Опыт расчета конического сверхзвукового течения с помощью интерполяции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 197 5 Мб

УДК 533.6.011.5:532.582.3

ОПЫТ РАСЧЕТА КОНИЧЕСКОГО СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В. А. Башкин, Г. И. Майкапар

На примере сверхзвукового осесимметричного конического течения оценена точность решения уравнений движения идеального газа приближенными методами, основанными на удовлетворении уравнений движения точно на границах области возмущенного течения (метод линий) и в среднем по этой области (метод интегральных соотношений) и на аппроксимации искомых функций. Показано, что учет особенности поведения решения на скачке уплотнения осуществляется путем введения в аппроксимирующие выражения логарифмической функции, что заметно повышает точность каждого из методов.

Есть две возможности упрощения методов расчета обтекания тел газом: отбрасывание малых членов в уравнениях или приближенное решение полных уравнений.

В последнем случае решение задачи обычно ищется в виде некоторых аппроксимирующих выражений, точно удовлетворяющих полным уравнениям на некоторых линиях и в среднем по некоторым областям течения.

Наибольшего упрощения можно ожидать, если интерполяция искомых функций проводится между границами области возмущенного течения, а уравнения движения удовлетворяются точно на ее границах и в среднем по этой области. Если искомые функции или их производные имеют разрывы внутри области интегрирования, то линии разрыва следует рассматривать как дополнительные границы для интерполяции. Для сравнения различных способов решения полных уравнений с помощью интерполяции рассмотрим осесимметричное сверхзвуковое коническое течение. Задача расчета этого течения имеет особенность, характерную для всех задач обтекания тел сверхзвуковым потоком: одна из границ области возмущения определяется вместе с самим возмущенным течением. Полученные ниже результаты могут быть полезны для решения более сложных задач.

Кроме основных уравнений течения в сферической системе координат:

— +/=0,

du.

: 0, / = U +

а2 (и + v ctg 0)

(0

с1Ъ а? — V2

используем также дополнительные, получающиеся путем дифференцирования (1):

d? v , df

~W Ж

°' S-+/ = °’

df_

dfl

“[■

(f — 1) UV2 (M + v ctg в)

(a2 — i/2)2

da , ~df

4-

Г a2 ct [a2 —

ctg в

If 2

+

2a2 v (u-|-i» ctg 6)

(a2 — w2)2

(l — I) t>3 (и + v ctg 8) (a2 —1>2)2

dv

"50

a2 v

(a2 — v2) sin2 6

здесь и, v — радиальная и поперечная составляющая скорости.

На поверхности конуса

V (0!) = 1»! = О,

а на скачке уплотнения

и (02) = «2 = V cos 02, v (02) = v2 =

где V, Роо-ПрИ 0 :

Р2

V sin 02,

1

“к

df d% J2

скорость и плотность невозмущенного потока. = 02 производная '

sin 02 — | ) COS 02 Ctg 02 f'S —----

Ро

Р2

ш

1-

-7-1

Р2

стремится к со, когда 02 стремится к углу Маха.

Первые расчеты с помощью интерполирования, выполненные без учета этой особенности, показали, что ошибки растут с уменьшением относительной скорости \= V/а* (а* — критическая скорость звука), причем использование дополнительных уравнений (2) результатов не улучшает.

Учесть особенность функции / можно введением* в интерполяционные полиномы подходящей функции с такой же особенностью. Эта функция была найдена с помощью приближенного интегрирования первого из уравнений (1) в окрестности 02 с заменой в подынтегральной функции и, V, с1^в первыми двумя членами разложений по степеням т = 02—0. Оказалось, что эта функция— логарифмическая. .

Представим функции V, и, f степенными полиномами в сумме с логарифмической функцией:

и ■■

/ =

v = w -f- (i>2 — te>2) ® + (A j + Вх % + Сг S2) ft (1 — 9);

= u-i -{- W -)- (и2 — u.\ — 8- -J- (Л2 + ft + C2 $2) $ (1 — ft);

■-ft — w' + w[ + (/2 + w'2—f1 — w'1)& + (A3 + B3 ») (!—»);

здесь

w

~V

_3_

16

Poo

P2

Sin 0, In

'+4-1

W_

V

01 1-7*

1+ X

8 ctg 02 A

(7+1)1-

, Д = 02 — I

Задаваясь углом скачка уплотнения 02, будем определять коэффициенты полиномов и величины 0|, Ы] из условия получения нулевой средней ошибки по области интегрирования (метод интегральных соотношений)

«а

»а+ J/^0 = °.

щ -

w9

J" vdb = О,

(3)

или получения нулевой ошибки, т. е. удовлетворения уравнений, на границах области: скачке и конусе (метод линий)*. Точность расчета поля течения в различных вариантах будем сравнивать с помощью погрешностей

D.

dv

dd

-f, D2

du

"Ж-

* В общем виде метод линий изложен в статье Г. Н. Коржавина, Е. Е. По-хвальновой «Приближенный аналитический метод решения нелинейных граничных задач". (Сборник .Вопросы газовой динамики и теплообмена". Машиностроение, 1969). В статье приведен пример расчета конического течения для 0! = 30°, X = 1,9.

Самым простым является метод интегральных соотношений при линейной интерполяции функций V и / (И1), который дает уравнения для определения и в1:

д 2 (и2 — В72) 4-/2 + ^2 -)- яи1

ы1 = и2 —1Г2—--^-(г* —и>2), Д2-------:----------------------Д —2 = 0. (4)

Для удовлетворения уравнений (1) На обеих границах необходимы полиномы второй степени, причем возможны два варианта: полиномами представляются к, V (Л2а) или же V, / (Л2б). В варианте Л2а для определения и1( 0! получаются те же уравнения (4), что и в случае И1.

В варианте Л2б и в других, когда интерполируется функция /, вместо второго уравнения (1) на границах области точно удовлетворяется выражение для производной й//й0, что равносильно выполнению уравнений (1). Вариант Л2б дает наибольшие погрешности (фиг. 1 и 2) и далее не рассматривается.

Повышения точности можно достичь путем комбинации метода интегральных соотношений и метода линий и использования дополнительных уравнений (2). Все рассмотренные варианты приведены в таблице, в которой знаком „+• указано, какие уравнения удовлетворяются (первая цифра в обозначении варианта указывает степень интерполяционных полиномов, каждая из последующих цифр — граница, на которой выполняются дополнительные условия: 1—на поверхности тела, 2—па скачке уплотнения).

Варианты

«у равнении ИГ Л2а И21 Л31 И22 Л 32 И312 Л412

(О в. + + + + + +

02 + + + + +

/9Ъ в. + +

\4) 02 + +

(3) + 4- + +

Исключение коэффициентов Л/, В/, С/ из систем уравнений дает уравнения для вычисления их, в1( которые для вариантов И21 и Л31, И22 и Л32, И312 и Л412 соответственно совпадают.

С повышением степени интерполяционных полиномов повышается и степень уравнения для определения Д; так, например, для вариантов И312, Л412 система уравнений имеет вид

щ =

А (г, - щ) - (А +.г»2 — и>[)

А*

6

А<

36

дз

3~

А»

3

4 (V, - о»3) + сГб 0! (и, — Г,) + -Ь (/2

+

+2Д

«2 — (/з "Н "Ь ^1)

4- 2 (и2 — а>2) = О*

8—Ученые записки № 5

113

Фиг. 5

Результаты вычислений с помощью ЭЦВМ, представленные на фиг. 1—5*, позволяют сделать следующие выводы. При больших относительных скоростях X все методы дают результаты для ы^, очень близкие к точным; величины погрешностей £>1, -02 быстро уменьшаются с увеличением X, что объясняется приближением и, V к линейным функциям 0. Учет особенности функции / повышает точность определения щ, 01 при малых X, что особенно заметно для вариантов И1, Л2а. Дополнительные условия на конусе (варианты И21, Л31) не приводят к уменьшению погрешностей. Лучшие результаты получаются в случае дополнительных условий на скачке уплотнения (варианты И22, Л32), однако в случае варианта И22 погрешность Е>2 остается большой (фиг. 4). Дополнительные условия на обеих границах (варианты И312, Л412) дают наилучшее приближение для величин ии 01 и наименьшие погрешности Ои £)2 (фиг. 5).

Во всех сравниваемых случаях погрешности метода линий меньше, чем погрешности метода интегральных соотношений. При этом следует иметь в виду, что степень интерполяционных полиномов в методе линий на единицу выше, чем в методе интегральных соотношений.

*На фиг. 1 и 2 кривые — точное решение. На фиг. 1 кривая 02 = 65° смещена по вертикали на 10°.

Рукопись поступила 25/П 1975 г.