CC BY
20
Математические структуры и моделирование 2015. №1(33). С. 33-37
УДК 621.1.016:51-7
оценка быстродействия комплекснозначных функций с эллиптической областью изменения производной второго порядка
Н.П. Дмитриев
заведующий кафедрой физико-математического образования, к.ф.-м.н., доцент,
e-mail: dnp4@yandex.ru
Нижневартовский государственный университет
Аннотация. С помощью неравенства Бора, сплайнов Бернулли и теорем сравнения вычисляется оценка быстродействия ограниченных по норме комплекснозначных функций с эллиптической областью изменения производной второго порядка.
Ключевые слова: оценка быстродействия, неравенство Бора, сплайны Бернулли.
В работах [1,2] были даны оценки быстродействия на классе действительных дифференцируемых функций с симметричными и несимметричными ограничениями на вторую производную. В данной статье получена оценка быстродействия комплекснозначных функций с несимметричными ограничениями на производную второго порядка, а именно, рассмотрен случай, когда область изменения производной второго порядка функций класса W ограничена эллипсом, у которого один из фокусов находится в начале координат.
--2
Пусть W означает класс заданных на всей числовой прямой R комплекснозначных дифференцируемых функций f (t) с абсолютно непрерывной производной f'(t) на любом отрезке из R и существенно ограниченной производной второго порядка, причём
K = llf II = suP |f (t)|, L
sup
f'(t)
ess sup
f " (t)
< oo.
Областью изменения комплекснозначной функции f(t) является центральный круг ||f|| < K радиуса K. Областью изменения производной второго порядка функций класса W является эллипс (u + c)2/a2 + v2/b2 = 1 (c> 0, b2 = a2 — c2), где c — фокусное расстояние. Пусть z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 — контактные точки, являющиеся концами диаметра центрального круга ||f || < K.
Рассмотрим следующий вариант задачи быстродействия: оценить промежуток T(f) изменения аргумента t, на котором процесс f (t) переходит с контактной точки zi на точку z2 и возвращается в точку zi при заданных ограничениях на области изменения самой функции ||f || < K и её производной Ilf II < L.
34 Н.П. Дмитриев. Оценка быстродействия комплекснозначных функций...
Рис. 1.
В теории приближения действительных функций хорошо известно неравенство Бора и его обобщение — неравенство Хермандера (см., напр. [5]), связывающие числа K, L, M, N:
L < 2
K
MN
M + N ,
(1)
где M = ess sup f (t), N = ess inf f (t) (—to < t < to, 0 <M < N< to). В случае симметричных ограничений (M = N) на производную второго порядка неравенство (1) переходит в неравенство Адамара [4]
L < V2KM, (2)
являющегося частным случаем широко известного неравенства Колмогорова [3].
Неравенства (1) и (2) точные, т.е. константы 2 и \[2 нельзя уменьшить на классе действительных функций W2. Экстремальными функциями в неравенстве (1) являются следующие функции:
где br (t)
s2(t) = a(b3(ct - d) -
известные сплайны Бернулли
cos(kt - n r/2)
br(t) = J2
k= 1
kr
Ьз (ct + d),
(r = 1,2, 3,...),
(3)
a, c, d — некоторые константы, подобранные так, чтобы удовлетворить заданной тройке чисел K, M, N. Таким образом, имеет место равенство:
ы = 2
\
Р2 I
sup s0(t) • ( - inf s0(t) _t__________V *__________
sup s0(t) - inf s0(t)
t
(4)
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
35
где
S2(t) = <
t2
M------K,
2 ’
[-e, e);
(t- T)2
-N( - ) + K, [0, 2T - 0),
e = 2\
KM
N (M + N)
T=2
K (M + N)
MN '
(5)
(6)
Продолженную на всю числовую прямую с периодом 2т функцию s2(t) будем обозначать тем же символом. Параметры 0, т вычисленные по формулам (6), обеспечивают выполнение следующих заданных ограничений:
s2
K, sup s0(t) = sup s2 (t)
t t
M, inf s0(t) = inf s2 (t)
N.
Легко подсчитать, что в этом случае
I s 11
2K
MN M + N'
s
(7)
Это означает, что на сплайне s2(t) реализуется равенство в неравенстве (1), следовательно, и максимальное значение нормы производной функции f(t) е W2. ____
Рассмотрим функцию s2(t) = s2(t) ■ егй. Здесь параметр 5 переводит отрезок [—K,K], являющийся областью изменения действительной функции s2(t) на действительной прямой, в отрезок [z1,z2], являющийся областью изменения комплекснозначной функции s2(t) в комплексной плоскости. Тогда областью изменения производной второго порядка будет отрезок [w1,w2], (w1 = u1 + iv1, w2 = u2 + iv2) (см. рис.1). Пусть y = kx, (k = tg5) — уравнение прямой, проходящей через контактные точки z1, z2; v = ku — уравнение соответствующей прямой, проходящей через точки w1, w2. По построению |z11 = \Jx\ + y2 = K,
1 z21 = vxi+yi=k .
Для решения поставленной задачи отметим следующее свойство эллипса, у которого фокус находится в начале координат.
Лемма. Пусть 2а — диаметр эллипса b2(u + c)2 + a2v2 = a2b2, v = ku — уравнение прямой, проходящей через точки w1, w2 на этом эллипсе. Тогда при любом k справедливо равенство:
|wi| + |w2| |wi| ■ |w2|
(8)
В самом деле, равенство (8) означает, в частности, что при любом наклоне хорды, стягивающей точки на эллипсе и проходящей через начало координат, левая часть этого равенства остаётся постоянной. Подставим в уравнение v =
36 Н.П. Дмитриев. Оценка быстродействия комплекснозначных функций...
ku эллипса замену и приведём к общему знаменателю: (a2 — c2)(u+c)2+a2k2u2 = a2(a2 — c2). После несложных преобразований получаем:
Ui
— (a2c — c3) — (a3 — ac2)V 1 + k2 (1 + k2)a2 — c2
— (a2c — c3) + (a3 — ac2)\Z 1 + k2 (1 + k2)a2 — c2
v1 = ku1, v2 = ku2
. . (a3 — ac2)(1 + k2) + (a2c — c3)V1 + k2
|Wi| = (1 + k2)a2 — c2 ’
. , (a3 — ac2)(1 + k2) — (a2c — c3) л/1 + k2
|W21 = (1 + k2)a2 — c2 ‘
Подставляя в (8) полученные выражения, убеждаемся в его справедливости. Из равенства (4) непосредственно вытекает, что при фиксированных значениях норм ||sT||, ||s2|| выражение
sup s0(t) ■ (— inf s0 (t)) _t______t____
sup s0(t) — inf s0(t)
tt
(9)
сохраняет постоянное значение. Сравнивая с (8), приходим к следующему утверждению.
--2
Теорема. Пусть f е W , причём
II/ll<l|S21 = K,
< 11 s 11
L.
Кроме того, пусть z1, z2 — контактные точки, являющиеся концами произвольного диаметра центрального круга ||f|| < K. Тогда справедлива следующая оценка быстродействия функции из этого класса:
T(/) >
8K
~Т
(10)
--2
Действительно, если в качестве оценки быстродействия функции / е W взять длину периода функции сравнения s2(t), то нетрудно подсчитать, что
T (S2) = 4
M + N MN
4
К
A K L2
8K
х.
С учётом инвариантности формы (9) из приведённой выше леммы, а также из неравенства (1) и теоремы сравнения [2] относительно функций с несимметричными ограничениями для производной второго порядка следует, что при любом расположении контактных точек на концах диаметра окружности ||f || = K справедлива оценка (10).
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
37
Литература
1. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия динамического процесса на классе дифференцируемых функций с ограничениями // Вестник Нижневартовского гос. гума-нит. ун-та. 2011. №3. С. 6-9.
2. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия динамического процесса на классе дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями // Информ. ресурсы в образовании. Материалы Междунар. конф. в Нижневартовске, 12-19 апр, 2013. С. 153-156.
3. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Учен. зап. Моск. Университета. 1938. Вып. 30. Математика. Кн. 3. С. 3-16.
4. Hadamard J. Sur le module maximum d’une function et de ses derives // Soc. Math. France. Comptes rendus des Seanses. 1914. N. 41. P. 68-72.
5. Hormander L. A new proof and generalization of an inequality of Boor // Math. Scand. 1954. V. 2, N. 1. P. 33-45.
optimal time evaluation for the complex-valued functions with an elliptical range of the second derivative
N.P. DMiTriev
Associate Professor, Ph.D, (Math), e-mail: dnp4@yandex.ru Nizhnevartovsk State University
AbsTraeT. Using Bohr’s inequality, Bernoulli splines and comparison theorems, minimal time for complex-valued functions limited by the norm and having elliptical range of the second derivative in time-optimal problems is estimated.
Keywords: performance evaluation, Bohr’s inequality, Bernoulli splines.
