Оценка коэффициентов горизонтального обмена в Черном море по данным дрифтерного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.465

А.Е. Погребной

Оценка коэффициентов горизонтального обмена в Черном море по данным дрифтерного эксперимента

Проведено обобщение методики расчета коэффициентов горизонтальной диффузии для броуновских частиц на нестационарный случай применительно к дрифтерному эксперименту. Выявлены границы применимости предлагаемой методики. Проводится расчет коэффициентов горизонтального обмена с целью сравнения с оценками, полученными ранее по обобщенной теории Тейлора. Подтверждено взаимное соответствие этих оценок. Показано, что различие в значениях зонального (0,19104 м2/с) и меридионального (0,1Ь104 м2/с) коэффициентов обмена в Черном море не может быть обусловлено эффектом увеличения продольной составляющей пульсаций скорости за счет ее поперечного сдвига относительно среднего течения. Сделан вывод о географической анизотропии процессов горизонтального обмена в Черном море.

Ключевые слова: коэффициент горизонтального обмена, дрифтер.

Анализ изображений, полученных с искусственных спутников Земли в инфракрасной и видимой частях спектра, указывает на то, что в Черном море циркуляция поверхностных вод представляет собой совокупность движений различных пространственных и временных масштабов. К макромасштабным движениям в первую очередь следует отнести Основное Черноморское течение (ОЧТ) [1], распространяющееся вдоль берега над континентальным склоном в циклоническом направлении, а также восточный и западный циклонические круговороты, расположенные в глубоководной части моря. Кроме вышеперечисленных макромасштабных течений, также присутствуют мезо-масштабные движения в виде вихрей. Направление вращения этих вихрей, как правило, антициклоническое. По-видимому, они могут играть немаловажную роль в формировании и трансформации вертикальной стратификации гидрофизических полей в верхнем слое моря и осуществлять эффективный горизонтальный (боковой) обмен.

Для оценки интенсивности горизонтального обмена можно использовать данные широкомасштабного международного дрифтерного эксперимента в Черном море, начатого в 1999 г. Дрифтер представляет собой поверхностный поплавок и связанный с ним подводный парус. Парус находится на глубине 15 м, а его гидродинамическое сопротивление в 40 раз превышает сопротивление поплавка. Таким образом, влияние поверхностного волнения и ветровых дрейфовых течений на горизонтальное перемещение дрифтера не является существенным. При этом положение дрифтера определяется объемом воды, окружающей его парус. Информация о местоположении дрифтера (вместе с дополнительными данными о характеристиках приповерхностного слоя моря) передается с него на спутники и затем регистрируется в центре приема данных. Точность определения географических координат при этом составляет несколько сотен метров, а частота обсерваций колеблется в пределах 4 - 6 раз в сутки.

© А.Е. Погребной, 2011

40

ТББН 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

Наиболее известным методом расчета коэффициента обмена по статистическим характеристикам лагранжевой частицы является теория Тэйлора [2], согласно которой коэффициент обмена выражается формулой

К = < и'2 > Ти, Ти = ] Яи (т)Т (1)

0

где < и2 > - дисперсия (средний квадрат) пульсаций лагранжевой скорости частицы; Т - сдвиг автокорреляционной функции; Ти и Яи (т) - соответственно лагранжев интегральный масштаб времени и нормированная автокорреляционная функция, определяемая по формуле

= < "'«) и'2 + т) > . (2)

< и >

Формулы (1) и (2) выписаны для компонента скорости и(0, для компонента они аналогичны.

В работе [3] по формулам (1), (2) были сделаны оценки коэффициентов горизонтального обмена для Черного моря. Оказалось, что значение зонального коэффициента бокового обмена Ки = 0,36^ 104 м2/с в 2 раза превышает соответствующее значение для меридиональной составляющей Ку = 0,19^ 104 м2/с.

Авторы работы [3] не обратили внимание на то, что с увеличением длины реализации (табл. 1 в [3]) наблюдается явный монотонный рост Ти и Ту

(табл. 2 в [3]). Поэтому оценки лагранжевых масштабов времени по предложенной в [3] методике вряд ли можно считать корректными. Более того, интеграл от автокорреляционных функций пульсаций скорости для дрифтеров с увеличением интервала интегрирования ^ не стремится к своему аппроксима-ционному значению, что, согласно теории Тэйлора, должно происходить уже при значениях в 3 - 5 раз превышающих лагранжев масштаб времени. Это связано с тем, что поверхностный слой Черного моря является энергетически открытой системой с явно нестационарным воздействием на нее атмосферы. Время в таких системах нельзя считать однородным в том смысле, что характер протекания процессов может зависеть от выбора начала отсчета. Например, ясно, что включение в расчет автокорреляционной функции катастрофического шторма в Черном море 11.11.2007 г. существенно изменит сам вид этой функции независимо от того, какой бы продолжительной до и после этого ни была длина реализации.

Поэтому при рассмотрении характеристик обмена в Черном море с использованием данных дрифтерного эксперимента подход, предложенный Тэйлором [2] для стационарных движений, должен быть модифицирован.

Для расчета коэффициентов обмена в работе [4] предполагалась квазистационарность процессов, обусловливающих перемещения дрифтеров, на временных масштабах, сравнимых с Ти . В этом случае в качестве оценки

Ти (V) можно использовать статистически осредненное значение интеграла

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

41

автокорреляционной функции, взятого при различных моментах начала отсчета времени:

г

ти (г) = < | я(г)—т>, (3)

0

а лагранжев масштаб времени рассматривать как асимптотический предел

т* = 11ш Ти (г). (4)

Анализ по всем дрифтерам [4] показал, что полученные таким образом оценки лагранжевого масштаба времени действительно быстро стремятся к своему асимптотическому значению с увеличением верхнего предела интегрирования, достигая его уже при длинах временных интервалов ~(5 - 6) Т*.

Значения коэффициентов горизонтального обмена Ки = 0,19^ 104 м2/с и Ку = 0,11 • 104 м2/с [4] отличаются от оценок [3], приведенных выше. Поэтому

для их проверки целесообразно получить оценки указанных коэффициентов обмена по какой-либо альтернативной методике.

В качестве такой методики можно использовать подход Эйнштейна, согласно которому коэффициент горизонтального обмена определяется выражением

Ки =1 - < х2 >, (5)

и 2 -г

- 2

где — < х > - производная по времени от среднего квадрата смещения ла-

гранжевой частицы вдоль направления, по которому рассчитывается коэффициент обмена Ки .

Несмотря на простоту соотношения (5), которое еще называют параболическим законом диффузии [5], применительно к дрифтерному эксперименту оно не использовалось. По-видимому, это связано с тем, что расчет значений Ки для разных временных интервалов осреднения квадрата смещения может

приводить к различным оценкам. Поэтому процедура расчета коэффициентов обмена по (5) должна быть адаптирована с учетом специфики дрифтерных данных.

Проанализируем, от чего зависит средний квадрат смещения дрифтера

< х2 >. Весь период г наблюдения за дрифтером разобьем на п равных по времени интервалов А Пусть хп - полное смещение дрифтера, — - смещение дрифтера в течение 7-го интервала, Ь - среднеквадратическое значение смещения за время Аг, а = Ь2 / Аг. Тогда средний квадрат смещения

( п \

< Хп >=<\ £ -

V 7 = 1

2

>.

42 ТБЪЯ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

Разобьем сумму в последнем выражении на две (по повторяющимся и неповторяющимся индексам):

будет выполняться при условии стремления к нулю второго слагаемого в выражении (6). Так как среднее смещение дрифтера за время Dt равно 0, это возможно, если смещения di и dj для различных интервалов Dt в основном не коррелируют между собой. Другими словами, полное время наблюдения t должно существенно превышать период когерентности рассматриваемого процесса, т. е. лагранжев масштаб времени. Таким образом, оценку горизонтальных коэффициентов бокового обмена следует понимать как асимптотический предел (5) при значениях периодов оценивания квадрата смещения лагранжевой частицы, существенно превышающих лагранжев масштаб времени.

Для оценки интенсивности горизонтального обмена в Черном море использовался массив данных, полученных в ходе международного дрифтерно-го эксперимента. Рассматривались только характеристики перемещений дрифтеров. Из анализа были исключены данные о дрейфе буев с термопрофилирующими линиями, для которых соотношение между площадями паруса и остальных элементов буя менее 40, а также участки траекторий дрифтеров после посадки на мель либо утери плавучего паруса. Для этого были привлечены данные [6] о продолжительности продуктивной работы дрифтеров, развернутых в Черном море. Информация об анализируемых дрифтерах приведена в таблице. Отметим, что корректность обобщения полученных в настоящей работе оценок на весь бассейн, естественно, ограничена пространственно-временной статистикой используемых данных.

Географические широта и долгота дрифтера пересчитывались в горизонтально изотропную систему координат с размерностью длины. Отбраковка сбойных обсерваций проводилась по методике, описанной в [7]. Обсервация считалась ложной, если модуль скорости перемещения дрифтера от предшествующего момента определения координат дрифтера до текущего превышал 1 м/с. Затем использовалась линейная интерполяция координат для получения эквидистантных по времени данных с интервалом 1 ч.

Помимо участия в процессах, осуществляющих горизонтальный обмен, каждый дрифтер переносится средним течением. Поэтому для расчета коэффициентов обмена по формуле (5) необходима информация о флуктуацион-ных составляющих отклонения дрифтера от траектории среднего течения. Нерекурсивные методы цифровой фильтрации, используемые для разделения

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5 43

(6)

Обратим внимание на то, что параболический закон диффузии

u 2

— < X > = const dt

сигнала на среднюю и флуктуационную составляющие, приводят к уменьшению длины анализируемого ряда. Это крайне нежелательно, поскольку для некоторых дрифтеров полная длина реализации и без того очень короткая. При использовании рекурсивных методов формальная длина ряда сохраняется, однако в отфильтрованном сигнале присутствуют краевые участки с некорректными значениями за счет необходимости введения начальных условий, которые неизвестны. Авторы работы [3] прибегли к полиномиальной фильтрации, когда ряды данных вначале приближались полиномом 5-й степени по методу наименьших квадратов для получения средних характеристик, а флуктуации получались вычитанием аппроксимирующего полинома из исходного сигнала. Отметим, что порядок полинома определяет максимальное количество экстремумов. Поэтому при обработке рядов, длины которых могут отличаться в несколько раз, степень сглаженности получаемых сигналов может существенно меняться.

Паспортные номера и продолжительность информативного дрейфа

дрифтеров

Номер дрифтера Продолжительность дрейфа, сут Номер дрифтера Продолжительность дрейфа, сут

40422 40 34830 136

47603 46 34832 139

16335 48 40421 141

47604 53 16337 142

16333 55 47605 145

47608 55 33349 146

33350 55 34833 148

35502 57 17484 154

33347 62 40423 159

47606 70 40420 164

40425 71 16331 165

35500 71 34829 170

40426 83 33352 184

47607 83 34253 184

16336 92 35499 218

40428 92 34834 224

16332 98 17485 261

17487 100 16334 279

33351 100 16330 391

40424 107

В данной работе для получения характеристик среднего течения использовалась скользящая гармоническая фильтрация, когда каждый последовательный интервал ряда с центром в расчетной точке аппроксимировался набором низкочастотных гармоник с кратными периодами по методу наименьших квадратов. Центральное значение полученной суммы гармоник рассматривалось как среднее значение координаты в текущий момент времени.

44

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

Данная процедура гарантирует равномерное сглаживание с заданными частотными характеристиками независимо от длины ряда. Недостатком является то, что на крайних участках ряда расчет приходится проводить с учетом асимметрии интервалов, считая полученные оценки корректными. Пульсаци-онные составляющие течений являются разностью исходного и осредненного рядов. В настоящей работе использовался набор из четырех гармоник с периодами 2 , 2 , 2 , 29 ч (что соответствует ~ 171, 85, 43, 21 сут). Разность исходного и отфильтрованного сигналов - это флуктуационная составляющая отклонений дрифтера от траектории среднего течения.

Для расчета коэффициентов горизонтального обмена предлагается следующая процедура: временные ряды флуктуационных составляющих отклонений дрифтера от траектории среднего течения разбиваются на равные временные интервалы длиной т, по ним вычисляется средний квадрат смещений

Ь2 вдоль интересующего направления, соответствующий коэффициент горизонтального обмена ищется как асимптотический предел

1 1 Ь2

К'и (т) = -а = - (7)

2 2 т

при значениях т, превышающих лагранжев масштаб времени Ти. Так как, согласно [4], для Черного моря Ти и дисперсия пульсационной составляющей скорости < и2 > статистически независимы, оценив Ки, можно оценить и значение лагранжевого масштаба времени

ти =-%-. (8)

< и >

Выражения (7) и (8) выписаны для меридиональной составляющей, для зонального компонента они аналогичны. Кроме того, процедура оценок коэффициентов обмена и лагранжевых масштабов времени естественным образом обобщается на всю совокупность дрифтерных данных. Для этого в оценку Ь2 и < и2 > необходимо включить информацию по всем имеющимся данным.

Не будем останавливаться на примерах расчета коэффициентов горизонтального обмена и лагранжевых масштабов времени для конкретных дрифтеров, а сразу перейдем к обсуждению результатов для всей совокупности дрифтерных данных. На рис. 1 показаны зависимости Ки (т) и К'у (т) для зонального и меридионального направлений. Видно, что они быстро стремятся к некоторым асимптотическим значениям, достигая их уже при т > 5 сут. Поэтому в качестве оценок коэффициентов горизонтального обмена использовались средние значения соответствующего параметра К'(т) в диапазоне т 5 - 8 сут. Эти значения коэффициентов обмена показаны на рис. 1 пунктиром, они составили 0,11 • 104 м2/с для меридионального и 0,19^ 104 м2/с - для зонального направлений. Приведенные оценки коэффициентов обмена совпадают со значениями, полученными ранее по модифицированной методике Тейлора [4].

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

45

K'Jt), м2/с

1500 1000 500

1 2 3 4 5 6 7 т, сут

м2/с

1200 1000 800 600 400 200

1 2 3 4 5 6 7 г, сут

Р и с. 1. Пример расчета коэффициентов горизонтального обмена для зонального (а) и меридионального (б) направлений по всей совокупности данных. Сплошная линия - экспериментальная зависимость параметра K, определяемого соотношением (7), от временного интервала т, пунктир - коэффициент горизонтального обмена (среднее значение K в интервале т 5 - 8 сут)

Верхняя граница диапазона оценивания коэффициентов обмена (8 сут) определяется конечностью длин рядов исходных данных, т. к. с увеличением т статистическая обеспеченность оценок быстро падает. Чтобы понять, как нижняя граница используемого диапазона (5 сут) соотносится с лагранжевы-ми масштабами времени, рассмотрим зависимости T'u = K'u¡< и'2 > и T'v = K'v¡< v'2 > (рис. 2), которые в пределе должны давать значения лагран-жевых времен Tu и Tv. Они составили 0,75 сут для меридионального и

0,90 сут - для зонального направлений. На рис. 2 также показаны аналитические зависимости

T = T*(l - exp(-1)) , (9)

где в качестве T* используется соответствующий лагранжев масштаб времени. Видно (рис. 2), что экспериментальные зависимости T'u (t) и Tt) дости-

V.» ГТ1* ГТ1*

гают своих асимптотических значений Tu и Tv быстрее, чем аналитические

46 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

кривые Ти и Т (9). Таким образом, в качестве нижнего предела оценивания коэффициентов обмена можно использовать значения Т > 5Т .

Т'у(т), суТ 0.8

0.6

0.4

0.2

............ ............. ............" .............. — " " " "

у у

/У // ✓

Г б

1 2 3 4 5 6 7 т, сут

Р и с. 2. Пример расчета лагранжевых масштабов времени для зонального (а) и меридионального (б) направлений по всей совокупности данных. Сплошная линия - экспериментальная зависимость параметра Т', определяемого соотношением (8), от временного интервала т, пунк-

* г

тир - лагранжев масштаб времени Т (среднее значение Т в интервале т 5 - 8 сут); штриховая линия - аналитическая зависимость Т (9)

Отметим, что аналитические кривые (9) никакой теоретической нагрузки

не несут. Они составлены таким образом, чтобы асимптотический предел при

* 1 Т ® ¥ равнялся Т , а производная по т при Т ® 0 была равна — . Здесь они

используются лишь для оценки скорости достижения асимптотических значений в экспериментальных зависимостях К'(т) и Т'(т) и в конечном итоге - для оценки приемлемых значений нижней границы Т > 5Т при вычислениях коэффициентов обмена и лагранжевых масштабов времени.

Отметим, что значение меридионального коэффициента обмена существенно меньше его зонального аналога. Причину этого неравенства авторы [3] объясняют тем, что среднее течение, обладая поперечным сдвигом, способствует более быстрому возрастанию дисперсии продольного компонента скорости частицы, увеличивая оценку коэффициента обмена в направлении, пер-

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5 47

пендикулярном среднему течению. Основное Черноморское течение, в котором большую часть времени пребывают дрифтеры, вытянуто в зональном направлении, что и приводит к более высоким значениям зонального коэффициента обмена. Поэтому в работе [3] в качестве «истинного» коэффициента обмена предлагается использовать значение для меридионального компонента скорости.

Попытаемся проверить, могут ли различия в величинах меридионального Ку и зонального Ки коэффициентов обмена быть обусловлены отличиями в

значениях коэффициентов обмена К и К± в продольном и поперечном направлениях относительно среднего течения. Если это действительно так, то продольный коэффициент обмена должен оказаться больше зонального (Кц > Ки), а поперечный - меньше меридионального (К± < Ку).

Для проверки ряды отклонений дрифтеров от траектории среднего течения переведем в текущие отклонения в продольном и поперечном направлениях относительно средней траектории. Затем процедуру расчета коэффициентов горизонтального обмена и лагранжевых масштабов времени повторим, но уже для этих направлений.

В результате расчета получены следующие значения продольных и поперечных характеристик горизонтального обмена: Кц = 0,15-104 м2/с,

К± = 0,12404 м2/с, Т = 0,72 сут, Т± = 0,80 сут.

Таким образом, предполагаемая выше тенденция (Кц > Ки, К± < Ку) не

подтвердилась. Следовательно, различие в оценках зонального и меридионального коэффициентов горизонтального обмена нельзя объяснить маскирующим влиянием среднего течения. Поэтому можно сделать вывод, что процессам горизонтального перемешивания в Черном море присуща географическая анизотропия, чем и обусловлено различие в значениях зонального и меридионального коэффициентов обмена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Книпович Н.М. Гидрологические исследования в Черном море // Тр. Азово-Черномор-ской экспедиции. - М.: ЦНИИРХ, 1932. - Т. 10. - 274 с.

2. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements // Proc. London Math. Soc. - 1921. - 20. -P. 196 - 212.

3. Журбас В.М., Зацепин А.Г., Григорьева Ю.В. и др. Циркуляция вод и характеристики разномасштабных течений в верхнем слое Черного моря по дрифтерным данным // Океанология. - 2003. - 43, № 6. - С. 1 - 15.

4. Погребной А.Е. Модификация методики Тейлора для оценки горизонтального (бокового) обмена в Черном море по данным дрифтерного эксперимента // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь: МГИ НАН Украины, 2008. - Вып. 16. - С. 136 - 144.

5. Теннекес Г. Турбулентность: диффузия, статистика, динамика спектров // Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. - М.: Мир, 1980. -536 с.

48 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

6. Ратнер Ю.Б., Толстошеее А.П., Холод А.Л., Мотыжев С.В. Создание базы данных мониторинга Черного моря с использованием дрейфующих поверхностных буев // Морской гидрофизический журнал. - 2009. - № 3. - С. 50 - 68.

7. Hansen D. V., Poulain P.-M. Quality control and interpolation of WOCE/TOGA drifter data // J. Atmos. Ocean. Technol. - 1996. - 13. - P. 900 - 909.

АНОТАЦ1Я Проведене узагальнення методики розрахунку коефщен™ горизонтально! дифузп для броушвських частинок на нестацюнарний випадок стосовно до дрифтерного ек-сперименту. Виявлеш границ застосовност пропоновано! методики. Проводиться розрахунок коефщенив горизонтального обмшу з метою порiвняння з оцшками, отриманими ранше з узагальнено! теорп Тейлора. Шдтверджена взаемна вщповщшсть цих оцшок. Показано, що вщмшшсть у значеннях зонального (0,19 ■ 104м2/с) i меридiонального (0,11 ■ 104м2/с) коефщь ентiв обмiну в Чорному морi не може бути обумовлене ефектом збшьшення поздовжньо! складово! пульсацiй швидкостi за рахунок !! поперечного зсуву вiдносно середньо! течп. Зроб-лено висновок про географiчну анiзотропiю процесiв горизонтального обмiну в Чорному морг Ключовi слова: коефщент горизонтального обмiну, дрифтер.

ABSTRACT Method of calculating horizontal diffusion coefficients for Brownian particles is generalized for a non-stationary case with reference to a drifter experiment. Applicability range of the proposed method is revealed. The coefficients of horizontal exchange are calculated with the aim of their comparison with the estimates derived before from the Taylor's generalized theory. Mutual correspondence of these estimates is confirmed. It is shown that difference between the values of zonal (0.19 ■ 104m2/c) and meridian (0.11 ■ 104m2/c) exchange coefficients in the Black Sea can not be stipulated by the effect of increase of the axial component of velocity pulsations due to its transverse shear relative to the mean current. The conclusion on geographic anisotropy of horizontal exchange processes in the Black Sea is drawn.

Keywords: coefficient of horizontal exchange, drifter.

Морской гидрофизический институт НАН Украины, Севастополь

Материал поступил в редакцию 21.04.10 После доработки 20.05.10

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 5

49