ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья на тему 'ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ' по специальности 'Математика' Читать статью 2 Cc-big-visible Cc-big-hidden
0 3
Quote цитировать Review рецензии ВАК РФ
Авторы
Коды

ГРНТИ: 27.01.45 — Преподавание математики

показать все коды
Ключевые слова
  • ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
  • ИЗОМЕТРИЯ
  • КОМПОЗИЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
  • МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА
  • GEOMETRICAL TRANSFORMATION OF SPACE
  • ISOMETRY
  • COMPOSITIONS OF SPACE TRANSFORMATIONS
  • PROBLEM-SOLVING METHODOLOGY IMPLEMENTING GEOMETRICAL TRANSFORMATIONS OF SPACE

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы — Хевсокова Марина Юрьевна

В статье предложена методика изучения геометрических преобразований пространства, включающая в себя рассмотрение основных вопросов, касающихся введения понятия «преобразование», изучение его свойств. Рассмотрены взаимосвязи между преобразованиями, методика изучения композиций преобразований пространства. Выделены геометрические ситуации, приводящие к использованию преобразований пространства.

Научная статья по специальности "Преподавание математики" из научного журнала "ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН. ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ", Хевсокова Марина Юрьевна

Рецензии [0]

Похожие темы
научных работ
по математике , автор научной работы — Хевсокова Марина Юрьевна

Текст
научной работы
на тему "ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ". Научная статья по специальности "Преподавание математики"

УДК 513 (077)
М. Ю. Хевсокова
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
Аннотация. В статье предложена методика изучения геометрических преобразований пространства, включающая в себя рассмотрение основных вопросов, касающихся введения понятия «преобразование», изучение его свойств. Рассмотрены взаимосвязи между преобразованиями, методика изучения композиций преобразований пространства. Выделены геометрические ситуации, приводящие к использованию преобразований пространства.
Ключевые слова: геометрическое преобразование пространства, изометрия, композиция преобразований, методика решения задач с использованием геометрических преобразований пространства.
Abstract. The article describes a methodology of studying geometrical transformation of space, considering the basic questions concerning the introduction of the concept of "transformation" and the analysis of its properties. The author considers the technique of studying compositions of space transformations as well as the relations between geometrical transformations. The article points out the geometrical situations leading to the application of space transformations.
Key words: geometrical transformation of space, isometry, compositions of space transformations, problem-solving methodology implementing geometrical transformations of space.
Целенаправленный переход к профильному обучению в 10-11 классах общеобразовательных школ подразумевает три типа учебных предметов: базовые, профильные и элективные. Примерное соотношение объемов данных типов учебных предметов соответственно 50:30:20. Выбор профильных и элективных учебных предметов в совокупности составляет индивидуальную образовательную траекторию обучающихся.
Учебные предметы федерального компонента представлены на двух уровнях - базовом и профильном. В стандарте базового уровня акцент делается на формирование общей культуры и в большей степени связан с мировоззренческими, воспитательными и развивающими задачами общего образования, а в стандарте профильного уровня основное внимание уделяется подготовке учащихся к продолжению образования или к профессиональной деятельности по избранному направлению.
Роль и значение геометрических преобразований в математике как науке и, в частности, в геометрии значительна. Еще в XIX столетии известным немецким математиком Ф. Клейном было обосновано, что преобразования могут быть положены в основу определения самого предмета геометрии. На важность обучения школьников преобразованиям указывали многие исследователи XX в. Так, например, В. Г. Болтянский отмечает: «Знание свойств движений и других геометрических преобразований, умение применять их к доказательству теорем и решению задач - важный элемент математической культуры, может быть, самый важный метод (наряду с умением применять векторный аппарат и логически мыслить), который должны вынести учащиеся из школьного курса геометрии» [1, с. 110].
К сожалению, преобразования пространства в современном образовательном процессе занимают далеко не первое место. Так, в государственном образовательном стандарте среднего (полного) общего образования по математике в качестве целей изучения предмета выделено формирование представлений об идеях и методах математики, развитие логического и пространственного воображения. Однако в обязательный минимум содержания основных образовательных программ для базового и профильного уровней вынесены всего лишь темы: симметрии куба, параллелепипеда, призмы и пирамиды; понятие о симметрии пространства (центральная, осевая, зеркальная). Вместе с тем можно увидеть противоречие между поставленными целями обучения математике и содержанием школьного курса математики, которое в таком малом объеме не позволяет их достигать. Однако выше было сказано, что обучение преобразованиям пространства позволяет развивать пространственное воображение и является методом решения задач, наряду с такими методами, как классический, алгебраический, векторный и координатный, а также дает возможность использования данного метода для решения задач на построение, доказательство и вычисление.
В данной статье перечислим основные направления, по которым возможно изучать данную тему в условиях профильного обучения.
Важно отметить еще одну важную проблему, которая не реализуется в школьном математическом образовании. Дело в том, что функции в курсе алгебры и начал анализа и геометрические преобразования в курсе геометрии -это практически один и тот же объект, но об этом ничего не говорится в школе. По этому поводу академик А. Н. Колмогоров пишет: «Понятие отображения (функции) является в современной математике одним из наиболее употребительных понятий. Геометрические преобразования - тоже функции. Поэтому было бы противоестественным продолжать игнорировать использование геометрических преобразований в школьном курсе геометрии, как это делалось в наших программах до сих пор» [2, с. 9]. При изучении преобразований пространства мы должны стремиться к тому, чтобы сделать изложение материала взаимосвязанным и взаимодополняющим. Написать здесь подробно об этом не представляется места, поэтому ограничимся определением геометрического преобразования, которое используем.
Определение: Если каждой точке А пространства по правилу / поставить в соответствие единственную точку этого пространства Аь то говорят, что задано геометрическое преобразование пространства. Точку А1 называют образом точки А, а точку А - прообразом точки Аь
Таким образом, при введении основных понятий мы используем внут-рипредметные взаимосвязи геометрии и алгебры и начал анализа, поэтому при формировании основного понятия «геометрическое преобразование пространства» используется взаимосвязь с понятием «функция», что показывает их родственность. Аналогично при введении понятий «обратное преобразование», «обратимое преобразование» и «композиция преобразований» целесообразно учитывать взаимосвязь с понятиями «обратная функция», «обратимая функция» и «сложная функция» соответственно.
Здесь, безусловно, возникает масса сопутствующих вопросов. А именно говорим ли мы о преобразовании пространства или фигуры, как построить систему упражнений, формирующих понятие геометрического преобразования, как связать этот материал с курсом алгебры и начал анализа? Предлага-
ется система задач на формирование понятия «преобразование пространства», включающая в себя две группы. Первая группа задач связана с формированием у школьников умения по заданному соответствию точек пространства установить, является ли оно преобразованием или нет. Вторая группа задач связана с формированием у них умения самостоятельно устанавливать соответствие между точками пространства и доказывать, что это соответствие является геометрическим преобразованием пространства. С целью закрепления у учащихся умения различать обратное и обратимое преобразование, формирования у них представления о «композиции преобразований» также предлагаются разнообразные задачи.
Большое внимание в школьной практике уделяется преобразованиям, которые сохраняют расстояния между соответствующими точками. За последние десятилетия много говорилось о соответствующей терминологии. Это происходило потому, что для указанных преобразований есть три примерно одинаковых термина: «движение», «перемещение» и «изометрия». Традиционно в математической литературе и большинстве школьных учебников используется термин «движение». Академик А. Н. Колмогоров не разделял эту точку зрения и писал: «... изометрию на физическом языке более естественно называть перемещением, а не движением (движение есть процесс, а перемещение - его результат)» [3, с. 3]. Вместе с тем термин «перемещение» оказался неудачным: он занят в курсе физики. В цитате А. Н. Колмогорова упоминается термин, которым и будем пользоваться, - это термин «изометрия». Другой не менее важный вопрос: какие общие свойства изометрии следует изучать на базовом и профильном уровнях? Среди этих свойств следует рассматривать на базовом уровне свойства изометрии переводить прямую в прямую, отрезок в равный отрезок, луч в луч, угол в равный угол и плоскость в плоскость, а на профильном уровне добавить свойство обратимости любой изометрии, свойство переводить три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, причем точку, лежащую между двумя другими, переводить в точку, лежащую между образами двух других точек.
Большую часть учебного материала по изучению преобразований пространства занимает изучение конкретных видов преобразований. В разных учебниках число этих видов различно, определение понятий и методика их введения также бывает различной. Отметим, что программа изучения преобразований пространства должна включать в себя центральную симметрию, осевую симметрию, зеркальную симметрию, вращение вокруг оси и, конечно, параллельный перенос.
Особенностями разработанной методики изучения видов изометрий в условиях профильного обучения являются следующие:
а) введение определения каждого вида преобразования начинается с описания правила, на основании которого задается соответствие между точками (для каждого преобразования свое правило), что позволяет связать теорию о преобразованиях пространства с каждым конкретным преобразованием;
б) для каждого уровня обучения обязательным является доказательство теоремы о том, что каждое из рассматриваемых преобразований является изометрией пространства; это позволяет общие свойства преобразований отнести к свойствам каждого вида изометрии;
в) изучение взаимосвязей между видами изометрий пространства: вместо сложного доказательства того факта, что осевая симметрия является изометрией, можно использовать взаимосвязь осевой симметрии и вращения вокруг оси и упростить его изучение; при доказательстве, что параллельный перенос является изометрией, возможно использование центральной симметрии, что упростит его изучение; рассмотрение теорем о взаимосвязи элементов изометрий указывает на взаимосвязи между преобразованиями.
Так, все симметрии пространства связаны между собой теоремой.
Теорема 1: Если фигура имеет плоскость симметрии и в ней центр симметрии, то она имеет еще ось симметрии, проходящую через центр перпендикулярно плоскости.
Также справедливы следующие теоремы.
Теорема 2: Если фигура имеет ось и на ней центр симметрии, то она имеет плоскость симметрии, проходящую через центр перпендикулярно к оси.
Теорема 3: Если фигура имеет перпендикулярные ось и плоскость симметрии, то она имеет и центр симметрии в точке их пересечения.
Например, известно, что цилиндр имеет ось симметрии - ось цилиндра, середина оси симметрии является центром симметрии цилиндра. Если провести плоскость через центр симметрии перпендикулярно оси симметрии, мы получим плоскость симметрии цилиндра, в которой находится бесконечное множество осей симметрии, проходящих через центр симметрии. Помимо этой плоскости симметрии цилиндр имеет бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих через ось симметрии. Ось цилиндра является его осью вращения, причем число вращений цилиндра вокруг своей оси симметрии бесконечно и приводит к его самосовмещению. Можно привести много таких примеров, если рассматривать куб, сферу, конус и другие тела в пространстве.
Другой чрезвычайно важный вопрос связан с изучением композиций преобразований пространства. Для полного изучения этого вопроса практически нет учебного времени. Вместе с тем без композиции преобразований нет теории преобразований. Существует следующий выход из этой сложной ситуации. Рассматривая достаточно известную литературу о геометрических преобразованиях пространства, можно выделить наиболее простой способ, который возможен для изучения, - это рассмотрение композиций на базовом и профильном уровнях по направлениям: 1) по видам преобразований в той последовательности, в которой они появляются в школьной программе, где изучение может идти по двум путям: рассмотрение композиций одноименных и разноименных преобразований; 2) по степени использования композиций при изучении теоретического и практического материала.
В результате этих исследований получаем следующую последовательность действий в изучении композиций в условиях профильного обучения (табл. 1).
Анализ учебно-методических пособий показывает, что использование композиций преобразований пространства при изучении теоретического материала очень незначительно. Можно констатировать применение композиций преобразований пространства при изучении теоретического материала, например при изучении композиций параллельных переносов, которая является, с одной стороны, суммой двух заданных векторов, а с другой, является последовательным выполнением двух параллельных переносов.
Таблица 1
Изучение композиций преобразований пространства на базовом и профильном уровнях
Базовый уровень Профильный уровень
2о ° 2о = 2О °2о = Е и хО = ХО, где О -центр симметрии 2-0 ° 2О = 2О ° = Е и хО = ХО , где О - центр симметрии, ХО ° ХО = П7Г7Г-, где О1 и О2 - центры симметрии О2 О1 2ОО2 и О1Ф О2, ХО ° ХО ° ° ХО = Е (или П), если п - четное, Оп Оп-1 О1 ХО ° ХО ° ° ХО = X , если п - нечетное Оп Оп-1 О1
5Г1 ° ° 5Г1 = Е и Я— = , где 1 - ось симметрии Я“1 ° ° Я-1 = Е и Я— = Я1, где 1 - ось симметрии, Ят °Я1 = П2ав , где 1 и т - оси симметрии, т || 1, Ят ° = Я^1 ,т), где 1 и т - оси симметрии, т П1 = О, И ± 1, И ± т , Ое И
Я- ° $* = ¿а ° Я-1 = Е и яа1 = Яа, где а -плоскость симметрии Я-1 ° Яа = Яа ° Я,-1 = Е и Я- = , где а - плоскость симметрии, Яр ° = П2ав , где а и р - плоскости симметрии, а || р, Яр ° = Я^У, где а и р - плоскости симметрии, а П Р = 1 и ф = Z(а, р)
Ягр ° Я“ = Я“+Р, где 1 - ось симметрии, а и р - углы вращения
Иг ° П- = П- Ь, где а Ь а а+Ь и Ь - векторы переносов П;° П - = Пт т , где а и Ь - векторы переносов Ь а а+Ь
Особо важно применение композиций при обосновании групповых свойств изометрий пространства, а именно: множество всех изометрий пространства образует группу относительно операции композиции. Так, операция ассоциативности для композиций выполняется, единичным элементом является тождественное преобразование, а обратным элементом является обратное преобразование. Данная тема может быть рассмотрена в элективном курсе для учащихся старшей школы и позволит познакомить учащихся с понятием «группа», что соответствует цели профильного обучения - обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.
Есть вечная проблема - «как решать задачи», есть более частная задача -«как решать геометрическую задачу методом геометрических преобразований». Вопросами решения задач с использованием геометрических преобразований занимались многие математики и методисты: В. Г. Болтянский, В. А. Гусев, С. Н. Дорофеев, Я. П. Панарин, Е. В. Потоскуев, Г. И. Саранцев, А. И. Фетисов, И. Ф. Шарыгин, И. М. Яглом и др. Однако не удается найти разработанной методики решения таковых задач, которая бы подсказывала соответствующий метод и необходимость использования того или иного пре-
образования. Особенно сложно обстоит дело с преобразованиями пространства, потому что этот метод вообще не описан. Если даже и есть какие-нибудь положения, связанные с методикой решения таких задач, то они чаще всего идут через примеры конкретных задач, поэтому методика решения задач с использованием геометрических преобразований пространства является на сегодняшний день недостаточно разработанной. Исходя из анализа учебных пособий, задачи, решаемые с использованием геометрических преобразований, можно разделить на два вида: 1) задачи, связанные с изучением свойств различных геометрических преобразований и взаимосвязей между ними; 2) задачи, в формулировки которых не входят геометрические преобразования, но которые решаются с их применением. По первому виду существует огромное количество задач, методика решения которых нуждается в совершенствовании, но рассмотрение таковых задач не входит в рамки данного исследования. Нас интересует гораздо более сложная проблема - решение различных геометрических задач методом геометрических преобразований, где метод решения задач не следует из условия задачи, в связи с этим разрабатывается одно наиболее перспективное направление - выделение геометрических ситуаций, приводящих к использованию преобразований.
Например:
а) известно, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. Этот факт может использоваться в разных ситуациях, решаемых с применением центральной симметрии. Например, если требуется доказать, что отрезок любой прямой, проходящий через точку пересечения диагоналей параллелепипеда и заключенный внутри него, делится этой точкой пополам; если требуется доказать, что два тела, полученных при пересечении параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку пересечения его диагоналей, равны и имеют равные объемы;
б) известно, что правильный тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящие через середины противоположных ребер. Данный факт можно использовать в ситуации, например, если нужно доказать, что плоскость, проходящая через отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, делит его на равные два тела;
в) если нужно доказать, что точка, лежащая в плоскости, находится на наименьшем или наибольшем расстоянии от двух других точек, не лежащих в плоскости, то можно использовать зеркальную симметрию;
г) если требуется доказать, что в правильной треугольной пирамиде плоскость, проходящая через ребро и биссектрису треугольника в основании, делит пирамиду на два равных тела, имеющих равные объемы, то можно использовать зеркальную симметрию;
д) если нужно две фигуры, лежащие в разных плоскостях, перевести в одну плоскость и провести сравнительный анализ, то целесообразно применить вращение вокруг оси;
е) для совмещения двух фигур в пространстве, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Здесь обозначены не все геометрические ситуации, приводящие к использованию геометрических преобразований пространства, так как их круг можно много расширить.
Суть методики решения геометрических задач с использованием геометрических преобразований пространства состоит в следующем: анализируя текст задачи, мы, как всегда, совершаем аналитико-синтетическую деятель-
ность по нахождению следствий из условия задачи и вырабатываем стратегию по решению той или иной задачи. Путь от условия задачи до момента использования геометрического преобразования может быть различным: можно сразу увидеть использование того или иного преобразования, или нужно проделать дополнительную работу, чтобы увидеть использование геометрического преобразования. Вместе с тем практическая значимость преобразований заключается в применении их к решению задач.
Задача: В основании пирамиды БАВСБ лежит квадрат АВСБ. Ребро БЛ пирамиды перпендикулярно ее основанию. Через середину ребра БВ проведено сечение, параллельное плоскости (ЛБП). Какова площадь сечения, если площадь грани АББ равна 32 см2?
Решение:
1. Дана пирамида БАВСБ, где АВСБ - квадрат. Ребро БЛ ± (АВС), КВ = КБ. Через точку К проходит сечение, параллельное (ЛБП). Б^лбв = 32 см2 (рис. 1).
Б
П
N
В С
Рис. 1
2. Требуется найти ^сечения.
3. Чтобы решить задачу, сначала необходимо построить искомое сечение. Известно, что через точку К проходит сечение, параллельное (ЛБП).
4. Если в грани ДАВБ через точку К проведем прямую, параллельную плоскости (ЛБП), то прямая пересечет ребро АВ в точке М, принадлежащей искомому сечению. Аналогично находим точки Ь и N, где КЬ || (ЛБП) и Ш || (ЛБП).
5. Получаем в сечении четырехугольник КLNM, причем плоскость (KLN) параллельна плоскости треугольника ЛБП.
6. Если в прямоугольном ДАВБ через середину К проведена прямая КМ, параллельная стороне АБ, то точка М является серединой АВ (по теореме Фалеса).
7. Аналогично в АВБС точка Ь - середина ребра БС, и в ДСБП точка N - середина ребра СП (по теореме Фалеса).
8. Значит, искомая плоскость (КЬЫ) проходит через середины сторон БВ, БС, СВ, АВ (п. 6, 7).
9. Если АВСВ - квадрат, то АМ = ВЫ (п. 1, 8).
10. Если плоскость сечения параллельна плоскости (АБВ), то точки К, М, N и Ь равноудалены от плоскости (АБВ) (п. 1, 9).
Мы взяли из условия все возможные данные, которые могут помочь в решении. Условие задачи нам не подсказывает метод решения задачи. Но в п. 10 мы получили вывод, что плоскость сечения равноудалена от грани, это позволяет нам сформулировать гипотезу: нам в решении задачи может помочь геометрическое преобразование - параллельный перенос. За вектор переноса вполне справедливо взять расстояние между параллельными плоскостями. Параллельный перенос позволяет совместить две фигуры, лежащие в разных плоскостях, что подтверждает имеющуюся проблемную ситуацию.
11. За расстояние между плоскостями (КЬЫ) и (АБВ) примем длину
вектора АМ . Тогда при параллельном переносе на вектор АМ мы получаем, что Пам (А) = М, Пам (В) = N Пам (Б) = Б (по определению параллельного переноса) (рис. 2).
Б
Б
N
В С
Рис. 2
12. Тогда ПАМ (АВ) = МЫ, ПАМ (ВБ) = N^1, Пш (АБ) = МБХ (по свойству изометрии переводит отрезок в отрезок).
13. Получаем, что при параллельном переносе Пам (А АБВ) = А МБ\Ы.
14. А АБВ = А МБЫ (п. 13, свойство изометрии).
15. Имеем, что Баабв = БамБЫ = 32 см2.
16. Если обозначим сторону квадрата АВСВ за 2а, то
Баабв = 1 АВ • АБ = ^МЫ • МБ1 = 2 • 2а • МБ1 = а • МБ1.
17. Но с другой стороны, если S^asd = 32 см2, то из п. 16 получаем, что
a
18. Четырехугольник KLNM - прямоугольная трапеция (так как KL
Ответ: 24 см2.
В ходе исследования был разработан элективный курс по теме «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач», основанный на описанных выше особенностях обучения данной теме. Он является примером реализации разработанной методики обучения преобразованиям пространства, учитывает внутрипредметные взаимосвязи курсов «Геометрия» и «Алгебра и начала анализа», способствует повышению качества знаний учащихся по геометрии в целом, формированию и развитию логики мышления и пространственного воображения обучаемых, что позволяет достичь поставленных целей обучения математике. При проектировании курса была разработана программа, рассчитанная на 28 часов. Данный элективный курс предназначен для учащихся старших классов, позволяет систематизировать и углубить их знания о геометрических преобразованиях и содержит основные темы, которыми должны владеть учащиеся старших классов.
В данной статье мы описали основные проблемы, которые поднимаются при изучении этой темы, а также способы их решения. Представляется, что материал статьи показывает важность и сложность обучения геометрическим преобразованиям пространства учащихся старшей школы.
Список литературы
1. Болтянский, В. Г. Поворот и центральная симметрия / В. Г. Болтянский // Математика в школе. - 1989. - № 6. - С. 108-119.
2. Колмогоров, А. Н. Геометрия 6 класс : метод. пособие / А. Н. Колмогоров. -М. : Просвещение, 1970.
3. Колмогоров, А. Н. Современная математика и математика в современной школе / А. Н. Колмогоров // Математика в школе. - 1971. - № 6. - С. 2-3.
Хевсокова Марина Юрьевна Khevsokova Marina Yuryevna
аспирант, Московский педагогический Postgraduate student, Moscow State Peda-
государственный университет gogical University
E-mail: viva82@mail.ru
УДК 513 (077)
Хевсокова, М. Ю.
Особенности методики изучения геометрических преобразований пространства в условиях профильного обучения / М. Ю. Хевсокова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 168-176.
MN, KM || AS, AS 1 KM).
19. В трапеции KLNM
SKLMN -
i(KL + MN) • KM - ^(a + 2a) •— - 24 см2. 2 2 a

в избранное
цитировать
читать
наверх