CC BY
12
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УШВЕРСИТЕТУ
2001р. " Вип. №11
УДК 532.526:669.18
Жук В.И.*
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ КОНВЕКЦИИ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
Рассмотрен механизм возникновения осцилляции при численном моделировании конвективных течений жидкости, стратифицированной по плотности в поле сил тяжести. Проанализированы возможные случаи перехода параболической системы уравнений Навье-Стокса и теплопроводности (диффузии) в гиперболическую. Проведена оценка частот осцилляции при охлаждении жидких материалов.
Задача о тепло- и массопереносе в условиях естественной конвекции стратифицированной жидкости возникает в теплоэнергетике, металлургии, строительном деле, химической технологии, reo- и астрофизических приложениях, авиа- и ракетостроении, а также охране окружающей среды. Естественной конвекцией, согласно [1], считается движение, возникающее в поле массовых сил, например гравитационных или электромагнитных, в среде с неодинаковой плотностью. Так, тепловая конвекция обусловлена зависимостью плотности жидкости от температуры, концентрационная конвекция - от химического состава. Структура и интенсивность естественной конвекции определяется физическими свойствами среды, условиями тепломассообмена на границе, формой полости, которую жидкость заполняет, напряженностью внешнего силового поля. Это течение не только влияет на процессы: диффузии и распространения тепла в жидких средах, но и перераспределяет объемы по плотности, т.е. делает жидкость стратифицированной.
Естественная конвекция при кристаллизации слитка является частным случаем такой задачи, так как, согласно [2], основными видами перемещений расплава стали в ковше и изложнице считаются тепловая и концентрационная конвекция. При этом в течение всего времени охлаждения расплав остается стратифицированным по температуре: в верхних слоях температура всегда выше, чем в нижних (даже при сифонной заливке). Вследствие невозможности прямых измерений на натурных слитках, многие исследования конвекции в слитке пошли по пути вычислительного эксперимента [3]. Полученные в работе [4] результаты численного моделирования естественной конвекции свидетельствуют о существовании в расплаве режимов течения, механизм появления которых остается неясным. В работе [5] представлена современная компьютерная модель, позволяющая на основе математического аппарата произвести расчет распределения температур, концентраций в условиях естественного и вынужденного перемешивания жидкости с произвольными граничными условиями и проверить любые предположения о схемах течения.
Цель настоящей работы - изучение особенностей естественной конвекции в стратифицированной жидкости на основе теоретического анализа систем уравнений и сопоставления их с расчетами на компьютерной модели, представляющей дальнейшее развитие работы [5].
Математическую модель процесса естественной конвекции в жидкости обычно составляют из уравнения Навье—Стокса (закона сохранения импульса)
ЖИДКОСТИ
Постановка задачи
уравнения неразрывности (закона сохранения массы)
ПГТУ, канд. техн. наук, доцент
1 I
Ро=0 Ро=0.01 Ро=0,02 Ро-0,03 Ро=0,04 Ро=0,05 Ро=0,06 Ро=0,07 а) Поле распределения температуры
б) Поле распределения функции тока Рис.1- Остывание металла в изложнице ( Рг ■= 0,2 , Сг = 5 • Ю6 ). Эксперимент с учётом конвекции.
|||илг[|
а) эксперимент без учёта конвекции
б) эксперимент с учётом конвекции (Рг -0,2 . Ог = 5 ■ 106, Яа = 2-105)
в) эксперимент с учётом конвекции {Рг = У , О = 2 -105, Ка = 2-105) Рис 2- Изотермы в стратифицированной жидкости при различной вязкости жидкости.
уравнения переноса тепла (закона сохранения энергии)
ср
= XV 2 Т (3)
СдТ ч Л -+{У - У)Г
и< .
уравнения переноса вещества или примеси (закона сохранения массы)
г дС ч А
- (4)
— + (г • у)с
Здесь / - время, V- оператор "набла", V2 - оператор Лапласа, £ - вектор ускорения
свободного падения. Неизвестными функциями являются вектор скорости V, давление Р, температура жидкости Т и концентрация примеси С. Кроме них в уравнениях присутствуют физические параметры жидкости — плотность р, динамическая вязкость Г}., теплопроводность Л удельная теплоемкость с, коэффициент диффузии Б. Уравнения (1-4) справедливы при условии, что коэффициенты динамической вязкости 7], теплопроводности Я, удельной теплоемкости с и диффузии Б являются константами, т. е. считаются не зависящими от изменения температуры и концентрации во всем объеме жидкости. Допущение о постоянстве этих коэффициентов применимо, если диапазон температур и концентраций в жидкости достаточно мал. Что же касается плотности р, то ее зависимостью от температуры пренебрегать нельзя, так как именно она отвечает за возникновение конвективного движения в гравитационном поле. Поэтому к уравнениям (1-4) добавляется уравнение состояния/; = р(Т, С). Несмотря на принятые допущения, система (1-4) весьма сложна даже для численного анализа [3]. С целью дальнейшего упрощения на практике часто прибегают к приближению Буссинеска. Суть его в следующем. Пусть Т0 , С0- некоторые значения из интервала изменения температуры и концентрации в жидкости, при котором плотность имеет величину р=р0-р(Т0, С,с). Предположим, что температура Тв жидкости мало отклоняется от То, а концентрация С - от С',. Тогда уравнение состояния можно линеаризовать, оставляя лишь член 1-го порядка малости в разложении функции р = р(Т, С) в ряд Тейлора в окрестности значений Т0, С0:
р = рЖ + Рт(Т-Т0) + &(С-С0)1 (5)
где 0Т = —др(Т0,С0)/'дТ - коэффициент теплового, а Рс - — др(Т0,С0)/дС ~ коэффици-
Ро Ро
ент концентрационного расширения жидкости. Главная идея приближения Буссинеска заключается в том, что зависимость плотности от температуры (5) учитывается лишь в члене с объемной силой тяжести а в остальных случаях полагают р=ро ■ При таких допущениях система (1-4) примет вид
!¥-+(?.= -УР+^2у+[+Рт(Т-Т')+рс(с-с9^ (6)
о1 о 0
о
К+(у.?У = аУ1Т да
где V = г}/р0 и а = Я/ср0—постоянные коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, значения которых соответствуют табличным для Т=Т0, С~С0.
Численное моделирование
Уравнения (10-12) для численной реализации далее записываются в переменных "функция тока - вихрь" в двумерной постановке. Для получения численного решения этих уравнений используются явные и подунеявные конечно-разностные схемы второго порядка аппроксимации. Обеспечение с симметрии схемы проводится путем решения с двойной точностью. Для численной реализации полученных математических моделей и алгоритмов в [5] созданы программы расчета, имеющие удобный для пользователя интерфейс, в котором данные представлены в виде картин линий тока, изотерм и изолиний концентраций. Программа разработана для OS Windows 98 с помощью алгоритмического языка Borland С++ Builder 5.0. Для работы необходима машина не ниже 486 DX с 8Мб RAM.
На рисунках приведены варианты расчетов для исследуемых видов конвекции с вертикальной температурной стратификацией. На рис. 1 представлены результаты расчета охлаждения жидкой сердцевины затвердевающего слитка в виде изотерм и линий тока с течением времени в безразмерной форме. Слева видна полоска с цветовой гаммой, позволяющая визуально представить численную картину в масштабе длин волн цвета от красного до фиолетового (в черно-белом изображении контраст может быть не заметен). Справа, в масштабе изложницы, который может изменяться пользователем, рассмотрена рабочая область, в которой с помощью цветовой гаммы представлена картина распределения температур в жидкой сердцевине слитка в различные моменты времени и соответствующая ей картина течения. На рис.2 проведено сопоставление результатов расчета полей температур при отсутствии конвекции (рис.2, а), для жидкого металла с малой вязкостью (рис.2, б) и для жидкости с более высокой вязкостью (рис.2, в). Из анализа результатов численного моделирования следует, что в тонком пограничном слое возникает нисходящее течение, а в центре - восходящее. Но при движении против градиента плотности, связанного с температурной стратификацией, скорость и температура осциллируют. В центре области могут периодически появляться вихревые структуры, которые способствуют перемешиванию расплава. С увеличением вязкости течение замедляется, и вихревые структуры диссипируют в объеме области.
Выводы
Теоретический анализ системы уравнений гидродинамики и тепломассопереноса показал, что при движении жидкости в направлении градиента плотности параметры течения должны испытывать осцилляции (изменения) с инфразвуковой частотой. Этот эффект имеет физическую природу, поэтому наблюдается при сопоставлении теоретических данных с расчетами на компьютерной модели. Численные исследования естественной тепловой конвекции в стратифицированной жидкости при наличии вертикального градиента температур показывают, что степень затухания осцилляции зависит от вязкости жидкости. В жидких металлах при малой вязкости затухание происходит слабее, что способствует дополнительному вихреобразованию и перемешиванию расплавов.
Перечень ссылок
1. Джалурия Й. Естественная конвекция: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983.-400с.
2. Ефимов В.А. Разливка и кристаллизация стали. - М.: Металлургия. 1976. - 552 с.
3. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. - Минск: Университетское изд-во, 198 8. -167с.
4. Ефименко СП., Завгородний Л.Ф., Недопекин Ф.В., Повх И.Л., Жук В.И. Анализ гидродинамики расплава и химической неоднородности слитка, затвердевающего под слоем теплоизоляции. //ИзвестияАН СССР. Металлы -1981. №5. - С.81-86.
5. Жук В.И. Компьютерное моделирование теплопереноса, диффузии и движения частиц в затвердевающем расплаве. // Вюник Приазов. держ. техн. ун-ту: 36. наук. пр. - М ар ¡у пол ь, 2000. -Вип.9. -С.285-291.
Жук Виктор Иванович. Канд. техн. наук, доцент кафедры физики ПГТУ, окончил Донецкий государственный университет в 1972 году. Основные направления научных исследований - математическое и физическое моделирование естественной конвекции в жидкостях, анализ тепломассообменных процессов при кристаллизации металлов.
Статья поступила 07.02.2001.
