CC BY
348
УДК 624.04:519.6
А.В. Игнатьев
ФГБОУВПО «ВолгГАСУ»
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Часть 1
Предложена классификация формулировок метода конечных элементов (МКЭ), позволяющая ориентироваться в огромном количестве опубликованных и продолжающих публиковаться работ по проблеме повышения эффективности этого самого распространенного численного метода.
В первой части статьи приведена краткая история развития МКЭ, дана классификация его форм и вариантов.
Приведены прямые формулировки МКЭ в форме метода перемещений. Показан вывод матрицы жесткости для стержневых конечных элементов.
На примере одномерной системы-балки рассмотрен вопрос о сходимости решения по МКЭ в перемещениях при сгущении конечно-элементной сетки.
Ключевые слова: метод конечных элементов, классификация, формулировка, метод перемещений, метод сил, строительная механика.
Для того чтобы выбрать наилучшее конструктивное решение инженерного сооружения, необходимо иметь возможность прогнозирования его поведения в зависимости от различных вариантов воздействия на него. Для такого прогнозирования, т.е. для определения качественной и количественной картины НДС сооружения используются как аналитические, так и численные методы.
Основным преимуществом аналитических методов является возможность получения решения в общей форме, позволяющей определить изменение какой-либо одной или нескольких характеристик (прогибы, перемещения, усилия, напряжения, температура и т.п.) в любой ее точке и в любой момент времени в зависимости от вида воздействия на эту конструкцию. Решение в общей форме позволяет проанализировать степень влияния различных факторов, действующих на сооружение, и выделить наиболее важные.
Как было отмечено в [1], основным недостатком аналитических методов и полученных на их основе решений в общей форме является громоздкость этих решений и невозможность зачастую получить численный результат без перехода к дискретизации аналитических выражений и формул.
Трудоемкость реализации алгоритмов такой дискретизации зачастую сравнима с трудоемкостью реализации алгоритмов численных методов. Недостатком аналитических методов является также и то, что они применимы только для сооружений и конструкций простых форм и с упорядоченной внутренней структурой, допускающей аналитическое описание ее свойств. Аналитические методы не могут быть использованы также для расчета сооружений и конструкций произвольной геометрии.
Численные методы позволяют найти значение искомой функции в конечном числе расчетных точек независимо от формы сооружения или конструк-
ции, расположения нагрузок, распределения физических свойств материала в рассматриваемой области сооружения.
Все это в сочетании с быстро растущими возможностями ЭВМ обеспечило широкое распространение численных методов в инженерных расчетах, оставив аналитическим методам важное место эталонных решений при тестировании надежности вычислительных комплексов и пакетов прикладных программ.
Если самым значительным достижением строительной механики первой половины ХХ в. является метод сеток, то величайшим достижением второй половины ХХ в., безусловно, метод конечных элементов (МКЭ). Появление этого метода произвело революционный переворот не только непосредственно в развитии строительной механики как науки, но и повлияло на развитие теории численных методов и их применение в различных областях науки, таких как механика деформируемого твердого тела, аэрогидродинамика, теплофизика и др.
Традиционные термины и понятия строительной механики используются теперь во многих областях науки.
Исторически возникновение МКЭ связано с идеей приложения хорошо разработанных алгоритмов расчета статически и кинематически неопределимых стержневых систем к решению двумерных и трехмерных задач теории упругости. Эта идея дискретизации сплошной среды для упрощения расчетов возникла еще в Х1Х в. Однако ее реализация стала возможной лишь с появлением ЭВМ в середине ХХ в.
Первые теоретически обоснованные попытки таких расчетов на основе представления некоторой сплошной области совокупностью балочных и стержневых элементов принадлежат А. Хренникову [2], Д. Мак-Генри [3], Н. Ньюмарку [4], Р. Куранту [5].
Вначале МКЭ рассматривался как развитие классических методов строительной механики и применялся в основном в этой области. Приближенное описание некоторой упругой среды при помощи соединенных в узлах дискретных элементов, условно вырезанных из этой среды, названное в дальнейшем МКЭ, было предложено М. Тернером [6], Р. Клафом [7] и Д. Аргирисом [8—11]. В этих работах МКЭ формулировался уже в близком к современному виде.
Так называемая прямая или статическая концепция МКЭ была предложена в начале 1660-х гг. Р. Клафом [7]. В этой же статье был впервые использован термин «конечный элемент», который в настоящее время прочно вошел в научную и учебную литературу.
Математические основы метода впервые были сформулированы Р. Курантом в 1943 г. [5], и развиты в 1970 гг. Дж. Оденом [12—14].
В 1960—1965 гг. было опубликовано несколько работ, основанных на использовании вариационных принципов (Р. Мелош [15], Б. Фрайенс де Веубеке [16], Р. Джонес [17] др.). Они дали мощный толчок для широкого применения МКЭ в различных областях.
В дальнейшем совместными усилиями математиков, инженеров и программистов он разрабатывался и развивался как разновидность вариационно-разностных методов (методов Ритца, Бубнова — Галеркина и др.).
Позднее оба этих подхода были объединены и в настоящее время рассматриваются как два аспекта одного и того же метода.
В разработку теоретических основ МКЭ и его приложений большой вклад внесли многие исследователи: на начальном этапе развития МКЭ М.Дж. Тернер [6], Дж.Х. Аргирис [8, 9, 10, 11], Р.В. Клаф [7], О.К. Зенкевич [18], Л.А. Розин [19, 20], Дж. Оден [12—14], В.А. Постнов [21], В. Стренг и Г. Фикс [22, 23] и др. В настоящее время библиография по МКЭ включает десятки тысяч наименований. Подробный обзор, касающийся начального этапа истории развития метода, опубликован Зенкевичем [24].
Говоря об МКЭ в механике деформируемого твердого тела, как правило, подразумевают классический вариант в форме метода перемещений. Большинство статей, монографий и учебников посвящено именно ему, что объясняется основным преимуществом классического метода перемещений по сравнению с методом сил и смешанным методом — возможностью формализации расчета и реализации разработанных алгоритмов на ЭВМ.
Первые работы по применению МКЭ в форме метода перемещений опубликованы в 1956 г. (М. Тернер [6]) — треугольные и прямоугольные конечные элементы (КЭ) для анализа плоского НДС пластин, а позже появились работы по применению МКЭ в механике деформированного твердого тела (Д. Аргирис [10], С. Фелипа [25] и др.), в области анализа изгибаемых пластинок (А. Адини и Р. Клаф [26], Р. Мелош [15], Л. Геррманн [27—29] и др.), в области оболочек (А. Адини [30], Ф. Богнер, Р. Фокс и Л. Шмит [31] и др.), по проблеме расчета трехмерных тел (Д. Аргирис [11], Б. Айронс [32], Р. Клаф [33] и др.).
Как за рубежом, так и в нашей стране разработан ряд программ, реализующих МКЭ в форме метода перемещений. К ним относятся NASTRAN, ANSYS, ABACUS, MARC, DINA, ЛИРА и др.
Наряду с классическим МКЭ в перемещениях появились и работы по гибридным КЭ (Т. Пиан и П. Тонг [34]), основанным на независимой аппроксимации полей усилий (напряжений) в поле конечных элементов КЭ и перемещений КЭ и использовании вариационных принципов для установления зависимости этих полей от параметров его узловых перемещений. Эти гибридные процедуры в МКЭ часто называют «смешанными формулировками» (С. Атлури [35] и др.).
Первая работа по смешанному методу была опубликована в 1965 г. (Л. Геррманн [28]) по анализу изгибаемой пластинки. Позже было разработано целое множество смешанных КЭ для пластин и оболочек (Прато [36], Дж. Коннор [37], А. Поцески [38—41], Ф. Бреззи [42, 43], А.М. Масленников [44]). В этих и последующих работах по смешанному методу, за исключением [44], теория строилась на применении вариационных принципов и использовании функционалов полной потенциальной и дополнительной энергии. Поля перемещений и усилий в поле КЭ предполагались независимыми друг от друга [14, 38—43, 45—49].
Подробное рассмотрение различных подходов к формулировкам МКЭ содержится в монографиях М. Секуловича [50], А. Поцески [49], К.Ю. Бате [51—54].
Следует отметить, что практически все публикации по теории МКЭ основывались на использовании вариационных принципов и энергетических функционалов [20, 50, 55].
Физическая сущность МКЭ
МКЭ, как это следует из истории его появления и развития, является методом расчета дискретных систем, т.е. методом дискретного анализа. Использование этого метода для расчета континуальных систем основано на физической дискретизации рассматриваемой сплошной среды — континуальной конструкции (балки, оболочки, массивные сооружения).
В этом отличие МКЭ от других численных методов, в основе которых лежит математическая дискретизация разрешающих дифференциальных или интегральных уравнений для континуальных систем, т.е. их алгебраизация.
Сущность физической дискретизации сплошной среды по МКЭ заключается в том, что рассматриваемая реальная континуальная система (одномерная, двумерная или трехмерная конструкция) с помощью воображаемых линий или поверхностей, пересечение которых образует сетку, заменяется идеализированной дискретной моделью из конечного числа элементов, соединенных между собой в конечном числе точек (узлов).
Эти отдельные элементы называются КЭ, а точки соединения узловыми точками или узлами.
Общих рекомендаций по нанесению сетки или делению конструкции на отдельные КЭ нет. Разбивка на элементы может быть самой разнообразной, так как она зависит от величины градиента усилий или напряжений, поэтому для ее выполнения требуются практические навыки.
Последовательность расчетов при этом будет единой, несмотря на все многообразие КЭ, на которые могут быть расчленены конкретные конструкции.
Существующие методы определения связи между узловыми воздействиями и откликами на них в узлах будут рассмотрены ниже. Определение этой связи (построение матрицы жесткости, матрицы податливости, матрицы откликов) в общем случае является одним из основных этапов приложения МКЭ к расчету конструкций.
Цель такого подхода заключается в переходе от дифференциальных уравнений или функционалов, описывающих НДС континуальной физической системы, к системе линейных алгебраических уравнений, порядок которой определяется числом степеней свободы идеализированной дискретной модели.
Число вариантов дискретных моделей (типов КЭ) для каждой континуальной системы неограниченно велико в принципе.
Поэтому основная проблема состоит в том, чтобы при дискретизации системы выбрать тип КЭ, для области которого можно подобрать функции, аппроксимирующие его НДС (т.е. соответствующие поля перемещений, деформаций, напряжений и т.д.) таким образом, чтобы они максимально точнее удовлетворяли не только условиям совместности (неразрывности деформаций) и равновесия в узловых точках смежных КЭ, но и обеспечивали непрерывность при переходе через их общую границу для искомой функции и ее производных.
В зависимости от пути решения этой проблемы различаются и формы МКЭ. Единая классификация уже известных форм и вариантов МКЭ пока еще не сложилась. Существующие подходы к этой классификации не всегда обоснованы и корректны.
Классификация форм и вариантов МКЭ
В основе такой классификации должны лежать классические методы строительной механики стержневых (дискретных) систем, которым МКЭ обязан своим происхождением, поэтому прежде всего нужно выделить три основных формы МКЭ по их соответствию классическим методам:
а) МКЭ в форме метода перемещений;
б) МКЭ в форме метода сил;
в) МКЭ в форме смешанного метода.
Как и соответствующие классические методы, они различаются в зависимости от того, что принимается за основные неизвестные: кинематические величины (перемещения, деформации), статические величины (усилия в узловых связях, напряжения и др.) или одновременно смешанные кинематические и статические величины.
Наибольшее распространение до настоящего времени имеет МКЭ в форме метода перемещений. Однако с точки зрения теории наиболее общим является МКЭ в форме смешанного метода.
В отличие от классических методов строительной механики, использующих основную систему для всей конструкции в целом, во всех формах МКЭ необходимо знать характеристики отдельных КЭ независимо от остальных элементов всей конструкции.
Эта матрица характеристик отдельного КЭ состоит из откликов элемента на воздействие единичных (силовых, кинематических, деформационных, температурных и др.) основных неизвестных, приложенных в узловых точках конечного элемента.
В зависимости от вида основных неизвестных эта матрица характеристик называется матрицей реакций (жесткости) КЭ для МКЭ в форме метода перемещений; матрицей податливости КЭ — для МКЭ в форме метода сил; матрицей откликов для общего случая МКЭ в форме классического смешанного метода.
Для получения этих матриц, т.е. их элементов, используются те же технологии, что и для получения коэффициентов при неизвестных канонических уравнениях соответствующих методов, а также технологии получения приближенных решений (методы Ритца, Треффтца, Бубнова — Галеркина, вариационные принципы и др.).
В соответствии с вариантами этих технологий может быть получена матрица жесткости, матрица податливости или матрица откликов КЭ на основе принципа возможных перемещений, принципа возможных изменений напряженного состояния или принципа возможных изменений НДС, а также на основе вариационных методов, использующих свойства стационарности энергетических функционалов. Построение матриц откликов КЭ на единичные воздействия является одним из основных этапов приложения МКЭ к расчету конструкций. Так как КЭ, на которые расчленяется исходная конструкция, имеют вдоль своих границ непрерывные или дискретные связи со смежными элементами и находятся в состоянии равновесия, то необходимо ввести априорные предположения о характере НДС КЭ.
При такой кусочно-непрерывной аппроксимации условия совместности и равновесия на межэлементных границах могут быть выполнены лишь прибли-
женно. Искомые непрерывные величины (усилия, перемещения, напряжения, деформации) в области конкретного КЭ можно выразить через их значения в узловых точках, т.е. путем интерполирования с применением интерполирующих функций.
В качестве таких интерполирующих функций используются так называемые функции формы, аппроксимирующие НДС в пределах каждого КЭ (как правило, удовлетворяющие дифференциальным соотношениям, описывающим НДС КЭ).
От выбора функций формы, аппроксимирующих это состояние, зависит удовлетворение условиям неразрывности деформаций на межэлементных границах и условиям равновесия, т.е. точность решения. В принципе эти функции должны выбираться такими, чтобы при уменьшении размеров КЭ полученное решении сходилось к точному.
Суть требований, выполнение которых обеспечивает сходимость к точному решению при сгущении конечно-элементной сетки и уменьшении размеров КЭ, состоит в следующем [12, 22, 50—52, 56—59]:
функции формы КЭ должны удовлетворять условиям равновесия и совместности деформаций на межэлементных границах, т.е. иметь на границах между смежными элементами непрерывные производные определенного порядка;
аппроксимирующие функции (функции формы) должны обладать полнотой, т.е. позволять описание НДС в области КЭ в случае постоянных напряжений и деформаций и, как следствие, обеспечивать нулевую энергию деформации при смещении элемента как жесткого целого.
Эти требования являются достаточными, но не являются необходимыми. КЭ, удовлетворяющие им, называются совместными (конформными), а неудовлетворяющие — несовместными (неконформными). Вопросы сходимости решений при различных аппроксимациях функций форм КЭ и строгое математическое обоснование сходимости рассмотрены в [22, 60]. С инженерных позиций сходимость рассмотрена в [45].
В большинстве работ [44, 45, 51, 56, 57, 61] утверждается, что при использовании элементов, удовлетворяющих требованиям сходимости, приближенное решение при сгущении сетки монотонно сходится к точному, давая его нижнюю границу, т.е. завышая жесткость системы [58]. Однако, как показано в [62, 63], такое поведение решения реализуется только в ограниченных пределах размеров КЭ.
Построению неконформных (несовместных или несогласованных по другой терминологии) КЭ, обеспечивающих сходимость численного решения, посвящено большое количество работ. Их обзоры можно найти в [45, 50—52, 55].
Для таких КЭ условия совместности на межэлементных границах не выполняются. Однако различные их типы широко используются в расчетах [45, 51].
Применение этих КЭ, уменьшающих жесткость в сравнении с действительной, дает приближение к точному решению — его верхнюю границу, в то время как применение согласованных КЭ дает, как отмечено выше, нижнюю границу [58].
Прямые формулировки МКЭ
МКЭ в форме метода перемещений. Первоначально развитие МКЭ в форме метода перемещений основывалось на физических представлениях и предлагалось как обобщение метода перемещений, широко применявшегося для расчета стержневых систем, на расчет двумерных и трехмерных континуальных систем (пластин, плит, оболочек, массивных тел).
В соответствии с этой идеей матрицы жесткости простейших элементов (стержней, балок) строятся с использованием так называемого «прямого метода жесткостей» [50]. Суть его заключается в решении методами строительной механики стержневых систем задач на нахождение НДС КЭ при раздельных единичных смещениях его концевых связей, т.е. в нахождении соответствующих реакций в этих связях.
Не нарушая общности рассуждений, покажем процесс построения матрицы жесткости на примере одномерных и двумерных КЭ.
Для построения матриц жесткости таких КЭ могут быть использованы два варианта так называемого прямого метода жесткостей. Суть первого из них в нахождении полиномиальных функций форм путем последовательного задания единичных перемещений по всем степеням свободы элемента и определения соответствующих реакций по классическим алгоритмам строительной механики с использованием принципа возможных перемещений и интеграла Мора.
Второй основан на использовании в качестве функций форм полиномов Эрмита. Каждая из таких функций форм характеризуется тем, что она обращается в единицу в том узле, к которому эта функция относится и обращается в нуль в остальных узлах. Кроме того, каждая из этих функций удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению изгиба (или растяжения-сжатия, кручения и т.д.) КЭ.
Рассмотрим пример построения матрицы жесткости КЭ [62]: элемент в в форме прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения. Узлы элемента, расположенные на его концах, обозначим /, ], а длину стержня — I
Пусть оси у, zr совпадают с главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня, а ось хг направлена вдоль оси стержня. Получим матрицу жесткости для стержня, у которого оба конца защемлены (рис. 1).
При пренебрежении продольными деформациями стержня каждый его конец будет иметь две степени свободы: линейное смещение, перпендикулярное оси стержня, и поворот. Следовательно, в целом стержень будет иметь четыре независимых перемещения, которые включают и перемещения стержня как твердого тела. Введем вектор перемещений узлов /, ] элемента в :
где г — номер элемента; — номера узлов.
Рис. 1
11/2014
Здесь каждый компонент имеет, как уже отмечено выше, две составляющие
^-й- М-й- <2)
где цифрами 1 и 2 обозначены виды перемещений (линейное и угловое соответственно).
Таким образом, полный вектор перемещений узлов элемента
М" =
«2 j
(3)
Число элементов в этой матрице-столбце равно числу степеней свободы рассматриваемого элемента е (для удобства дальнейших выкладок индекс г опускается).
Опишем перемещения всех точек элемента через перемещения на его концах. Для этого зададим функцию формы, т.е. функцию перемещений элемента (стержня), в виде кубического полинома
м>( х) = и1 (х) = а1 +а2 х + а3 х2 +а2 х3. (4)
Выбор именно такого полинома обусловлен, во-первых, тем, что он имеет четыре произвольных постоянных в соответствии с четырьмя степенями свободы элемента, и, во-вторых, тем, что он является точным решением уравнения чистого изгиба стержня Е1м>ш = 0.
Тогда углы поворота поперечных сечений элемента описывается функцией
й [«1(х)] 2
ы2 (х) = —ь-£ = а 2 + 2а 3х + 3а 4х .
йх
Функции (4) и (5) образуют матрицу перемещений
(5)
{"(х)} =
где [Ф( х)] =
и1 (х)]
Ф1 (х) Ф (х)
„3
{а} = [Ф( х)]{а}, (6)
— матрица, зависящая от координаты х; {а} —
[м2 (х)
1 х х2 0 1 2 х 3х2 матрица-столбец коэффициентов а в (4) и (5).
Значения четырех постоянных а могут быть легко найдены после подстановки в (6) узловых координат (х. = 0, х. = I) и приравнивания полученных перемещений узловых точек по (3):
М"
Ф (X ) Ф2 (X )
Ф3 (X ) Ф4 (X )
а
■■[У ]
а
(7)
V =
1 0 0 0 1 0
1 i i2
0 0
i3
(8)
0 1 21 3!2 Решая уравнение (7) относительно {а}, находим {а} = [К ]-1 {д},
где [V ] 1 — матрица, обратная к [V].
Подставляя полученное значение вектора {а} в (6), находим {«( х)} = [Ф (х) IV ]-1 {g} = [и ]{д}. В этом выражении матрица
[U ] = [Ф( x)][V Г =
, 3х2 2х3 2х2 х3 3х2 1 —^ + —г-; x--+ -
2 х3
l2
l3
l l2 l2
l3
x2 x3
-"7+T
(9)
(10)
(11)
называется аппроксимирующей матрицей перемещений для элемента e. Вектор деформаций (кривизн) КЭ определяется выражением
{8} = {Х} = - ^ \-Ui(X )]•
(12)
Подставляя в это выражение значение м1(х) по (10), т.е.
[щ (х) ] = [Ul ]{g} получаем
[в] = [Л][Ц]{д} = [В]{д} (13)
где [Л] — матрица дифференцирования (матрица операторов); [В] — матрица, определяющая деформации в КЭ и зависящая от координат.
В частности, в данном случае
[ A] =
сХ2
, [5] = [A][Ui ] =
(14)
(15)
6 12х 4 6х 6 12х 2 6х
/ " 1Г; 1 ~ 7"; -12+1Г; 1 ~
По известному вектору деформаций [е]г находится вектор усилий [К } = [£ ][е],
где [П] — матрица упругих характеристик элемента е. В рассматриваемом случае
[ Я] = [ Е7 ]. (16)
Перемещения узлов рассматриваемого элемента е определяются компонентами вектора {д}, а возникающие при этом усилия в узлах образуют вектор {^}, аналогичный по структуре вектору {д}:
{F} =
'Fu -Q'
f2i +M
Fj +Qj
K-J -M J
(17)
2
11/2014
Рис. 2
Необходимо обратить внимание на то, что в (17) положительные усилия (в соответствии с правилом знаков для усилий, принятом в курсах сопротивления материалов и строительной механики) рассматриваются по отношению к элементу как внешние силы и знаки при них поставлены в соответствии с направлением координатных осей (рис. 2)
В линейно-деформируемых системах любое узловое усилие можно представить в виде линейной однородной функции от узловых перемещений
= (18)
Матрица [*] в этом выражении называется матрицей жесткости элемента в.
Для установления этой взаимно однозначной связи применим к рассматриваемому элементу принцип возможных перемещений, принимая в качестве внешних сил узловые усилия ^ (см. рис. 2), а в качестве возможных перемещений вариации действительных перемещений.
Тогда возможная работа внешних сил может быть записана следующим образом:
5А = + F2г5u2г + ^, 5«!, + F2J5u2J = [5{<?}]т ^}, (19)
где [§{#}] — транспонированная матрица вариации вектора узловых перемещений.
Аналогично находится возможная работа внутренних сил по всей длине элемента в:
дЖ = -}{8(е)}т {Щёх = -}{[В]{5(д)} } [Б][В]{д]ёх =
0 0
= -{5(д)} |[В]т [Б][В]{д]ёх.
0
Так как
8Л + 8Ж = 0,
то отсюда после подстановки (19) и (20) находим
I
Л в] [ ° ][ В]ёх
Из сравнения выражений (18) и (22) видно, что
[ * Н[ В Г [ Щ В] Ох.
(20)
(21)
(22)
(23)
Подставляя в это общее выражения значения матриц [5] и [Б] по (14) и (16) соответственно, получаем после выполнения интегрирования матрицу жесткости элемента в:
[ к ] =
12 EJ 6EJ 12 EJ 6 EJ '
l3 l2 l3 l2
6EJ 4 EJ 6EJ 2EJ
l2 l l2 l
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
l3 l2 l3 l2
6EJ 2 EJ 6EJ 4EJ
l2 l l2 l
(24)
Так как элементами матрицы жесткости являются реакции, то эту матрицу называют также матрицейреакций.
Построение матрицы жесткости может быть выполнено и другим путем. Для этого обратимся к результатам решения задач по нахождению уравнения изогнутой оси стержня при единичных смещениях концевых связей рассматриваемого прямолинейного стержня.
Используя эти решения, матрицу функций формы (11) можно представить в явном виде, т.е. выразить через перемещения концевых связей непосредственно:
и1 (х) = и11(х) + и2 {Э2 (х) + и1 ]Э3 (х) + пг]Э4 (х) =
= [«1,,., U2ii, иХ] , и1} ] [( X), ^(хХ Э3 (х ^ Э4(х)]Г,
(25)
где
3 х 2 х
1
Э1(х) = 1--— + Э2(х) = х — х +—х.
(26)
/2 /3 ' ^ I 12
Эз(= Х — /3 Х ' Э4( Х ^ + Х
полиномы Эрмита имеющие физический смысл уравнений упругой линии прямолинейного стержня при единичных смещениях его концевых связей (рис. 3) и удовлетворяющие следующим условиям:
эх(0)=1, э; (0) = о, эх(/ ) = о, э; (/) = 0;
32 (0) = 0, Э2 (0) = 1, Э2 (I) = 0, Э2 (I) = 0;
33 (0) = 0, Э; (0) = 0, Э3 (I) = 1, Э; (/) = 0;
34 (0) = 0, Э; (0) = 0, Э4 (I) = 0, Э; (I)=1.
Изменение каждой из функций Эрмита в (26) по длине КЭ представлено на рис. 3.
Вычислив соответствующие производные, находим
(27)
= Q (1}(0) = EJ3110) =
r31 = Q (1)(l) = EJ3[(l) = -
12EJ
IT'
12EJ
= Q (2)(0) = EJ32"(0) =
13 6EJ
r21 = M (2)(0) = EJ31"(0) =
, r41 = m (1)(i) = Ejy;(i) =
6EJ
IT'
6EJ
... и т.д.
Эти выражения для элементов матрицы жесткости полностью совпадают с (24).
МГСУ-
11/2014
> hi
fer к*-
; х
L
Г 1
JY
dZX
\ -Т-- "г- Т
tr,
е-
С
эм
I
£ . *
l\j=Cl4= 1
34(-х) —я—
Л"
Рис. 3
Как уже отмечалось выше, расчет по МКЭ выполняется на воздействие нагрузки, приложенной в узлах соединения элементов между собой.
Приведение заданной нагрузки к узловой может быть выполнено на основе равенства их возможных работ на виртуальных перемещениях (вариациях действительных перемещений).
Введем вектор узловых нагрузок для КЭ, изображенного на рис. 1:
{ f } =
fu f*
fij f2 j
(28)
Возможная работа этих узловых нагрузок определяется выражением, аналогичным (19):
ЪАузл ={b(q)}T {f}.
(29)
Возможная работа нагрузки р(х), распределенной по длине элемента е, по аналогии с (20) может быть записана следующим образом:
Часп =1{(«1«)] Р(х)Л = 1 [[Ц ]{8(?)}] р(*)<ъ = {8(?)Г /[Ц] Р(Х)ах. (30)
Приравнивая выражения (29) и (30), находим вектор узловых нагрузок
I
{ f } = J[Ui ]Tp( x)dx.
(31)
Если p(x) = p = const (рис. 4), то, используя выражение (11), находим
б
а
в
г
3x 2 x3
-12" 'IT
2 x2 x
' ~T +l2
3x2 2 x3
[U ]Tp = p
l l2
Интегрируя выражение (32) в соответствии с (31), получаем
{ f } =
pl pl pl 2 , 12 , 2 :
.sL 12
(32)
(33)
/7(.v) = P = const
Mi'lfUHlii
pi
i2 T_
PI
2 i Pl ' _J A12
'3* ",(-v)
Рис. 4
Этот же результат может быть получен и более простым путем — как силы, равные по величине и противоположные по направлению реакциям в жестких защемлениях от заданной нагрузки.
В заключение следует отметить, что в общем случае матрица жесткости КЭ является особенной, так как компоненты узловых перемещений содержат неопределенные значения перемещений как абсолютно жесткого тела.
Использование в расчете стержневой системы по МКЭ всех компонентов вектора узловых нагрузок дает, как это следует из классического метода пере-
р12
мещений, точное решение. В обычной же технике МКЭ компоненты , относящиеся к реакциям — моментам в опорных связях, не учитываются. Поэтому для достижения результата прибегают к сгущению конечно-элементной сетки, что в принципе некорректно.
На примере одномерной системы-балки покажем насколько справедливо утверждение о повышении точности расчета по МКЭ в перемещениях при сгущении конечно-элементной сетки [1, 33, 58].
Рассмотрим шарнирно опертую по концам балку длиной L, загруженную распределенной поперечной нагрузкой и имеющую постоянную по длине из-гибную жесткость Ш (рис. 5, а).
В соответствии с МКЭ (в форме метода перемещений) расчленим балку на отдельные элементы (длиной /). Основная система метода перемещений при расчленении балки на п элементов показана на рис. 5, б. Система разрешающих уравнений МКЭ в данном случае полностью совпадает с уравнениями метода перемещений:
б
а
МГСУ-
11/2014
Рис. 5
R = X2f-- 2 + z,+1) + 6EL (0., - 0) + (( + <) = 0;
i2
M = 6E-(z-1 - z,+i) + Щ-(0,-1 + 40, + 0) + (мл + m; ) = 0.
(34)
l2 4 ^1 l
где RЛ, RЛ,M",МЛ — реакции и моменты в i-м узле системы (см. рис. 5, б) от нагрузки в пролетах справа и слева от 7-го узла соответственно. Для случая равномерно распределенной нагрузки, т.е. q = const имеем:
R* = R = Si, МЛ =-Мп = ; ' ' 2 ' 12
R = XJf~ ( - 2 Z' + zt+1) + 6f- ( - 0I+1) + ql = 0;
M, = 6f~(z,-i - zI+i) + 2f-(0- + 40' + 0'+i) = 0.
(35)
l
После умножения первого и второго уравнений системы (35) на- получаем: 12Е/
—z.,, + 2 z. — z.
"i+i ' "i "i—1_ + Qj+i Qi—i _ ql .
l2
2/ 12EJ'
(36)
z,+1 - z,+ 8,.+1 + 49,. + 9,_1 = 0 2/ 6 ' Увеличив число n до бесконечности, т.е. перейдя к пределу l—>dx, имеем:
lim -z+1 + 2z' - z-1 = z» lim 0+1 - 9'-1 = 0Ш-^— = 0,
l2
l ^ dx 2l
l ^dx 12 EJ
z , -z , (0 + + 40. + 0. .)
lim —-^ = z\, lim^1-!-^
l ^ dx 21 l ^ dx 6
(37)
а
б
Таким образом, система разрешающих уравнений (34) метода перемещений при предельном переходе преобразуется в вид
Z = Si, Z = 9,. (38)
Оба эти уравнения тождественны, так как одно вытекает из другого. Вырождение системы алгебраических уравнений (34) при предельном переходе в одно дифференциальное уравнение приводит к неустойчивости счета и ухудшению сходимости численного решения к точному решению при сгущении сетки КЭ.
Таким образом, при достаточно малой длине КЭ математическая модель в виде системы уравнений (35) не сводится к точному решению при любом заранее заданном, но конечном числе цифр выполняемых операций.
Причину этого нетрудно заметить. В первое и второе уравнение системы (36) входят оба неизвестных — z и 9. Так как между ними существует лишь одна лишь одна дифференциальная зависимость 9 = w' (или вытекающий из нее вариант 9' = w" ), то одно уравнение есть следствие второго и при предельном переходе два независимых конечно-разностных уравнения (36) должны обязательно выродиться в два тождественных дифференциальных уравнения. Вполне очевидно, что эта же особенность будет проявляться и в двумерных системах. Следовательно, математическая модель МКЭ в перемещениях не сводится к точному решению при измельчении конечно-элементной сетки. Необходимо отметить также то обстоятельство, что при мелкой сетке получающийся КЭ объемного типа для стержней и пластинок не соответствует заложенному в исходную физическую модель КЭ в виде тонкой пластинки.
С другой стороны, система уравнений (34), в которой учтено влияние нагрузки в области КЭ, дает точное решение при любых конечных значениях l, соответствующих физической модели КЭ.
Библиографический список
1. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделев А.В. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ 2006. 172 с.
2. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. 1941. No. 8. Ser. A. Pp. 165—175.
3. McHenry D.A. Lattice Anthology of the Solution of Plane Stress Problems // J. Inst. Civ. Eng. 1943. No. 21. Pp. 59—82.
4. Newmark N.M. Numerical Methods of Analysis in Bars, Plates, and Elastic Bodies, «Numerical Methods in Analysis in Engineering» / ed. L.E. Grinter. Macmillan, 1949. Pp. 313—344.
5. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. Pp. 1—23.
6. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J. Aero. Sci. 1956. Vol. 23. No. 9. Pp. 805—824.
7. CloughR.W. The Finite Element Methods in Plane Stress Analysis // Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg, 1960.
8. Аргирис Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем : сб. ст. ; пер. с англ. Л. : Судпромгиж, 1961. Ч. 1. С. 37—255.
9. Аргирис Дж., Келси С. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета статически неопределимых систем : сб. ст. ; пер. с англ. Л. : Судпромгиж, 1961. Ч. II. С. 256—293.
10. Argyris J. Triangular elements with linearly varying strain for the matrix displacement method // J. Royal Aero. Sci. Tech. 1965. Note 69. Pp. 711—713.
11. Argyris J. Matrix analysis of three-dimensional elastic media — small and large displacements // AIAA. 1965. Vol. 3 No. 1. Pp. 45—51.
12. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М. : Мир, 1976. 386 с.
13. Oden J.T. A General Theory of Finite Elements // Int. J. Num. Eng. 1969. No. 1. Pp. 205—226, 247—260.
14. Oden J.T., Reddy J.N. Some observation on properties of certain mixed finite element approximations // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. Vol. 9. No. 4. Pp. 933—938.
15. Melosh R. Basis for derivation of matrices by the direct stiffness method. AIAA J. 1963. Vol. 1. No. 7. Pp. 1631—1637.
16. Fraeijs de Veubeke B., Sander G. An equilibrium model for plate bending // International J. Solids and Structures. 1968. Vol. 4. No. 4. Pp. 447—468.
17. Jones R.E. A generalization of the direct-stiffness method of structural analysis. AIAA J. 1964. Vol. 2. No. 5. Pp. 821—826.
18. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. The finite element method in structural and continuum mechanics. London, McGraw-Hill Book Company; First Edition. 1967. 274 p.
19. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л. : Изд-во ЛГУ, 1976. 232 с.
20. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М. : Стройиздат, 1977. 128 с.
21. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л. : Судостроение, 1974. 344 с.
22. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1977. 350 с.
23. Strang G. and Fix G. An analysis of the finite element method. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, N. J., 1973.
24. Zienkiewicz O.C. The finite element method — from intuition to generality // Appl. Mech. Rev., 1970, 23, 249—256.
25. Felipa C. Refined finite element analysis of linear and non-linear two-dimensional structures. Univ. of California, Berkeley, str. Eng. Lab., Rep. SESM 66-22, 1966. 212 p.
26. AdiniA., Clough R. Analysis of plate bending by the finite element method, Rept. to National Sci. Foundation, 1960.
27. Herrmann L.R. Elasticity equations for incompressible and nearly incompressible materials by a variational theorem // AIAA J. 1965. Vol. 3. No. 10. Pp. 1896—1900.
28. Herrmann L. A bending analysis for plates // Proc. Conf. Matrix. Meth. Str. Mech., Wright Patterson AFB, Ohio, 1965.
29. HerrmannL. Finite element bending analysis of plates // ASCE 93. No. EM5, 1967.
30. Adini A. Analysis of shell structures by the finite element method // ph. D. Dis. Dept. Civil Eng. Univ. of California, Berkeley, 1961.
31. Bogner F., Fox R., Schmit L. A cylindrical shell discrete element // AIAA. 1967. Vol. 5. No. 4. Pp. 745—750.
32. Irons B.M., Zienkiewicz O.C. The isoparametric finite element system — a new concept in finite element analysis // In Proc. Conf.: Recent advances in stress analysis, Royal Aeronautical Society London, 1969.
33. Clough R. Comparision of three-dimensional finite elements // Symp. Application of FEM in Civil Eng. Nashville, Ten. 1969. Pp. 1—26.
34. Pian T., Tong P. Basis for finite element methods for solid continua // Int. J. Num. Meth. Eng. 1969. Vol. 1. No. 1. Pp. 3—28.
35. Atluri S., Tong P., Murakava H. Recent studies in hybrid and mixed finite element methods in mechanics // Conf. Hybrid and Mixed M, John Wiley, 1983. Pp. 51—71.
36. Prato C. A mixed finite element method for thin shell analysis // ph. D. Th. Dept. Civil Eng. MIT, 1968.
37. Connor J., Will D. A mixed finite element shallow shell formulation // Matrix Meth. Str. Anal. Design, Univ. Alabama, 1971. Pp. 105—137.
38. Poceski A. From deformation to mixed and hybrid formulation of the finite element method // J. Theor. App. Mechanics, Yug. Society of Mechanics, Belgrade, 1979. No. 5.
39. Poceski A., Simonee V. Metodot na koneeni elementi i hegovata primena // Gradezen fakultet, Skopje 1972.
40. Poceski A. A mixed finite element method for bending of plates // Int. J. Num. Meth. Eng. 1975. Vol. 9. No. 1. Pp. 3—15.
41. Poceski A. Meovit metod na koneni elementi (111). 12 Jug. Kon. Teor. Prim. Mehanike, Ohrid, 1974.
42. Brezzi F., Douglas J., Marini L.D. Two families of mixed finite elements for second order elliptic problems, Numer. Math, 1985. Vol. 47. Pp. 217—235.
43. Brezzi F., Douglas J., Fortin M., Marini L.D. Efficient rectangular mixed finite elements in two and three space variables. RAIRO Mod'el. Math. Anal. Numer. 1987. Vol. 21. No. 4. Pp. 581—604.
44. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами. Л. : Изд-во ЛГУ 1987. 224 с.
45. Белкин А.Е., Гаврюшкин С.С. Расчет пластин методом конечных элементов. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 232 с.
46. Виссер В. Улучшенный вариант дискретного элемента смешанного типа пластины при изгибе // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 9. С. 172—174.
47. AyadR., Dhatt G., Batoz J.L. A new hybrid-mixed variational approach for Reissner-Mindlin plates. The MiSP model // International J. for Numerical Methods in Engineering. 1998. Vol. 42. No. 7. Pp. 1149—1179.
48. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 // Numerische Mathematik. September 1980. 35(3). Pp. 315—341.
49. Poceski A. Mixed Finite Element Method. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, 356 p.
50. Секулович М. Метод конечных элементов / пер. с серб. Ю.Н. Зуева ; под ред. В.Ш. Барбакадзе. М. : Стройиздат, 1993. 664 с.
51. Батэ К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1982. 448 с.
52. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов / пер. с англ. В.П. Шидловского; под ред. Л.И. Турчака. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010. 1024 с.
53. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs. 1996. 1036 p.
54. Bathe K.J., Wilson E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1976.
55. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. : Мир, 1987. 542 с.
56. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М. : Мир, 1984. 428 с.
57. Зенкевич О.К., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986. 318 с.
58. Моррей Д.О. О сходимости решений в методе конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 4. С. 112—114.
59. Bazeley G.P., Cheung Y.K., IronsB.M., Zienkiewicz O.C. Triangular elements in plate bending — conforming and non-conforming solutions // Proc. Conf. On Matrix Methods in Structural Mechanics. Air Force Inst. of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965. Pp. 547—576.
60. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. : Наука, 1981. 416 с.
61. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике : пер. с англ. М. : Мир, 1975. 541 с.
62. Игнатьев В.А. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. Саратов : Изд-во СПИ, 1980. 87 с.
63. Чувиковский В.С. Численные методы расчетов в строительной механике корабля. Л. : Судостроение, 1976. 376 с.
Поступила в редакцию в октябре 2014 г.
Об авторе: Игнатьев Александр Владимирович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры строительной механики, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, alignat70@yandex.ru.
Для цитирования: Игнатьев А.В. Основные формулировки метода конечных элементов в задачах строительной механики. Часть 1 // Вестник МГСУ 2014. № 11. С. 37—57.
A.V. Ignat'ev
ESSENTIAL FEM STATEMENTS APPLIED TO STRUCTURAL MECHANICS PROBLEMS.
Part 1
In the article, the author shares his classification of FEM statements that may serve as a guide in respect of the huge number of works that are published and being published with a view to the FEM efficiency improvement. The author provides a summarized history of the finite element method, and classifies its configurations and versions. The author also provides FEM statements applicable to the deflection method. Derivation of the rigidity matrix designated for shaft-based finite elements is demonstrated in the article. The author employs one-dimensional framing as an example aimed to demonstrate the convergence of the FEM method in terms of deflections, if the finite element grid is refined. However it is also noteworthy that in the event of a fine grid, the finite element designed for plates does not coincide with the finite element of a thin plate designed as the initial physical model. However, the system of equations, provided by the author, takes account of the influence produced by the load onto the finite element and generates the exact solution irrespective of any finite values of the length that are equal to the physical model of a finite element.
Key words: FEM, classification, statement, deflection method, structural mechanics, force method.
References
1. Ignat'ev V.A., Ignat'ev A.V., Zhidelev A.V. Smeshannaya forma metoda konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki [Mixed Form of Finite Element Method in Problems of Structural Mechanics]. Volgograd, VolgGASU Publ., 2006, 172 p. (In Russian).
2. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method. J. Appl. Mech. 1941, no. 8. Ser. A., pp. 169—175.
3. McHenry D.A. Lattice Anthology of the Solution of Plane Stress Problems. J. Inst. Civ. Eng. 1943, no. 21, pp. 59—82.
4. Newmark N.M. Numerical Methods of Analysis in Bars, Plates, and Elastic Bodies, "Numerical Methods in Analysis in Engineering". Ed. L.E. Grinter. Macmillan, 1949, pp. 313—344.
5. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. Bull. Amer. Math. Soc. 1943, vol. 49, pp. 1—23. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1943-07818-4.
6. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. J. Aero. Sci. 1956, vol. 23, no. 9, pp. 805—824.
7. Clough R.W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis. Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg, 1960.
8. Argyris J.H. Energy Theorems and Structural Analysis. Aircraft Engineering. 1954, no. 26, pp. 347—356.
9. Argyris J.H., Kelsey S. Energy Theorems and Structural Analysis. Butterwirth, London, 1960, 346 p.
10. Argyris J. Triangular Elements with Linearly Varying Strain for the Matrix Displacement Method. J. Royal Aero. Sci. Tech. 1965, note 69, 711—713.
11. Argyris J. Matrix Analysis of Three-dimensional Elastic Media — Small and Large Displacements. AIAA. 1965, vol. 3, no. 1, pp. 45—51. DOI: http://dx.doi.org/10.251473.2786.
12. Oden J.T. Finite Elements on Nonlinear Continua. McGraw-Hill, New York, 1972.
13. Oden J.T. A General Theory of Finite Elements. Int. J. Num. Eng. 1969, no. 1, pp. 205—226, 247—260.
14. Oden J.T., Reddy J.N. Some Observation on Properties of Certain Mixed Finite Element Approximations. Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975, vol. 9, no. 4, pp. 933—938. DOI: http:// dx.doi.org/10.1002/nme.1620090412.
15. Melosh R. Basis for Derivation of Matrices by the Direct Stiffness Method. AIAA J. 1963, vol. 1, no. 7, pp. 1631—1637.
16. Fraeijs de Veubeke B., Sander G. An Equilibrium Model for Plate Bending. International J. Solids and Structures. 1968, vol. 4, no. 4, pp. 447—468. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0020-7683(68)90049-8.
17. Jones R.E. A Generalization of the Direct-stiffness Method of Structural Anaysis. AIAA J. 1964, vol. 2, no. 5, pp. 821—826. DOI: http://dx.doi.org/10.2514Z3.2437.
18. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics. London, McGraw-Hill Book Company; First Edition, 1967, 274 p.
19. Rozin L.A. Sterzhnevye sistemy, kak sistemy konechnykh elementov [Frame Structures as Systems of Finite Elements]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1976, 232 p. (In Russian).
20. Rozin L.A. Metod konechnykh elementov v primenenii k uprugim sistemam [FEM in Application to Elastic Systems]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1977, 128 p. (In Russian).
21. Postnov V.A., Kharkhurim I.Ya. Metod konechnykh elementov v raschetakh sudovykh konstruktsiy [FEM in Calculation of Ship Structures]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1974, 344 p. (In Russian).
22. Strang G., Fix G. The Theory of Finite Element Method. Transl. into Russian. Moscow, Mir Publ., 1977, 350 p.
23. Strang G. and Fix G. An Analysis of the Finite Element Method. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, N. J., 1973.
24. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method — from Intuition to Generality. Appl. Mech. Rev., 1970, 23, 249—256.
25. Felipa C. Refined finite element analysis of linear and non-linear two-dimensional structures. Univ. of California, Berkeley, str. Eng. Lab., Rep. SESM 66-22, 1966, 212 p.
26. Adini A., Clough R. Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method, Rept. to National Sci. Foundation, 1960.
27. Herrmann L.R. Elasticity Equations for Incompressible and Nearly Incompressible Materials by a Variational Theorem. AIAA J. 1965, vol. 3, no. 10, pp. 1896—1900. DOI: http:// dx.doi.org/10.2514/3.3277.
28. Herrmann L. A Bending Analysis for Plates. Proc. Conf. Matrix. Meth. Str. Mech. Wright Patterson AFB, Ohio, 1965.
29. Herrmann L. Finite element bending analysis of plates. ASCE 93, No. EM5, 1967.
30. Adini A. Analysis of Shell Structures by the Finite Element Method. Ph. D. Dis. Dept. Civil Eng. Univ. of California, Berkeley, 1961.
31. Bogner F., Fox R., Schmit L. A Cylindrical Shell Discrete Element. AIAA. 1967, vol. 5, no. 4, pp. 745—750. DOI: http://dx.doi.org/10.2514/3.4056.
32. Irons B.M., Zienkiewicz O.C. The Isoparametric Finite Element System — a New Concept in Finite Element Analysis. In Proc. Conf.: Recent Advances in Stress Analysis. Royal Aeronautical Society London, 1969.
33. Clough R. Comparison of Three-Dimensional Finite Elements. Symp. Application of FEM in Civil Eng. Nashville, Ten. 1969, pp. 1—26.
34. Pian T., Tong P. Basis for Finite Element Methods for Solid Continua. Int. J. Num. Meth. Eng. 1969, vol. 1, no. 1, pp. 3—28. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/nme.1620010103.
35. Atluri S., Tong P., Murakava H. Recent Studies in Hybrid and Mixed Finite Element Methods in Mechanics. Conf. Hybrid and Mixed M. John Wiley, 1983, pp. 51—71.
36. Prato C. A Mixed Finite Element Method for Thin Shell Analysis. Ph. D. Th. Dept. Civil Eng. MIT, 1968.
37. Connor J., Will D. A mixed finite element shallow shell formulation. Matrix Meth. Str. Anal. Design. Univ. Alabama, 1971, pp. 105—137.
38. Poceski A. From Deformation to Mixed and Hybrid Formulation of the Finite Element Method. J. Theor. App. Mechanics, Yug. Society of Mechanics. Belgrade, 1979, no. 5.
39. Poceski A., Simonee V. Metodot na koneeni elementi i hegovata primena. Gradezen fakultet, Skopje, 1972.
40. Poceski A. A mixed finite element method for bending of plates. Int. J. Num. Meth. Eng. 1975, vol. 9, no. 1, pp. 3—15. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/nme.1620090102.
41. Poceski A. Meovit metod na koneni elementi (111). 12 Jug. Kon. Teor. Prim. Mehan-ike, Ohrid, 1974.
42. Brezzi F., Douglas J., Marini L.D. Two Families of Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problems. Numer. Math. 1985, vol. 47, pp. 217—235. DOI: http://dx.doi. org/10.1007/BF01389710.
43. Brezzi F., Douglas J., Fortin M., Marini L.D. Efficient Rectangular Mixed Finite Elements in Two and Three Space Variables. RAIRO Mod'el. Math. Anal. Numer. 1987, vol. 21, no. 4, pp. 581—604.
44. Maslennikov A.M. Raschet stroitel'nykh konstruktsiy chislennymi metodami [Calculation of Building Structures by Numerical Method]. Leningrad, LGU Publ., 1987, 224 p. (In Russian).
45. Belkin A.E., Gavryushkin S.S. Raschety plastin metodom konechnykh elementov [Calculation of Plates by Finite Element Method]. Moscow, MGTU named after N.E. Baumana Publ., 2008, 232 p. (In Russian).
46. Visser V. Uluchshennyy variant diskretnogo elementa smeshannogo tipa plastiny pri izgibe [Improved Variant of the Discreet Element of Mixed Type of a Plate at Bending]. Ra-ketnaya tekhnika i kosmonavtika [Rocket Enineering and Space Technologies]. 1969, no. 9, pp. 172—174. (In Russian).
47. Ayad R., Dhatt G., Batoz J.L. A New Hybrid-mixed Variational Approach for Re-issner-Mindlin plates. The MiSP model. International J. for Numerical Methods in Engineering. 1998, vol. 42, no. 7, pp. 1149—1179. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19980815)42:7<1149::AID-NME391>3.0.CO;2-2
48. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3. Numerische Mathematik, September 1980, 35(3), pp. 315—341.
49. Poceski A. Mixed Finite Element Method. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, 356 p.
50. Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite Element Method]. Translation from Serbian. Moscow, Stroyizdat Publ., 1993, 664 p.
51. Bathe K.-J., Wilson E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. New Jersey, Prentice-Hall, 1976, 528 p.
52. Bathe K.-Yu. Metody konechnykh elementov [Finite Elements Methods]. Transl. into Russian. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2010, 1024 p.
53. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1996, 1036 p.
54. Bathe K.J., Wilson E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1976.
55. Vasidzu K. Variatsionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variation Methods in Plasticity Theory]. Moscow, Mir Publ., 1987, 542 p. (In Russian).
56. Gallager R. Metod konechnykh elementov. Osnovy [Finite Element Method. Basics]. Moscow, Mir Publ., 1984, 428 p. (In Russian).
57. Zenkevich O.K., Morgan K. Konechnye elementy i approksimatsiya [Finite Elements and Approximation]. Moscow, Mir Publ., 1986, 318 p. (In Russian).
58. Morrey D.O. O skhodimosti resheniy v metode konechnykh elementov [On Solutions' Convegence in Finite Element Method]. Raketnaya tekhnika i kosmonavtika [Rocket Enineer-ing and Space Technologies]. 1970, no. 4, pp. 112—114. (In Russian).
59. Bazeley G.P., Cheung Y.K., Irons B.M., Zienkiewicz O.C. Triangular Elements in Plate Bending — Conforming and Non-conforming Solutions. Proc. Conf. On Matrix Methods in Structural Mechanics. Air Force Inst. of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965, pp. 547—576.
60. Marchuk G.I., Agoshkov V.I. Vvedenie v proektsionno-setochnye metody [Introduction into Projective Grid Methods]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 416 p. (In Russian).
61. Zenkevich O.K. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite Element Method in Technology]. Transl. into Russian. Moscow, Mir Publ., 1975, 541 p.
62. Ignat'ev V.A. Metod konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki [Finite Element Method in Problems of Structural Mechanics]. Saratov, Saratov University Publ., 1980, 87 p. (In Russian).
63. Chuvikovskiy V.S. Chislennye metody raschetov v stroitel'noy mekhanike korablya [Numerical Calculation Methods in Structural Mechanics of Ships]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1976, 376 p.
About the author: Ignat'ev Aleksandr Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; alignat70@yandex.ru.
For citation: Ignat'ev A.V. Osnovnye formulirovki metoda konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki. Chast' 1 [Essential FEM Statements Applied to Structural Mechanics Problems. Part 1]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 11, pp. 37—57. (In Russian).
