CC BY
11Тогда (y(t,x),u(t,x')^ будет искомым решением задачи стабилизации (1)-(4), где управление и находится по формуле u(t,xr) = 7srQv(t,x) . Теорема 1 полностью доказана. □
Исследование выполнено при поддержке гранта РФФИ № 15-01-03576.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. 19, № 3. 53-161.
2. Горшков A.B. Стабилизация одномерного уравнения теплопроводности на полуограниченном стержне // Успехи матем. наук. 2001. 56, № 2. 213-214.
3. Горшков A.B. Стабилизация решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса во внешности ограниченной области посредством управления с границы // Матем. сб. 2012. 203, № 9. 15-40.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.
5. Ватсон Дж. Теория бесселевых функций. Т. 1. М.: ИЛ, 1949.
Поступила в редакцию 23.12.2013 После доработки 23.08.2015
УДК 514.853, 514.762.27
ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДИНАКОВЫМ СЛОЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ.
БЕСКОНЕЧНАЯ СЕРИЯ
М. А. Тужилин1
В статье рассматриваются 4-мерные особенности отображения момента интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Приводится построение бесконечной серии пар 4-особенностей типа седло-седло, таких, что в каждой паре 4-особенности лиувиллево не эквивалентны, а 2-слоения на их 3-границах лиувиллево эквивалентны.
Ключевые слова: лиувиллева эквивалентность, почти прямое произведение атомов, круговые молекулы, особенности отображения момента типа седло-седло.
Four-dimensional momentum map singularities of integrable Hamiltonian systems of two degrees of freedom are considered. A construction of an infinite series of pairs of 4-dimensional saddle-saddle singularities is provided so that 4-singularities are not Liouville equivalent in each pair and the 2-foliations on their 3-boundaries are Liouville equivalent.
Key words: Liouville equivalence, almost direct product of atoms, circular molecules, saddle-saddle singularities of the momentum map.
1. Введение. Один из вопросов, возникающих в теории интегрируемых гамильтоновых систем, — это вопрос о связи слоения 2п- мерной окрестности особого слоя L слоения Лиувилля со слоением на п-мерные торы Лиувилля на границе dU(L) окрестности U(L), а именно: могут ли различные слоения Лиувилля на U (L) совпадать на границе? До нынешнего времени был известен только один пример различных 4-мерных особенностей с совпадающими слоениями на границе. Этот пример построен в дипломной работе А. В. Грабежного, выполненной в 2002 г. на механико-математическом факультете МГУ: приведены три различные 4-мерные особенности с одинаковыми слоениями Лиувилля на их границах. В настоящей работе будет построена бесконечная серия пар различных четырехмерных особенностей U(L) с совпадающими 2-слоениями на трехмерной границе.
Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, с гамильтонианом II и дополнительным независимым интегралом / на компактном симплектическом многообразии М4. Они задают отображение из М4 в R2, называемое отображением момента. Рассмотрим неособую изоэнергетическую поверхность = {ж € М4\Н(х) = h]. Прообразом регулярного
1 Тужилин Михаил Алексеевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mtul993Qmail.ru.
значения при отображении момента является несвязное объединение двумерных торов Лиувилля. Прообраз окрестности критического значения функции /|<дз задает перестройку торов Лиувилля через критический слой. Такие слоения, рассматриваемые с точностью до лиувиллевой эквивалентности, называются 3-атомами. 2-атомами называются слоения окрестности критического значения на двумерном многообразии, задаваемые функцией Морса. Обобщение теории Морса для интегрируемых гамильтоновых систем построено А. Т. Фоменко в [1-3] и развито в [4-9]. Между 3-атомами и 2-атомами (вместе с 2-атомами со звездочками) существует взаимно однозначное соответствие: базой расслоения Зейферта каждого 3-атома является 2-атом (см. [1-3, 9]).
Для описания окрестности особого слоя (4-особенности) отображения момента в М4 существует простой инвариант слоения Лиувилля — круговая молекула. Это граф, который соответствует границе 4-особенности (фактор границы особенности по торам Лиувилля и особым слоям) и в вершинах которого находятся 3-атомы, а ребра соответствуют однопараметрическим семействам торов Лиувилля. По теореме Эллиасона [10, 11] каждая особая точка отображения момента ранга нуль может иметь один из следующих типов: центр-центр, центр-седло, фокус-фокус и седло-седло. Для особенностей типа центр-центр, центр-седло и фокус-фокус круговая молекула является полным инвариантом слоения Лиувилля, что подтверждает гипотезу А. Т. Фоменко (см. [9]): если на особом слое L все особые точки являются невырожденными, то круговая молекула является полным инвариантом четырехмерной особенности в смысле лиувиллевой эквивалентности. Это означает, что в случае особенности типа центр-центр, центр-седло и фокус-фокус различным слоениям на границе dU(L) особенности U(L) отвечают различные особенности U(L). Однако в случае особенности типа седло-седло эта гипотеза Фоменко не выполняется, а именно A.B. Грабежной построил пример трех 4-особенностей, у которых совпадают меченые круговые молекулы. То есть по теореме Фоменко-Цишанга соответствующие слоения Лиувилля 3-мерных границ этих 4-особенностей ли-увиллево эквивалентны. В работе [12] приводится описание основных свойств круговых молекул, соответствующих ^особенностям типа седло-седло, а также простой способ подсчета г-меток на ребрах круговых молекул в этом случае.
В случае особенности типа седло-седло удобно использовать другой инвариант слоения Лиувил-ля — представление 4-мерной особенности в виде почти прямого произведения 2-атомов (теорема Н.Т. Зунга [13]). Это представление является полным инвариантом слоения Лиувилля в смысле лиувиллевой эквивалентности. Все примеры в данной работе строятся для почти прямых произведений.
Используемые определения и теоремы можно найти в работах [1-3] и книге [9].
2. Предварительные сведения и теоремы. Пусть х = sgrad II — интегрируемая гамильто-нова система на симплектическом многообразии (M2n,w) где sgrad ii = w~ldH, aw — симплекти-ческая структура.
Пусть f\, /2,..., fn — функционально независимые, попарно коммутирующие интегралы этой системы относительно скобки Пуассона {/,<?} = — sgrad/(<?). Отображением момента называется гладкое отображение Т : М2п —>• Rra, где -F(x) = (fi(x), /2(ж),..., fn(%)) • Точка Xq € М2п, в которой rank(d/i(a;o), 4/2(^0),..., dfn(xo)) = г < п, называется критической или особой точкой отображения момента ранга г.
Теорема 1 (Ж. Лиувилль). Пусть v = sgrad Н — интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на симплектическом многообразии (M2n,w) с функционально независимыми интегралами fi, /2,..., fn в инволюции. Предположим, что векторные поля sgrad fc полны для всех г. Пусть Т — неособая связная компонента, совместной поверхности уровня интегралов f\, /2, ..fn- Тогда Т диффеоморфно прямому произведению k-мерного тора Тк и М.п~к. Более того, если многообразие Т компактно, то оно диффеоморфно n-мерному тору Тп и некоторая окрестность U этого тора диффеоморфно, прямому произведению Тп и n-мерного диска, Dn, причем существуют координаты, Si,..., sn на, диске Dn и угловые координаты ipi,... ,ipn на торе Тп, т,а,кие, что в них симплекти-ческая структура w на U имеет вид Л ^г, о, гамильтонова система записывается в виде
Si = 0,9?г = Ci(s 1,... ,sn).
Слоением, Лиувилля, отвечающим интегрируемой гамильтоновой системе, называется разбиение многообразия М2п на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов /1, /2, • • •, /п-
Обозначим через К = {х € М| rank (¿7-"(ж) < п} множество критических точек отображения момента J-. Множество критических значений Е = J~(K) называется бифуркационной, диаграммой отображения момента J-.
Слои слоения Лиувилля, не содержащие критических точек отображения момента, называются регулярными. Все остальные слои называются особым,и.
Две интегрируемые гамильтоновы системы на М\ и М2 называются лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) М\ —>■ М2, отображающий каждый слой слоения Лиувилля М\ в слой слоения Лиувилля М2. В случае интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, ограниченных на изоэнергетические поверхности СЦ^, будет использоваться немного "усиленное" определение: две интегрируемые гамильтоновы системы на и СЦ называются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм СЦ^ —> который, кроме того, сохраняет ориентацию 3-многообразий С,)^ и (¿^ и ориентации всех критических окружностей.
Пусть хо € М2п — особая точка ранга 0 отображения момента Т. Тогда для каждой функции ¡г определим линейный оператор Ад : ТХоМ —>■ ТХоМ по формуле Ад = ги_1сР/г(жо). Этот оператор является линеаризацией векторного поля sgrad в точке Хо и может быть интерпретирован как элемент алгебры Ли $р(ТХ0М) (т.е. алгебры Ли группы линейных симплектических преобразований касательного пространства ТХоМ). Поскольку интегралы /1, /2, • • •, /«. попарно коммутируют, особая точка Хо ранга 0 задает коммутативную подалгебру Нхо в ер(ТХ0М), порожденную операторами Ад, Ад,..., А^. Особая точка хо € М2п ранга 0 называется невырожденной, если Нхо является подалгеброй Картана в алгебре Ли ер(ТХоМ).
Теорема 2 (Д. Эллиасон [10, 11]). Пусть Хо — невырожденная особая точка ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы (/1,/2, • • •,/п) на гладком, симплектическом многообразии (М2п,и;). Тогда в некоторой окрестмост,и точки Хо € М2п существуют симплектические координаты <71, (/2) • • •) Чп,Р1,Р2, ■ ■ ■ ,Рп и интегралы /{, ¡¡¿,..., ¡'п (задающие то же слоение Лиувилля, что и интегралы /1, /2, • • •, ¡п), тлкие, что функции /¿(<71, <72,..., Яп,Р1,Р2, • • • ,Рп) задаются одной из следующих формул:
Гладкая функция называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены. Функция / называется функцией Ботта, если и только если критические точки / образуют подмногообразие в объемлющем многообразии и ядро гессиана в каждой критической точке совпадает с касательным пространством к этому критическому подмногообразию.
Пусть / — функция Морса на поверхности М2, с — особое значение функции /. 2-Атомом (Р2, /) называется окрестность Р2 критического слоя функции /, задаваемая неравенством с — е ^ / ^ с + е для достаточно малого е, расслоенная на линии уровня функции / и рассматриваемая с точностью до послойной эквивалентности, сохраняющей направление роста функции / (см. [9]).
Каждому 2-атому соответствует его /-граф (см. [14]). Рассмотрим граничные отрицательные (докритические) окружности 2-атома (Р2, /) и отметим на них произвольным образом ориентацию. Соединим сепаратрисами отрицательные окружности с каждой особой точкой 2-атома. Через каждую особую точку будут проходить ровно две сепаратрисы. Заменим их вместе с особой точкой соответственно на одно неориентированное ребро. Граф Г, гомеоморфный полученному, назовем /-графом, 2-атома {Р2, /). Все вершины /-графа имеют степень, равную трем: в каждую вершину одно ребро входит, одно выходит и одно не имеет ориентации. Аналогично можно по 2-атому построить /-граф, соответствующий положительным докритическим окружностям. Каждому /-графу соответствует единственный 2-атом. Заметим, что два /-графа, которые можно построить по одному
2-атому, будут двойственными, поэтому далее будет использоваться только один из этих /-графов.
Рассмотрим интегрируемую систему с боттовским интегралом / на изоэнергетической трехмерной поверхности <5- Пусть Ь — особый слой соответствующего слоения Лиувилля на <5- Пусть и(Ь) — связная компонента множества /-1(с — е, с + е), содержащая особый слой Ь. Назовем
3-атомом класс лиувиллевой эквивалентности трехмерного многообразия и(Ь). Число критических окружностей назовем его сложностью.
Пусть теперь хо € М4 — невырожденная особая точка ранга 0 отображения момента /■' = (Н, /) : М4 —>■ М2 интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и первым интегралом / на симплектическом многообразии (М4, ги) и уо = Р(хо). Прообразу границы двумерной окрестности особого значения у о соответствует одномерный граф, в вершинах которого стоят атомы (перестройки через критические значения отображения момента), а ребра этого графа — однопара-метрические семейства торов Лиувилля. Такой граф называется круговой, молекулой. Предположим, что Ь = — особый слой типа седло-седло, т.е. слой, на котором все критические точки ран-
га 0 имеют тип седло-седло. Пусть и(Ь) — четырехмерная окрестность особого слоя.
(эллиптический случай), (гиперболический случай)
(случай фокус-фокус).
Скажем, что для невырожденной особенности U(L) ранга 0 с соответствующим слоением Ли-увилля на М4 выполняется условие иерасщепляемости, если и только если для некоторой окрестности V особого значения yo = F(L) существует диффеоморфизм (замена координат), приводящий бифуркационную диаграмму отображения момента F : М4 —>■ R2 к канонической диаграмме, соответствующей тину этой особенности.
Пусть V\ и V-2 два седловых 2-атома со своими симнлектическими структурами и с функциями Морса /i и /2 соответственно. Пусть на каждом атоме симнлектически действует одна и та же конечная группа G, причем действие сохраняет функции /\ и /2. Тогда на прямом произведении V\ х V¿ определена симнлектическая структура как сумма двух структур атомов. Определена структура лиувиллева слоения, задаваемого нарой коммутирующих функций f\ и /2. Действие группы G зададим формулой р(д)(хХ2) = (<pi(g)(xi), <Р2(д)(х2)), ГД° <Рг действие G на атоме V¿. Предположим, что действие íp свободно. Тогда фактор-многообразие (V\ х V¿)/G является четырехмерной окрестностью связного особого слоя L тина седло седло. Такую особенность седло седло назовем особенностью типа, почти прямого произведения. Будем говорить, что тройка (V\, V¿, G) несократима, если в группе G нет элементов, действующих нетривиально только на одном из сомножителей прямого произведения V\ х V-2-
Теорема 3 (Н.Т. Зунг [13]). Любая, четырехмерная нераслцепляемая, особенность U(L) типа, седло седло и,м,еет, тип почти прям,ого произведения, причем если тройка (V\, V¿, G) несократ,и,м,а. то такое, представление единственно с точностью до лиувиллевой эквивалентности.
Рассмотрим почти прямое произведение двух атомов (V\ х V¿)/G с соответствующими функциями Морса /1 и /2 на них и конечной группой G, действующей на прямом произведении V\ х V¿ свободно и покомпонентно, сохраняющей эти функции. Рассмотрим функции f\ и /2 на прямом произведении V\ х V-2- Без ограничения общности полагаем V¿ = /~1([—1,1]). Каждая связная компонента ограничения /¿ = +1 и /¿ = —1 является 3-атомом. Через кО обозначим несвязное объединение к окружностей.
Далее рассматриваются круговые молекулы, соответствующие какому-либо почти прямому произведению седловых атомов, причем только для несократимых троек (Vi, V¿, G), т.е. таких троек, что в группе G нет элементов, действующих нетривиально только на одном из сомножителей прямого произведения Vi х V¿.
3. Пример А. В. Грабежного. Идея построения различных 4-особенностей с одинаковыми слоениями на 3-границе состоит в рассмотрении накрытий одних 2-атомов над другими. Для начала разберем пример А. В. Грабежного.
Атом С i является перестройкой одной окружности в одну через критический слой с двумя особыми точками (рис. 1). На нем действуют группа Z4 (группа симметрий атома С i) и ее подгруппа Z-2- Действия этих групп на граничных окружностях атома С\ задаются поворотами на углы и 7Г соответственно.
Рассмотрим прямое произведение атомов С1 х С i с соответствующими функциями на них fi и /2. На прямом произведении определим функцию /1 как fi{x,y) = fi{x) и аналогично зададим /2. Функции /1 и /2 задают отображение момента С\ х С\ —> М2. Прообраз /1 = 1 это множество {{x,y)\fi(x,y) = 1}, т.е. прямое произведение О х С\ (3-атом С i). Аналогично для /1 = —1, /2 = 1, /2 = —1- Для каждого такого атома слоение Зейферта устроено как прямое произведение слоя (окружности) на 2-атом Gi, поэтому, чтобы посчитать матрицу склейки, следует взять в качестве первого цикла I в случае /1 = 1 слой расслоения Зейферта, а в качестве второго цикла ¿t граничную окружность атома С\. В результате при склейке граничных торов от одного атома будут наследоваться циклы íiijIíb одном порядке, а от другого атома в обратном. Следовательно, круговая молекула такой особенности имеет вид, показанный на рис. 1, а матрица склейки на ребрах
/ 01\
вид I 1 I .
Рассмотрим двулистное и четырехлистное накрытия над атомом С i, т.е. атомы С[ и С" с соответствующими группами Ъ-2 и Z4 на них (рис. 2). Группы Z2 и действуют (на атомах С[ и С" соответственно) циклической перестановкой "компонент" /-графа, переводя каждую ориентированную окружность в соседнюю. Рассмотрим четырехмерные особенности С\ х Gi, (С 1 х 2 и (Сi х С'{)/Ъ4. Соответствующие тройки (Ci,Ci, icl), (Ci, Z2) и (Ci,C?,Z4) несократимы, так
Атом С\ (а), ого /-граф (б) и круговая молекула прямого произведения С\ х С\ (в)
как в их группах пет элементов, действующих нетривиально только на одном из сомножителей соответствующего тройке прямого произведения. Следовательно, по теореме Зунга (теорема 3) соответствующие им особенности различаются.
Легко убедиться, что их слоения на 3-гра-иицах совпадают. Для этого рассмотрим соответствующие им круговые меченые молекулы. Атомы во всех этих круговых молекулах являются одним из перечисленных факторов: (С{ х О)/Ъ2, (С'{ х 0)/ЪА и (Сд х 20)/й2, (Сд х 40) где в последних двух факторах действие групп 1,2 и покомпонентное: на атоме Сд тривиальное. а окружности переходят друг в друга циклической перестановкой, порядок которой совпадает с количеством окружностей. Также порядок каждой из групп совпадает с количеством соответствующих окружностей. В результате все эти факторы равны Сд х О, т.е. соответствуют 2-атому Сд. Так как действие группы на граничных торах, которые являются прямыми произведениями двух окружностей, покомпонентное, то склейка устроена так: цикл I выбирается аналогично как слой расслоения Зейферта, т.е. окружность, полученная после факторизации непересекающегося объединения окружностей до факторизации, а цикл ц, — как граничная окружность атома Сд. Следовательно, на всех полученных граничных торах матрица
^ ^ [о Г
склеики такая же, как и у прямого произведения атомов Сд х Сд, т.е. I
Таким образом, три почти прямых произведения Сд х Сд, (Сд х С[)/Ъ2 и (Сд х С{')/Й4 являются различными ^особенностями, у которых совпадают круговые меченые молекулы, т.е. слоения Лиувилля на их 3-границах эквивалентны.
4. Бесконечная серия почти прямых произведений. Чтобы расширить пример А. В. Гра-бежного, рассмотрим следующую конструкцию.
Пусть дан атом X, который перестраивает одну окружность в одну, причем группа п действует поворотам,и на угол ^ на каждой из его граничных окружностей. Пусть также им,еется его 2п-л:истное связное регулярное накрытие X', такое, что над каждой граничной окружностью атома X висит 2п окружностей накрытия, X' (регулярное накрытие задает действие группы, Ъ<2п на атоме X'). Тогда можно доказать, что особенности X х X и (X х X')/Ъ<2п будут различаться, а их круговые .меченые молекулы по построению будут совпадать.
В работе [15] приведены примеры симметричных атомов Ачп (рис. 3), которые для любого п Е N можно взять в качестве атома X в построенной выше конструкции. На атомах А2п действуют группы Т,2п описанным выше способом.
Проведем построение, обобщающее пример А. В. Грабежного. Возьмем атом А-2п и построим для него новый атом Д^г- Для этого возьмем 2п копий атома А2П, в каждой копии удалим одно внутреннее (неориентированное) ребро и соединим получившиеся вершины, как показано на Рис. 3. Атом Ап (а), его /-граф (б) и круговая мо- рис. 4. Таким образом. ¿Еоп будет действовать на
лбк\лй прямого произведения ^ полученном э^томе циклической пе^реотз^нов-■
кой "копий" атома Ачп-, переводя каждое ребро, соединяющее "копии" друг с другом, и каждую "копию" в соседние. Получится 2д-листное регулярное накрытие над атомом А2п-
Теорема 4 (основная). Прямое произведение А2п х А2п и почти прямое произведение (А2п х А'2п)/Ъ2п представляют собой различные классы, особенностей по отношению к лиувиллевой эквивалентности, но имеют совпадающие круговые .меченые молекулы для, каждого п соответственно, а именно слоения, Лиувилля, на их 3-границах совпадают (лиувиллево эквивалентны).
Доказательство. Рассмотрим почти прямые произведения Ä2n X А-2п и (А.2п X Af2n)/Z2п с соответствующими функциями /1 и ¡2 на них. Атомы Ä2n и А'2п показаны на рис. 4 вместе с действием на них соответствующих групп. Как и в примере Грабежно-го, тройки (А2п, A2n,id) и (А2п, А'2п, 1,2п) несократимы, а значит, соответствующие им особенности различны но теореме Зунга (см. теорему 3).
На прямом произведении определим функцию f\ как f\(x,y) = fi{x) и аналогично зададим функцию /2. Функции /\ и /2 задают отображение момента А2П х Как и в примере A.B. Грабежного, рассмотрим
прообраз значения f\ = 1. Это есть множество {(x,y)\f\(x,y) = 1}, т.е. прямое произведение О х А2п (3-атом А2п)- Для каждого такого атома слоение Зейферта устроено как прямое произведение слоя (окружности) на 2-атом Дг?г- В случае /1 = 1 первый цикл I является слоем расслоения Зейферта. Чтобы посчитать матрицу склейки, возьмем в качестве второго цикла ß граничную окружность атома А2п- В результате при склейке граничных торов от одного атома будут наследоваться циклы I и ß в одном порядке, а от другого атома в обратном. Следовательно, круговая молекула такой
особенности имеет вид графа (см. рис. 3), ребрам которого соответствует матрица склейки
Такая матрица склейки у всех прямых произведений атомов.
Атомы, находящиеся в круговой молекуле почти прямого произведения (А2П х А12п)/'^2п) имеют один из перечисленных видов: (Д^п х 0)/Ъ2П или (А2П х 2пО)/Ъ2П- В факторе {А'2п х 0)/Т*2п группа Z,2n действует на окружности поворотом на угол в почти прямом произведении (А2П х 2пО)/Z^n, на атоме А2П тривиально, покомпонентно и переставляет циклически 2п окружностей. Таким образом, факторы (А'2п х 0)/Ъ2П и (А^г х 2пО)/Ъ2п равны Аъг х О, что соответствует атому /1 v,,, как н в примере A.B. Грабежного. Следовательно, во всех вершинах круговой молекулы почти прямого произведения (А2П х А12п)/'^2п находятся атомы А2П, они соединены одним ребром (так как атом А2п перестраивает одну окружность в одну).
Легко убедиться, что ребрам соответствует матрица склейки, описанная выше. Так как действие группы на граничных торах, которые являются прямыми произведениями двух окружностей, покомпонентное, то склейка устроена так: цикл I выбирается аналогично как слой расслоения Зейферта, т.е. как окружность, полученная после факторизации непересекающегося объединения окружностей до факторизации, а цикл ß как граничная окружность атома Дг?г- Следовательно, круговые меченые молекулы А^г х Дг?г u (А2п х А!2п)/Ъ2П совпадают. □
Рис. 4. /-Граф атома Аоп (и) и /-граф атома А'2п (б), на которых действуют группы соответственно поворотом /-графа на угол и циклической перестановкой "компонент" /-графа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276 1307.
2. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071 1075.
3. Фоменко А. Т. Симилектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1. 145 173.
4. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283 287.
5. Браилов А.В., Фоменко А. Т. Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 1987. 133, № 3. 375 385.
6. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. 1988. 52, № 2. 378 407.
7. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. Algebra arid geometry through Haniiltonian systems // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Ser. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211 / Ed. by V. Z. Zgu-rovsky, V. A. Sadovnichiy. Springer, 2014. 3 21.
8. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
9. Болсипов А.А., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1, 2. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
10. Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems // Amer. J. Math. 1936. 58, N 1. 141-163.
11. Williamson J. On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics // Amer. J. Math. 1937. 59, N 1. 599-617.
12. Тужилин M.A. Инварианты четырехмерных и трехмерных особенностей интегрируемых систем // Докл. РАН. 2016. 467, № 4. 385-388.
13. Nguen Tien Zung. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities // Compositio Mathematica. 1996. 101. 179-215.
14. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН. 1994. 205. 131-140.
15. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
Поступила в редакцию 22.04.2016
УДК 517.518
ОБ УСЛОВИИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
В. В. Галатенко1, Т.П. Лукашенко2, В. А. Садовничий3
Получено условие сходимости почти всюду с множителем Вейля W(n) = л/п для орторекурсивного разложения функции, сходящегося к ней по норме.
Ключевые слова: орторекурсивные разложения функций, множитель Вейля сходимости почти всюду.
An almost everywhere convergence condition with Weyl multiplier W(n) = л/п is obtained for orthorecursive expansions that converge to the expanded fuinction in L2.
Key words: orthorecursive expansions, Weyl multiplier of almost everywhere convergence.
Орторекурсивные разложения по последовательности элементов, обобщения ортогональных разложений были введены в 1999 г. в публикациях [1, 2], подробная информация представлена в работе [3], вышедшей в 2001 г.
Пусть Н — гильбертово пространство над полем R или С, а {е^} — конечная или счетная система нормированных элементов Н, последовательно занумерованная натуральными числами 1,... ,К или всеми натуральными числами.
Определение 1. Орторекурсивное разложение (ОРР) элемента / € Н по последовательности элементов {е^} осуществляется следующим образом:
1) положим го = /;
2) если заданы остаток приближения гп-\ € Н, п € N, и элемент еп, то полагаем
/га — (?п— 1) 6га)) Т'п — Т'п— 1 fn&n-
Назовем Д орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента / € Н по системе {е^}, а ряд
(Tif) = fk&k орторекурсивным рядом, Фурье элемента / € Н по системе {е^}. к
1 Галатенко Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatQimscs.msu.ru.
2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkoQmail.ru.
3 Садовничий Виктор Антонович — акад. РАН, зав. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, ректор МГУ, e-mail: infoQrector.msu.ru.
