Оценка эффективности инвестиционного проекта расширения маршрутной сети городского транспорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.322.5

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА РАСШИРЕНИЯ МАРШРУТНОЙ СЕТИ ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА

А. В. МИЩЕНКО,

доктор экономических наук, профессор кафедры логистики E-mail: nesterovich@gnext. ru

Т. Р. САБАТКОЕВ,

аспирант кафедры управления цепями поставок

E-mail: sabatkoev. tr@gmail. com Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

В статье рассмотрена задача оптимизации управления инвестиционными ресурсами при реализации проекта открытия дополнительных маршрутов городского пассажирского транспорта. Предполагается, что ограниченный объем финансовых средств используется для приобретения транспортных средств, которые должны быть в дальнейшем распределены по новым маршрутам. Задача распределения транспортных средств по маршрутам решается с помощью экономико-математического моделирования.

Ключевые слова: расчет, анализ, маршрут, транспорт, стоимость, затраты, оптимизация, моделирование, подход, объект.

Основным отличием рассматриваемых в данной статье транспортных моделей является зависимость интенсивности обслуживания поступающего потока пассажиров на каждый остановочный пункт от заполненности транспортного средства, т. е. от интенсивности поступления пассажиров на предыдущих остановочных пунктах и от движения пассажиров на транспортной сети. Это обусловливает нелинейность рассматриваемых в настоящем исследовании моделей.

В отличие от известных моделей городского пассажирского транспорта, которые носят стати-

ческий характер, предлагаемые модели учитывают динамику поступления пассажиров на остановочные пункты городской транспортной сети.

Ниже рассмотрена задача оптимального распределения транспортных ресурсов при выделении средств перевозки пассажиров по маршрутам городского транспорта. При решении этих задач такие исходные параметры, как интенсивность движения пассажиров, объем существующих транспортных ресурсов и некоторые другие, заданы неточно, в лучшем случае существуют интервальные оценки перечисленных параметров. Это обстоятельство приводит к необходимости исследовать устойчивость решения при варьировании перечисленными исходными данными.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу распределения п автобусов по т городским маршрутам (п > m). Обозначим интенсивность поступления пассажиров на остановку а, следующих до остановки р на маршруте I, через и'ар(У) (где I = 1,..., т; в = 1,., т; т1 - число остановок на маршруте; в = 1,., т; а Ф в). Через ^ (^) обозначим интенсивность обслуживания пассажиров на остановке а маршрута I в момент времени

Здесь и далее под интенсивностью транспортного обслуживания понимается интенсивность

поступления пассажиров в транспортное средство в заданный момент времени V.

Определим интенсивность обслуживания пассажиров по следующей формуле:

0, если , ф у = 1,...,М 1 -Ш1П{^{ф, Б'а (С2)},

£ (t) =

t3 2 tjl а/ ' 'а/

если t eftj, t3 ],

где ^ - момент прибытия автобуса у на остановку а маршрута I;

у - момент отправления автобуса у от остановки а маршрута 1;

М - число автобусов, проходящих через остановку а маршрута I.

У (V) - очередь пассажиров на остановке а маршрута 1 в момент V;

Б'а (¿ы ) - количество свободных мест в автобусе у маршрута I, прибывшего на остановку а, после выхода пассажиров на этой остановке. Для введенных обозначений очереди на автобусных остановках вычисляются исходя из уравнения

dV/a (t)

= К(t) - q'a(t); a = 1,..., m,; / = 1,...,m,

где и а (V) - интенсивность поступления пассажиров на остановку а маршрута I, вычисляемая из соотношения

К (t) = уи/ р (t).

Р=1

P#a

в1 (tj2) = w -у

a V al / авт / v

1 V* (j)

'kl

J q'k (t)dt,

ший на остановку а маршрута 1 в момент V, тратит на ожидание транспортного средства, через Т^ (V).

Вычисляем Т (V), исходя из следующего соотношения:

t +т/ (t)

Vj(t) = J q'a(t)dt, / = 1,... , m; a = 1,... ,mt,

t

где m{ - число остановок на маршруте /.

Задача оптимального распределения транспортных средств при заданном движении пассажиров состоит в том, чтобы осуществить такое распределение автобусов по маршрутам, которое минимизирует общие потери времени пассажиров на ожидание транспортных средств. Этот критерий равнозначен критерию минимизации затрат времени пассажиров на транспортное обслуживание, если предположить, что скорость перевозки пассажиров постоянна во всех маршрутах и в течение всего времени перевозки. Естественным ограничением этой задачи является то, что все пассажиры, прибывшие на остановки, должны быть перевезены. Иными словами, необходимо минимизировать

m m, т

min XXf т/ (a,, t )U (a,, t)dt

¿1 ra

/=1 a=l t

'n

(1)

при ограничениях

m

У a, = n; a, > 1; l = 1,..., m; (2)

/=1 т

Количество свободных мест в автобусе у маршрута I, прибывшего на остановку а , после выхода пассажиров на этой остановке рассчитывается по формуле

0=1у ({ы) $ где Ж - вместимость автобуса;

V к' (¡и ) - объем очереди пассажиров на остановке к маршрута I, маршрут которых заканчивается остановкой , в момент прибытия автобуса у на эту остановку (к = 1,..., а -1);

VI (^а ) - объем пассажиров на остановке к маршрута 1 в момент прибытия автобуса у на эту остановку;

(к? - соответственно моменты прибытия и отправления автобусау с остановки к маршрута 1. Обозначим время, которое пассажир, пришед-

|^Ц,= \и[(0^ 1 = 1,..., т; а = 1,..., тг, (3)

где Т (а1, V) - потери времени пассажиров, прибывших на остановку а маршрута 1 в момент V, при условии, что на маршрут 1 выделено а1 автобусов;

А - число возможных вариантов распределения автобусов;

(а, V) - интенсивность транспортного обслуживания пассажиров на остановке маршрута 1, если на маршрут 1 выделено аг автобусов; ¿0, Т - интервал, в течение которого планируется распределение транспортных средств для перевозки пассажиров.

Описание метода решения. Рассмотрим алгоритм решения полученной нелинейной задачи дискретной оптимизации.

1. Выбираем начальное допустимое распределение автобусов, заданное вектором а = ( а1,..., ат), задающее распределение автобусов по маршрутам

п

(У а1 < п), и вычисляется значение функционала

1=1

при заданном распределении автобусов по

3 2

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеорпя ъ ЪР^тжгсх*

11

маршрутам. Получена верхняя оценка оптимального решения. Значение функционала при начальном распределении транспортных средств далее будем называть «рекорд».

2. Вычисляем нижнюю оценку конструируемого решения для любого момента ^' по формуле

т т, Т

шн (а) = шн (а, t) + X £} ?! (а,, t)и'а (а,, t)dt.

I =1 а=1 {

Первое слагаемое правой части формулы задает фактические потери времени пассажиров на ожидание транспортного средства до момента времени /'.

Второе слагаемое задает предполагаемые потери времени пассажиров на ожидание транспортного средства, перевозка которых будет осуществлена в период времени (^ ',Т), при условии неограниченной вместимости транспортных средств. Уточнение нижней оценки производится через интервалы времени, кратные периоду следования автобусов на маршрутах, и сравнивается с «рекордом», пока не будет реализована одна из альтернатив:

а) получено решение, у которого значение функционала меньше, чем у «рекорда». В этом случае значение для нового решения назначается «рекордом» и осуществляется переход к п. 2, если не все варианты распределения транспортных средств по маршрутам исследованы, и выход из алгоритма, если исследованы все варианты распределения транспортных средств;

б) нижняя оценка исследуемого решения на момент времени оказалась выше значения «рекорда». В этом случае осуществляются выбор нового варианта распределения транспортных средств и переход к п. 2.

Одной из проблем, возникающих при распределении транспортных средств по маршрутам, является неточность исходных данных, в частности неточная информация о движении пассажиров, перевозимых городским пассажирским транспортом. Причина этого состоит в том, что движение пассажиров вычисляются, как правило, на основе информации о входе-выходе пассажиров на остановочных пунктах. Этих данных недостаточно, чтобы точно вычислить интенсивность движения пассажиров на заданном временном интервале, и возможна только интервальная оценка движения пассажиропотоков.

Рассмотрим способ построения интервального задания движения пассажиров по остановочным

пунктам, в интервале между двумя любыми приходами автобусов.

Введем следующие обозначения: иа - объем пассажиров, прибывших на остановку а маршрута 1;

и1 в - объем пассажиров, прибывших на остановку а маршрута I, следующих до остановки в. Очевидно, выполняется соотношение

т1

Ъиа в=иа.

в=1 Р#а

Обозначим через иар и иар соответственно нижнюю и верхнюю границы величины и'а р;

Б'а - объем выхода пассажиров из транспортного средства на остановке а маршрута 1.

Ниже приводятся формулы вычисления верхних и нижних оценок величины и1^ на основе информации о входе-выходе пассажиров (1 = 1,..., т; в = 1,..., т,):

т т11 _ 1)1. тт12 _ т)1

и12 = Б2 ; и12 = Б2 т1

0, если £ б! > и/,

1=2 ¿#3

т1 т1 и , если £б!;

и11 = и\3

и12 =

и 13 —

к=

1=2 1ф3

1=2 1 #3

\б[, если и/ -Б2 >Б13, [и/ - Б2, если и/ - Б2 < Б3

0, если X Б[ > и!,

1=2 3

т! т!

и-£ б! , если £ ББ < и11;

1=2

1=2

1

и\) =

\Б], если и[ - Б[ > Б], [и - Б'2, если и1 - Б'2 < Б];

и11 =

и1.2 =

0, если X Б[ > и!,

А=1

А # ]

т1 т1

и'-£Бк, если £Б[ <и 1;

к=1 к=1 к*] к ф у

Б], если и' > Б],

и, если и < Б'.

Рассмотрим, как может быть использована информация об интервальном задании движения для решения задачи о распределении транспортных средств по маршрутам. Введем следующие определения.

Определение 1. Задача устойчива при изменении движения пассажиропотоков на маршруте 1, если существует такое в > 0, что при уменьшении и'ар не более чем на в для всех а, р, за исключением и'ат1(1 = 1,..., т; а = 1,..., т,; р = 1,..., т,; а^Р), и

т1

сохранении соотношения ^и^р = и'а (т. е. увели-

Р=1

чении и на величину в(т1 - а +1)) сохраняется вектор а* = (а1*,..., ат *), задающий оптимальное распределение автобусов по маршрутам и значение функционала (1).

Определение 2. Задачи (1) - (3) устойчивы по структуре решения при изменении движения пассажиропотоков на маршруте /, если существует такое в, что при уменьшении и^ не более чем на в для всех а, р, за исключением и'ат[, сохраюются ве ктор а* = (а1*,..., ат *), задающий оптимальное решение задачи. Очевидно, что для устойчивости решения на маршруте 1 необходимо и достаточно выполнение следующего соотношения:

j=l,L a=2,...,m I а — 1

>1 = l,..., m,

(4)

где Ь - число рейсов; ml - число остановок;

Б1- - количество свободных мест в транспортном средстве для рейса у на остановке маршрута I.

Величину винг далее будем называть интервалом устойчивости задачи (1) - (3).

Для того чтобы определить интервал устойчивости по структуре решения при изменении движения пассажиропотоков, необходимо решить следующую задачу нелинейной оптимизации:

тах вст (5)

ю(а*, вст) < ю(а,, вст), 7 = 1,...,М (6) вст ^ 0, (7)

где ю(а*, вст) - значение функционала (6) для оптимального распределения транспортных средств по маршрутам при уменьшении и^ на всех остановках, за исключением последней на величину вст, при сохранении соотношения

i

I

ß=i ß#a

Ul = Ul •

U aß U a'

ю (a i, в CT) - значение функционала (l) для варианта распределения автобусов по маршрутам; M - число всех возможных вариантов распределения транспортных средств по маршрутам. Очевидно, что если задача (l) - (3) устойчива, то она устойчива и по структуре решения.

Учитывая монотонное неубывание функционала (l) при возрастании вст, легко видеть, что достаточным условием того, чтобы вст > 0 является единственность решения a*, минимизирующее значение функционала (l). Отсюда, в частности, следует, что необходимым условием того, чтобы вст = 0, в задаче (5) -(7) будет неединственность решения задачи (l) - (3). Легко понять, что решение задачи (5) - (7) при изменении движения пассажиропотоков, исходя из определения 2, не может быть больше min U'a.

=l,... , ml

Исходя из определения, необходимым условием того, чтобы вст = min U'a, является совпадение

решения задачи (3) для движения U ß с решением

i 1

для перемещений, у которых Ua = U (l = 1,...,m) и U'aß = 0 для всех ß = l,...ml—1; ß^ a.

Учитывая конечное число всех вариантов распределения автобусов по маршрутам и монотонное возрастание функционала (l) при изменении движения пассажиров в смысле определения 2, получим следующее утверждение.

При изменении движения пассажиров в смысле определения 2 получим: от 0 до min U'a интервал изменения движения может быть разбит на конечное число отрезков так, что каждому отрезку, в котором изменяется вст, будет соответствовать один и тот же вектор ai, задающий оптимальное распределение автобусов по маршрутам.

Рассмотрены примеры вычисления потерь времени пассажиров на ожидание транспортного обслуживания. Пусть интенсивность поступления пассажиров на остановочный пункт составляет l чел./мин. Микроавтобус приходит на остановку каждые l0 мин, стоит на остановке 2 мин и далее отправляется по маршруту. Вместимость микроавтобуса - l5 человек. Определим потери времени пассажиров на ожидание транспортного обслуживания за первые 36 мин. Легко видеть, что время ожидания пассажиром транспортного обслуживания, если он поступил в момент времени t е [0, l2], определяется в данном случае как T у (t) = l2 — t.

Используя формулу (l), получим потери времени пассажирами на ожидание транспортного обслуживания

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>ЪЯ те ЪР*?жг(Ъ4

13

J Ut] (t )Tt] (t )dt = J1 • (12 -1 )dt

3(12t - -)

12 0

3(144 - ^)

• 3 =

216

ut)

Рис. 1. Интенсивность обслуживания пассажиров

Tj (t)

/к

16,5

12

4.5

Рассмотрим график функции T(t) в интервале [0; 36] (рис. 1).

Пусть интенсивность пассажиров увели -чится вдвое, т. е. станет равной 2 чел./мин, т. е.

U j (t) = 2.

Рассмотрим, как изменится характер функции Т.. (t) в этом случае. Легко видеть, что пассажиры, которые поступили в интервале времени [0; 12], не все будут обслужены первым микроавтобусом, который отправится в момент времени t = 12. На этот автобус попадут в условиях дисциплины FIFO (First In - First Out - дисциплина доступа к элементам «первый пришел -первый вышел») только те пассажиры, которые пришли на остановку в интервале времени [0; 7,5], т. е.

в количестве

J 2dt = 15

чел. или в

7.5

12

мин

Рис. 2. Вторая волна ожидания пассажирами автобусов

т„ ()

16.5

12

9

4.5

7,5 12 15 19,5

Рис. 3. Третья волна ожидания пассажирами автобусов

мин

количестве, равном вместимости микроавтобуса. Остальные пассажиры, поступившие в интервале времени [7,5; 12], вынуждены будут ждать прихода второго автобуса, и, следовательно, время ожидания у каждого из них увеличится дополнительно на 12 мин по сравнению с предыдущей порцией.

График функции Т.({) на интервале [0; 12] представлен на рис. 2:

Второй микроавтобус, который отправится в момент времени ^ = 24, заберет 9 пассажиров, которые поступили в интервале времени [7,5; 12], и 6 пассажиров, которые поступили в интервале времени [12; 15]. Пассажиры, которые поступили в интервале времени [15; 24], будут ждать прихода третьего автобуса. График функции Т() в интервале времени [0; 24] представлен на рис. 3.

Пассажиры, которые поступили в интервале времени [19,5; 24], не попадут в третий автобус и, следовательно, будут ждать прихода четвертого микроавтобуса. Время

2

t

14

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж8б7>Ш К *Н?/Н<ЖЪЪ4

Т„ () А

V

28,5

24

21

16,5

12

4.5

Рис. 4. Четвертая волна ожидания пассажирами автобусов

ожидания транспортного обслуживания Т .() при V е [19,5; 24] будет задано графиком, представленным на рис. 4.

Соответственно потери времени пассажиров, пришедших на остановку в интервале [0; 24], на ожидание транспортного обслуживания составят:

I и- (V Т (V

В условиях предыдущей задачи, если рассматривать интервал времени [0; 36], получим:

и и) -1°' е°ЛИ {~ 7

7 ) [1, если V < 7.

В этом случае число пассажиров, время ожидания которыми транспортного средства более т(т = 5), вычисляется по формуле:

12 7 12

I иы (V Ж = |1 • Л +10 • Л = 7.

0 0 7

Следовательно, за период времени [0; 36] число пассажиров, время ожидания которыми транспортного средства более 5 мин, рассчитывается как:

36 12

I ир (№ = 31 ир = 3 • 7 = 21. 0 0

Рассмотрим ситуацию, когда интенсивность поступления пассажиров и. (V) = 2чел./мин. В этом случае первый микроавтобус возьмет только тех пассажиров, которые поступают за первые 7,5 мин и, следовательно, время ожидания транспортного обслуживания не более т(т = 5) будет только у одного пассажира, который поступил в интервале времени [7; 7,5]. Для пассажиров, поступивших в интервале [12; 24] и [24; 36], время ожидания транспортного обслуживания будет больше,

I ир (V )Ж

= 71, т. е.

( 12

Л

I 2(12 - + I 2(12 - V)

0 у 7,5

/ 24

■I 12(12-V) + 9• 12 + 9• 24

+ 9-12

12(12"

= 216 +108 +108 + 216 =

= 648 чел./мин.

Рассмотрим еще один критерий, по которому могут быть распределены транспортные средства по маршрутам. Это критерий минимизации количества пассажиров, время ожидания которыми транспортного обслуживания превышает заданное т.

В этом случае вместо функции поступления и.. (V) рассматривается функция

\и у (V), если Ту (V) >т

|0, если Т.. (г) <т.

и- (V) = ■

чем т(т = 5). Следовательно,

_ Гия (V), если V ё [7, 7,5]

иу (V)

[0, в противном случае. Аналогичным образом могут быть осуществлены расчеты потерь времени пассажиров на ожидание транспортного обслуживания по первому критерию.

Список литературы

1. Корпоративная логистика / под ред. В. И. Сергеева. М.: ИНФРА-М, 2004.

2. Мищенко А. В., Косоруков О. А. Исследование операций. М.: Экзамен, 2003.

3. Сток Д., Ланберт Д. Стратегическое управление логистикой. М.: ИНФРА-М, 2005.

7,5

+

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш8б7>геЯ те ЪР*?жгеЪ4