Оценивание координат сцинтилляций в детекторе гамма-камеры методом сплайн-аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Физика»

У статті запропоноваш метод оцінювання координат сцинтиляцій в детекторі гамма-камери, заснований на застосуванні згладжу-вальних кубічних сплайнів. Особливість методу полягає в тому, що його реалізація не вимагає використання інформації про амплітудно-просторові характеристики фотоприймачів. Запропонований метод в основному призначений для off-line обробки зареєстрованих вимірів з метою покращення зображень

Ключові слова: гамма-камера, поверх-

ня відгуку, сплайн-апроксимація, бікубічний сплайн

□-----------------------------------□

В статье предложен метод оценивания координат сцинтилляций в детекторе гамма-камеры, основанный на применении сглаживающих кубических сплайнов. Особенность метода состоит в том, что его реализация не требует использования информации об ампли-тудно-простанственных характеристиках фотоприемников. Предложный метод в основном предназначен для off-line обработки зарегистрированных измерений с целью улучшения изображений

Ключевые слова: гамма-камера, поверхность отклика, сплайн-аппроксимация, бикубический сплайн -------------------□ □----------------------

УДК 519.876.5+53.087

ОЦЕНИВАНИЕ КООРДИНАТ СЦИНТИЛЛЯЦИЙ В ДЕТЕКТОРЕ ГАММА-КАМЕРЫ МЕТОДОМ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ

В. Ю. Плахотник

Ведущий инженер Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт ”Искра”* E-mail: [email protected] О. В. Малахов Кандидат технических наук, доцент Кафедра автоматизации и компьютерноинтегрированных технологий* E-mail: [email protected] *Восточноукраинский национальный университет им. Владимира Даля кв. Молодежный, 20а, г. Луганск, Украина, 91034

1. Введение

Гамма-камеры различных конструкций являются основным инструментом для визуализации распределений радионуклидных препаратов в теле пациента при радионуклидной диагностике различных заболеваний внутренних органов. Классическая гамма-камера представляет собой двухкоординатный позиционно-чувствительный детектор (ПЧД) гамма-квантов. Ее основой служит сцинтилляционный кристалл №1(Т1) в виде диска, упакованный в герметичный контейнер. На выходном окне детектора установлены фотоприемники - ФЭУ. Благодаря оптическим контактам между сцинтиллятором, световодом и ФЭУ, световые фотоны от сцинтилляции в кристалле достигают фотокатодов одновременно всех ФЭУ Однако амплитуда сигнала отдельного ФЭУ зависит от взаимного расположения его фотокатода и точки сцинтилляции. Нормированная зависимость амплитуды сигнала ФЭУ от расстояния до сцинтилляции в плоскости выходного окна кристалла-сцинтиллятора называется амплитудно-пространственной характеристикой (АПХ) детектора. Сигналы отдельных ФЭУ при регистрации сцинтилляционного события являются независимыми и случайными. Каждый из сигналов ФЭУ есть случайная реализация величины, распределенной по пуассоновскому закону. Соотношение амплитуд сигналов различных ФЭУ при регистрации одной сцинтилляции является информацией для вычисления ее координат.

© В.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Среди алгоритмов вычисления координат выделяются две существенно различающиеся группы: метод Энжера и его модификации [1 - 3], метод максимального правдоподобия и его модификации [4 - 6]. Различие методов состоит в том, что первая группа основана на алгоритмах взвешивания (линейного, нелинейного, с ограничениями), а вторая группа представляет собой проверку гипотезы о совпадении распределения случайных величин с известным распределением. Для реализации методов обеих групп требуется знание априорной информации, представляющей собой зависимость амплитуды сигнала фотоприемника от расстояния между центром фотоприемника и точкой сцинтилляции - АПХ.

Задача восстановления координат сцинтилляции в кристалле большого размера (типа гамма-камеры Эн-жера) состоит в вычислении координат по результатам регистрации (измерения) светового потока (функции распределения света) с помощью системы дискретно расположенных фотоприемников (ФЭУ).

Свет сцинтилляции распространяется в кристалле и выходит из кристалла неравномерно. Функция распределения света (ФРС) имеет колоколообразный вид, максимум ФРС совпадает с положением сцинтилляции. В работе [7] вид ФРС изучался с помощью кода DETECT. Установлено, что профиль ФРС в большинстве случаев может быть описан с помощью лоренциана:

.............................................Е

F(x, 4) =

А ■ w

(х-4)2 + (У2)2’

(1)

или в двумерном варианте

F(x,y, 4, у) =

А ■ w

(х-4)2+(у-у)2+(у2)

(1а)

где £,у - положение пика (координата сцинтилляции) в плоскости кристалла, w - полная ширина на половине высоты (ПШПВ или FWHM), А - высота распределения. Отмечено, что острота пика ФРС увеличивается с приближением места сцинтилляции к поверхности выходного окна. Очевидно, что в самом общем случае ФРС должна иметь вид

р(х,у, у, О =

А ■ w (С)

(х-4)2+(у-у)2+1w (^

(1б)

где ( - координата сцинтилляции по высоте кристалла.

ФРС в реальных условиях взаимодействия у-излучения следует рассматривать как взвешенное усреднение ФРС для различных значений координаты высвечивания по глубине.

Распределение света регистрируется системой ФЭУ, расположенных в узлах тригональной решетки, и покрывающей всю поверхность выходного окна кристалла. Функцию чувствительности ФЭУ можно представить в виде цилиндрического импульса с центр ом в точке расположения центра ФЭУ, занимающего площадь фотокатода. При этом мы пренебрегаем возможной неоднородностью чувствительности фотокатода и считаем чувствительность постоянной в пределах фотокатода. Тогда отклик г-го ФЭУ на падающий поток света можно представить в виде интеграла

и, (4,у)= І I F(x,y,4,у)Б,(х-х,,у-y1)dxdy . (2)

Здесь хі, уі - координаты центра і-го ФЭУ Т.к. функция чувствительности отлична от нуля только в пределах фотокатода, то пределы интегрирования могут быть расширены до бесконечности.

Функция отклика ФЭУ и(£,у), зависящая от взаимного расположения ФЭУ и места сцинтилляции, и есть амплитудно-пространственная характеристика (АПХ) ФЭУ.

Для моделирования функции чувствительности ФЭУ можно применить функции, использующиеся для аппроксимации ступенчатых функций (функции Хэвисайда) [8]:

и(х) = Ііт |1+-^агС^ ах ^ 2 п

и(х) = 1іт2-е-а.

(3)

В двумерном случае круговая функция чувствительности фотокатода радиусом R хорошо аппроксимируется функциями вида

с ч ( 11

Si(x,y) = 1 - + - aгctg \ 2 п

Я — л/( х - X,

-(У - Уі )

Si(x,y) = 2

- ехрГ-а|^ хі )2 +(у-Уі )2

,(4а)

(4б)

Выбором величины константы а можно изменять крутизну края и величину ”завала” чувствительности на краю. На рис. 1 показан вид функции (4б) при значении а = 1000.

Рис. 1. Модель функции чувствительности ФЭУ в соответствии с формулой (4б)

Функцию чувствительности детектора с системой ФЭУ можно представить в виде суммы функций чувствительности отдельных ФЭУ, т.к. эти функции взаимно независимы и каждая функция имеет нулевое значение вне области, занимаемой фотокатодом

SpsD(х,У) = Х^(х,у) .

(5)

Здесь S^(x,y) - функция чувствительности ФЭУ с координатами центра фотокатода (хг,уг), N - количество ФЭУ позиционно-чувствительного детектора (ПЧД).

Вектор измерений при регистрации единичной сцинтилляционной вспышки в точке с координатами (£,у,0 всеми ФЭУ ПЧД представляет собой выборку из соответствующих АПХ, искаженную статистическим шумом. На таком подходе основаны методы правдоподобия для вычисления координат сцинтилляции [5]. По моему мнению, метод правдоподобия очень надежен, но требует предварительного экспериментального измерения АПХ, что представляет собой тонкую, трудоемкую и достаточно дорогостоящую процедуру.

С другой стороны вектор измерений можем рассматривать как свертку ФРС с функцией чувствительности ПЧД. Тогда вектор измерений следует рассма-

3

тривать как выборку из ФРС, искаженную функцией чувствительности и статистическим шумом. Задача восстановления (расчета) координат сцинтилляции сводится к определению параметров ФРС.

Если вид ФРС известен, наверное, задача будет решаться проще. Однако, несмотря на приведенные формулы (1), исследователи считают, что ФРС не выражается аналитически, и ее точный вид может быть установлен только экспериментально.

На рис. 2 показан пример вектора измерений для ПЧД с 37-ю ФЭУ.

Индекс

Индекс

Рис. 2. Графическое изображение вектора измерений для ПЧД с 37-ю ФЭУ. а — столбчатая диаграмма; б, в — сечения вдоль рядов ФЭУ

3. Цель и задачи исследования

вершины (максимума) которой совпадают с координатами точки сцинтилляции в плоскости ПЧД. И для восстановления координат сцинтилляции необходимо определить координаты максимума поверхности.

Для решения этой задачи необходимо построить двумерную поверхность, обладающую достаточной гладкостью и непрерывностью. Наиболее подходящей для этих целей представляется сплайновая аппроксимация поверхности с помощью двумерных кубических сплайнов.

В работе [9] было предложено использовать для интерполяции двумерный сплайн Катмул-Рома. Характерной особенностью таких сплайнов является то, что сплайн обязательно проходит через реперные точки, т.е. через точки вектора измерений.

Однако заметим, что вектор измерений, представляющий собой набор амплитуд сигналов ФЭУ, полученных в результате сцинтилляционной вспышки, содержит случайную составляющую - статистический шум. В связи с этим интерполяция вектора измерений для построения поверхности без предварительной подготовки оказывается неприемлемой, т.к. полученная в результате интерполяции поверхность может оказаться нерегулярной, что приведет к ошибочному определению координат максимума. По нашему мнению более подходящим в данном случае будет применение сглаживающих бикубических сплайнов [10].

Сглаживающий бикубический сплайн на сетке (а<хг<Ь, c<yj<d) (г = 0,1,...,т-1, ] = 0,1,...,я-1) в каждой точке сетки представляет собой функцию вида

£’(х>У) = ЕЕам (х-х.)Р (у-УіГ , (6)

р=0 я=0

которая доставляет минимум функционалу

да=я

МУ 34

д^(х,у)

\ 2

Эх2 Эу2

dxdy-

1 1 ЇС д*5(х,у)ч!

Ер I

і=0 Рі

ду

п-1 -і з2

Е:т 1

1 Г (д^(х,у)

2

(7)

дх2

Гу-

^1Е Р^^у^ - 2 і=0 і=0 Рі^

б

в

Цель данной работы - разработка метода оценки координат сцинтилляции в двумерном позиционночувствительном детекторе гамма-камеры, свободного от использования априорной информации - не связанного с измерением амплитудно-пространственных характеристик фотоприемников.

Постановка задачи аппроксимации по результатам измерений

Компоненты вектора измерений будут представлять собой точки на некоторой поверхности отклика ФЭУ (амплитуды сигнала ФЭУ), координаты

Здесь - значения вектора измерений в узлах сетки, рг (г = 0,1,...,т-1), а-} ( = 0,1,...,я-1) заданные числа -весовые коэффициенты.

Выбор значений весовых коэффициентов в (7) позволяют в некоторой степени управлять свойствами сглаживающего сплайна. Если все весовые коэффициенты рг=0, Oj=0, то сглаживающий сплайн оказывается интерполяционным и проходит через точки измерений Таким образом, чем точнее измерены значения г^, тем меньше должны быть соответствующие весовые коэффициенты.

Е

Для решения задачи о координатах сцинтилляции наиболее подходящими являются граничные условия 2-го типа:

д^,уЛ

---= 0, і = 0,п -1, і = 0,1,...,т -1,

)

дх2 д2S(xi,yj)

----= о, і = 0,1,...,п -1 і = 0,т -1,

ду2 ’ ” ’

(8)

д^(Хі,уД)_ дх2ду

2 2 = 0, і = 0,т -1, і = 0,п -1.

Другая особенность аппроксимации поверхности отклика по результатам измерений в дискретных точках заключается в том, что ФЭУ гамма-камеры размещены в плотноупакованной тригональной структуре и точки измерений - центры ФЭУ - занимают позиции узлов этой структуры. В косоугольной системе координат (HX,HY), показанной на рис. 3, центры ФЭУ расположены эквидистантно вдоль осей с шагом, равным диаметру или установочному размеру ФЭУ. В этом случае целесообразно проводить аппроксимацию поверхности, используя косоугольные координаты центров ФЭУ (HXi,HYi). И только после определения координат максимума поверхности отклика в косоугольных координатах можно преобразовать их в прямоугольные координаты по известным формулам.

Рис. 3. Координаты центров ФЭУ ПЧД в косоугольной системе координат (HX,HY)

Область определения поверхности отклика представляет собой шестиугольник, ограниченный цен-г трами крайних ФЭУ. Поэтому значения вне области определения не должны использоваться при обработке данных, иначе аппроксимация приведет к ошибке в описании поверхности.

пуассоновскую статистику сигналов ФЭУ, матрицу весовых коэффициентов задаем как:

1

(9)

где Аі'і - амплитуда сигнала ФЭУ, расположенного в узле с координатами (і,]) в косоугольной системе координат.

1. Для каждой линии HY^, ^=0,...,п-1) строим сглаживающие одномерные сплайны Sk(HX) с граничными условиями 2-го рода. При этом важно для построения сплайна выбирать только данные узлов, входящих в область определения поверхности отклика, т.е. вектор данных должен содержать только ненулевые данные.

2. Для каждого узла сетки в косоугольной системе координат вычисляем исправленные, сглаженные значения А(Е

3.

4.

Л« = ^(НХ,).

Этот шаг полностью аналогичен п.1. Для каждой линии НХі (1 = 0,...,т-1) для массива сглаженных данных А(1)у строим сглаживающий кубический сплайн S*l(HY) с граничными условиями 2-го рода. Как и п.1, векторы данных должен содержать только ненулевые данные. Для каждого узла сетки в косоугольной системе координат вычисляем исправленные, сгла-

женные значения

А(2)]

5.

6.

Л(2) = S*i (HYj).

Для новой системы значений А(2)у строим интерполяционный сплайн S(HX,HY).

С помощью интерполяционного сплайна вычисляем значения поверхности отклика в точках между узлами измерений и находим положение максимума поверхности в косоугольных координатах (HX,HY). Как вариант определек ния положения максимума поверхности может быть использован метод исследования функции на экстремум с помощью производных, которые также вычисляются с помощью интерполяционного сплайна.

Полученные координаты максимума (HXmax,HYmax) преобразуем в декартовы прямоугольные координаты (ХтахУтах)

Хтах HXmax+HYmax с°50 Хо,

Ymax (Н^тах.51п0-уоХ

4. Экспериментальные данные и их обработка

Алгоритм аппроксимации поверхности бикубическим сплайном можно свести к последовательности решения одномерных задач сглаживания кубическим сплайном.

Прежде всего, по результатам измерений откликов ФЭУ на единичную сцинтилляцию необходимо определить значения весовых коэффициентов. Учитывая

0=60°.

Приведенный алгоритм был реализован в виде подпрограммы на языке FORTRAN 90 в составе программного комплекса моделирования медицинского эмиссионного томографа с кодированной апертурой. На рис. 4 приведены результаты аппроксимации поверхности отклика ФЭУ по результатам трех результатов измерений откликов ФЭУ на сцинтилляцию в

3

одной и той же точке. Данные результатов измерений представляют собой реализацию случайной величины, распределенной по пуассоновскому закону.

OR.R

в

Рис. 4. Сплайн-аппроксимация трех реализаций измерений откликов ФЭУ на сцинтилляцию в одной и той же точке: а - первая реализация; б - вторая реализация; в - третья реализация

Оценки координат сцинтилляций, полученные описанным методом, показали высокую устойчивость и точность. Однако, характеристики точности и устойчивости метода требуют дополнительного и подробного изучения и будут установлены в дальнейших исследованиях.

Основное достоинство предлагаемого метода оценки координат сцинтилляций состоит в отсутствии необходимости использования априорной информации об амплитудно-пространственных характеристиках ФЭУ детектора, процесс получения которой затратный и трудоемкий. Единственным требованием к спектрометрическим трактам ПЧД остается их энергетическая калибровка и стабилизация. К недостаткам разработанного метода следует отнести значительную, по сравнению с методами Энжера и правдоподобия, вычислительную трудоемкость. В связи с этим наиболее перспективным может быть применение метода аппроксимации для off-line обработки накопленных данных с целью улучшения качества зарегистрированных изображений.

5. Выводы

Предложен метод оценки координат сцинтилляции в позиционно-чувствительном детекторе гамма-камеры, основанный на аппроксимации поверхности отклика ФЭУ с помощью сглаживающих бикубических сплайнов. Метод аппроксимации показывает высокую устойчивость и точность при оценке координат. Несмотря на значительную вычислительную трудоемкость метод перспективен для регистрации гамма-изображений и последующей их обработки с целью улучшения.

Литература

1. Калашников, С. Д. Физические основы проектирования сцинтилляционных гамма-камер [Текст] / С. Д. Калашников. - М: Энергоатомиздат, 1985 - 120 с.

2. Арлычев, М. А. Двухдетекторный однофотонный эмиссионный гамма-томограф. [Текст] / М. А. Арлычев, В. Л. Новиков,

A. В. Сидоров, А. М. Фиалковский, Е. Д. Котина, Д. А. Овсянников, В. А. Плоских. // Журнал технической физки - 2009.

- т.79, вып.10. - С. 138-147

3. Восстановление точек взаимодействия в толстом ПЧ детекторе для гамма-телескопа. Камышан, В. А., Педаш, В. Ю. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://2010.ismart.kharkov.ua/presentations/19/kamyshan_ismart_2010.pdf - 29.04.2013 г.

- Загл. с экрана.

4. High-energy photon detection in PET using adaptive non-linear parametric estimation algorithms. A. Bronstein, M. Bronstein, M. Zibulevsky, Y. Y. Zeevi. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://visl.technion.ac.il/projects/2001s10/ - 29.04.2013 г.

- Загл. с экрана.

5. Плахотник, В. Ю. Исследование характеристик пространственных распределений вычисленных координат сцинтилляций в позиционно-чувствительном детекторе типа гамма-камеры. [Текст] / В. Ю. Плахотник // Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: “Обчислювальна техніка та автоматизація”. Випуск 74. - Донецьк, ДонНТУ, 2004. - С. 272 - 286.

6. Плахотник, В. Ю. Алгоритмы вычисления координат сцинтилляций в детекторе гамма-камеры. [Текст] / Плахотник,

B. Ю., Поляков, Г. А. // Журнал нано- и электронной физики - 2010. - т.2, №1. - С. 94-99

7. Knoll, G. F. Light collection scintillation detector composited for neutron detection. / Knoll, G. F. et al. // IEEE Trans. Nucl. Sci.

- 1988. - v.35. - p.872-875.

8. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). / Корн, Г., Корн, Т. - М.: Наука,1978. - 832 с.

9. Гаврилюк, В. П. Алгоритмы восстановления изображения в гамма-камере. [Текст] / В. П. Гаврилюк, А. В. Демин, В. А. Кол-басин // Сцинтилляционные материалы. Инженерия, устройства, применение. - Харьков: “ИСМА” - 2009 - 332 с.

10. Шикин, Е. В. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. / Е. В. Шикин, А. И. Плис // Москва,: Диалог-МИФИ. - 1996. - 240 с.

Е