CC BY
28
на промежутке [0;я/2) и строго возрастает от - 1 до 0 на интервале (ж/2;?т)- График /(х) изображен на рис. 6. Отсюда следует, что /(х) является взаимно однозначной на множестве X. Тогда сужение функции /(х) на множество X обратимо. Из рис. 6, легко заметить, что обратная функция представляется в виде
, , , Гагсвпис, если 0<х<1,
/(*Н I I
Iк-агс81п|д;|, если -1<л:<0.
Отсюда следует, что корнем исходного уравнения из X будет х = агс8шй, если 0<Ь<1 и л: = ;г-агс8т|й|, если -1< Ь <0. Теперь, используя свойства функции /(х), находим, что корнями исходного уравнения являются х = ±шгатЬ + 2кп, если 0< Ь <1 и х = (2к + 1)тг± arcsin|й|, если -1 < Ь <0, где к - произвольное целое число.
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин и др. - М.: Просвещение, 1993.
2. Чучаев И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: Учеб. пособие. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001. - 168 с.
3. Чучаев И. И., Осипова М. Н. Задачи на доказательство при решении уравнений // Математика в школе. - 2010. - № 10.
4. Чучаев И. И., Осипова М. Н. Уравнения вида И (х) +сх +<3 =^ах +Ь // Математика в школе. - 2008. - № 9.
особенности преподавания в педагогическом вузе элементов теории меры и интеграла
PECULIARITIES OF TEACHING ELEMENTS OF THE MEASURE AND INTEGRAL THEORY IN TEACHER TRAINING UNIVERSITIES
Т. Н. Казарихина
В статье обозначены проблемы обучения понятиям «площадь» и «мера» школьников и студентов педагогических вузов, рассмотрены возможные причины возникновения проблем и предложены пути их решения.
Ключевые слова: площадь, мера, интеграл, инвариантность относительно сдвигов.
T. N. Kazarikhina
The article presents the problems of teaching the concepts of „area" and „measure" to schoolchildren and teacher training university students, possible reasons for these problems and ways of solving those.
Keywords: area, measure, integral, translation invariant.
Важнейшими, фундаментальными понятиями, которые начинают формироваться еще в школе, являются понятия меры и интеграла. Поэтому при подготовке студентов математических факультетов педагогических вузов следует уделять особенное внимание разделам математического анализа и смежных с ним дисциплин, связанным с теорией меры и интеграла.
В стандартном школьном курсе математики понятие площади впервые появляется в курсе геометрии. Сначала в этом курсе изучаются площади прямоугольников, треугольников, потом различных многоугольников, круга, частей круга.
Затем школьники встречаются с понятием «площадь» в курсе алгебры и началах анализа. В этом курсе
учатся находить площадь подграфика функции, используя интеграл Римана. Заметим, что, к сожалению, в школе само понятие «площадь подграфика функции», как правило, не определяется и учащиеся часто не осознают, каким образом площадь, которую вычисляют в алгебре и началах анализа, связана с площадью, введенной в геометрии, а многие даже не задумываются о наличии такой связи.
В качестве подтверждения сказанного приведем результаты нашего опроса случайно выбранных 26 выпускников 2010 г. различных школ различных регионов России, поступавших на математический факультет Московского педагогического государственного университета.
Приведем предложенные нами вопросы и полученные на них ответы.
1. Как связано понятие «площадь» в геометрии с понятием «площадь», рассматриваемым в алгебре и началах анализа?
На этот вопрос два выпускника дали верный ответ, шесть решительно ответили, что понятие «площадь», встречающееся в геометрии, и понятие «площадь», встречающееся в курсе алгебры и началах анализа, - это два совершенно разных понятия, их объединяет только название, остальные 18 выпускников ответили «не знаю». Причем подавляющее большинство опрашиваемых даже не задумывалось о наличии связи, что говорит о формальном усвоении преподаваемого материала.
2. Что такое площадь криволинейной трапеции?
В качестве замечания отметим, что в первоначальной формулировке этот вопрос звучал иначе, а именно: Как определяется площадь криволинейной трапеции? Однако пришлось внести в формулировку некоторое изменение в связи с тем, что опрашиваемые путали вычисление с определением. Кстати, этим обозначилась еще одна важнейшая проблема в восприятии учащимися математического материала, связанного, в частности, с понятием «площадь» и «интеграл».
На этот вопрос два выпускника дали частично верный ответ (по сути верно, но с некоторыми пробелами), семь выпускников ответили неверно, а 17 затруднились с ответом.
3. Дайте определение понятия «площадь круга».
На этот вопрос не было получено ни одного верного ответа, частично верно ответил один выпускник, 11 ответили неверно, и остальные 14 опрошенных затруднились с ответом.
Характерно, что один из тех двух выпускников, которые частично верно ответили на предыдущий вопрос, здесь не дал ни верного, ни частично верного ответа, и притом на этот вопрос количество неверных ответов было получено заметно больше, чем на предыдущий.
4. Можно ли найти площадь закрашенной фигуры?
Фигуру составляет объединение прямоугольников
РП = {М|1/2" < х < 1/2 п-1, 1/2п <у < 1/2п-1}, п = 1, 2, ... .
На этот вопрос 18 человек из опрошенных ответили, что возможно, три человека ответили, что нельзя, пять че-
У
1/2 1/4
0
... 1/4 1/2
X
Рис. 1. Чертеж к вопросу № 4
ловек затруднились с ответом. Конечно, этот вопрос принципиально отличается от остальных, и уточнение, что такое площадь закрашенной фигуры, не требовалось. Вместе с тем несколько человек не только верно ответили на вопрос, но и вычислили площадь.
Отметим также, что и подавляющее большинство опрошенных нами учителей математики даже не задумывались о существовании проблемы корректности определения площади.
На основе полученных ответов можно сделать вывод, что при существующем подходе к обучению понятию площади у учащихся складывается впечатление об отсутствии связей между фундаментальными фактами, о которых речь идет на различных уроках математики, и эта ситуация, по нашему мнению, отчасти провоцируется определенным пробелом в программах и практике педагогических вузов.
Проблема требует пристального внимания со стороны учителей математики и преподавателей педагогических вузов.
В связи с этим для исправления ситуации, по нашему мнению, в школьном курсе математики целесообразно введение понятия площади как в курсе геометрии, так и в курсе алгебры и начал анализа. Кроме того, необходимо четко зафиксировать фактическое совпадение возникающих чисел, хотя вопрос о доказательствах следует решать в соответствии с реальной ситуацией в классе. С точки зрения подготовки учителей, на наш взгляд, необходимо внести некоторые изменения в обучении студентов математических факультетов педагогических вузов разделам математического анализа и смежных дисциплин, связанных с теорией меры и интеграла.
Полученные нами результаты опроса были обсуждены с будущими учителями математики в рамках специального курса на математическом факультете Московского педагогического государственного университета. Среди студентов, участвующих в этом спецкурсе, есть работающие в школе, и их интересуют проблемы современного образования.
Больше всего внимание студентов привлек четвертый вопрос. С одной стороны, в школе при нахождении площади плоскую фигуру можно разбивать в объединение конечного числа частей, то есть, исходя из свойств «школьной» аксиоматики площади, вообще говоря, нельзя суммировать «бесконечные разбиения». Например, вычисление площади указанной фигуры с помощью геометрической прогрессии площадей прямоугольников Рп требует оправдания, а с другой стороны, очень естественно. Отметим, кстати, что часть опрошенных выпускников вычисляли площадь именно с привлечением суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Обойти эту сложность студенты предложили двумя способами.
Первый - заметить, что площадь закрашенной фигуры есть треть от площади единичного квадрата. Другой способ заключался в выражении площади «уменьшенной
1
1
Данные опроса выпускников 2010 года
щихся степенных рядов на примере суммирования геометри-
Вопрос 1. Как связано понятие «площадь» в геометрии с понятием «площадь»,
рассматриваемым в алгебре и началах анализа? Вопрос 2. Что такое «площадь криволинейной трапеции»? Вопрос 3. Дайте определение понятия «площадь круга». 80
70 60 50 > 40 30 20 10 0
■ Ответили верно Ответили неверно Затруднились с ответом
Вопрос 1 Вопрос 2 Вопрос 3
Рис. 2. Диаграмма ответов на три вопроса
в четыре раза копии» фигуры через площадь исходной фигуры и площади квадрата Р.
В данном конкретном случае есть возможность определить площадь фигуры, не переходя к бесконечным суммам (используя, однако, аддитивность и не вдаваясь в проблему существования). Но будущих учителей заинтересовал вопрос: является ли счетно-аддитивной площадь, которая возникает в школьном курсе математики? Мы поясним ниже, что в рамках разумного ответ на этот вопрос является положительным.
Далее мы более подробно остановимся на некоторых вопросах преподавания меры и интеграла на математическом факультете педагогического вуза и связях с квадрируемостью.
Теория интеграла Римана тесно связана с понятием квадрируемости (иначе говоря, измеримости по Жорда-ну). Из критерия интегрируемости Дарбу следует, что функция интегрируема по Риману на отрезке тогда и только тогда, когда ее подграфик квадрируем.
Когда студенты первого курса знакомятся в курсе математического анализа с понятием интеграла Римана и его геометрическим смыслом, понятие квадрируемости в этом курсе, как правило, еще не введено. Поэтому в этом случае приходится дополнительно определять «площадь криволинейной трапеции»1, и при таком подходе целесообразно проводить параллели со «школьным» определением, например, площади круга, а при дальнейшем введении понятия квадрируемости в курсе математического анализа полезно дополнительно обосновать корректность уже введенного определения. В этом случае будущий учитель математики будет частично подготовлен к преподаванию соответствующей темы в школьном курсе математики.
Школьный курс математики имеет дело только с конечно-аддитивными мерами, но использование сходя-
ческой прогрессии позволяет, например, познакомить учащихся с мерой Лебега в простейшем случае, а для этого учитель должен быть сам подготовлен к такому подходу и должен осознавать возможность переходов к «бесконечному суммированию».
Далее мы рассмотрим конечно-аддитивные меры, инвариантные относительно сдвигов (к категории которых принадлежит классическая мера Жордана).
В работах [1; 2] рассматривались все инвариантные конечно-аддитивные меры на полукольце стрелок (одномерных и двумерных). Оказывается, что конечно-аддитивная мера, заданная на полуинтервалах (открытых справа) вещественной оси и инвариантная относительно сдвигов, непременно пропорциональна лебеговой. Доказательство этого утверждения сводится к описанию непрерывных решений уравнения Коши -Абеля и основывается на континуальности множества точек непрерывности монотонной функции на отрезке.
Поясним это в одномерном случае. Напомним, что стрелкой (направленной вправо) называется полуинтервал [а,Ь) вещественной оси И. При а = Ь стрелка заменяется пустым множеством. Для простоты мы будем рассматривать все конечные стрелки (и не будем рассматривать бесконечные).
Пусть / - неубывающая вещественная функция на оси И. Такая функция порождает конечно-аддитивную меру на семействе стрелок по формуле у.[а,Ь) = Щ -_Да). Если дополнительно нормировать ( условием ДО) = 0, то соответствие станет биективным (взаимно-однозначным), и мы будем считать это условие выполненным. В теории интеграла Лебега (см., например, [1], [3], [4]) устанавливается, что счетная аддитивность меры | эквивалентна непрерывности функции / слева. Вместе с тем довольно ясно, что / в качестве монотонной имеет точки непрерывности (множество точек разрыва не более чем счетно).
Предположим теперь, что мера ^ инвариантна относительно сдвигов. Отсюда легко следует, что / удовлетворяет функциональному уравнению Коши - Абеля: / (х + у) = / (х) + / (у).
Непрерывные решения уравнения Коши - Абеля имеют вид/(х) = сх, где с - константа. Хотя это уравнение имеет и разрывные решения, его решение непрерывно, если оно непрерывно хотя бы в одной точке, и, стало быть, линейно.
1 В этом можно усмотреть недостаток существующих программ.
В результате получается, что на прямой мер, инвариантных относительно сдвигов, кроме лебеговой, фактически, нет, и в этом случае из конечной аддитивности меры на полукольце стрелок вытекает ее счетная аддитивность.
Аналогичная картина имеет место на плоскости и других евклидовых пространствах, в этом случае рассматриваются проекции мер на координатные оси и доказательство сводится к одномерному случаю2.
Обычно школа начинает и заканчивает конечной аддитивностью, хотя фактически имеет дело со счетно-аддитивной мерой Лебега, о которой даже не упоминает. Являясь сужением лебеговой, классическая жорданова мера счетно-аддитивна на квадрируемых множествах, этим оправдывается рассмотрение (до определенного момента) в школе конечных процедур, однако школьный учитель должен понимать, что счетные расширения «безобидны», и, кроме того, быть готовым ответить на вопрос «продвинутого» школьника по этому поводу.
Заметим, что понятие множества нулевой меры Лебега заметно проще общего понятия меры Лебега, и его хватает для того, чтобы дать критерий квадрируемости,
и в определенных условиях об этом можно говорить даже в школе, если уже имеется представление о сходящихся рядах.
На наш взгляд, необходимо, чтобы школьным учителям были знакомы и близки эти факты. Вместе с тем, будучи хорошо подготовленным, учитель должен быть свободен в выборе уровня строгости излагаемого материала.
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горин Е. А. Введение в теорию множеств и теорию меры. - М.: Изд-во МПГУ, 2005.
2. Казарихина Т. Н. Об интеграле и мере // Наука в вузах: Математика, информатика, физика, образование. - М.: Изд-во МПГУ, 2010. -С.285-287.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 572 с.
4. Халмош П. Теория меры. - М.: Факториал пресс, 2003.
промежуточный контроль знаний как средство стимулирования учебно-познавательной
деятельности учащихся
PROGRESS KNOWLEDGE CONTROL AS A MEANS OF STIMULATING STUDENTS' LEARNING
З. Н. Багдуева, Н. Д. Кучугурова
В статье авторы обращают внимание на правильно организованный контроль учебной деятельности учащихся, сопряженный с самоконтролем, и предлагают методику построения системы промежуточного контроля знаний учащихся, которая стимулирует школьников на качественное повторение и систематизацию знаний.
Z. N. Bagdueva, N. D. Kuchugurova
The authors draw attention to the properly organized students' learning control coupled with self-control and offer a method of developing a system of students' progress knowledge monitoring, which encourages students to revise and systematize their knowledge.
Ключевые слова: промежуточный контроль, стимулирование, учебно-познавательная деятельность, самоконтроль, организация системы контроля.
Keywords: progress control, stimulation, learning, self-control, organizing a control system.
На современном этапе развития системы непрерывного образования все большее внимание уделяется условиям, обеспечивающим успешность последующего обучения учащегося. Растущая напряженность задач современного образования вызвана
разработкой новых стандартов, что делает образовательные процессы неустойчивыми и требует от системы контроля качественно новых функций. Эти же причины порождают необходимость перехода к здоровьесберегаю-щим технологиям обучения, что стимулирует поиск новых
2 Теорема о единственности счетно-аддитивной инвариантной относительно сдвигов борелевской меры - частный случай теоремы Хаара.
