CC BY
64
УДК 378
ОСНОВЫ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
© 2016 О.В. Задорожная
канд. пед. наук, доц.каф. алгебры и анализа e-mail: [email protected]
Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова
В статье рассматриваются возможности внедрения основ проектной деятельности для расширения и углубления знаний по математическому анализу посредством выполнения учебных проектов. С учетом специфики предмета раскрываются особенности проектов по математическому анализу. В качестве примера приводится учебный проект, направленный на реализацию многочисленных внутрипредметных связей между несколькими содержательно-методическими линиями курса.
Ключевые слова: учебный проект, проектная деятельность, математический
анализ.
Цель высшего образования - развитие гармонично и всесторонне развитой личности, в которой сочетаются фундаментальные знания, творческие способности и практические навыки. Изучение математических дисциплин способствует формированию математического стиля мышления и математической культуры. Современный специалист должен уметь анализировать частные явления и находить общие закономерности, и именно математика наилучшим образом содействует этому.
Математика в первую очередь формирует понимание как один из процессов мышления, устанавливающий причинно-следственную связь, соответствия и сложные многообразные отношения между предметами различной природы. Возможности математики, и в частности математического анализа, огромны, широкое применение математических методов в различных областях знаний приводит к возрастанию роли математической культуры. Многие разделы математического анализа могут служить фундаментом для построения новых математических теорий. Математический анализ обладает емкостью, спектром и широтой математических проблем, эталонной строгостью подходов, точностью, корректностью. Через изучение данного предмета формируется дедуктивно-логический стиль мышления.
От качества усвоения математического анализа зависит дальнейшая учебная и научная деятельность студентов, так как этот предмет служит основой для изучения специальных дисциплин. Процесс обучения этому предмету сложен и многообразен. Из личного педагогического опыта можно отметить, что математический анализ -наиболее трудный предмет из дисциплин математического цикла. В соответствии с новыми нормативами в учебных планах происходит сокращение часов по различным математическим дисциплинам. Преподавателю приходится излагать материал коротко, зачастую пропуская некоторые разделы предмета, или изучать их поверхностно, опуская доказательства изучаемых фактов, теорем, утверждений. Из высшей школы постепенно исчезают термины «понимание», «осмысление» как интегрирующий инструмент в преподавании. Все чаще они подменяются дословным воспроизведением определений, формул без осознания их смысла, узнаванием знакомой информации, умением её применять в решении конкретных задач. Многие студенты не умеют думать, предпочитая осмыслению прочитанного его механическое заучивание.
Поэтому преподаватели при изложении материала, особенно трудных абстрактных определений, пытаются избежать формализма. Наряду с заучиванием, необходимо научить студента понимать, применять изучаемое, уметь оперировать им, чтобы полученные знания и умения носили не краткосрочный, а долговременный и устойчивый характер.
В связи с этим возникает важная проблема - формирование целостных знаний у студентов по предмету, основными качествами которых выступают системность, полнота и обобщенность. Одной из составляющих целостных знаний становится умение студента представить то или иное понятие на разных языках (словесном, символьном, геометрическом), с разных позиций, понимание связей между различными видами знаний.
Поэтому обучение математическому анализу не должно сводиться только к сообщению определенных научных фактов, к отработке специальных навыков и умений. Оно должно помогать развитию познавательных способностей студента, его интеллекта, культуры, формировать умение проектной деятельности.
На первом курсе закладывается фундамент знаний по математическому анализу, который будет использоваться в дальнейшей учебной деятельности как по данной дисциплине, так и по другим математическим курсам. Проблемы начального обучения в вузе затрудняют изучение математического анализа, поэтому основной задачей преподавателя в работе с первокурсниками выступает использование таких методов обучения, которые способствуют преодолению студентом существующих трудностей. Такую возможность предоставляют учебные проекты.
Учебные проекты по математическому анализу должны разрабатываться с учетом возрастных особенностей обучающихся. Другими словами, необходимо учитывать сенситивные периоды, то есть оптимальные сроки для становления и роста отдельных видов психической деятельности и обусловленного ими умственного развития [Задорожная 2011].
Студенческий возраст - это период выработки мировоззрения, убеждений, характера и жизненного самоопределения. Появляются повышенная склонность к самоанализу и потребность систематизировать, обобщать свои знания.
В этот период возрастает концентрация внимания, активно формируется абстрактно-логическое мышление, которое становится более систематичным и критическим. Происходит совершенствование и развитие памяти, в значительной мере меняются способы запоминания, наблюдается широкое применение рациональных приёмов произвольного запоминания материала. Студенты естественных специальностей отличаются повышенной серьезностью и независимостью суждений. В юношеском возрасте отмечается наивысшая скорость оперативной памяти и переключения внимания, решения вербально-логических задач.
Из личного педагогического опыта автор может утверждать, что многие успешно учившиеся в школе, на первом курсе испытывают затруднения при изучении математических дисциплин, в особенности математического анализа. Это связано со спецификой последнего, с психологическими особенностями вузовского обучения, а также с тем, что у многих бывших школьников не сформированы навыки самостоятельной учебы, контролирования и оценивания себя, умения правильно распределять свое время для самостоятельной подготовки, поэтому для устранения этих недостатков необходимо внедрять в учебный процесс проекты, ориентированные на высокую степень самостоятельности.
Отметим примерные требования к проблемам, которые возникают при выполнении проектов в области математики:
• отсутствие «очевидного» решения;
интерес для студентов, субъективная новизна; соответствие уровню знаний;
межпредметность, выход в различные сферы знаний; необходимость поиска информации из различных источников; наличие противоречивых фактов и гипотез по данному вопросу; неявное задание условий задачи (их требуется найти самим); возможность различных точек зрения, что требует обоснования своего взгляда на решение проблемы;
• возможность организации исследования.
Следует заметить, что при работе над проектом студенты опираются на имеющиеся у них исходные знания, умения, навыки, опыт. Возможно, ранее им не приходилось решать подобную проблему, поскольку имелся дефицит знаний и опыта, который в ходе реализации проекта удастся преодолеть. Не может быть проектом работа, очень знакомая, многократно ранее выполнявшаяся, не требующая поиска новых решений и, соответственно, не дающая возможности приобрести новые знания и умения.
Применение учебных проектов способствует формированию у студентов определенного объема математических знаний и умения применить свои знания в ситуациях, отличных от тех, в рамках которых они были получены. Вырабатывается способность использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции.
В основе проектной деятельности лежит развитие познавательных навыков студентов, умений самостоятельно конструировать свои знания и ориентироваться в информационном пространстве, а также профессиональной компетентности.
Для овладения всеми существенными сторонами деятельности необходима организация собственного опыта студентов в такой деятельности, где они могли бы сами сформировать способности к самостоятельному определению цели действий и деятельности, к творчеству.
К сожалению, в педагогической практике до сих пор бытует представление о том, что обучение предусматривает усвоение студентами задаваемого материала и своевременное (на опросе, экзамене) воспроизведение сведений и отработанных действий. Результаты такого подхода впоследствии формируют репродуктивное усвоение. Не привыкшие к поиску, обучающиеся оказываются в тупике, когда следует отойти от усвоенных шаблонов.
Организация учебного процесса с привлечением учебных проектов состоит из трех этапов. Первый - это решение традиционных учебных задач, что остается необходимым звеном учебного процесса, соответствующим ситуативной активности. На этом этапе в учебный процесс вводятся задачи, направленные на развитие логического мышления, анализа, синтеза знаний, формирование отдельных, частных проектных умений.
На втором этапе студентам предлагаются задачи, направленные не только на умение анализировать и синтезировать знания, но и на умение моделировать, находить оптимальный путь решения данных задач, определять рациональную последовательность выполнения действий и операций. Здесь отшлифовываются методы научного познания, которые являются базой проектных умений.
Третий этап - заключительный. Основная его цель - включение будущего математика в творческий процесс проектной деятельности, формирование умения анализировать свои действия. На этом этапе студентам предлагаются задачи интегративного типа, направленные на развитие научного творческого мышления и умений научного поиска в процессе их решения, осуществляется широкий перенос в
другие виды деятельности. При решении творческих задач студенты могут сами предложить темы для проектов, намечать алгоритм их выполнения с внесением элементов творчества [Zadorozhnaya, Kochetkov].
Студент нацеливается на самостоятельные рассуждения, на выработку собственных идей и аргументацию своих решений. Основы знаний, полученных студентами на предыдущих этапах, дают толчок к развитию новых способностей. Здесь важно понять, что результатом проектной деятельности будет создание интеллектуального продукта, а также овладение проектными знаниями, умениями и навыками, которые будут востребованы в самостоятельной практической жизни.
Приведем пример учебного проекта, предлагаемого на первом курсе изучения математического анализа при изучении тем «Предел функции», «Непрерывность функции», «Дифференциальное исчисление», направленного на начальное формирование проектных умений. Такие проектные задания становятся базой для успешного осуществления проектной деятельности, углубляют и расширяют знания, развивают способности и интересы студентов, позволяют им не только использовать полученные знания, но и самостоятельно пополнять и углублять их.
Учебный проект. Единство формы и содержания в математическом анализе.
Актуализация. Поскольку формирование и усвоение понятий - сложный психологический процесс, важно понять, насколько прочно усвоил студент то или иное понятие, какие выводы он сможет сделать, какие связи может установить между различными содержательными линиями курса.
На лекциях преподаватель обучает студентов распознавать форму и содержание изучаемых объектов, на какие факты следует обратить внимание, как обрабатывать материал, как учиться не только смотреть, но и видеть.
Тема «Предел функции» достаточно сложная для вчерашних школьников, неготовых работать с математическим языком символов, знаков. В то же время она является фундаментальной, на которой строится почти все дальнейшее изложение математического анализа. Поэтому данной теме уделяем особое внимание, добиваемся понимания теории пределов. Задание строится по спиральному способу изложения, предполагающему выстраивание материала за счет его расширения, через постепенное усложнение, углубление, наполнение новым содержанием.
Что означает выражение «Для любого е > 0, > 0, зависящего от е, такого, что Vx £ E, и удовлетворяющих условию 0 < - х01 < ö, выполняется условие
\f(x) - A\ < е» (1)
и что следует из данной ситуации?
Заметим, что данное выражение определяет содержательную часть понятия «предела функции в точке x0» (при х, стремящемся к x0). Точнее, из (1) следует, что А
является пределом функции f в точке x0, при х ^ x0 (в точке x0). Этот факт
записывают в виде
A = lim f (x), (2)
где x0 - предельная точка множества E, f : E ^ R, E С R
В математике, в частности математическом анализе, особое внимание уделяется умению делать оценки некоторых величин в виде различных неравенств, а также устанавливать соотношения между различными величинами в виде неравенств между
этими величинами, то есть указывать неравенства, которые используются при обоснованиях, доказательствах некоторых утверждений и т. д.
На этапе осмысления определения возникает вопрос: обязательно ли строгое неравенство 0 < |х - х01 < ö, что произойдет, если рассмотреть неравенства
0 < |х - х01 < ö, 0 < |х - х01 < ö, 0 < |х - х01 < ö ? Таким образом, необходимо определить
информационную составляющую этой части определения.
Левая часть неравенства означает, что задана проколотая окрестность точки x0 и
функция не обязательно определена в самой точке x0, являющейся предельной точкой
для Е.
Неравенства в (1) указывают степень близости точек x Е E к x0, а также
значений f(x) и A: близость выражается в терминах неравенств для расстояний
|x - x0| = р( x, x0) и р( f (х), A) = | f (х) - A| между рассматриваемыми объектами.
З ам е чание. Как правило, при введении определения, понятия и т. д. приводится в единстве форма и содержание. В дальнейшем содержание исчезает из употребления и оперируют лишь формой.
Теперь расширяем границы нашего задания и укажем выражения, эквивалентные (1), и их обобщения в их системном изложении.
Если Ve > 0 3ö > 0 такое, что Vx Е E, 0 < |x - x0| < ö f (x) - A| < £; (3) если V e > 0 > 0 такое, что
Vx Е E, x0 -ö < x < x0 + ö, x * x0 ^ A -s < f (x) < A + s; (4) если V e > 0 > 0 такое, что
Vx ЕE, x E (x0 - ö, x0 + ö),x * x0 ^ f (x) = y E (A - e, A + e); (5)
если Ve > 0 3ö > 0 такое, что VxЕE, 0 < p(x,x0)< ö ^ p(f (x),A)< £; (6)
если Ve > 0 > 0 такое, что Vx E E, x E u'(x0) ^
Эквивалентность (3) - (7) означает, что если выполняется одно из них, то выполняются и остальные. Выражения в (3) - (6) являются частными случаями выражения в (7).
Запись A = lim f (х) := (к),к = 3,7 является соединением содержания (3) - (7) и формы (2).
Последующий анализ рассматриваемых выражений позволяет сделать вывод, что определения (3) - (6) имеют место в случае, когда x0 и А конечны, а выражение в
(7) имеет место также и в случае, когда x0 и А не являются конечными. В неравенствах
(3) - (5) использованы эквивалентные неравенства, имеющие место при ¿>0:
(x - x0)2 < ö2 ^ Ix - x0| < ö ^ -ö < x - x0 < ö ^ x0 -ö < x < x0 + ö ^ xE(x0 - ö;x0 + ö)
Yf (x) = yEU(A), f (u'(Xo)) с U (A).
(7)
Дальнейшее задание состоит в указании некоторых следствия из ситуаций (1) и
(2).
Пусть 3 lim f (х) = A, AI < <*>. Тогда имеют место локальные свойства функции,
имеющей конечный предел:
1) Функция fx) ограничена в некоторой проколотой окрестности U (х0) точки x0;
2) Если A ^ 0, то в некоторой проколотой окрестности U (х0) функция f
сохраняет знак предела А: A • f (x) > 0, VxEu(x0).
Следующая часть проекта реализуется по теме «Непрерывность функции». Если A = f (х0), то функция f является непрерывной в точке x0. Этот факт обозначается так:
f е C( xo).
Задание состоит из анализа выражения « A = f (х0)» и нахождения следствий из
него.
Необходимо провести исследования по вышеизложенной схеме, применительно к указанной ситуации, а именно: выяснить, в каком случае фигурируют U (х0) и u (х0),
неравенства 0 < |о - о0| < ö, 0 < |х - а| < ö, раскрыть содержание этих неравенств, рассмотреть локальные свойства функции, непрерывной в точке x0, глобальные свойства, эквивалентность. Установить, в чем отличие и что общего в определениях предела функции в точке x0 и определении непрерывности функции в точке x0.
Расширяя границы задания, рассматриваем следующее выражение: f (х) - f (x )
3 lim ^— = f '(х0). Что из этого следует?
х^хо х - х0
Необходимо дать полный, развернутый ответ по данной ситуации с элементами анализа, с указанием формы и содержания данного определения.
Указать в системной форме понятия предела функции, непрерывности функции в точке, определения производной функции, определенного интеграла, содержательную часть предела в последнем случае.
Определить общность и отличие этих понятий. В частности продумать ответ на вопрос: через существование предела какой функции определяется производная функции fx) в точке x0 ?
В преподавании математического анализа вопрос в такой редакции обычно не ставится. Все вышеизложенное заставляет взглянуть на математический анализ совершенно с новой позиции, позволяющей изучить предмет больше и глубже.
Библиографический список
Задорожная О.В. Проектирование комплекса учебных проектов в процессе обучения математическому анализу в университете: дис. ... канд. пед. наук. Н. Новгород, 2011. 237 с.
Zadorozhnaya O.V., Kochetkov V.K. Exploring mathematical analysis based on project activity // Biosciences Biotechnology Research Asia. Vol.11. N.2. URL: http://www.biotech-asia.org/specialedition.php?issue=SE%20Nov%2014&pg=1 (дата обращения: 17.03.2016).
