CC BY
67
Туманов
ОЦЕНКА И ПРОГНОЗ КОНЪЮНКТУРНЫХ ЦИКЛОВ В ТРЕНДАХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Введение
Отдельные сектора экономики можно рассматривать как сложные динамические системы, детальные сведения о динамике которых известны частично или не известны. Основная информация о таких экономических системах содержится в одномерных временных рядах экономических показателей с наименьшим шагом дискретизации - один месяц (статистическую информацию в виде экономических индексов с шагом дискретизации в месяц, в дальнейшем будем называть просто экономические временные ряды - ЭВР).
Для количественного прогноза экономических показателей необходимо, в том или ином виде1, сформировать модель динамической системы. В простейшем случае - по ее одномерной реализации. В терминах нелинейной динамики задача формирования математической модели известна как задача реконструкции динамической системы [1]. Проблема реконструкции динамических систем относится к классу обратных задач, а такие задачи, как правило, не имеют однозначного решения.
Поэтому проблема прогнозирования ЭВР тоже не имеет однозначного решения. Это означает, что при известных ошибках измерения исходных показателей (что также бывает не часто), определить однозначно ошибку прогноза невозможно. При стохастическом подходе все эти проблемы остаются, просто формулируются в других терминах.
Достоверность («надежность») прогноза связана с тремя факторами: адекватностью модели системы текущим экономическим реалиям, точностью определения характерных параметров модели и принципиальными неопределенностями, возникающими в ходе формирования прогноза.
1 Форма моделей может быть самая разная. Модели экономических систем, чаще всего, формируются в виде систем обыкновенных дифференциальных, разностных или эконометрических уравнений (при численной реализации моделей деление достаточно условно).
Иногда ошибку прогноза можно оценить, если изначально задать максимальный интервал погрешностей измерения исходных уровней ЭВР. Тогда характерные параметры модели расположены в некотором интервале значений и отсюда можно вычислить ошибку прогноза. Однако для коротких нестационарных рядов такой подход становится проблематичным по причинам, которые обсуждаются во введении к работе [2].
Естественный путь сделать прогноз более точным - учесть большее количество факторов, влияющих на заданный показатель, т.е. усложнить модель. Казалось бы, чем большее число факторов мы учитываем, тем точнее будет прогноз. Но в последние десятилетия прошлого века было показано (см., например, [3]), что даже самые простые модели могут демонстрировать очень сложную динамику (детерминированный хаос в одномерных отображениях), прогноз которой из-за конечной точности измерения начальных данных и параметров модели не возможен.
Для важных экономических показателей эффективным способом их анализа и прогноза представляется формирование нескольких типов прогнозов, основанных на разных моделях динамики показателей. В этом случае согласование диапазонов прогнозных значений ЭВР по разным вариантам моделей позволяет уточнить количественные оценки. Такой взгляд на объект под разным углом зрения сходен с анализом проекций некоторой сложной формы на разные плоскости и позволяет выявить скрытые детали формы.
Если и сам объект существенно меняется со временем, то задача еще больше усложняется. В случае прогноза экономических показателей методы моделирования должны корректироваться в соответствии с существенно меняющейся экономической картиной. В количественном плане эти изменения связаны с тем, что:
• динамика ЭВР становится все более нестационарной и нелинейной [4]2;
• точность определения уровней ЭВР и их характерных параметров значительно снижается при быстрых (сильных) изменениях показателей [5].
Поэтому методы, развитые для моделирования и прогноза квази-стационарной экономической динамики (см., например, [6]), становятся мало пригодными при анализе существенно нестационарных
2 В этой связи показательно изменение характерного времени, в течение которого акционеры
держали акции компаний, входящих в листинги основных бирж: в 60-х годах — 8 лет, в 70-х —
4 года, в начале 90-х — 2,5 года, а в конце 90-х — в течение 1,3 года. По данным «Wall Street Journal» на конец 2000 г., из работы [6].
процессов. Причем усложнение моделей не гарантирует повышение точности прогнозов.
Возникает вопрос: как моделировать и прогнозировать нестационарное поведение одномерных ЭВР? Очевидно, что для многих экономических приложений, например для мониторинга показателей реального сектора, нужна простая модель, которая учитывает существенную нестационарность показателей. Чем проще модель, тем, как правило, меньше новых данных необходимо для ее идентификации и тем чаще можно проводить экономический мониторинг. Еще удобнее, когда по вновь поступившим данным, параметры модели просто уточняются. Такая модель «отслеживает» характер нестацио-нарности показателя и позволяет сохранить компромисс между точностью и простотой.
Но в простых полиномиальных моделях возникает противоречие между точностью учета нелинейной динамики и устойчивостью прогноза. Чем точнее приближаются изменения показателя на интервале аппроксимации, тем сильнее погрешности измерения исходных данных влияют на экстраполяционные, прогнозные значения показателя. Действительно, если используются аппроксимационные полиномы первой или второй степени, то ошибки в исходных данных не могут изменить число особенностей (экстремумов) полинома. Тогда как уже для кубического полинома число экстремумов может меняться от нуля до двух. Появление новых особенностей ведет к неустойчивости прогноза [7]. Однако в ряде важных случаев это противоречие можно обойти с помощью специального представления исходного временного ряда.
Основная цель настоящей работы состоит в том, чтобы одномерный ЭВР представить в виде набора компонент, каждая из которых может быть аппроксимирована полиномом не высокой степени. В этом случае формирование модели ряда состоит в его декомпозиции на соответствующие компоненты.
Идентификацию модели естественно проводить по изменениям формы «спектра» соответствующего набора компонент. В качестве точечного значения «спектра» можно использовать подходящую норму компоненты на конечном временном интервале наблюдения показателя. Тогда модель (набор компонент) будет удовлетворительно описывать динамику соответствующего ЭВР, если характерные особенности «спектра», его форма с течением времени меняется незначительно от одной идентификации до другой. В противном случае - существенном изменении формы «спектра» - параметры модели (состав компонент) необходимо пересматривать.
Реальная процедура разложения исходного ряда на составляющие основана на выделении циклических компонент ряда со всеми возможными для заданной длины ряда периодами. Основное отличие циклических компонент от периодических состоит в том, что они не инвариантны к временным сдвигам. Отсюда, циклическая компонента с заданным периодом т допускает изменение своей формы от периода к периоду и поэтому возможен ее компонентный прогноз в будущее. Для периодической компоненты возможен только тривиальный прогноз -трансляция стационарных циклов на прогнозный период.
После выделения всех циклических компонент из исходного ряда, остается «нециклическая» компонента, которую можно рассматривать как эволюционную динамику модели. В случае бесконечных периодических рядов, для которых возможно их корректное представление в виде ряда Фурье, эволюционной компоненте соответствует постоянная.
Помимо аналогий между предлагаемым представлением исходного ряда и вейвлет - разложениями временных рядов [9], существуют и значительные отличия. Циклические компоненты выделяются на основе вариационных (оптимизационных) принципов [10, 11] и для каждого ряда имеют свою, уникальную форму. В общем случае они не ортогональны. Поэтому представление исходного ряда в виде циклических и эволюционной компонент более экономно с точки зрения численных процедур. Такой подход имеет тесную связь с алгоритмами сжатия графической информации на основе вейвлет-разложений [12].
Допущение о возможности изменения формы отдельных циклов от периода к периоду позволяет выделить линейную или квадратичную часть их динамики и на ее основе построить экстраполяцию отдельной циклической компоненты. В сумме экстраполированные части циклических компонент прогнозируют нестационарную и нелинейную динамику исходных показателей. Причем по степени отклонения изменений циклов от линейного закона можно оценить ошибку экстраполяции.
Теперь схему прогноза показателя можно представить следующем образом:
• исходный ряд сезонно корректируется и выделяется тренд;
• определяется спектр мощности циклов со всеми периодами, которые могут иметь место при заданной длине ряда, и выделяются «значимые» циклические компоненты (по локальным экстремумам);
• исходный ряд «очищается» от «значимых» циклических компонент и выделяется эволюционная компонента;
• осуществляется линеиная экстраполяция всех выделенных компонент и они суммируются.
Выделение динамических циклов с заданным периодом
Представим исходный ЭВР - уг (/ = 1,..., п ) в виде суммы эво-
люционнои компоненты - Х{ , циклических компонент - С со всеми возможными периодами - Т и нерегулярной компоненты е(:
ттах <п/2
у( = х + ЕС! +ъ. (1)
т=2
Циклическая компонента состоит из отдельных циклов, каждый из которых задан на к-ом периоде и удовлетворяет конкретным условиям:
С(т) = с (т) (2)
С( С(к-1)т+Г , (2)
где Г = (к - 1)г + ?', к = 1,...,К - номер цикла, ? = 1,...,т - индекс внутри периода.
Циклы задаются двумя условиями - [13], условием цикличности:
с(т) = с(т) (3)
ск ,1 ‘-'к+1,1 ’ V-3,'
и условием нулевого среднего за период:
1/ тЕ ск) = °. (4)
г=\
Из условия (3) следует, что при имеющейся длине реализации временного ряда - п, должно быть, как минимум, два цикла плюс еще одно значение. Другими словами, из временного ряда конечной длины можно выделить циклы с наибольшим периодом - ттах < п / 2. Минимальное значение периода выделяемых циклов следует из условия (4) -ттт > 2 (сумма составляющих цикла должна быть равна нулю).
Для ЭВР с помесячными значениями уровней особое значение имеет циклическая составляющая с периодом т = 12, которая определяет внутригодовую динамику показателя. Устранение из исходного ряда такой составляющей называется сезонной корректировкой ЭВР, а сам ряд -х{ = у{ - С(2), сезонно корректированным. По аналогии с сезонной корректировкой, временной ряд без циклической составляющей с периодом т - х1 = у1 - Ст будем называть т-корректированным рядом.
В общем случае циклическая компонента не инвариантна к временным сдвигам на период, поэтому она может быть выделена только тогда, когда длина исходной реализации составляет целое число
периодов - п = Кт. Часть цикла на части периода выделить нельзя, можно только экстраполировать значения циклов с соответствующих участков предыдущих периодов.
В частном случае периодической компоненты - , которая со-
стоит из статических циклов, $т) может быть определена на всей длине ряда, начиная с п > 2т . Форма статических циклов - ^ не меняется от периода к периоду - st, = в(,+кт (' - индекс составляющей цикла внутри периода), поэтому они инвариантны к сдвигу на целое число периодов. Если п содержит не целое число периодов, то на оставшуюся часть периода значения циклической составляющей просто транслируются с других периодов.
Процедуру выделения циклической составляющей с динамическими циклами можно свести к нескольким процедурам выделения стационарной циклической составляющей со статическими циклами. Выделение статических циклов возможно на основе применения принципа минимума «кинетической энергии» - Ж т-коррек-тированной компоненты - Хг = уг - :
Ж =
где Ахг - первые разности т-корректированного ряда, а ^ удовлетворяет ограничениям (3) и (4) на каждом периоде. Решение задачи (5) дает циклическую компоненту в виде стационарного колебания с неизменными (статическими) циклами на каждом периоде и описано в [14].
Для выделения циклической составляющей с динамическими циклами, необходимо учесть значимость данных на разных периодах исходной реализации показателя. Действительно, если форма цикла выделяется на к-ом периоде, то на этом периоде значения исходного ряда имеют наибольший вес. С удалением от к-ого периода влияние значений исходного ряда должно уменьшаться. Таким образом, определяя форму цикла на каждом периоде, необходимо каждый раз соответствующим образом изменять исходную реализацию ЭВР.
Такой подход с введением весовой обработки исходной реализации временного ряда предложен в работе [10]. Вместо одного временного ряда строятся К взвешенных по периодам временных рядов. Для корректного учета краевых эффектов использовалось экспоненциальное взвешивание с весовой функцией /кк (а) вида:
г=1
/ \ (1 - а0ак 1
кка)= 1 + а-аК-к+1 -ак , где к - номер периода, на котором формируется цикл, 1=11 = 1,..., К -текущий индекс остальных периодов, а - параметр (0 < а < 1).
Введение весовой обработки исходной реализации ряда преобразует (5) к аналогичным К оптимизационным задачам:
Жк(а) = ЕЕ[{а)АУ(({) - М/)] с— >т1п, (6)
г '=1 1=1 ‘
в каждой из которых выделяется только один цикл на к-ом периоде. Решением задачи (6) будет однопараметрическое (зависящее от параметра а) семейство циклов ст,{а) , которое формирует циклическую компоненту С(т){а). Остается неизвестным параметр а,
который также можно фиксировать из некоторого соотношения неопределенности.
Дело в том, что изменения исходного ряда нужно соотнести либо с изменениями циклов, либо с изменениями скорректированного ряда. Для этого нужно сформулировать некоторый критерий разделения изменений ЭВР. Критерий изменений носит тот же характер, что и соотношение неопределенности в квантовой механике и радиофизике5.
Для устранения неопределенности используется принцип минимума квадрата «суммарной кривизны» скорректированного ряда и
циклов [11] - 32:
з2={Е(а2хта)+ЕЕ(ой2}—>т>п, (7)
I г=1 г'=1 к=1 J
где а - весовой коэффициент в (6), А2 - вторые разности. Оптимальный выбор параметра а одновременно минимизирует кривизну т -корректированной составляющей (первая сумма в соотношении (7)) и отклонение циклов от стационарного колебания (двойная сумма в (7)).
Возможна более общая постановка задачи, когда решением задачи (6) будет К-параметрическое семейство циклических составляющих. Тогда минимизация критерия (7) сводится к поиску минимума функции К переменных, аналитическое выражение которой не известно. Задача может быть решена одним из безградиентных методов, например, методом Пауэлла [15]. Однако значительное услож-
5 Невозможно с произвольной точностью одновременно определить координату и импульс частицы или эффективную ширину полосы и длительность волнового пакета [12].
нение численной процедуры выделения динамических циклов не дает качественного улучшения картины динамики показателя как на модельных примерах, так и при анализе большинства практически важных ЭВР. Поэтому в качестве основного используется соотношение (7) со скалярным параметром а.
Определение спектра циклических компонент
Каждой выделенной циклической составляющей С/т'1 можно поставить в соответствие ее «энергию»:
и{т) = Е [Ст)] . (8)
г=1
В силу условий (3) и (4), для конечной реализации диапазон изменения периодов ограничен - т = 2+ттах (ттах<п/2). Получается зависимость «энергии» компонент от их периодов, которую в дальнейшем будем называть спектром циклов. Тогда по расположению точек с локальными максимумами значений и(т) можно выделить те циклические составляющие, которые в наибольшей степени участвуют в формировании конъюнктурных циклов и циклической динамики показателей.
Спектр и(т) определяется не однозначно. Действительно, если выде-
(т) ~ ~
лять С с разными периодами каждый раз из исходной реализации, то получится одна зависимость. Если последовательно выделять циклическую компоненту с периодом XI и устранять ее из исходного ряда, а следующую циклическую компоненту с периодом т2 выделять из корректированного ряда (последовательная корректировка ряда), то форма спектра будет уже другой. Такая неоднозначность связана с тем, что Св общем случае не образуют ортогональный базис. Аналогичная проблема существует и в теории вейвлетов [8].
Ортогональность двух циклических компонент с разными периодами т зависит от двух факторов - от вида весовой функции и от соотношения значений т1 и т2. Очевидно, что при существенных изменениях формы циклов, ортогональности между ними не будет.
Рассмотрим наиболее простой случай потери ортогональности -из-за общих множителей в периодах стационарных циклических компонент. Множество возможных значений т выберем такое же, как и при выделении тренда показателя - Ст={12,6,4,3,2} [11]. Под трендом показателя будем понимать скорректированный ЭВР, из которого удалены циклические компоненты с периодами принадлежащими множеству От. Из условия (4) - суммарное значение компонент цикла на периоде равно нулю, следует, что сумма значений ис-
ходного ЭВР за год (за период 12) совпадает с суммарным значением тренда за тот же период, поскольку 6, 4, 3 и 2 - делители 12.
Введем оператор выделения стационарного колебания с периодом т- £т). Тогда
^'у, и хТ = (і - Б(т% = у,,
где і - единичный оператор, а У^т) - оператор выделения т -корректированной компоненты. Из определения статических циклов [14] следует, что £т)и ^(т)- проекторы4. В качестве основного периода выберем т = 12, который соответствует году для месячных ЭВР.
Соотношения между множествами стационарных колебаний -0(т) с периодами тєОт можно представить себе с помощью диаграммы Эйлера - рис. 1. На диаграмме показана взаимосвязь между множествами стационарных циклических компонент в зависимости от наличия общих множителей в их периодах.
Рис. 1. Вложение множеств статических циклов с разными периодами друг в друга
Если на основе алгоритма выделения сезонного стационарного колебания строить процедуру «спектрального анализа» временного ряда, то из диаграммы следует, что в результате его действия на исходный ряд, получаем периодическую компоненту 5/12)єО(12), которая включает в себя все возможные периодические компоненты с теОт. Поэтому действие операторов проектирования на сезонно скорректированный ряд будет тривиальным:
£(т)х{12) = £(т)^12) = 0 , при т є ОТ, (9)
т.е. спектр будет состоять только из одной составляющей - Щ12).
4 ^ — проектор, если £(тт=£(г))^'тт, тогда I- Б(гт тоже проектор.
При обратном порядке формирования спектра стационарных колебаний сначала выделяется колебание sP, а последним выделится стационарное колебание 5-/12-1, но оно принадлежит уже другому множеству:
Поэтому в спектре и(т) присутствуют уже все пять составляющих спектра.
Между компонентами Str> существуют соотношения ортогональности. st<m') и st<^l) ортогональны на любом интервале Кт1, если т и I (К - число периодов, т, I - целые числа) не имеют общих множителей. Если есть общий множитель - g, то
ношение для стационарных колебаний очевидным образом иллюстрируется рис. 1 для множеств О (6) и О (4), где О (2) - их пересечение.
В отличие от дискретного преобразования Фурье, где система ортогональных функций задана, в данной процедуре она определяется оптимальным образом на основе критерия (5). Поэтому такой подход исключает лишний этап разложения по заданным ортогональным функциям и существенно экономичнее в смысле времени вычисления стационарного спектра и(т).
Для циклических компонент с динамическими циклами алгоритм их выделения уже не будет оператором проектирования, а компоненты с разными периодами не имеющими общих множителей не будут орто-тональными. Поэтому соотношения (9) и (11) не выполняются. Причем «степень ортогональности» - в циклических компонент с разными периодами (т и I), не содержащими общих множителей, будет зависеть от оптимального весового коэффициента а. В качестве стандартной оценки в можно использовать неравенство Коши-Шварца:
поскольку при а=1 (статические циклы) в(1)=°. Затем, с уменьшением а, в увеличивается и стремится к некоторому предельному значению при а=0.
Разложение по полной ортогональной системе функций информативно выгоднее - исходный ряд можно восстановить с любой требуемой точностью. Ортогональность компонент особенно важна при сжатии данных, например, графических [12]. Прогноз ЭВР менее
(10)
критичен к точности восстановления исходных данных. В данном случае цель разложения исходного ряда - выделение основных элементов в динамике показателя, а не восстановление изменений его значений в будущем, которых еще не было.
Однако отсутствие ортогональности между циклическими компонентами приводит к некоторым ограничениям. Во-первых, теряется коммутативность при выделении составляющих с разными периодами. Другими словами, представление исходного ряда в виде (1) зависит от порядка выделения С/т). Во-вторых, сравнивать составляющие с периодами т1 и т2 можно только на временн>х интервалах вида Кх1%2 (К - целое), поскольку динамические циклы можно рассматривать только на целом числе периодов .
Приведенные выше рассуждения позволяют выбрать наиболее «выгодный» (за счет вложения множества циклов друг в друга) порядок исключения циклических компонент из исходного ряда, когда сначала исключаются циклы с большими периодами, а затем с меньшими. Аналогичные проблемы с порядком действия некоммутативных операторов встречаются и в других областях естествознания (см., например, [16]).
Рассмотрим тестовый ряд с циклической сезонной компонентой, который очень часто используется в теории временных рядов для иллюстрации сложного поведения сезонных циклов - ряд расстояний, пройденных авиалайнерами Великобритании за месяц с января 1963 г. по декабрь 1970 г. [13]. На рис. 2 приведены графики исходного ряда, сезонной компоненты и тренда, из которых видно, что тренд близок к линейному, а форма циклов существенно меняется, начиная с января 1966 г.
Индекс
Рис. 2. Суммарный налет авиалайнеров Великобритании за месяц (январь 1963 г .=1):
— индекс;--------тренд; -і- циклы
5 В работе [4] показано, что корректное определение циклов с изменяющейся формой возможно только на целом числе периодов плюс одна точка. Там такой интервал анализа циклической составляющей называется базовым.
Спектр исходного ряда, тренда и тренда без конъюнктурных циклических компонент с периодами 26 и 32 показаны на рис. 3.
Мощность Мощность
циклов ряда циклов тренда
Рис. 3. Спектры исходного ряда (левая шкала), тренда и тренда с исключенными циклическими компонентами (правая шкала):
----спектр показателя;---тренд;
-7- тренд без циклов с периодами 26 и 32
Спектры исходного ряда носит гребенчатый характер с локальными максимумами в точках 12, 24 и 38 (спектр показателя). После исключения сезонной составляющей и циклических компонент с меньшими периодами (теОт) максимальные значения спектра тренда уменьшаются почти на два порядка по сравнению с максимальными значениями спектра исходного ряда.
В спектре тренда выделяются два локальных максимума в точках 26 и 32, которые соответствуют конъюнктурным циклическим компонентам. Результат декомпозиции тренда на две циклические компоненты и скорректированный тренд (без конъюнктурных циклов) показаны на рис. 4.
Декомпозиция исходного ряда на скорректированный тренд, циклические компоненты соответствующие конъюнктурным циклам и сезонную составляющую позволяют использовать для прогноза экстраполяционные полиномы низкой степени. В сложных случаях, когда скорректированный тренд существенно нелинеен, можно увеличивать число «отфильтрованных» циклических компонент (расширять множество Ох) до тех пор, пока скорректированный тренд не будет описан полиномом первой или второй степени с заданной точностью.
Рис. 4. Результат декомпозиции тренда на скорректированный тренд (левая шкала) и две циклические компоненты (правая шкала):
—— скорректированный тренд; — циклы с периодом 26;---с периодом 32
Прогноз циклических составляющих
Для прогноза циклической и эволюционной динамики показателя необходимо сформулировать модель одномерного временного ряда. В нашем случае такой моделью будет представление ЭВР в виде разложения:
у, = г!” ' + 2 СТ, (12)
Т^От
где От - множество периодов циклических компонент, которые позволяют выделить скорректированный тренд - х/0-1 и некоторое множество значимых конъюнктурных циклов. Например, декомпозиция тестового ряда на рис. 2 осуществлялась по всем циклическим компонентам, множество периодов которых имело вид От ={2,3,4,6,12,26,32}. Значимые сезонная и конъюнктурная компоненты с периодами т =12,26,32 и скорректированный тренд экстраполировались на прогнозный период.
Инерционный прогноз эволюционной компоненты ЭВР (скорректированного тренда) представляет собой экстраполяцию до горизонта прогноза последних данных на правом, актуальном конце ряда. Для этого часть уровней ряда аппроксимируется детерминированной зависимостью, которая затем продолжается на прогнозный период. В качестве детерминированных зависимостей используются полиномы не высокой степени, элементарные функции и ортогональные полиномы [6]. Образно говоря, инерционный прогноз - это «планирование от достиг-
нутого», когда предполагается, что будущая динамика показателя будет приблизительно такой же, какой она была в прошлом.
Методы прогноза скорректированного тренда - х/0) и прогноза
~ (т)
циклической компоненты С принципиально различаются между собой. Для прогноза скорректированного тренда используется локальная аппроксимация, когда в качестве базы прогноза выбираются, например, последние несколько точек. Значения ряда в этих точках аппроксимируются, а полученная зависимость продолжается на к прогнозных точек (к - горизонт прогноза).
Циклические компоненты определяются всей исходной реализацией показателя. Поэтому в качестве базы прогноза - пЬс нужно выбирать часть компоненты, состоящей по меньшей мере из двух последних периодов (пЬс>2т). Очевидно, что в этом случае можно учесть только линейные изменения составляющей. В предельном случае, когда пЬс=т, возможно только повторение последнего цикла на прогнозный период.
В принципе, чем больше периодов включает в себя база прогноза, тем более высокую степень т может иметь аппроксимирующий
полином - і5((™) (если это полиномиальная аппроксимация). Однако
использование полиномов степени выше двух чревато потерей устойчивости прогноза. При кажущемся улучшении качества аппроксимации надежность прогноза резко падает.
Дело в том, что с добавлением новых, текущих точек ряда, форма всех циклов меняется, иногда достаточно сильно. Проблему построения прогноза можно рассматривать как формирование гладкого отображения значений показателя с базы прогноза на прогнозный период. При линейной или квадратичной аппроксимации сдвиг базы прогноза не может кардинально изменить особенности (в данном случае экстремумы) отображения, но только их сместить. При т>2 изменение значений на базе прогноза может привести к появлению новых экстремумов, что, в свою очередь, резко изменит форму циклов.
Особенностями гладких отображений занимается теория катастроф [7], в которой исследуются и классифицируются особенности таких отображений. В случае формирования прогноза экстраполяцией зависимости полиномом степени т>2, случайная компонента ряда (или ошибка) не позволяет фиксировать степень близости текущих значений базы прогноза к области «катастрофических» изменений прогнозных значений. Поэтому в данной работе используется линейная аппроксимация.
Прогноз отдельной циклической компоненты строится следующим образом. В качестве базы прогноза используются К/ последних перио-
дов циклической компоненты с периодом т - всего (пЬс= К/с) точек. Для каждой отдельной составляющей циклов (для январей, февралей и т.д.), например C(тv+kc (?’=1,.. ,,т, £=1,.. .ДД строится линейная регрессия по Д точкам. Линейный коэффициент регрессии определяет усредненную динамику компоненты ряда с периодом т. Если Д=2, то прогноз получается линейной экстраполяцией по двум последним периодам, а при
!т)
К/=1 возможно только повторение последнего цикла с(у-1)т+,, на прогнозный период.
Таким образом, для прогноза одной циклической компоненты ряда необходимо построить т линейных регрессий. При шаге сетки дискретизации в единицу, линейные коэффициенты регрессий определяют усредненные изменения циклов от периода к периоду. Естественно, что такой прогноз возможен только при выполнении целого ряда ограничений: циклы не могут возникать или исчезать, динамика циклов близка к линейной, фазовые изменения6, типа отражения формы циклов, отсутствуют.
В качестве примера описанной методики прогнозирования циклических компонент рассмотрим постпрогноз сезонных колебаний тестового ряда на рис. 2. Предположим, что, начиная с января 1968 г., значения показателя нам не известны. Таким образом, мы располагаем данными за пять лет - К/=5. Для каждой составляющей цикла можно построить регрессию по пяти точкам. Однако с начала 1966 г. форма циклов начинает существенно меняться, поэтому воспользуемся простейшей линейной экстраполяцией по двум последним периодам. Результат прогноза показан на рис. 5, где приводятся фактические и прогнозные значения сезонной циклической компоненты. Прогноз осуществлялся на последнем, правом участке ряда, где форма циклов сильно меняется и кардинально отличается от формы циклов на начальном участке. Несмотря на некоторые расхождения уровней прогнозной сезонной компоненты и фактической в отдельных точках ряда, результат можно считать удовлетворительным. Естественно, что линейное приближение в случае значительного изменения формы циклов от года к году, не может давать хороший результат для всех месячных составляющих циклов. Даже из рисунка видно, что динамика январских, апрельских и июньских составляющих существенно нелинейная. Тем не менее даже в таком сложном случае как декомпозиция тес-
6 Под фазовыми изменениями подразумеваются такие изменения составляющих цикла, при которых сумма квадратов из значений на пер-иоде не меняется («энергия» цикла остается неизменной).
тового ряда на рис. 2, прогнозная оценка изменений сезонного колебания позволяет делать количественные выводы.
Нормированная
Рис. 5. Сравнение прогнозных (—) и фактических (—) значений сезонной компоненты тестового ряда
Описанный метод подкодит для оценки и прогноза более сложной динамики ЭВР с ярко выраженными конъюнктурными циклическими компонентами. И в качестве примера рассмотрим средневзвешенный индекс цен на мировьгс рынкаx черньгс металлов (CRUspi - global index, апрель 1994 г. принят за единицу) [17]. Вся процедура прогноза делится на несколько ключевыгс этапов.
На первом этапе исxoдный ряд сезонно корректируется, а из скорректированного ряда выделяется тренд (устраняются циклические компоненты с периодами tgGx={12,6,4,3,2}). Результат сезонной корректировки и выделения тренда показаны на рис. 6.
Особенность ряда заключается в том, что сезонная компонента имеет малый размаx (коэффициент сезонности или отношение нормы сезонной компоненты к норме скорректированного ряда П = 0.0185 ). Начиная с марта 2003 г., «амплитуда» сезонной компонент значительно увеличивается, а сами циклы приобретают спорадический xарактер. Поэтому устойчивость и точность линейного прогноза становятся проблематичными. Остается уповать только на незначительный вклад сезонной компоненты в общую динамику показателя за счет малого коэффициента сезонности.
Рис. 6. Индекс СКШр1 с апреля 1994 г. (апр. 1994 г. - единица) по ноябрь 2005 г. Уровни сезонной компоненты - правая шкала:
— исходный индекс; ■ тренд;-----сезонное колебание
Второй этап - это формирование спектра тренда для выделения значимых циклических компонент, которые соответствуют конъюнктурным циклам.
По расположению локальных экстремумов спектра тренда фиксируются периоды значимых циклических компонент, которые, в целом,
7
определяют эволюционную динамику показателя .
Рис. 7. Спектры циклических компонент до (—) и после (— ) Фильтрации значащих составляющих
На рис. 7 показаны спектры показателя до и после устранения циклов с периодами теОТ={ 12,6,4,3,2} (выделен тренд, [11]) и значимых
7 «Идеология» выбора значимых компонент точно такая же, как в процедуре сжатия изображений с помощью вейвлет-разложения. В терминах монографии [12], такой подход называется нелинейной аппроксимацией.
циклических компонент соответствующих конъюнктурным циклам (тє ОЛ ={45,35,30,28,24,19} - выделена эволюционная составляющая).
Третий этап связан с фильтрацией отдельных значимых циклических компонент с помощью процедуры, описанной выше. Для наглядности перейдем от календарного масштаба по оси абсцисс к натуральному (к номерам точек в порядке их следования). По выделенным компонентам можно определить динамику циклов на разных участках исходной реализации и грубо оценить ошибку прогноза. Шесть значимых компонент показаны на рис. 8, на котором отображены три старшие (с большими периодами) компоненты разложения исходного ряда (8а), и три младшие (с меньшими периодами) (8б). Четыре циклические компоненты носят стационарный характер и их прогноз может быть осуществлен с высокой точностью линейной экстраполяцией. Компоненты с периодами 35 и 28 имеют более сложную динамику, поэтому основная ошибка результирующего прогноза будет обусловлена именно ими и сезонной компонентой.
Период 45 Период 35 Период 30
а)
“Период 28 Период 24 ■Период 19
б)
Рис. 8. Динамика значимых циклических компонент
Четвертый этап - прогноз всех компонент и «сборка» результирующего прогноза исходного показателя. На прогнозном интервале времени тренд имеет представление:
у, = 4°>+£сТ, (13)
геО,г
где От ={45,35,30,28,24,19} - множество периодов конъюнктурных циклов; х/0-1 - линейная экстраполяция скорректированного тренда (эволюционная компонента).
В качестве примера сделан постпрогноз на 30 точек ряда по первым 100 точкам. Экстраполяция тренда с конъюнктурными циклами
показана на рис. 9. Расхождение кривых связано с отклонением скорректированного тренда от линейной зависимости, с нестацио-нарностью значимых циклических компонент, с игнорированием не значимых локальных экстремумов спектра исходного ряда.
Рис. 9. Прогноз тренда с конъюнктурными циклами:
---прогноз тренда; — выделенный прогноз
Окончательный вариант прогноза показателя, когда на прогноз тренда накладывается прогноз сезонной компоненты показан на рис. 10. Причины отклонений прогнозных значений уровней те же, что и для тренда, но здесь добавляется еще существенная нестационарность динамики сезонной компоненты, которая на последних 33-х точках носит характер спорадического колебания (см. рис. 6).
Рис. 10. Постпрогноз индекса СКШр1 на 30 месяцев: ------прогноз индекса;------фактический индекс
Заключение
Во введении было отмечено, что эволюционная составляющая динамики ЭВР - это локальная компонента, а циклические составляющие динамики - нелокальные. Методы анализа и прогноза локальных и нелокальных компонент различаются принципиально.
Эконометрические методы прогнозирования ЭВР можно разделить на две группы [18]. К первой группе относятся методы, основанные на авторегрессионной модели временных рядов [19], а ко второй - на экспоненциальном сглаживании [18]. Обе группы методов имеют ограниченную применимость, которая становится критической при существенно нестационарной экономике.
Авторегрессионные методы (модель АЫМА) предназначены для анализа и прогноза, в лучшем случае, однородных нестационарных временных рядов [18, с. 329] с «простой» нелинейностью тренда типа полинома невысокой степени. Поэтому никакие циклические компоненты показателей не могут быть корректно учтены8.
Вторая группа методов также критична к наличию цикличности в исходном ЭВР. Присутствие в моделях одного или нескольких параметров сглаживания «обесценивают» данные на левом краю ряда и искажают циклические компоненты. Кроме того, возникает систематическая ошибка, которая приводит к запаздыванию фиксации точек «перегиба» тренда.
Обе группы методов предназначены для анализа и прогноза смеси локальной компоненты и случайного процесса с известным распределением. Получается, что проблемы прогноза нестационарных ЭВР сводятся к отсутствию корректной процедуры оценки циклических компонент произвольной длины, в особенности для коротких рядов. Корректность процедуры связана с формулировкой базовых принципов выделения нелокальных компонент и с отсутствием скрытых ограничений. Например, периодическое продолжение ряда на всю действительную ось - это скрытое ограничение для дискретного анализа Фурье.
В середине прошлого века вообще считалось, что задача выделения циклической компоненты не имеет корректного решения. Так, известные английские статистики М. Дж. Кендалл и А. Стьюарт, в своем фундаментальном труде [20, с. 549] отметили: «Представляется невозможным, однако, установить полностью объективное прави-
8 Яркий пример — разложение Тейлора для синусоиды на одном периоде. Удовлетворительная точность аппроксимации, порядка процента, достигается при числе членов разложения больше 15 [1]. Это значит, что если в исходной реализации длины п+1 присутствует цикл с периодом п, то первый параметр модели АЯІМА — р должен быть порядка 15.
ло, разделяющее тренд и сезонность. Мы бы рекомендовали попробовать несколько методов и выбрать тот, что дает наиболее разумные результаты».
Если под «объективным правилом» понимать вариационные принципы, то такое разделение исходного ряда на сезонную компоненту и скорректированный ряд («тренд» в [20]) возможно. Оно будет настолько объективно, насколько объективны исходные принципы - соотношения (6) и (7). Кроме того, наличие многих методов исследования для одного и того же объекта таит в себе опасность субъективизма, поскольку каждый по своему понимает «наиболее разумные результаты».
Проблема выделения циклических компонент и формирования их спектра имеет важное значение не только в экономике, но и в естествознании [12]. В конце прошлого века был совершен значительный прорыв в этой области - сформирована теория вейвлетов (теория всплесков) [9]. Однако для коротких временных рядов проблема выделения циклических компонент осталась.
Оценить длину ряда («короткий» он или «длинный») можно только при наличии единицы характерного временного масштаба. В этом качестве для ЭВР выступает период основной (сезонной) циклической компоненты - год или 12 точек в натуральном масштабе. Разделение рядов с циклической динамикой на «длинные» и «короткие» сложилось в физике. Если в исходном ряде какой-то величины укладывается меньше 30 периодов, то ряд считается коротким. В подавляющем большинстве случаев для мониторинга экономической динамики используются ряды еще меньшей длины .
Сложность анализа коротких временных рядов связана с сильным влиянием на их динамику краевых эффектов [20]. Краевые точки -это точки принадлежащие первому и последнему основному периоду. В коротких ЭВР они могут содержать значительную часть точек ряда, а то и весь ряд.
Предложенная в работе процедура выделения динамических циклических компонент позволяет адекватным образом анализировать и прогнозировать короткие (до двух основных периодов) временные ряды экономических показателей с выраженной сезонностью и конъюнктурными циклами. По спектру циклических компонент фиксируются наиболее «мощные» (значимые) конъюнктурные цик-
9 Существует три основных причины, по которым теряется временная сопоставимость ряда важных экономических показателей и используются именно короткие ряды: частое изменение методики оценки показателей, значительное изменение номенклатуры натуральных показателей, структурные сдвиги в реальном секторе.
лы формирующие нестационарные изменения тренда. Эти изменения могут быть линейно экстраполированы на прогнозный период и, в зависимости от «степени их стационарности» и веса в результирующей сумме, оценена ошибка прогноза.
В силу соотношения (7) или обобщенного принципа «наименьшей кривизны» ряд изменений циклических компонент не может быть обнаружен без временной ошибки. Например, явления типа бифуркации Андронова-Хопфа [3] (возникновение или затухание циклической компоненты) фиксируются с запаздыванием.
Другое существенное ограничение на описанный метод связано с тем, что резкие фазовые изменения циклов распределяются соотношением (7) на изменения тренда и изменения циклов и, поэтому такого рода циклическая динамика «размазывается» во времени. Возникает неопределенность в фиксации резких изменений циклических компонент.
Литература и информационные источники
1. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. Лекции соросоеского профессора. Учеб. пособие. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
2. Подружко АА, Подружко А.С. Интервальное представление полиномиальных регрессий. М.: Едиториал УРСС, 2003.
3. Данилов ЮА. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет, 2001.
4. КостюкВ.Н. Нестационарные экономические процессы. М.: Едиториал УРСС, 2004.
5. Бессонов В А. Трансформационный спад и структурные изменения в российском промышленном производстве. М.: Институт экономики переходного пер-иода, 2001.
6. ЧетыркинЕМ. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977.
7. АрнольдВ.И. Теория катастроф.М.: Наука, 1990. —128с.
8. Дремин ИМ, Иванов О.В., Нечитайло В А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001, т. 171, №5.
9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
10. Губанов В А. Выделение нестационарной циклической составляющей из временных рядов // ЭММ, 2003, том 39, № 1.
11. Губанов В.А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей // Научные труды. М.: ИНП РАН / Гл. ред. А.Г. Коровкин. М.: МАКС Пресс, 2004.
12. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.
13. Кендэл М. Временные ряды. —М.: Финансы и статистика, 1981.
14. Губанов В.А., Ковальджи А.К. Выделение сезонных колебаний на основе вариационных прин-ципов//ЭММ, 2001, том 37, №1.
15. Ильина В А, Силаев ПК. Численные методы для физиков-теоретиков. I. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
16. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Методы некоммутативного анализа. М.: Техносфера, 2002.
17. Источник: www.cruspi.com.
18. Айвазян С А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Учебник для вузов. Т. 2. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
19. Дж. Бокс, Г. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. М.: Мир, 1974.
20. М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.
