление. Следовательно,
Sn
Пронумеруем все клетки диаграммы Юнга формы p числами от 1 до п. Пусть hk — количество клеток диаграммы Юнга, которые
1) расположены либо в одной строке, либо в одном столбце, содержат клетку с номером к;
2) находятся не левее или не выше клетки с номером к.
p
представления группы Sn вычисляются по "формуле крюков" —.
П hk
к=1
В работе [1] приведена биекция между перестановками п чисел 1, 2,... ,п и парами диаграмм Юнга (P, Q), заполненных теми же числами. Эта биекция и ее следствия будут разобраны при доказательстве основных результатов.
В настоящей работе мы доказываем следующие результаты.
______/ 2n
Теорема 1. Количество не (к + I)-разбиваемых перестановок тт € Sn не более цд—[утр--
Теорема 2. Количество ek(п) п-элементных перестановочно-упорядоченных множеств с максимальной антицепью длины к не более min {щуz, }•
Определение 5. Назовем полилинейным слово, все буквы которого различны. Назовем слово кк ского убывания.
Следствие. Пусть Г является множеством слов алфавита из l букв с введенным, на, них лексикографическим порядком. Тогда количество полилинейных слов длины, п (п ^ l), не являющихся (к + 1)-
разбиваемыми, не более пщ_пЩк-1)1)'2 •
Оценка в теореме 1 улучшает полученную в работе [2]. Следует сказать, что оценка £к(п) в работе [2] была получена для доказательства теоремы Регева, вопрос же о ее точности не ставился. Оценка в работе [2] доказывается с помощью теоремы Дилуорса. Применение теоремы Дилуорса в некоторых других задачах комбинаторики слов описано в [3].
В работе [4] доказывается, что для определенной функции К(п) = о(^/п\пп) и числа к ^ К(п) = о(^/п\пп) верна асимптотическая оценка ^(п) = /¡;2га_°(га).
Для получения производящей функции в работе [5] введено следующее понятие.
Определение 6. Обобщенной диаграммой Юнга формы (р1,р2,... ,рт), где р\ ^ р2 ^ ••• ^ рт ^ 1 называется массив У положительных чисел у—, где 1 ^ ] ^ р^ 1 ^ г ^ т, такой, что числа в его строках не убывают, а в столбцах возрастают.
Еще нам потребуются двухстрочные массивы следующего типа.
Определение 7. Набор пар положительных чисел (п\,У\), (п2,у2),. ••, (п^ ) такой, что пары (пк,"Ук) расположены в неубывающем лексикографическом порядке, называется набором типа, а(^).
В работе [5] устанавливается биекция между наборами типа а(^) и парами (Р, О) обобщенных диаграмм Юнга порядка N (т.е. состоящих из N ячеек). Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми наборами и матрицами, в которых число в ячейке из г-й строки и j-гo столбца равно количеству пар (г^) в наборе. В работе [6] с использованием функций Шура в\, которые также являются производящими функциями для обобщенных диаграмм Юнга, строится производящая функция для £к (п^^ Однако сложность построения явной формулы для £к (п) растет экспоненциально по к. К примеру,
р (У! _ О Зк2 + 2к + 1-п-2кп
¡й + ^ + 2)(п - * + 1)'
Алгебраические обобщения. В 1950 г. Шпехт [7] поставил проблему существования бесконечно базируемого многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Решение проблемы Шпехта для нематричного случая представлено в докторской диссертации В. Н. Латышева [8]. Рассуждения В. Н. Латышева основывались на применении техники частично упорядоченных множеств. А. Р. Ке-мер [9], доказав, что каждое многообразие ассоциативных алгебр конечно базируемо, решил проблему Шпехта.
Первые примеры бесконечно базируемых ассоциативных колец были получены А. Я. Беловым [10], А. В. Гришиным [11] и В. В. Щиголевым [12].
Введем некоторый порядок на словах алгебры над полем.
Определение 8. Назовем обструкцией полилинейное слово, которое
1) является уменьшаемым (т.е. есть комбинация меньших слов);
2) не имеет уменьшаемых подслов;
3) не является изотопным образом уменьшаемого слова меньшей длины.
После того как была решена проблема Шпехта в случае характеристики нуль, стал актуальным следующий вопрос В. Н. Латышева.
Вопрос (В. Н. Латышев). Верно ли, что количество обструкций для полилинейного Т-идеала конечно?
Из проблемы Латышева вытекает полилинейный случай проблемы конечной базируемости для алгебр над полем конечной характеристики. Наиболее важной обструкцией является обструкция хпхп-\ •••Х\,
п
В связи с этим вопросом возникает задача перечисления количества полилинейных слов, отвечающих данному конечному набору обструкций, и доказательства элементарности соответствующей производящей функции.
Доказательство основных результатов. Нам потребуются следующие две леммы из работы [1].
Лемма 1 [1]. Существует взаимно однозначное соответствие между перестановкам,и п £ Яп и парами (Р, О) стандартных диаграмм, Юнга одинаковой, формы, заполненных числам,и от, 1 до п.
Р
вательности символов в п = Х\Х2 • • • хп.
Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы 1.
Рассмотрим перестановку п = Х\Х2 • ..хп. Она не (к + 1)-разбиваема тогда и только тогда, когда в соответствующих ей диаграммах Р и О не больше к строк.
п к кп
г к г
г
в первом столбце и между числами в одной строке не было пустых ячеек (но целиком пустые строки быть могут). Назовем полученные таблицы таблицами типа, ß(n, k). Между раскрасками в k цветов чисел от 1 до n и таблицами типа ß(n, k) есть естественная биекция, следовательно, таблиц типа ß(n, k) будет ровно kn. Заметим, что любая диаграмма Юнга с не более чем k строками, заполненная числами от 1 до n, будет таблицей типа ß(n, k). Будем считать, что таблицы A и B типа ß(n, k) эквивалентны (Л ~ß B),
ß(n, k)
не больше одной пустой строки, то в соответствующем классе эквивалентности будет ровно k! элементов. Так как в диаграммах Юнга числа в столбцах строго упорядочены по возрастанию, то в каждом классе эквивалентности таблиц типа ß(n, k) будет не более одной диаграммы Юнга. Если в диаграмме Юнга ровно k строк, то в соответствующей таблице типа ß(n, k) не будет пустых строк. Следовательно, диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до п и имеющих ровно к строк, не более
Если в диаграмме Юнга k строк, то в ней не больше (n — k + 1) столбца. Раскроим числа от 1 до n в (n — k + 1) цвет. Рассмотрим теперь таблицы (не Юнга!), построенные следующим образом. Для каждого i от 1 до (n — k + 1) поместим в i-й столбец строимой таблицы числа i-ro цвета в возрастающем порядке так, чтобы наименьшее число в столбце стояло в первой строке и между числами в одном столбце не было пустых ячеек (но целиком пустые столбцы быть могут). Назовем полученные таблицы таблицам,и, типа, j(n, k). Между раскрасками в (n — k + 1) цвет чисел от 1 до n и таблицами типа y(n, k) есть естественная биекция, следовательно, таблиц типа y (n, k) будет ровно kn. Заметим, что любая диаграмм а Юнга с k строками, заполненная числами от 1 до n, будет таблицей типа y(n, k). Будем считать, что таблицы Л и B типа y (n, k) эквившгент ны (A B), если одну из другой можно получить при помощи перестановки столбцов. Пусть в таблице Л ровно t ненулевых столбцов. Всего таблиц типа Y(n, k) с t ненулевыми строками будет не больше, чем таблиц типа y(n,n — t + 1), т.е. те более tn. В классе эквивалентности таблиц типа Y(n, k) с t непустыми столбцами будет (min{t + 1,n — k + 1})! элементов. При этом таблиц с (n — ^столбцами или (n — k + 1) столбцом будет не более (n — k + 1)n и в каждом классе эквивалентности среди них будет (n — k + 1)! элементов. Так как в диаграммах Юнга числа в строках строго упорядочены по возрастанию, то в каждом классе эквивалентности таблиц типа y(n, k) будет не более одной диаграммы
Юнга. Следовательно, среди таблиц типа 7(п, к) будет не более fc^i); + Y1 ^ диаграмм
Юнга. Значит, пар диаграмм Юнга, в каждой из которых по к строк, не более min { ; щу?} •
Следовательно, существует не больше min { ^J^lyi , jßyi} перестановок тг € Sn, длина максимальной
k
n
ментов. Порядок в перестановочно-упорядоченном множестве есть пересечение двух линейных порядков. Так как у каждой пары линейных порядков ровно одно пересечение, то по леммам 1 и 2 количе-
nk
. ( (n — k + l)2n к2п Л "гтл о
mm I {{п-ку.у1 ' ТЩ1'' 1 самым теоРема 2 доказана.
Замечание 1. Отметим, что по перестановочно-упорядоченному множеству не всегда можно определить, какой именно парой линейных порядков оно порождено. Например, рассмотрим множество {pi}i=Li с порядком (pi > р2 > р3,р4 > р5 > ■ ■■ > p8,p9 > ... > P15). Оно могло быть порождено парой линейных порядков с соотношениями:
1) (рз > Р4,Р8 > Р9) И (рз < Р4,Р8 < Р9);
2) (рз > P9,Pl5 > Pi) Ж (рз < P9,Pl5 < Pi)
Эти две пары линейных порядков не изоморфны друг другу.
Оценим Лк(n) — количество диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до n и имеющих не больше
k
Лемма 3. Верно неравенство Лк{п) (fc-i)! •
ß(n, k)
k!
Юнга, заполненных числами от 1 до п и имеющих либо (к — 1) строку, либо к строк, не больше Щ-. Значит, для k < 3 лемма доказана. Пусть она док азана для k < t. Тогда для k = t имее м Лк (n) ^ n к—2 n n
Ж ^ (г—1)! ^ (fc-i)!" Значит, пар диаграмм Юнга порядка п, в каждой из которых по ^ к строк, не i=l
/ 2n
больше цд—[утр*- Следовательно, по леммам 1 и 2 количество не (к + 1)-разбиваемых перестановок 7Г G Sn меньше (pzrjyjyi- Тем самым теорема 1 доказана.
Выведем из теоремы 1 следствие. Для каждого набора букв а¿1 ,щ2 ,•••, а^ количество не (к + 1)-разбиваемых полилинейных слов длины п, составленных из этого набора букв, не больше Каж-
дому полилинейному слову отвечает ровно один набор из п букв. Так как наборов из п букв ровно (П))
то количество не (к + 1)-разбиваемых полилинейных слов длины п не больше пщ_п)1((к-1)1)2 • самым следствие доказано.
Обобщенные диаграммы Юнга и их производящие функции. Приведем план нахождения производящих функций обобщенных диаграмм Юнга.
Лемма 4 [5]. Существует взаимно однозначное соответствие между наборами типа аN) и парами (Р, О) обобщенных диаграмм, Юнга порядка, N у которых форма Р совпадает с формой О. Замечание 2. Перестановка п £ Яп является набором типа а(п) го пар (1,п(1)), ••• , (п,п(п)). Здесь и далее считаем, что множество индексов при переменных симметрических функций является множеством натуральных чисел.
Напомним несколько понятий из теории симметрических функций. Полная симметрическая функция Нп равна Нп = ^ Хг1 Х^ • • • Х„ •
Пусть Л — табор (А1, \2, •••, Хк) для некоторого натурального к. Пусть также |А| = ^ А^. Набор А
í=1
называется разбиением, если А1 ^ Х2 ^ ••• ^ Ак •
Функция Шура равн а = <1е1(Н\^, -í)14íj4k• В работе [6] определяются следующие функции:
« = Е
%2n+i
n=0
„!(„ + *)!' Uk = det(b\i-i\)i<,i,j<,k-
Также вводится функция Rk(x,y) как Rk(x,y) = ^ s\(x)s\(y), где сумма берется по всем разбиениям
k
на не более чем к частей. Тогда коэффициент при xix2 .. .xnyi . ..yn в функции Rk(x,y) равен (п). Из
2n
ЭТОГО В [6] ВЫВОДИТСЯ, ЧТО Uk = tk{n)f-yVZ ■
n=0 (n')
Количество полилинейных слов длины п над l-буквенным алфавитом (п ^ l), в каждом из которых не найдется последовательности из (к + 1) буквы в порядке лексикографического убывания, есть (n)£k(п).
Автор приносит благодарность А. Я. Белову, А. В. Михалеву, В. И. Латышеву и всем участникам семинара "Теория колец" за постановку задачи и обсуждение работы.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Фонда Саймонса, фонда Дмитрия Зимина "Династия"; исследование поддержано грантом РФФИ № 14-01-00548.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schensted С. Longest increasing and decreasing subsequences // Can. J. Math. 1961. 13. 179-191.
2. Латышев B.H. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр // Успехи матем. наук. 1972. 27, вып. 4 (166). 213-214.
3. Белов А.Я., Харитонов М.И. Оценки высоты в смысле Ширшова и на количество фрагментов малого периода // Фунд. и прикл. матем. 2012. 17, № 5. 21-54.
4. Челноков Г.Р. О нижней оценке количества к + 1-разбиваемых перестановок // Модел. и анализ информ. систем. 2007. 14, № 4. 53-56.
5. Knuth D.E. Permutations, matrices, and generalized Young tableux // Pacif. J. Math. 1970. 34, N 3. 709-727.
6. Gessel I.M. Symmetric functions and P-recursiveness //J- Combin. Theory. Ser. A. 1990. 53. 257-285.
7. Specht W. Gesetze in Ringen I // Math. Z. 1950. 52. 557-589.
8. Латышев B.H. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр: Докт. дис. М., 1977.
9. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. 26, вып. 5. 597-641.
10. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фунд. и прикл. матем. 1999. 5, № 1. 47-66.
11. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фунд. и прикл. матем. 1999. 5, № 1. 101-118.
12. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фунд. и прикл. матем. 1999. 5, № 1. 307-312.
Поступила в редакцию 09.12.2013
