CC BY
139
Том XЬїї
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011
№ 1
УДК 533.6:532.526:538.4
ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО БАРЬЕРНОГО РАЗРЯДА
А. П. КУРЯЧИЙ, Д. А. РУСЬЯНОВ, В. В. СКВОРЦОВ
В двумерной постановке сформулирована краевая задача о создании диэлектрического барьерного разряда в воздухе около поверхности диэлектрической пластины с помощью пространственно-периодической системы внешних электродов, к которым приложено внешнее синусоидальное напряжение. Показана важность учета таких факторов, как конечная толщина внешних электродов, наличие слоя Кнудсена около поверхности пластины и электродов, конечные скорости десорбции и рекомбинации заряженных частиц на поверхности диэлектрика, напряженность электрического поля, индуцируемого поверхностным зарядом на диэлектрике, при расчете тока проводимости, объемной силы, действующей на газ со стороны разряда, и тепловыделения в разряде. Выполнено численное исследование влияния некоторых физических параметров на указанные характеристики барьерного разряда.
Ключевые слова: диэлектрический барьерный разряд, численное моделирование, диффузионно-дрейфовое приближение, адсорбция, десорбция, рекомбинация, вторичная ионноэлектронная эмиссия, объемная сила, тепловыделение.
В 1960 —1980 гг. проводились отдельные исследования, посвященные управлению обтеканием тел с помощью электрогидродинамического (ЭГД) взаимодействия, реализуемого в коронном разряде [1—3]. Интерес к исследованию аэродинамических приложений ЭГД воздействия на течения газа резко возрос в начале этого века в связи с идеей использования для этих целей диэлектрического барьерного разряда (ДБР) [4]. Ежегодно публикуются десятки работ, посвященных исследованиям электрогидродинамических исполнительных элементов (ЭГД-актуато-ров), функционирующих на основе электрических разрядов различных типов, и их аэродинамическим приложениям [5, 6]. При этом наибольшее внимание уделяется именно ДБР-актуаторам.
КУРЯЧИИ Александр Петрович
кандидат физикоматематических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
РУСЬЯНОВ Дмитрий Анатольевич
научный сотрудник ЦАГИ
СКВОРЦОВ Владимир Владимирович
доктор технических наук, старший научный сотрудник, начальник сектора ЦАГИ
Важной составной частью этих исследований является разработка физических моделей, которые адекватно описывали бы процессы, протекающие в ДБР, и численное моделирование с использованием указанных моделей, по возможности корректно учитывающие условия, в которых протекают данные процессы. Для описания электрокинетических процессов в ДБР используются различные модели, от простейших, в которых рассматриваются только электроны и положительные ионы, до более сложных моделей кинетики плазмы в воздухе, учитывающих более 500 реакций [7]. Вместе с тем, в подавляющем большинстве численных исследований рассматриваются внешние электроды, около которых создается разряд, нулевой толщины, и лишь в некоторых работах учитывается форма указанных электродов [8 —10]. При этом в экспериментальных исследованиях отмечается существенное влияние формы внешних электродов на характеристики ДБР [11, 12].
В большинстве теоретических работ в граничных условиях на диэлектрике, как правило, не учитываются такие явления, как идущие с конечной скоростью процессы адсорбции, десорбции и рекомбинации заряженных частиц. Обычно используется модель мгновенной рекомбинации заряженных частиц противоположного знака на диэлектрической поверхности [13]. Во всех работах, кроме [10], не учитывается, что потоки заряженных частиц из газа к поверхности твердого тела и в обратном направлении идут через слой Кнудсена, в котором может быть существенным тормозящее действие электрического поля. Учет этого фактора приводит к изменениям в граничных условиях для уравнений переноса заряженных частиц. В свою очередь, накопление поверхностного заряда на диэлектрике определяется как указанными выше процессами, протекающими с конечной скоростью, так и граничными условиями для потоков заряженных частиц. Существенное влияние электрического поля, индуцируемого поверхностным зарядом, на физические процессы в разрядном промежутке представляется достаточно очевидным.
Целью данной работы является более корректная постановка краевой задачи моделирования диэлектрического барьерного разряда с использованием как существующих, так и вновь разработанных физических моделей взаимодействия заряженных частиц с диэлектрической поверхностью и численное параметрическое исследование характеристик разряда.
1. Постановка задачи моделирования диэлектрического барьерного разряда в воздухе. Рассматривается конфигурация системы ДБР-актуаторов, которая позволяет строго сформулировать граничные электростатические условия и, в то же время, оценить в дальнейшем влияние поперечного силового воздействия этой системы ДБР-актуаторов на сдвиговые течения газа. На рис. 1 показано поперечное сечение плоского канала: ВВ' — сплошные заземленные электроды; С — внешние плоские электроды, расположенные перпендикулярно к плоскости рисунка, около которых создается разряд; /) — диэлектрические слои. Предполагается, что канал бесконечен в правую и левую стороны. Плоскость АА’ является плоскостью симметрии. Численное моделирование осуществляется в прямоугольнике Е¥0Н. На линиях ¥0 и ЕН выполняются условия симметрии. Расчетная область показана на этом же рисунке справа. Здесь цифрами 1, 2 и 3 обозначены газовая фаза, диэлектрический слой и внешний электрод соответственно; у^ — толщина диэлектрика; уе—у^ — толщина электрода; хе — его длина; хт — половина расстояния между соседними электродами; ут — максимальный вертикальный размер рассматриваемой области.
А
Е Р
А
1
V'
У І і І
с
с
с
*~гн
Уй
о
X
в
В’
Рис. 1. Схема системы ДБР-актуаторов и расчетная область
Диэлектрический барьерный разряд в воздухе моделируется на основе совместного решения уравнений электростатики и уравнений электрокинетики в диффузионно-дрейфовом приближении [14]. Электрический потенциал ср и вектор электрического поля Е = —Уф определяются решением уравнения Пуассона в газовой фазе (индекс 1) и уравнения Лапласа в диэлектрическом слое (индекс 2):
80Аф1 =-е пр-пп-пе , Дф2 = 0. (1.1)
Здесь с о — диэлектрическая проницаемость вакуума; е — элементарный заряд; пе, пр,пп —
концентрации электронов, положительных и отрицательных ионов соответственно. Относительная диэлектрическая проницаемость газовой фазы принимается равной единице.
Переменное синусоидальное напряжение подается между внешним электродом х, у е , где 53 — его поверхность, и изолированным электродом у = 0, который предполагается заземленным. На границе между диэлектрическим слоем 2 и газовой фазой 1 выполняются условие непрерывности потенциала и связь между разрывом электрической индукции и поверхностным зарядом. Таким образом, граничные условия для электрического потенциала имеют вид:
ф ж, 0,* =0, ^ 0, у, г Хт,у^ =0, ^ х,ут,1 =0,
ох дх ду
х,у е£3:ф х,у,г — ф0 г -ЯЬ1С, (1.2)
5ф1 е
Хе<Х<Хт, У = Уа-Ъ= Ф2, -^ = — ■
ду ду е0 ^
Здесь sp, ип, 8е — поверхностные плотности положительных элементарных зарядов, отрицательных ионов и электронов; ф0 — внешнее приложенное напряжение; Щ — внешнее (балластное) сопротивление; 7С — ток проводимости в разрядном промежутке.
Динамика заряженных частиц в диффузионно-дрейфовом приближении без учета процессов фотоионизации описывается тремя уравнениями переноса заряженных частиц [10, 15]:
дух
-г- + уге = к,ше - кФпепр - 02\ка1те + 0Л9клЫпп, от
дп
— + УГр= кгте - кагпепр - кгпрпп,
дп
_Т7" + ^Г„ = 0.2\ка{Ыпе-0.79клЫпп-кгп пп, от
Тк =Ч^кпкЕ-ВкУг1к, к = р,п,е, гр=\ гп=ге=-\ (1.3)
=0.79кт +0.2 \кю, ^ =Ю“8 09“40-29/у, ^.о=10“831“28-57/у,
кг =2.3-10~6 300/7^ 3/2ехр -[ р-760 /80б]2 ,
кйг = 2-10“7 300/7; 07, ка1 =Ю_10-21_5-7/у, = 9.2-10~13.
Здесь N (см-3) — концентрация нейтральных частиц; к1 — коэффициент скорости ионизации, учитывающий образование положительных ионов азота и кислорода; к^ и кю — индивидуальные коэффициенты скорости ионизации азота и кислорода [16]; кг — коэффициент скоро-
Диапазон у А В С
0.1<у<0.4 0.171 10 0.7245
0.4<у <0.8 0.467 2.5 0.3618
0.8 < у < 1 0.6 1 0
1 < у < 4 0.602 1 0.166
4<у <10 0.205 1 0.942
10 <у <15.4 0.117 1 1.187
у > 15.4 0.507 1 0.65
Т а б л и ц а 1 сти ион-ионной рекомбинации; к— коэффи-
циент скорости диссоциативной электрон-ионной рекомбинации; кш — коэффициент скорости диссоциативного прилипания электронов к молекулам кислорода; кл — коэффициент скорости отлипания электронов; у = 1016 Е/И (В • см2) — функция приведенного поля; Е (В/см) — абсолютное значение напряженности электрического поля; — векторы диффузионно-дрейфовых потоков заряженных частиц; Те и Тр — температуры электронов и ионов, измеряемые в К. Все коэффициенты скоростей реакций измеряются
в см3/с. Коэффициенты 0.79 и 0.21 соответствуют долям азота и кислорода в суммарной концен-
трации нейтральных частиц N. Приведенная в [17] экспериментальная зависимость коэффициента скорости ион-ионной рекомбинации кг от давления воздуха р была аппроксимирована в диапазоне р = 200 -н 760 Тор представленной выше формулой для кг.
Для рассматриваемых условий электронная температура 0е, измеряемая в эВ, является функцией приведенного поля. Для ее расчета была выполнена аппроксимация зависимости 9е у , приведенной в [18] по результатам расчетов на основании кинетической теории. Полу-
(2
ченная функция представлена в виде 9е = А Ву , константы А, В, С в зависимости от значений
у приведены в табл. 1. Входящая в (1.3) температура электронов Те в К пересчитывается соглас-
но формуле 7; =1.16-104 0е.
Подвижность электронов определяется как це =vde|E (см2В-1с-1), где (см/с) — дрейфовая скорость электронов, для определения которой также выполнена аппроксимация графических зависимостей от приведенного поля, представленных в [18], в виде: у<1:
^=Ю^931 + 0'3831ё 10^-Ю5, у>1^=100'314 + 0'8211ёУ -106.
Коэффициент диффузии электронов Д (см2/с) вычисляется по соотношению Эйнштейна, распространенному на случай неравновесной средней энергии электронов, Пе — це9с/(/е, где отношение характеристической электронной температуры 0сЛ к элементарному заряду определялось как 0с/2/е = В] у 1 . Константы в зависимости от значений приведенного поля
приведены в табл. 2.
Коэффициенты подвижности и диффузии ионов рассчитывались, согласно [19], как »Р,»=СР,« Хо/Х ЩТрп 03 см^с-1 , Ср=2.\Сп=Ъ2, =^„7^„/11 600 см2/с ,
где N — число Лошмидта. Разность температур ионов и газа определяется соотношением [20]
2 /
Тр-Т = /ир -III \1рЕ /3кв, где тр и т — массы иона и нейтрала; £в — постоянная Больцмана. и при Е ~ 104 В/см и «2 см2/В/с составляет примерно 90°. Поэтому при атмосферном давлении подвижность ионов, определенная по Тр, отличается от подвижности, определенной по температуре газа Т, не более чем на 8%. В проведенных расчетах температура ионов предполагалась равной температуре газа.
Начальные условия для уравнений электрокинетики (1.3), а также условия симметрии на левой и правой границах рассматриваемой области и условие отсутствия диффузионных
Т аб л и ца 2
Диапазон у А1 В1 С1
0.1<у <0.8 0.2245 10 0.667
0.8<у<2.45 0.8987 1.25 0.323
2.45 <у <4 1.29 0.408 0.0464
4< у <6 1.32 0.25 0.529
у >6 1.636 0.167 0.781
потоков на верхней границе, справедливые для геометрии задачи, представленной на рис. 1, имеют вид:
3 —3
пр х, у, 0 =п0, пп х, у, 0 =0.9 щ, пе х,у^ = 0.1я0, п0 =10 , см ,
сЦ сЦ сЦ .
— °,У,( =— хт,У^ = ~г~ х,ут^ =0, г =п,р, е.
дх дх ду
Для полной постановки формулируемой краевой задачи необходимо задать граничные условия на поверхностях диэлектрика и электрода.
2. Формулировка граничных условий на диэлектрике и электроде. При выводе граничных условий, определяющих потоки заряженных частиц с учетом влияния электрического поля, применяется подход, аналогичный использованному в [21]. Для определения функции распределения заряженных частиц по скоростям / используется уравнение Больцмана в релаксационном приближении [22]:
<*/1& = \с /0-/
или
уст _1#М*=/о-/, Ус=сД, с= ЩТ/тп 1/2, (1.5)
где \’с — частота столкновений частиц; /0 — максвелловская функция распределения нейтральных частиц; т = V 1 — характерное время задачи; V — частота приложенного напряжения; € — безразмерное время; X, с и т — средняя длина свободного пробега, средняя тепловая скорость и масса частиц соответственно.
Обозначим т0 - к/с, где И — характерный макроскопический размер задачи, например, высота электрода. Тогда \>,л ' = ут0 Кп. где Кп = /.//? — число Кнудсена. В рассматриваемом случае ^~10-5 см, /г ~ 10 2 см, у~104 Гц, с~105 см/с; т0~Ю~7 с. Следовательно, Кп ~ ут0 ~ 10-3 1.
Функция распределения заряженных частиц по скоростям определяется в виде разложения в ряд по числу Кнудсена / = /0 + Кп /, +Кп2/2 +.... Подстановка этого разложения в (1.5) и сохранение членов первого порядка по Кп дает уравнение \’х0б//0/ с1 Г = - /, или т0с//0/сН = —/|, откуда искомая функция выражается в виде:
1 Г, еЕ,
/ = /0-Кпт0^ = /0-_^ + уУг/0+г—Ук/0 (1-6)
дt т
Здесь V — вектор скорости частиц; г — знак их заряда.
В выражении (1.6) отношение нестационарного члена о/0/с/ ~ к члену УУг/0 ~ с/0 /Н имеет порядок ут0 1. Поэтому в рассматриваемом случае нестационарностью можно пренебречь. Отметим, что последний член в (1.6) имеет порядок \x\E\JqIc, где ц = <?/т\гс — подвижность частиц; |^| — модуль вектора напряженности электрического поля. Следовательно, приближение (1.6) нарушается, если дрейфовая скорость частиц ус/ — |а|Л’| становится порядка их тепловой скорости, что, как будет показано далее, может иметь место вблизи поверхности электрода. Отметим, что именно приближение (1.6) в квазистационарном случае <Э/<3^ = 0 определяет
известное выражение для плотности гидродинамического потока частиц в диффузионно-дрейфовом приближении
|у/б/у = гцЕи - 1)Уп. где I) = квТ/п1\’с — коэффициент диффузии.
V
2.1. Граничные условия на диэлектрике. Выражения для плотности гидродинамических (макроскопических) потоков заряженных частиц на твердой поверхности I 'и. выводятся на основе использования приближенного подхода Максвелла [23], вместо точного решения задачи для функции распределения заряженных частиц в слое Кнудсена с заданными граничными условиями для этой функции на стенке и вдали от нее. Пусть Г — расстояние от плоской поверхности тела. Рассмотрим плоский слой газа ()<¥< /.. в котором заряженные частицы двигаются без столкновений. Учтем нормальную к поверхности компоненту напряженности электрического поля Ек, полагая ее постоянной в рассматриваемом слое. На внешней границе слоя V — к имеется поток частиц, влетающих в него с функцией распределения (1.6) и всеми нормальными к поверхности тела компонентами скорости из диапазона ¥у < 0. Этот поток определяется только
внешним течением и не зависит от потока частиц, летящих от поверхности. Его плотность определяется выражением:
+® 0 +СО
Г= 1ГУ^У !■№=-4СП+2
Т7 П9П
ду
= --сп + -Ги, <0. (2.1)
4 2™
К внешней границе слоя со стороны поверхности подлетают частицы с плотностью потока J+ > 0. Результирующий поток заряженных частиц равен алгебраической сумме потоков на внешней границе рассматриваемого слоя I ’и. =J +./ . Из условия неразрывности результирующего потока очевидно, что Тк - J^v + J^v, где ./” — полный поток частиц, падающих на поверхность, ^ — поток частиц, вылетающих с поверхности, который определяется физическими процессами на ней, рассматриваемыми ниже.
В зависимости от знака заряда частиц и направления поля Ек возможны две ситуации. Если поле является ускоряющим для частиц, вылетающих с поверхности (Ли. > 0 для положительных ионов и Ек < 0 для электронов и отрицательных ионов), то все они достигают внешней границы слоя и считаются выбывшими из него. Одновременно это поле тормозит частицы данного сорта, летящие к поверхности с внешней границы слоя. Попасть на поверхность диэлектрика могут лишь частицы, модуль отрицательной вертикальной скорости которых превышает значение 1/2
Ут\п = 2еф/т , где ф = |Л и.|А — разность потенциалов, преодолеваемая частицами в слое.
Остальные частицы тормозятся полем, не долетая до поверхности, а затем ускоряются в противоположном направлении и покидают рассматриваемый слой. Плотность потока частиц, достигающих поверхности определяется интегралом (2.1), в котором интегрирование по компоненте скорости V осуществляется от -оо до —Ут;п:
1 1 ( еф V/2
Л=—спА X + -Г Я X , Х= Т
4 2
уквТ
(2.2)
А X =ехр -X2 , В(Х) = \-erf X +2л~1/2ХА X .
Значения функций А и В в (2.1) зависят от длины свободного пробега заряженных частиц. В случае слабо ионизованной плазмы для качественной оценки длины свободного пробега ионов при низкой их энергии пользуются классическими газокинетическими сечениями столкновений между ионами и нейтральными молекулами [24]. В частности, длина свободного пробега ионов
воздуха оценивается как Хі да 1015 / 4.1 Лг см. Средняя длина свободного пробега электронов определяется с использованием аппроксимационной формулы для частоты столкновений электронов с молекулами воздуха, приведенной в [25], \се =1.23-10-7в5е^6Ы с-1. При средней скорости
электронов, оцениваемой выражением се = 6,71 ■ 107(У,2 см/с, средняя длина свободного пробега электронов рассчитывалась по формуле:
Хе=се/усе=5.45.1014/ 01% см.
Если электрическое поле ускоряет частицы, летящие с внешней границы рассматриваемого слоя к поверхности тела, то ./” =+ ./~2. где определяется выражением (2.1), а J~2 — п0' ток частиц, вылетевших с поверхности, но заторможенных полем и вернувшихся на нее. Для определения J~2 предполагается, что вылетающие с поверхности частицы имеют диффузное максвелловское распределение с некоторой характерной температурой Тс. На поверхность возвращаются все частицы, вертикальная компонента скорости которых меньше величины Ут^п. Интегрирование указанного распределения от нуля до ¥ш[п дает выражение для потока вернувшихся частиц:
Для вывода явных выражений гидродинамических потоков Ги. используется физическая модель взаимодействия положительных ионов и электронов с поверхностью диэлектрика, предложенная в [26]. Эта модель учитывает следующие процессы на диэлектрике: а) адсорбцию всех электронов и ионов, достигающих поверхности, за счет удерживающего воздействия поляризационного заряда; б) нейтрализацию ионов с образованием положительного заряда на поверхности вследствие значительного превышения энергии рекомбинации иона над работой выхода электрона из диэлектрика; в) десорбцию электронов с поверхности, характеризуемую частотой десорбции \'е: г) рекомбинацию электронов с положительным поверхностным зарядом, характеризуемую константой скорости рекомбинации сх(.е; д) вторичную ионно-электронную эмиссию, характеризуемую коэффициентом эмиссии Учитывается различие между вторичными электронами, эмитируемыми с поверхности, и электронами, адсорбированными из газовой фазы. А именно, считается, что вторичные электроны не участвуют в процессах адсорбции и рекомбинации с положительным поверхностным зарядом. Уход вторичных электронов в газовую фазу из диэлектрика ведет к появлению положительного заряда на его поверхности, что учитывается в уравнениях кинетики поверхностного заряда, которые выводятся ниже.
Для отрицательных ионов предлагается следующая физическая модель их взаимодействия с поверхностью диэлектрика. Предполагается, что, как и в случае положительных ионов и электронов, все отрицательные ионы, достигающие поверхности, адсорбируются ею вследствие воздействия поляризационного заряда диэлектрика. Эти ионы могут десорбироваться с частотой мп, а также рекомбинировать с положительным поверхностным зарядом. Константа скорости рекомбинации ионов предполагается пропорциональной их подвижности и оценивается как
Предполагается также, что на поверхности возможен процесс отлипания электронов от ионов кислорода при их взаимодействии с молекулами азота, аналогичный этому процессу в газовой фазе. Частота соударений молекул азота на единице поверхности диэлектрика с находящимися на ней отрицательными ионами кислорода оценивается как 0.79Л'бт\((а/4, где ст — тепловая скорость молекул; ст — эффективное сечение взаимодействия молекул с ионами, приводящего к отлипанию электрона. Используется оценка ст<з^кл, где кл — тот же коэффициент скорости отлипания электронов, который используется для моделирования объемных процессов в (1.3). Таким образом, плотность потока электронов, возникающих в процессе отлипания на поверхности диэлектрика, оценивается как ./~Л = 0.2кс//№п. Предполагается, что эти электроны не задерживаются у поверхности, а сразу уходят в газ. Нейтрализация отрицательного иона кислорода происходит в реакции О- +Ы2 —>е + ]Ы20 [10]. Энергия, затрачиваемая на образование
(2.3)
схга сиге|хп!\\,е
молекулы N20, равна 0.85 эВ [27]. Энергия сродства электрона для атома кислорода составляет 1.47 эВ [14]. Поэтому указанная реакция в холодном газе может идти, если резервуаром энергии для отрыва электрона от О- и образования Ы20 являются электронно-возбужденные состояния молекул N. Для них энергия нижних уровней равна 6.2 и 8.4 эВ [14]. В предлагаемой модели предполагается, что избыток энергии, равный 3.9 и 6.1 эВ уносится электроном. Так как энергия отлипающих электронов достаточно велика, то все они достигают границы слоя Т — Хе, поскольку при Хе ~ 10 5 см тормозящее влияние электрического поля будет заметным лишь при нере-
£
ально высокой напряженности Ек — 10 В/м.
При сделанных предположениях скорости изменения поверхностной плотности единиц положительного заряда sp х, £ , электронов se х, £ и отрицательных ионов ъп х, £ описываются следующими уравнениями и начальными условиями:
<9?
<К_
<3?
»
5?
П- = -'1м,п-°-2кл№п-Упэп-агпэ эп, *п =°-
Здесь Jwp < 0, Jwe < 0 и .1 и.п <0 — полные потоки положительных ионов, электронов и
отрицательных ионов, достигающих поверхности диэлектрика, соответственно.
Так как поток положительных ионов с поверхности отсутствует, то результирующий их поток равен падающему на поверхность потоку Г = ./1Г/Г Отсюда с учетом (2.1), (2.2) и (2.4) получаются явные выражения для плотности потока положительных ионов и скорости изменения плотности положительного поверхностного заряда:
Е„< 0: Г№/,=-0.5Српр,
К>0: ГУ9р=-°-25срПрАр 1~°-5Вр \ (2-5)
&
~^ = - 1 + ^ Г^Р -аге^^~аг^р^-
Результирующий поток электронов равен сумме потоков падающих на поверхность, десорбируемых с поверхности, отлипающих и вторичных электронов:
Ке = + 0.2кл№п - ^аТкр. (2.6)
При Еи. < 0 поток электронов, достигающих поверхности .1 Ке, определяется выражением (2.2). В результате совместного решения (2.2) и (2.6) получаются выражения Г№е и ./^е. а также второе уравнение (2.4) в явном виде
г№е = -0.25сеие4, + уе5е - ^Г„р + 0.2к비 1 - 0.5Ве _1,
(2.7)
' “I _1
0.25сепеАе -Уеэе+0.5Ве -0.2к비
<3?
1-0.5Яе 1-агеэрэе.
При Ем, > 0 поток .1 ке равен сумме всего потока электронов, летящих к поверхности с внешней границы слоя (2.1), и потоков десорбированных и вторичных электронов (2.3), вернувшихся на поверхность из-за тормозящего действия поля:
^е=-0.25песе+0.5Гм,е-уеэе 1 -Аем, + ^Г№р 1 -А^ . (2.8)
При расчете функций Аем! и Ае^ предполагается, что десорбируемые электроны имеют температуру поверхности диэлектрика Тк, а вторичные электроны имеют характерную температуру -0.5 эВ, т. е. Те^ =1.16-1О40ег- К. Совместное решение уравнений (2.6) и (2.8) дает в явном виде:
Г№е =-0.5сепе +2уеэеАе„ ~'К3<£У9рА^ +0.4кไ,
(2.9)
()$
= °-5сеПе - 2АеС, ~ 1 - аге- 0 2кл№п.
Результирующий поток отрицательных ионов равен сумме потоков падающих на поверхность и десорбируемых с поверхности ионов, т. е. Г№п = ■1~п +\пяп. При Е№< 0 поток отрицательных ионов, падающих на поверхность, описывается выражением (2.2). Следовательно, выражение для плотности потока и последнее уравнение (2.4) принимают вид:
гм,п = -0-25спппАп + 1 - 0.5Вп _1,
& ! (2Л0) -^-= 0.25с„ппАп-Упэп 1-0.5В„ -0.2к비 -агл^л.
При Еи. > 0 поток отрицательных ионов на поверхность описывается выражением, аналогичным (2.8) без последнего члена. Поэтому плотность потока и скорость изменения поверхностной плотности отрицательных ионов описываются выражениями:
Тм,п=-0.5сппп+2уп8пАпм>,
д8 (2П)
^ — 0-5 сппп — 2\>п$пАпм, —0.2 к^Ы$п — <хгп$ р$п.
2.2. Граничные условия на электроде. Граничные условия на металлической поверхности также зависят от знака нормальной к ней компоненты напряженности электрического поля. В рамках примененного выше подхода Максвелла очевидно, что выражения для макроскопического потока электронов на электроде отличаются от полученных выше на диэлектрике лишь отсутствием членов, отражающих десорбцию электронов и рекомбинацию с положительным поверхностным зарядом.
Для потока положительных ионов при Еи. > 0, очевидно, получается такое же выражение, как и на диэлектрике. При Еи. < 0 в рамках используемого подхода получается выражение Тм,р=—0.5српр, или ВрЧпр= \1рЕм, +0.5ср пр. Отсюда видно, что градиент концентрации
ионов на поверхности электрода становится отрицательным при значении дрейфовой скорости Уф = |Л’И. | > 0.5с/г Это означает накопление положительных ионов вблизи поверхности элек-
трода при электрическом поле, направленном к электроду. Такая ситуация представляется физически нереальной. Поэтому при Еи. < 0 используется комбинированное условие. А именно, при Уф <0.5ср поток ионов определяется выражением Г =-0.5српр, а при \’с/р >0.5ср он содержит ТОЛЬКО дрейфовую компоненту, Т. е. Ги/) =\ХрПрЕм1. Это условие дает непрерывный резуль-
тат при Уф =0.5ср. Аналогичное граничное условие на электроде (с учетом противоположного
направления поля) используется и для плотности потока отрицательных ионов.
Как отмечалось выше, при дрейфовой скорости заряженных частиц, сопоставимой с их тепловой скоростью, диффузионно-дрейфовое приближение нарушается. Именно этим обусловлена необходимость использования комбинированного граничного условия для ионов на электроде, так как на его поверхности достигаются максимальные значения напряженности поля. Поскольку температура ионов и, следовательно, их тепловая скорость предполагаются постоянными, а подвижность ионов — не зависящей от напряженности поля, то при достаточно сильном поле дрейфовая скорость ионов может превысить половину их тепловой скорости. У электронов дрейфовая скорость существенно меньше тепловой в силу зависимостей их характерной температуры и подвижности от приведенного поля, указанных ранее.
Таким образом, граничные условия на электроде имеют вид:
-1
К>0- 1'у,е=-°-5сепе-2^тГу,р^ Г м,р=-°-25срПрАр 1-0.5Вр ,
ц„£№<0.5с„: Тт=-0.5сппп, ц„£№>0.5с„: Ткп=-\хпппЕк,
(2.12)
Гте=- °-25сЛЛ+С«Г^ 1-0.5Ве , \1р\Еп\<0.5ср-. Г№р=-0.5српр,
^Р\К\^5ср: Гм,р=^рПрЕм„ Ткп=-0.25спппАп^0.5Вп^.
Система уравнений, начальных и граничных условий (1.1) — (14), (2.5), (2.7), (2.9) — (2.12) используется для численного моделирования ДБР в рассматриваемой задаче.
Отметим, что по результатам расчетов значения функций А и В, входящих в выведенные граничные условия и отражающих тормозящее влияние электрического поля на потоки заряженных частиц на поверхностях диэлектрика и электрода, могут заметно отличаться от единицы на различных стадиях разряда. Однако учет этого фактора очень незначительно отражается на ос-редненных по периоду приложенного напряжения характеристиках ДБР. Различие не превышает нескольких процентов. Это объясняется тем, что указанное влияние является существенным лишь при таком направлении поля, когда сами потоки как падающих на поверхность, так вылетающих с поверхности частиц много меньше таких потоков при противоположном направлении поля. Поэтому можно также использовать упрощенные граничные условия для потоков заряженных частиц и уравнения накопления поверхностного заряда, которые получаются из приведенных выше выражений при Еи. = 0 и имеют вид:
хе<х<хт,у = уа: Г„р = -0.5срПр, Г№п = -0.5сппп + 2уи5и,
Тм>е=-0.5сепе + 2\еяе +^срПр +0.4кл№п,
-^- = 0.5сепе-2\е8е-0.5^српр -аге5р5е -0.2£*Мл,
ЙУ
— = 0.5српр 1 + д -аге^5е-аГй^5й,
——— — 0.5 сппп — 2уп$п — 0.1к^1^8п — сс гп$ р$п-, (2.13)
а?
Х,У т^=-0-5сепе-2^^р,
Е„> 0: Г№р = -0.5СрПр, цпЕ№ < 0.5сп : Г№И = -0.5сппп, ц(,Ли. >0,5с„: Г1га =-ц(д,А'1Г, Е№< 0: Г№И = ~0.5сппп,
ЦР \К\< 0-5ср : Г№р = -0.5СрПр, цр \Е„\ > 0.5ср : Г№р = \1рпрЕ„.
3. Численное параметрическое исследование диэлектрического барьерного разряда в азоте. Численное моделирование проводилось на основе метода конечных элементов с использованием лагранжианов первого порядка. Предварительно оценивалось влияние разностной сетки на сходимость результатов расчетов. В окончательном варианте выбрана существенно неоднородная разностная сетка, состоящая из 133875 треугольных элементов. Минимальный размер конечного элемента, задаваемый на вертикальной кромке внешнего электрода, равен 0.5 мкм. На поверхности диэлектрика максимальный размер элемента достигает 2 мкм. В окрестности внешнего электрода хе 0.8, 2 мм, у е 1.5, 1.7 мм размеры конечных элементов возрастают
от 0.5 до 5 мкм. В слое диэлектрика максимальный размер элементов равен 0.1 мм.
Было проведено исследование влияния ряда физических параметров на характеристики диэлектрического барьерного разряда в азоте (т. е. без учета образования и исчезновения отрицательных ионов) в рамках сформулированной выше краевой задачи. Характерные зависимости тока проводимости в разряде от времени демонстрирует рис. 2. Они получены при толщине диэлектрика у^—\.5 ММ, его относительной диэлектрической проницаемости 8ч = 7, высоте внешнего электрода уе —Уа = 0.05 мм, его длине 2хе =2 мм, горизонтальном и вертикальном размерах расчетной области хт = 5 мм и ут =8.5 мм, давлении газа р = 760 Тор, коэффициенте вторичной эмиссии на диэлектрике (^ = 0.01, коэффициенте вторичной эмиссии на электроде
_7 2 _1
С,т = 0.001, константе скорости рекомбинации на диэлектрике аге=10 см“с , частоте
3 _ 1
десорбции электронов на диэлектрике \'е=5-10 с . Приложенное напряжение сро I — К0 вт 2яVI имело амплитуду У() = 7 кВ и частоту V = 5 кГц. Во внешнюю цепь было
включено балластное сопротивление Ль =5-10 Ом • см. Отметим, что указанные выше значения константы скорости рекомбинации на диэлектрике и частоты десорбции электронов взяты из работы [26], в которой они определялись на основе сопоставления результатов численного моделирования с экспериментальными данными.
Введение балластного сопротивления в граничное условие на внешнем электроде (1.2) позволило избежать неестественно больших значений концентрации заряженных частиц и выхода интенсивности ионизации за пределы, при которых расходился вычислительный процесс. Это достигалось благодаря уменьшению темпа нарастания разности потенциалов на электродах при увеличении тока проводимости, что вследствие релаксации приводило к ослаблению ионизации в разрядном промежутке и уменьшению тока. Из-за уменьшения тока падение напряжения на балластном сопротивлении снижается, разность потенциалов электродов снова увеличивается и ионизация усиливается. В результате этого возникают колебания тока разряда, показанные на рис. 2.
Описанная качественная картина наблюдается именно при инициировании разряда, независимо от знака приложенного напряжения (см. рис. 2). Отличаются экстремальные значения тока в первом импульсе разряда:
/ » 0.05 А/м при положительной полярности и /«—0.04 А/м при отрицательной полярности.
При заданном значении балластного сопротив-г г Рис. 2. Эволюция тока проводимости ДЬР при начальной
ления падение напряжения на нем достигал° положительной (а) и отрицательной (б) полярности внеш-
200^250 В. Отметим, что заметные «провалы» него электрода
приложенного напряжения наблюдались в течение первого периода исходного синусоидального напряжения на осциллограммах в экспериментах [28]. В расчетах максимальные значения концентрации ионов при первом пике тока в случае положительной полярности электрода (рис. 2, а)
12 —3
достигались в окрестности кромки электрода иртах~1.7-10 см и вблизи поверхности ди-
12 —3
электрика прП1ах ~ 4.6• 10 см . Концентрация электронов имела максимальное значение
10 _о
вблизи поверхности электрода /г, П1ах ~ 10 см . При отрицательной полярности максимальные значения концентраций также достигались при первом максимуме тока (рис. 2, б) и были равны и ах ~3.3-1012 см 3 и иетах ~ 6 • 1010 см~3. Таким образом, в данном разряде условие
квазинейтральности не выполняется. Рис. 2 демонстрирует также, что зависимости тока проводимости от времени во втором и третьем периодах являются почти идентичными. Этот результат также согласуется с экспериментальными данными [28].
На рис. 3 приведены зависимости от времени проинтегрированной по области 1 (см. рис. 1)
горизонтальной компоненты объемной силы с плотностью Е = е пр-пе Е, действующей на газ
со стороны разряда, и мощности тепловыделения в разрядном промежутке О, которая определялась как интеграл по объему от произведения ] • Е, где ] — плотность тока проводимости. Угловыми скобками на рис. 3 указаны значения этих величин, осредненные за период изменения напряжения. Объемная сила в разрядном промежутке возникает благодаря тому, что концентрация электронов на 2—3 порядка меньше концентрации ионов на всех стадиях разряда. Эта разница концентраций при одинаковых источниках и стоках ионов и электронов (первые два члена в правых частях уравнений (1.3)) обусловлена гораздо более высокой подвижностью электронов, которые быстрее покидают область ионизации. Следовательно, объемная сила с точностью до процента определяется концентрацией ионов. Поэтому интегральная по пространству горизонтальная компонента силы является отрицательной при отрицательной полярности внешнего электрода и наоборот, что также подтверждается экспериментами [29]. Но абсолютные значения отрицательной силы в среднем меньше положительных значений, вследствие чего осред-ненная по времени горизонтальная сила является положительной, что и демонстрирует рис. 3, а.
Это объясняется тем, что, когда вектор напряженности поля направлен к внешнему электроду (отрицательная полярность внешнего электрода), ионы образуются в основном вблизи него в электронных лавинах, источниками которых являются вторичные электроны, выходящие с поверхности электрода. При противоположном направлении поля источником возникновения ионов являются, главным образом, электроны, десорбируемые с достаточно протяженного участка поверхности диэлектрика и движущиеся к электроду. Размеры области ионизации в последнем случае существенно больше и больше значения интеграла положительной горизонтальной объемной силы по пространству.
В отличие от горизонтальной объемной силы тепловыделение Q в ДБР несколько больше при отрицательной полярности внешнего электрода. Это видно на рис. 3, б. Затраты
Рис. 3. Интегральная по пространству горизонтальная компонента объемной силы (а) и тепловыделение (б) при отрицательной начальной полярности внешнего электрода
электрической мощности на генерацию отрицательной горизонтальной силы — негативный фактор, существенно снижающий энергетическую эффективность ДБР-актуатора. Поэтому важно выяснение роли отрицательных ионов при моделировании ДБР в воздухе, что является предметом будущих исследований.
Для подтверждения достоверности результатов, полученных в рамках сформулированной выше краевой задачи и используемого численного метода, выполнены расчеты мощности разряда различными способами. В данной постановке рассматривается слой идеального диэлектрика без затрат энергии на его нагрев. В этом случае подводимая электрическая мощность полностью трансформируется в тепловую энергию в разрядном промежутке, т. е. должно выполняться условие:
- \-Т - /+Т7
(Ж) = (0), (ж) = - \уе1гл, <£) = - \л\\уЫз. (3.1)
г г 5
Здесь Уе — напряжение на внешнем электроде; 1Г — результирующий ток во внешней электрической цепи; Т — период приложенного напряжения; S — площадь разрядного промежутка (вся расчетная область в газовой фазе).
На рис. 4 представлена упрощенная электрическая схема ДБР-актуатора [11] после инициирования разряда, когда появляются переменные электрические емкости С, С2, С3. Точками 7, 2 и 3 условно обозначены нижний заземленный электрод, поверхность диэлектрика и внешний электрод соответственно. Емкость С включает в себя все силовые линии электрического поля, начинающиеся на одном электроде и заканчивающиеся на другом. Емкость С2 возникает между заземленным электродом и поверхностью диэлектрика, когда на ней образуется поверхностный заряд. Соответственно эта емкость включает в себя силовые линии, которые соединяют нижний электрод с поверхностным зарядом на диэлектрике. Емкость С3 включает силовые линии, соединяющие поверхностный заряд на диэлектрике с внешним электродом. Разрядный промежуток имеет переменное сопротивление .
Так как рассматриваются квазистационарные токи, то результирующий ток 1гу, поступающий во внешнюю цепь через точку 7 (т. е. на нижнем электроде), должен равняться результирующему току 1гз в точке 3 (на внешнем электроде). Ток 1г1 равен сумме токов смещения, протекающих через емкости Су и С2, т. е. интегралу от плотности тока смещения в диэлектрике по поверхности заземленного электрода, который рассчитывался по формуле:
хпг
1,1 = ~ | В2 = г2 Еу М ■
О
Ток !т3 равен сумме тока проводимости, протекающего через переменное сопротивление Я , и токов смещения через емкости С и С , равных току смещения по поверхности внешнего электрода, который рассчитывался как со стороны диэлектрика, так и со стороны разрядного промежутка. Максимальное отличие значений О), и (Жз), рассчитанных
по формулам (3.1) соответственно при и 1Г з, для рассмотренных значений параметров задачи не превышает 5%.
Было оценено влияние таких физических параметров, как коэффициенты ионно-электронной эмиссии на внешнем электроде и рис. 4. Упрощенная электрическая схема ДБР-актуатора
диэлектрике, константа скорости рекомбинации и частота десорбции электронов с диэлектрика на основные характеристики ДБР-актуатора. Результаты расчетов представлены в табл. 3. Здесь , (<0) — интегральные по пространству и осредненные по времени продольная и вертикальная компоненты объемной силы и тепловыделение. Также представлены рассчитанные значения энергетической эффективности актуатора, определяемой как отношение (,^)/(б) [30]. Полужирным шрифтом в верхней части таблицы отмечены значения параметров, изменявшихся по сравнению с первым вариантом их набора.
Т аблица 3
Вариант 1 2 3 4 5
Физические параметры
Коэффициент вторичной эмиссии на диэлектрике 0.01 0.05 0.01 0.01 0.01
Коэффициент вторичной эмиссии на электроде С,т 0.001 0.001 0.005 0.001 0.001
Константа скорости рекомбинации аге, см2с-1 ю-7 ю-7 ю-7 10~5 ю-7
Частота десорбции электронов с диэлектрика с-1 5 • 103 5 • 103 5 • 103 5 • 103 103
Рассчитанные характеристики
Результирующая горизонтальная сила , мН/м 4.13 4.24 5.63 2.98 3.49
Результирующая вертикальная сила , мН/м -0.827 -0.852 -0.970 -0.661 -0.712
Результирующее тепловыделение О), Вт/м 12.7 13.0 14.6 9.93 11.2
Эффективность 104(, с/м 3.25 3.26 3.86 3.00 3.12
Слабое влияние коэффициента вторичной эмиссии на поверхности диэлектрика ^ согласуется с экспериментальными данными [28]. Это влияние в наибольшей степени должно проявляться при положительной полярности внешнего электрода, когда поток ионов направлен к диэлектрику. Однако в этом случае определяющую роль в процессах ионизации играют электроны, десорбируемые с поверхности диэлектрика (второе слагаемое в правой части выражения (2.13) для потока электронов Г№е), поток которых существенно превышает поток вторичных электронов (третье слагаемое).
Из табл. 3 видно, что коэффициент ионно-электронной эмиссии на электроде С)т существенно влияет как на величину объемной силы, так и на энергетическую эффективность. Увеличение этого коэффициента, согласно расчетам, ведет к возрастанию обеих указанных характеристик ДБР-актуатора. Однако эксперименты [12], где в качестве материала электрода использовались медь, вольфрам и нержавеющая сталь, не подтвердили этот результат. Возможное объяснение расхождения результатов эксперимента и расчета состоит в том, что замена материала в эксперименте не приводила к существенному изменению С1т. Численное моделирование работы [13] показало слабое влияние коэффициента вторичной эмиссии на электроде на объемную силу, но сильное на джоулеву диссипацию. Однако в указанных расчетах использовалась модель мгновенной рекомбинации на диэлектрике.
Согласно проведенному численному моделированию увеличение С,т ведет к усилению ионизации при отрицательной полярности внешнего электрода, в результате чего отрицательные значения горизонтальной силы возрастают по абсолютной величине. Однако при этом происходит более интенсивное накопление электронов на поверхности диэлектрика в течение первого полупериода приложенного напряжения. Поэтому при смене полярности внешнего электрода поток десорбируемых с диэлектрика электронов существенно возрастает, что ведет к более значительному увеличению концентрации ионов и, как следствие, положительной горизонтальной силы. В результате наложения этих двух процессов средняя за период горизонтальная сила возрастает. Тепловыделение также возрастает, но в меньшей степени, в результате чего энергетическая эффективность актуатора повышается.
Значение константы скорости рекомбинации аге также заметно влияет как на объемную силу, так и на диссипацию. При увеличении этой константы поверхностная плотность электронов на диэлектрике, естественно, снижается. Поэтому при положительной полярности внешнего электрода уменьшаются поток десорбируемых электронов, концентрация создаваемых ими ионов
и, как результат, горизонтальная сила. Также заметно снижается энергетическая эффективность. Обнаруженное в этом моделировании существенное влияние скорости рекомбинации электронов на поверхности диэлектрика ставит под сомнение правомерность использования модели мгновенной рекомбинации.
Наконец, влияние частоты десорбции электронов с поверхности диэлектрика Vе представляется достаточно очевидным. Уменьшение этой частоты ведет к уменьшению потока десорбируемых электронов, ослаблению интенсивности ионизации и снижению объемной силы при положительной полярности внешнего электрода.
Влияние частоты приложенного напряжения на основные параметры ДБР-актуатора при атмосферном давлении и амплитуде напряжения 7 кВ видно из табл. 4. Продольная сила и тепловыделение являются линейными функциями частоты, что согласуется с экспериментальными данными [30]. Энергетическая эффективность меняется незначительно.
Т аб л иц а 4
Частота /, кГц 5 8 10
Результирующая горизонтальная сила ^х), мН/м 4.174 б.335 7.б40
Результирующая вертикальная сила , мН/м -0.7954 -1.221 -1.495
Результирующее тепловыделение (О), Вт/м 12.43 18.74 22.85
Эффективность 104(, с/м 3.358 3.380 3.344
Заключение. Сформулирована краевая задача для расчета характеристик диэлектрического барьерного разряда (ДБР) в воздухе около поверхности пластины из диэлектрического материала. На основе приближенного подхода Максвелла в рамках релаксационного приближения уравнения Больцмана сформулированы граничные условия для уравнений переноса заряженных частиц и уравнения изменения поверхностного заряда на диэлектрике, учитывающие процессы адсорбции, десорбции, релаксации заряженных частиц, отлипания электронов от отрицательных ионов кислорода, протекающие с конечной скоростью, и вторичной ионно-электронной эмиссии. Указанный подход использован и при формулировании граничных условий на электроде. На основе параметрических расчетов разряда в азоте выявлено значительное влияние коэффициента вторичной ионно-электронной эмиссии на внешнем электроде, коэффициента рекомбинации и частоты десорбции электронов на диэлектрике на такие интегральные характеристики ДБР-актуатора, как осредненные по времени и интегральные по пространству объемную силу и тепловыделение, генерируемые актуатором. Выполненное численное параметрическое исследование указывает на потенциальную возможность оптимизации характеристик ДБР-актуаторов путем изменения указанных физических параметров.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00527) и Международного научно-технического центра (проект № 2633).
ЛИТЕРАТУРА
1. Мхитар ян А. М., Боярский Г. Н., Касьянов В. А., Тишков А. Ф. Экспериментальное исследование влияния частоты питающего напряжения на эффективность ЭГД УПС. — Сб.: Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики. — Киев:
КИИГА, 1968, вып. 3, с. 93—97.
2. Malik M. R., Weinstein L. M., Hussaini M. Y. Ion wind drag reduction //
AIAA Paper. 1983. N 231, 10 p.
3. Курячий А. П. О затягивании перехода пограничного слоя электрогидродинами-ческим методом // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 1, с. 107 —114.
4. Roth J. R., Sherman D. M., Wilkinson S. P. Electrodynamic flow control with a glow-discharge surface plasma // AIAA J. 2000. V. 38, N 7, р. 1166—1172.
5. Moreau E. Airflow control by non-thermal plasma actuators // J. Phys. D: Appl. Phys.
2007. V. 40, р. 605 —636.
6. C o r k e T. C., Post M. L., Orlov D. M. SDBD plasma enhanced aerodynamics: concepts, optimization and applications // Progress in Aerospace Sciences. 2007. V. 43, р. 193 — 217.
7. Bogdanov E. A., Kudryavtsev A. A., Kuranov A. L., Kozlov I. E., Tkachenko T. L. 2D Simulation of DBD plasma actuator in air // AIAA Paper. 2008. N 1377, 18 p.
8. Font G. I ., Enloe C. L., McLaughlin T. E., Orlov D. Plasma discharge characteristics and experimentally determined boundary conditions for a plasma actuator // AIAA Paper. 2007. N 188, 14 p.
9. Hoskinson A. R., Hershkowitz N. 2-D Simulations of single and double DBD plasma actuators with finite electrode thicknesses // AIAA Paper. 2009. N 484, 13 p.
10. Soloviev V. R., Krivtsov V. M. Features of surface barrier discharge modeling // AIAA Paper. 2009. N 842, 16 p.
11. Enloe C. L., Mc. Laughlin T. E., VanDyken R. D., Kachner K. D., Jumper E. J., Corke T. C., Post M., Haddad O. Mechanism and responses of a single dielectric barrier plasma actuator: geometric effects // AIAA J. 2004. V. 42, N 4, р. 595 —604.
12. H o s k i n s o n A. R., H e r s h k o w i t z N. Comparisons of force measurement methods for DBD plasma actuators in quiescent air // AIAA Paper. 2009. N 485, 11 p.
13. Bouef J. P., Lagmich Y., Callegari Th., Pichford I. C., Unfer Th. New insights of DBD plasma actuators for flow control // AIAA Paper. 2008. N 1376, 17 p.
14. Райзер Ю. П. Физика газового разряда. — М.: Наука. 1971, 591 с.
15. Aleksandrov N. I., Konchakov A. M., Krivtsov V. M., Soloviev V. R. Numerical simulation of streamer development for surface barrier discharge in air // Proceedings of the 7th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics in Aerospace Applications. — Moscow, JIVTAN. 2007, р. 138 —143.
16. Александров Н. Л., Базелян А. Э., Базелян Э. М., Кочетов И. В. Моделирование длинных стримеров в газе атмосферного давления // Физика плазмы. 1995. Т. 21, № 1, с. 60—80.
17. Мак - Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах. — М.: Мир, 1967, 832 с.
18. Бычков В. Л., Грачев Л. П., Есаков И. И., Дерюгин А. А., Забродин А. В., Климов А. И., Кочетов И. В., Л у цкая Т. Ю., Луцкий А. Е., Нап ар-тович А. П., Ходатаев К. В., Черкашин В. А. Расчетно-экспериментальное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела при наличии продольного разряда //
Препринт ипм Ран. 1997. № 27, 50 с.
19. Смирнов Б. М. Комплексные ионы. — М.: Наука, 1983, 150 с.
20. Кончаков А. М., Кривцов В. М., Леонов С. Б., Соловьев В. Р., Яранцев Д. А. Аэродинамические эффекты поверхностного барьерного разряда в воздухе и особенности его моделирования // Препринт ОИВТ РАН. 2006. № 2-491, 58 с.
21. У ш а к о в В. В. О кинетике накопления поверхностного заряда и граничных условиях в электрогидродинамике. — Сб.: Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики. — Киев: КИИГА, 1968, вып. 3, с. 103 —113.
22. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967, 440 с.
23. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженных газов. — М.: Наука, 1965, 315 с.
24. Козлов О. В. Электрический зонд в плазме. — М.: Атомиздат, 1969, 291 с.
25. Гуревич А. В., Шварцбург А. Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. — М.: Наука, 1973, 272 с.
26. Go lub o v skii Yu. B., Maiorov V. A., B ehnke J., B ehnke J. F. Influence of interaction between charged particles and dielectric surface over a homogeneous barrier discharge in nitrogen // J. Phys. D: Appl. Phys. 2002. V. 35, р. 751 —761.
27. Рабинович В. А., Хавин З. Я. Краткий химический справочник. — Л.: Химия, 1978, 392 с.
28. Enloe C. L., McLaughlin T. E., Gregory J. W., Medina R. A., Mill e r W. S. Surface potential and electric field structure in the aerodynamic plasma actuator // AIAA Paper. 2008. N 1103, 11 p.
29. Font G. I., Enloe C. L., Newcomb J. Y., Teague A. L., V a s s o A. R., McLaughlin T. E. Effects of oxygen content on the behavior of the dielectric barrier discharge aerodynamic plasma actuator // AIAA Paper. 2010. N 545, 16 p.
30. Porter C. O., Baughn J. W., McLaughlin T. E., Enloe C. L., Font G. I. Temporal force measurements on an aerodynamic plasma actuator // AIAA Paper. 2006. N 104, 15 p.
Рукопись поступила 1/III2010 г.
